曼德斯

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这是DF、BJ、DM、DS和JW写的一篇关于曲流的文章的草稿。如果您不在此列表中，请在编辑此页面之前与我们联系。

介绍

这篇文章是关于曲径的乔恩·怀尔德（定义如下）及其一些概括。这个侧面方格上的弯曲数${\显示样式\脚本样式n\，}$（达到对称）被认为非常重要，因此被选为200000兰特，20万^第个OEIS的顺序。

简要总结

文章摘要。

简要历史

（这种）曲流的简史。

曲流的其他定义

阿诺德河曲

（TODO:简要描述）

阿诺德曲径：A005315号,A005316型以及其中的链接。

维南河曲

（TODO:简要描述）

维南河曲：A199932型以及其中的链接，如所述彼得·卢什尼. (http://oeis.org/wiki/用户：Peter_Luschny/Meander)

致谢

几个人会到这里来！

曲流的定义

(...)

作为闭环的等价类

初级：考虑矩形${\显示样式\脚本样式n\times k\，}$网格，${\显示样式\脚本样式k\，\leq\，n\，}$，由方形瓷砖（棋盘）制成。描述循环

下面是一个5×3网格上的曲流示例：

（5,3）网格上的曲流

标识	图像
S、 高、宽、， E、 W、V、， S、 A、N、， 五、 东、西、， E、 H、N、， （2个方向）

一般定义：自然框架似乎是CW-复合体.给定CW-维度复数${\显示样式\脚本样式d\，}$，我们考虑每个开放的闭合简单循环至少相交一次${\显示样式\脚本样式d\，}$-单元格，每次打开最多相交一次$｛\displaystyle\scriptstyle（d-1）\，｝$-单元格，并且相交无闭合${\显示样式\脚本样式（d-2）\，}$-单元格。在二维情况下，这些单元分别是面、边和顶点。同伦这种类型的贯穿循环是等价关系.曲流是指等价类对于这种关系，但由于语言的滥用，我们也将曲径称为此类的代表。

以下是不规则CW复合体上的曲流示例：

图片[最好使用不规则的三角形、四边形和五边形瓷砖]
二维CW-复合体上的弯曲

作为瓷砖

描述可能的分幅

方形瓷砖

瓦片	缩写。	瓦片	缩写。
	N个		H（H）
	E类		V（V）
	S公司		A类
	W公司		B类

作为助记符，N、E、S、W代表北、东、南、西（头稍微向左倾斜），H和V代表水平和垂直。

除了这八个方形平铺外，还有一个额外的平铺，因为曲流是闭合的环（即连接的环），所以只能出现在一个接一个的网格上。

方形瓷砖（续）

瓦片	缩写。
	O（运行）

两种定义的等效性

(...)

与哈密顿圈的关系

我们定义了${\显示样式\脚本样式d\，}$-维CW复形作为顶点对应于${\显示样式\脚本样式d\，}$-如果对应的${\显示样式\脚本样式d\，}$-单元格在${\显示样式\脚本样式（d-1）\，}$-单元格。然后是一个哈密顿循环该图以一种明显的方式给出了原始CW-complex的曲流。同样，哈密顿路径进行开放式曲流。相反的情况通常是错误的，正如上面（5,3）网格上的弯曲示例所示。下面我们将看到，曲流有更多的“灵活性”。

实际上，哈密顿旋回对应于每个旋回相交的曲流${\显示样式d}$-连接集上的单元格。例如，对于方形瓷砖，这相当于禁止使用A类或B类瓷砖。

有一条一条的蜿蜒吗？

单个瓷砖上是否有曲流，或者就CW复合物而言，单个瓷砖上有曲流${\显示样式\脚本样式d\，}$-电池？在多重弯曲的情况下，这个问题变得更加重要。

在CW-complex定义中，单个曲流没有障碍${\显示样式\脚本样式d\，}$-单元格。

尚未解决。

弯曲成对称

当网格或CW-complex具有某些对称性时，我们还将研究“弯曲到对称”集。例如，正方形网格的对称性形成二面体群D₄有8个元素，保持方向的对称性形成循环群C₄作为D的索引2的子组₄对于矩形网格和其他网格，我们将考虑相关的对称群和相应的“弯曲到对称”，即给定对称群作用下弯曲的等价类（或轨道）。

概括

自交曲流

另一个概括是允许自交叉。就循环而言：我们考虑所有的闭合循环，而不仅仅是简单的循环。等价地，我们考虑圆的浸入，而不仅仅是嵌入。就瓷砖而言，这相当于允许一个新瓷砖，

用于自交叉弯道的额外方形瓷砖

瓦片	缩写。
	X（X）

我们还可以通过添加两个瓦片来区分过交叉和欠交叉

额外的方形瓷砖，用于具有过交叉/欠交叉区分的自交叉曲流

瓦片	缩写。
	C类
	天

多曲流河道

曲流有两种自然的概括。第一个是放弃连通性要求。我们称之为“不一定相连的曲流”多曲流。

在CW-complex定义中，如果给定的closed${\显示样式\脚本样式d\，}$-该单元包含多重曲流中的一个连接组件，则它不会与该多重曲流的任何其他连接组件相交。或者我们可以更严格地禁止任何关闭${\显示样式\脚本样式d\，}$-该单元包含多曲流的一个连接组件。

