莫比乌斯变换

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不要与莫比乌斯变换（线性分数变换）。

这个莫比乌斯变换（或莫比乌斯反演)是一个双射从整数序列集到整数序列集。

整数序列的Möbius变换$｛\displaystyle｛a_｛n｝\｝_｛n\geq 1｝｝$是整数序列$｛\displaystyle｛b_｛n｝\｝_｛n\geq 1｝｝$定义（通过所谓的莫比乌斯反演公式)作为

$显示样式b{n}:=\sum_{d|n}\mu{big（}{\tfrac{n}{d}}{big）}\，a{d}，}$

哪里${\显示样式d|n}$方法${\显示样式d}$ 划分 ${\显示样式n}$和${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，}$是莫比乌斯函数.

逆Möbius变换

逆Möbius变换，有时称为divisors和变换，给出$显示样式$从$显示样式$，是

$显示样式a{n}=sum{d|n}b{d}，}$

哪里${\显示样式d|n}$方法${\显示样式d}$ 划分 ${\显示样式n}$.

示例

例如斐波那契数

$显示样式$= {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...}

是

$显示样式$= {1, 0, 1, 2, 4, 6, 12, 18, 32, 50, 88, 134, ...} (A007436号)

既然我们有，为了

${\显示样式n}$= 1:${\显示样式b{1}}$=${\显示样式\mu}$（1/1）*${\显示样式a{1}}$= 1 * 1 = 1;

${\显示样式n}$= 2:${\显示样式b{2}}$=${\显示样式\mu}$(2 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$(2 / 2) *${\显示样式a{2}}$= (−1) * 1 + 1 * 1 = 0;

${\显示样式n}$= 3:${\显示样式b{3}}$=${\显示样式\mu}$(3 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$(3 / 3) *${\显示样式a{3}}$= (−1) * 1 + 1 * 2 = 1;

${\显示样式n}$=4：${\显示样式b{4}}$=$｛\displaystyle\mu｝$(4 / 1) *$｛\displaystylea_｛1｝｝$+${\显示样式\mu}$(4 / 2) *${\显示样式a{2}}$+${\显示样式\mu}$(4 / 4) *${\显示样式a_{4}}$= 0 * 1 + (−1) * 1 + 1 * 3 = 2;

${\显示样式n}$= 5:${\显示样式b{5}}$=${\显示样式\mu}$(5 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$(5 / 5) *${\显示样式a{5}}$= (−1) * 1 + 1 * 5 = 4;

${\显示样式n}$= 6:${\显示样式b{6}}$=${\显示样式\mu}$（6/1）*${\显示样式a{1}}$+$｛\displaystyle\mu｝$(6 / 2) *$｛\displaystylea_｛2｝｝$+${\显示样式\mu}$(6 / 3) *${\显示样式a{3}}$+${\显示样式\mu}$(6 / 6) *${\显示样式a{6}}$= 1 * 1 + (−1) * 1 + (−1) * 2 + 1 * 8 = 6;

${\显示样式n}$= 7:${\显示样式b{7}}$=${\显示样式\mu}$(7 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$(7 / 7) *${\显示样式a{7}}$= (−1) * 1 + 1 * 13 = 12;

相反，斐波那契数的莫比乌斯变换的逆莫比乌s变换返回斐波那奇数，例如。

${\显示样式n}$= 1:${\显示样式a{1}}$=${\显示样式b{1}}$= 1;

${\显示样式n}$= 2:$｛\displaystylea_｛2｝｝$=${\显示样式b{1}}$+${\显示样式b{2}}$= 1 + 0 = 1;

${\显示样式n}$= 3:${\显示样式a{3}}$=${\显示样式b{1}}$+${\显示样式b{3}}$= 1 + 1 = 2;

${\显示样式n}$= 4:${\显示样式a_{4}}$=${\显示样式b{1}}$+${\显示样式b{2}}$+${\显示样式b{4}}$= 1 + 0 + 2 = 3;

${\显示样式n}$= 5:${\显示样式a{5}}$=${\显示样式b{1}}$+${\显示样式b{5}}$= 1 + 4 = 5;

${\显示样式n}$= 6:${\显示样式a{6}}$=${\显示样式b{1}}$+$｛\displaystyle b｛2｝｝$+${\显示样式b{3}}$+${\显示样式b{6}}$= 1 + 0 + 1 + 6 = 8;

${\显示样式n}$= 7:${\显示样式a{7}}$=$｛\displaystyle b_｛1｝｝$+${\显示样式b{7}}$= 1 + 12 = 13;

莫比乌斯变换的矩阵表示

有限整数序列的Möbius变换$显示样式$变成有限的整数序列$显示样式$可以用${\显示样式N\次N}$ 矩阵 ${\显示样式M}$（此处显示为右侧运算符，以便我们可以方便地将序列表示为行向量; 如果序列表示为列向量，我们使用转置 ${\显示样式M^{T}}$作为左侧操作员）

${\displaystyle（b_{1}，\ldots，b_{N}）=（a_{1{，\ltots，a_{N{）\，M=（a_1}，\tots，a_{Nneneneep）\左（{\begin{matrix}{\being{array}{cccccc}M_{11} &M_｛12｝&\cdots&M_｛1N｝\\M_｛21｝&M_｛22｝&\cdots&M_｛2N｝\\vdots&\ vdots&\ vdots \\M_｛N1｝&M_｛N2｝&\ cdots&M_｛NN｝\ end｛array｝｝\ end｛matrix｝｝｝\right），｝{cccccc}M_{11} &M_｛12｝&\cdots&M_｛1N｝\\M_｛21｝&M_｛22｝&\cdots&M_｛2N｝\\vdots&\ vdots&\ vdots \\M_｛N1｝&M_｛N2｝&\ cdots&M_｛NN｝\ end｛array｝｝\ end｛matrix｝｝｝\right），｝$

哪里$M_{ij}=[i|j]\，\mu{\big（}{\tfrac{j}{i}}{big）}$（该矩阵具有追踪 ${\显示样式N}$和行列式1.)

