M.F.Hasler/关于幂和的注释

本页收集了有关（至少）两个完全不同的问题的注释，这些问题适用于本标题“权力总和”：

#是k个非零m次幂之和的数字
不同（较小）正k次幂之和的数字，尤其是k次幂：#不同k次幂和
#k的部分幂和

是k个非零m次幂之和的数字

另请参见：相似幂和索引（比下表更完整的索引，与G.Fischer合作……）

数字序列S（k，m）是k个正m次幂之和：

S（2,2）=A000404号,A000408号=S（3，2），S（4，2）=A000414号= ∁A000534号={0，1，3，5，9，11，17，29，41}Ω{2，6，14}·{4^m，m>=0}，S（5，2）=A047700型= ∁A047701号= {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33},∁S（6,2）=A180968号={1、2、3、4、5、7、8、10、11、13、16、19}：参见https://www.jstor.org/stable/2301257
 A003325号=S（2，3），A003072号=S（3，3），A003327号。。A003335号=S（4..12,3），A003336号。。A003346号=S（2..12,4），A003347号。。A003357号=S（2..12,5），A003358元。。A003368号=S（2..12,6），A003369号。。A003379号=S（2..12,7），A003380号。。A003390号=S（2..12,8），A003391号。。A004801号=S（2..12,9），A004802号。。A004812号=S（2..12,10），A004813号。。A004823号=S（2..12,11）。

有限补数

似乎对于任何足够大的m和k，最终所有的数字都在集合S（k，m）中，也就是说，不是k个正m次幂之和的（正）数集合是有限的。

T.2：对于m=2（正方形），自Dubouis以来已知

对于k>=6项，唯一不是k平方和的整数是1，2。。。，k-1和k+B中的数字，B={1，2，4，5，7，10，13}；
对于k=5项，唯一不是k正平方和的数字是1、2、3、4和5+B中的数字；
和笛卡尔猜想：四个正方形的唯一非和是{0，1，3，5，9，11，17，29，41}ξ{2，6，14}·{4^m，m>=0}。

证明：参见Gordon Pall，《平方和》，内政部10.2307/2301257=https://www.jstor.org/stable/2301257

对于n=3，请参见我们的贡献示例：

S（7，3）：A003330号（n） =n+208表示所有n>2200：2408是不在此序列中的208个正整数中最大的，如A332107型.
S（8，3）：A003331号（n） =n+142（对于所有n>478）：620是不在此序列中的142个正整数中最大的，如A332108型.
S（9，3）：A003332号（n） =n+114（对于所有n>357）：422和471是不在此序列中的114个正整数中最大的两个，列在A332109型.
S（10，3）：A003333号（n） =n+99（对于所有n>275）：374是99个正整数中最大的一个（列在A332110型)不等于10个正立方体的总和。
S（11,3）：A003334号（n） =n+92表示所有n>229：321是92个正整数中最大的一个（列在A332111型)不等于11个正立方体的总和。

程序

计算这些序列有不同的方法。根据k&m，可以选择其中一个。

第一种方法是获得这些数字的列表，作为（1+x^1^m+x^2^m+x^3^m+…）^k中系数非零的幂
也可以使用相同的想法（作为k项的和，即m次幂）“手工”制作这个列表。
另一种方法是递归检查n-x^m是否可以写成不大于x的k-1正m次幂之和，只要k>1，1<=x<sqrtn（n，m）；对于k=1，只需检查m是否是第m次幂。可以优化下限和上限，使其尽可能有效。对于非常大的N，这比生成所有可能不可能达到N的数字要快。

PARI/GP代码：

（A003330_小于等于（N，k=7，m=3）=[i|i<-[1..#N=总和（N=1，sqrtnint（N，m），'x^N^m，O（'x^N））^k]，polcof（N，i）]）（160）

（相同的函数可用于生成其他序列，例如A003330_upto（1000，10）=A003333号（1..900）等）

校样

要做的：为所有m都存在的语句添加证明或引用k*s.t.&comple；对于所有k>k*，S（k，m）是有限的。

OEIS中尚未包含的其他序列

列表k*=k*（m）：S（k，m）是有限的最小k
对于所有k，列出补码中最大的数字（如果补码是无限的，则为0）。可以是方形数组。

不同k次幂和

对序列的贡献

A001661号（n）：最大数不等于不同（较小）正n次幂之和
A030052型（n）：n次方是较小n次方之和的最小数（现在已知n=17，以前已知n=15）；相关：
A332065型（n，.）：{s|E*（s；n）=0}，其中E*（s；n）：=min_{Ac{1..s-1}}|s^n-求和_Ax^n|：A030052型是第一列

A332097（n） =最大{s>0}E*（s；n）=最大{s>0}Awww（n，.）

A332096型（n，s）=E*（s；n），1<=s<=A332098型（n）

A332098型（n） =最大值{s>0|E*（s；n）>0}；A332066飞机（n） =这些s的数量=中非零项的数量A332096型（编号：）

另请参阅：AZsPC“功率总和”：http://azspcs.com/Contest/SumsOfPowers

k的部分幂和

（自2012年起捐款另请参阅：[？…？][待办事项：向另一个wiki页面添加有关此内容的链接]）

形式（k^n-1）/（k-1）的序列：A000225号（k=2:梅森），A003462号,A002450型,A003463号,A003464号,A023000型,A023001号,A002452号,

A002275号（k=10：重新单位），A016123号,A016125号,A091030美元,A135519号,A135518号,A131865号,A091045型,A218721型,

A064108号（k=20），A218724型-A218734号(21..31),A132469号（32）中，A218736号-A218753号(33..49),A133853号(64),A094028号(100),A218723型(256).

关于

历史

（有关详细信息，请参阅历史记录选项卡-此处仅列出主要更改）

初始版本编写人MFH公司2020年8月23日07:42（EDT）