莫比乌斯变换

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不要与莫比乌斯变换（莫比乌斯反转）。

莫比乌斯变换是为了纪念八月费迪南德·莫比乌斯。它们也被称为单形变换,线性分数变换,分数线性变换或双线性变换.

平面的Möbius变换是有理函数表单的

{\显示样式w（z）：={\压裂{az+b}{cz+d}}，}

第页，共页复杂的变量

{\显示样式z}

，其中系数

{\显示样式a、b、c、d}

复数令人满意吗

{\显示样式ad-bc\neq 0}

.

这可以表示为矩阵用齐次坐标表示，其中向量的两个分量表示分数的分子和分母：

{\displaystyle\left（{\begin{matrix}{\being{array}{c} 阿兹+b\\cz+d\end{array}}\end{matrix}}\right）=\left（{begin{matrix2}{begin}数组}{cc}抄送&b\\c&d\end{array}}\ end{matrix}}\右）\左（{begin{matrix2}{begin}数组}{c} z（z）\\1\end{数组}}\end{矩阵}}\right）。\，}

自 ${\显示样式ad-bc}$ 是矩阵的行列式，表示Möbius变换的矩阵为可逆的由于用相同的复数缩放分子和分母不会改变结果，因此彼此为非零标量倍数的矩阵表示相同的Möbius变换。因此Möbius变换与射影线性群同构 ${\显示样式PGL（2，\mathbb{C}）}$ .

莫比乌斯变换是保角的即shape-preserving，从而将圆映射到圆，将线映射到线。

反Möbius变换

我们使用矩阵表示法找到逆变换：

{\displaystyle\left（{\begin{matrix}{\being{array}{cc}抄送&b\\c&d\end{array}}\end{matrix}}\right）^{-1}\left（{begin{matrix2}{begin}{c} w个\\1\end{数组}}\end{矩阵}}\right）={\frac{1}{ad-bc}}\left（{\begin{matrix}{\being{array}{cc}天&-b\\-c&a\end{array}}\end{matrix}}\right）\left（{begin{matrix2}{begin}数组}{c} w个\\1\end{数组}}\end{矩阵}}\right）}

,

从那以后 ${\显示样式{\frac{1}{ad-bc}}}$ 是一个标量因子乘以分子和分母，相同的变换表示为

{\displaystyle\left（{\begin{matrix}{\being{array}{cc}天&-b\\-c&a\end{array}}\end{matrix}}\right）\left（{begin{matrix2}{begin}数组}{c} w个\\1\end{array}}\end{matrix}}\right）=\left（{\begin{matrix2}{\being{arrays}{c} dw-b型\\-cw+a\end{array}}\end{matrix}}\right）}

.

所以 ${\显示样式z（w）={\ frac{dw-b}{-cw+a}}}$ .

如果迭代给定的Möbius变换会产生整数序列，它是周期性的，顺序为1、2、3、4或6。^[1]