多组

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A类多组（一些作者使用袋或毫秒)是以下概念的概括设置。在多集合中，成员（元素）可以出现多次（即[有限]重数是任何正整数），而在集合中成员只能出现一次。（两者都是无序集合。）一些作者允许无限重数。

例如，multiset 

{甲、甲、乙、乙、丙、丁、丁}

，可以用紧凑的形式写为地图 

｛a:5，b:3，c:1，d:2｝

，其中我们为每个不同的成员指定多重性.（另一种符号是 

{a^5，b^3，c^1，d^2}

）多集的一个常见应用是基本因子除数。例如 

522720

是 

｛2，2，2，2，3，3，5，11，11｝

，可以用紧凑的形式写为地图 

{2: 5, 3: 3, 5: 1, 11: 2}

，其中我们为每个不同的成员指定多重性。（另一种符号是 

{2^5, 3^3, 5^1, 11^2}

.)

支架组

这个根集合（或支架组)多集合的特征是其不同元素的集合。这个维多集的基数支持集的。

多重性

一个元素 

米

多集合的 

米

具有多重性 

n个

当且仅当

$｛\displaystyle m\in｝^{n} M（M），^{n+1}m，\，}中的\四个m\不\{n} M（M），^{n+1}m，\，}中的\四个m\不\$

哪里 

∈ n个

表示“至少包含 

n个

时间，“where 

n个

是非负整数。（不值一提， 

∈ 0

总是正确的。）

多重性函数

元素的多重性 

米

，表示 

¦Α (米)

，是一个基数; 大多数作者需要一个正整数，尽管有些作者更通用。如果 

米

在多集合中至少包含一次 

米

，否则为零。这个多重性函数多集是特征函数一套的。这个高度多集是最大的多重性.

基数

多集的基数是基数。这个基数 

#米

多集合的 

米

是其包含的元素数（具有多重性），因此是其成员多重性的总和，即。

${\显示样式\#M:=\sum_{M\in M}，\，}$

哪里 

¦Α (米)

是的多重性 

米

.

子多集

A类子多重集是以下概念的概括子集.获取多集合的子多集合 

米

，针对每个成员 

米∈米

我们可以在这个范围内选择多重性 

[0，¦Α米  (米)]

.

多集的功率集

这个多集的幂集

℘ (米）

定义为

米

. 例如，集合（具有基数 

三 ×  2 ×  2 = 12

)的子集 

{一  ^2,b条  ^1,c（c）  ^1}

是（英寸词典编纂顺序)

{{ }, {一  ^1}, {一  ^2}, {一  ^2,b条  ^1}, {一  ^2,b条  ^1,c（c）  ^1}, {一  ^2,c（c）  ^1}, {一  ^1,b条  ^1}, {一  ^1,b条  ^1,c（c）  ^1}, {一  ^1,c（c）  ^1}, {b条^1}, {b条  ^1,c（c）  ^1}, {c（c）  ^1}}.

多集幂集的基数

℘ (米  )

是

#℘(米  )  =    米∈米 ∏   米∈米    (¦Α (米) + 1),

哪里

¦Α (米)

是的多重性

米

.

多集分区

(...)

多集操作

多集合和

这个多集合和 

米⊎N个

两个多集 

米

和 

N个

定义为每个成员的多集 

米

具有两个多集合中的多重数之和

$显示样式：=$

广义集合运算

以下多集操作概括了set操作.

多组控制是布尔运算，表示为 

米∈米

，当且仅当 

¦Α米  (米)>0

.多集合包含是布尔运算，表示为 

米⊆N个

，当且仅当 

¦Α米  (米)   ≤  ¦ΑN个  (米)

. 严格的多集包容是布尔运算，表示为 

米⊂N个

，当且仅当 

¦Α米  (米) <¦ΑN个  (米)

.这个多集并集 

米⋃N个

两个多集 

米

和 

N个

定义为每个成员的多集 

米

具有在任一多重集中所具有的最大多重性

$显示样式：=max（M）。}$

这个多组交叉口 

米⋂N个

两个多集 

米

和 

N个

定义为每个成员所属的多集 

米

在任意多集合中具有最小的多重性。例子： 

全球气候变化大会 (米,N个)

.

$显示样式：=min（M）。}$

这个多集差分 

米＼N个

两个多集 

米

和 

N个

定义为每个成员的多集 

米

具有多样性。例子： 

米/全球气候变化大会 (米,N个)

.

${\displaystyle\nu_{M\小集减号N}（M）：={\begin{cases}\nu_{M}（M）-\nu_}N}。\结束{cases}}\，}\结束{cases}}\，}$

这个多组对称差分 

米ΔN个  以下为：=   (米＼N个) ⋃ (N个＼米) = (米⋃N个) ＼ (米⋂N个)

两个多集 

米

和 

N个

定义为每个成员的多集 

米

具有多样性。例子： 

最大(米/gcd公司(米,N个)，N个/gcd公司(米,N个)) =生命周期管理(米,N个) /全球气候变化大会(米,N个)

.

$｛\displaystyle\nu _｛M\Delta N｝（M）：=\max（\nu _｛M｝（M），\nu _｛N｝（M））-\min（\nu _｛M｝（M），\nu _｛N｝（M））。｝$

多集合的推广

有符号多集

A类有符号多集是多集概念的推广。在有符号多集中，成员（元素）可以有任意整数作为有符号多重性，而在多集中，成员可能只有非负整数作为重数。

一个例子是的素数的有符号多重集有理数（英寸简化形式)，例如用于 

522720 9947

我们得到 

{2: 5, 3: 3, 5: 1, 7: −3, 11: 2, 29: −1}

，其中，对于每个不同的成员，我们指定带符号的多重性。（另一种符号是 

{2^5, 3^3, 5^1, 7^(−3), 11^2, 29^(−1)}

.)

加权集合

加权集合可能是多重数为任意实数的多集的进一步推广。

与地图等效

正如引言中所述，多集可以从某个域的映射中看到 

D类

（包含支持）到非负整数 

ℕ

，该映射与多重性函数相同。上述概括签署或加权的然后，多集只包含允许有符号整数( 

ℤ

)或实数( 

ℝ

)作为定义多集的映射的值。

另请参见

• 顺序（元素的有序集合，无需区分）

外部链接

• http://math.stackexchange.com/questions/152223/why-does-mathematical-convention-deal-so-ineptly-with-multisets