下面我们将看到，多重弯曲的计算要简单得多。这是因为，使用平铺定义，只需要检查局部条件（相邻平铺匹配），而连通性是全局条件（除了一些小网格），因此更难检查。

同时进行两种推广

最后，我们显然可以同时考虑这两种推广，从而导致多重自交叉曲流、相互交叉曲流或相互交叉自交叉曲曲。

多条自渡弯道

这种情况下，不允许断开的曲流相互交叉，但允许每个曲流都是自交叉的。

相互交叉的多曲流

这种情况下，允许断开的曲流相互交叉，但不允许每个曲流都是自交叉的。

相互交叉的自交多曲流

在这种情况下，两个断开的曲流允许相互交叉，而每个曲流允许自交叉。

矩形网格上的多重弯曲

虽然曲流是主要的兴趣对象，但我们从多曲流开始，这更容易计算。我们表示为${\显示样式TT（n，k）}$上的多重弯曲数${\显示样式（n，k）}$-网格。

我们给出一个构造来查找${\显示样式TT（n，k）}$使用双感应（对应于网格的两个维度）。其思想是首先在${\显示样式n}$由矩阵给出${\显示样式A_{k}}$，然后构造矩阵$｛\displaystyle A_｛k｝｝$使用另一个归纳法。

第一步如下。。。。

第二步。。。

重复关系

关系	瓦片	关系	瓦片
A（0i，0j）=0	（空）	B（0i，0j）=B（i，j）
A（0i，1j）=B（i，j）		B（0i，1j）=A（i，j），
A（1i，0j）=B（i，j）		B（1i，0j）=A（i，j），
A（1i，1j）=A（i，j）		B（1i，1j）=2 B（i，j）	&

[如何在最后一个单元格中使两个平铺位于同一行？]

因此，总而言之：

通过对长度的归纳，在相同长度的{0,1}上的成对单词上定义两个对称函数A和B，如下所示：

${\显示样式A（\varno，\varno）=1，B（\varnothing，\varnown）=0}$

${\显示样式A（0i，0j）=0，A（0i,1j）=B（i，j），A（1i，1j）=A（i，j）}$

${\显示样式B（0i，0j）=B（i，j），B（0i，1j）=A（i，j），B$

设A_k是矩阵，其行和列由大小为k的单词标记，这些单词的偶数为1（按照任何顺序，例如字典顺序）。然后，（n，k）-网格上的多重弯曲数由下式给出TT（n，k）=[（A_k）^n]_{0,0}A_k的n次幂的（0,0）-入口。

备注：如果k>0，矩阵A的大小为2^（k-1），如果k=0，矩阵为1。

示例：

对于A和B，第一步给出A（0,0）=A（0,1）=0；A（1,1）=1；B（0,0）=B（1,1）=0；B（0,1）=1。

前几个矩阵A_ k是

A_0=（1）给出了空网格上的空多重弯曲

A_1=（0）证明TT（1，k）=0（包括在（1,1）网格上，这是正常的，因为我使用的定义没有特殊的分片）

A_2=（0,1；1,1），所以TT（2，k）是斐波那契数（移位1）

A_3=（0,0,1,0；0,0,1,2；1,1,0,1；0,2,1,0）

说明：

A（i，j）是（n，1）-网格上的开放多重弯曲数（其中n是i和j的公共长度），“末端”位于单词i/j的左/右边缘；类似地，B的另一端位于“顶部”边缘。

A（空，空）=1：空平铺

B（empty，empty）=0：不能有一端且为空

带有交叉口的多曲流

当允许交叉时，上述规定仍然有效，只需将B（1i，1j）=2 B（i，j）修改为B（1i,1j）=3 B（i,j）。的确，如上表所示，当不允许交叉时，系数2代表瓷砖A和B，当允许交叉时系数3代表瓷砖A、B和X。

重复关系

关系	瓦片
B（1i，1j）=3 B（i，j）	&&

[如何在最后一个单元格中使两个平铺位于同一行？]

矩形网格上的弯曲

矩形网格上的弯曲

上的曲流数${\显示样式\脚本样式（n，k）\，}$-网格，${\显示样式\脚本样式k\，\leq\，n\，}$，由给出A201145型。我们将其表示为${\显示样式\脚本样式T（n，k）\，}$显然，${\显示样式\脚本样式T（n，k）\，=\，T（k，n）\，}$因为存在一对一的通信（90 o个旋转）两组曲流的每个元素之间。曲流为${\显示样式\脚本样式T（n，k）\，}$或$｛\displaystyle\scriptstyle T（k，n）\，｝$对于${\显示样式\脚本样式k\，\leq\，2\，}$都是琐碎的，其中${\显示样式\脚本样式T（1，k）\，=\，T（n，1）\，=\，0^{（n-1）+（k-1）\}}\，}$和${\显示样式\脚本样式T（2，k）\，=\，T（n，2）\，=\，1.\，}$

曲流次数${\显示样式\脚本样式T（n，k）\，}$在上${\显示样式\脚本样式（n，k）\，}$-栅格

${\显示样式\脚本样式n\反斜杠k\，}$	1	2	三	4	5	6	7	8	9
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	1	1	1	1	1	1	1
三	0	1	0	2	2	6	10	22	42
4	0	1	2	11	42	199	858	3881	17156
5	0	1	2	42	320	3278	29904	285124	2671052
6	0	1	6	199	3278	71648	1369736	？	？
7	0	1	10	858	29904	1369736	55717584	？	？
8	0	1	22	3881	285124	？	？	？	？
9	0	1	42	17156	2671052	？	？	？	？

（有关更多值，请参阅…[专用于该序列的页面/b-文件或附录；但不需要在此处输入太多术语，IMHO，我们甚至可以在7处停止]）

矩形网格上的弯曲（达到对称）

(...)

S（n，3）的证明

(...)

矩形网格上的弯曲（达到定向对称）

(...)

T（n，3）的证明

(...)

矩形网格上的自交叉曲流

(...)

矩形网格上的多重弯曲

(...)

矩形网格上的自交叉多重滤波器

(...)

方形网格（四边形）

方形网格上的弯折

矩形网格上曲流的主对角线（高亮显示）（如上所示）。

如果能知道渐近行为，那就太好了。。。

方形网格上的自交叉曲流

(...)

方形网格上的多重弯曲

(...)

方形网格上的自交叉多重弯曲

(...)

识别边的矩形网格（四边形）

标识边的矩形网格上的弯曲

(...)

矩形网格上的自交叉曲流，确定了边

(...)

识别边的矩形网格上的多重弯曲

(...)

识别边的矩形网格上的自交叉多重弯曲

(...)

投影平面（三角形）

在射影平面上漫步

(...)

射影平面上的自交叉弯曲

(...)

射影平面上的多重弯曲

(...)

射影平面上的自交叉多重弯曲

(...)

三角形网格（三角形）

三角形网格上的弯曲

描述：三角形瓷砖（六种，两种可旋转）（图片……）

(...)

三角形网格上的自交叉曲流

(...)

三角网格上的多重弯曲

(...)

三角形网格上的自交叉多重弯曲

(...)

六边形网格（三角形）

六边形网格上的弯曲

描述：六角形瓷砖（1（x3）+1

(...)

六边形网格上的自交叉曲流

(...)

六边形网格上的多重弯曲

(...)

六边形网格上的自交叉多重弯曲

(...)

3空间中的曲面

多面体表面

多面体表面的弯曲

我们从更简单的情况开始：五个曲面柏拉图立体（即凸正多面体），每个面有一块瓷砖。

描述：三角形瓷砖（一种用于旋转：图片）和五边形瓷砖（四种用于对称：图片）

可视化：显示网络。

四面体表面的弯曲

三角形瓷砖。一条蜿蜒至对称，共三条。实际上，没有其他多曲流。

六面体（立方体）表面上的弯曲

方形瓷砖。(...)

八面体表面上的弯曲

三角形瓷砖。(...)

在十二面体表面徘徊

五角形瓷砖。(...)

二十面体表面的弯曲

三角形瓷砖。(...)

多面体表面的自交叉弯曲

(...)

多面体表面的多重弯曲

(...)

多面体表面上的自交叉多重弯曲

(...)

球体（三角形）

在球体上漫步

(...)

球体上的自交叉曲流

(...)

球体上的多重弯曲

(...)

球体上的自交叉多重弯曲

(...)

圆柱体（四边形）

气缸上的弯曲

(...)

圆柱上的自交叉曲流

(...)

圆柱体上的多重弯曲

(...)

圆柱体上的自交叉多重弯曲

(...)

莫比乌斯带（四边形）

莫比乌斯乐队的曲径

(...)

莫比乌斯带上的自交曲流

(...)

莫比乌斯带上的多重弯曲

(...)

莫比乌斯带上的自交叉多重弯曲

(...)

圆环（四边形）

在都灵漫步

(...)

托里岛上的自我穿越蜿蜒

(...)

托里岛上的Multimeanders

(...)

托里岛上的自交多曲流

(...)

4空间中的曲面

克莱因瓶（四边形）

克莱因瓶上的弯折

(...)

克莱因酒瓶上的自交叉蜿蜒

(...)

克莱因瓶上的万用表

(...)

Klein瓶上的自交叉多重弯曲

(...)

...

(...)

所用算法的描述

(...)

...

(...)

另请参阅

• 曼德斯

• 填充n-by-k网格的Meanders（因对称性而缩小）
  • 填充n-by-k网格的曲流数（减少对称性）
• 迂回地填写n-by-n网格（减少对称性）
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• 自交叉曲流填充n-by-k网格（减少对称性）
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