因此，对于逆Möbius变换，我们有

${\显示样式（a_{1}，\ldots，a_{N}）=（b_{1{，\ltots，b_{N{）\，M^{-1}，}$

哪里${\显示样式M^{-1}}$是逆矩阵属于${\显示样式M}$，使用${\显示样式M_{ij}^{-1}=[i|j]}$（该矩阵还具有追踪 ${\显示样式N}$和行列式1.)

从开始${\显示样式M^{-1}}$（为此，我们必须了解约数，对于从1到的每个整数${\显示样式N}$)，然后可以生成${\显示样式M}$作为${\显示样式（M^{-1}）^{-1{}}$（上面一行现在告诉我们从1到${\显示样式N}$是无平方的，以及它们是否具有奇数或偶数不同的素因子!).

对于有限整数序列的Möbius变换，例如斐波那契序列的前8项，我们有8${\显示样式\时间}$8矩阵

${\显示样式（1,0,1,2,4,6,12,18）=（1,1,2,3,5,8,13,21）\左（{\begin{matrix}{\being{array}{cccccccc}1&-1&-1&0&-1&1&-1&0\\0&1&0&-1&0&0\\0&0&1&0&0&-1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\\end｛array｝｝\end｛matrix｝｝\right），｝{cccccccc}1&-1&-1&0&-1&1&-1&0\\0&1&0&-1&0&0\\0&0&1&0&0&-1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\\end｛array｝｝\end｛matrix｝｝\right），｝$

对于逆Möbius变换，我们有

${\显示样式（1,1,2,3,5,8,13,21）=（1,0,1,2,4,6,12,18）\左（{\开始{矩阵}{\开始}数组}{cccccccc}1&1&1&1~1&1&1 \\0&1&0&1＆0&1&C&0&0&1&0&1\\0&0&10&1&0&0&0&0 \\0&0&0&0＆0&1&0&0 \\0&0＆0&0&0&0&C&0&1&0\0 \\0&0 0&00&0&C \右）。}{cccccccc}1&1&1&1~1&1&1 \\0&1&0&1＆0&1&C&0&0&1&0&1\\0&0&10&1&0&0&0&0 \\0&0&0&0＆0&1&0&0 \\0&0＆0&0&0&0&C&0&1&0\0 \\0&0 0&00&0&C \右）。}$

对于无穷整数序列的Möbius变换，例如斐波那契序列，我们有无穷平方矩阵

${\显示样式（1,0,1,2,4,6,12,18,32,50,88134，…）=（1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89144{cccccc}M_{11} &M_{12}&M_{13}&\cdots\\M_{21}&M_{22}&R_{23}&\ cdots\\ M_{31}&N_{32}&P_{33}&\\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}}\end{matrix}}\right）。}{cccccc}M_{11} &M_{12}&M_{13}&\cdots\\M_{21}&M_{22}&R_{23}&\ cdots\\ M_{31}&N_{32}&P_{33}&\\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}}\end{matrix}}\right）。}$

对于无限整数序列的逆Möbius变换，我们显然不应试图反转上述无限矩阵！

莫比乌斯变换的特征序列

莫比乌斯变换的特征序列是。。。？

序列

序列（Moebius变换）

A？？？？？？对序列1,0,0,0…应用一次Moebius变换，。。。。

A007427号对序列1,0,0,0…应用了两次Moebius变换，。。。。

A007428号Moebius变换对序列1,0,0,0…应用了三次，。。。。

A？？？？？？（将Moebius变换应用于自然数.)

A007431号求和φ（d）*mu（n/d）。（莫比乌斯变换欧拉函数(A000010美元).) （对应用了两次Moebius变换自然数.)

A007432号莫比乌斯变换对自然数应用了三次。

A007438号Moebius变换三角形数字.

A007434号Jordan函数J_2（n）（φ（n）的推广）。（莫比乌斯变换正方形.)

A007444号Moebius变换素数.

A007436号Moebius变换斐波那契数.

序列（逆Moebius变换）

A？？？？？？d_2（n），或tau2（n），n的有序2-因子分解的数量，如n=rs。（对所有1的序列应用一次反向Moebius变换。）

A007425号d3（n）或tau3（n。（对所有1的序列应用两次反向Moebius变换。）

A007426号d4（n）或tau4（n。（逆Moebius变换对所有1的序列应用了三次；或者，d（n）的Dirichlet卷积[A000005号].)

A061200型d5（n）或tau5（n。（对所有1的序列应用4次逆莫比乌斯变换。）

A000005号d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。（…的逆Moebius变换）

A000203号sigma（n）=n的除数之和，也称为sigma_1（n）。（自然数的逆Moebius变换。）

A007429号反向Moebius变换对自然数应用了两次。

A007430型逆莫比乌斯变换对自然数应用了三次。

A007437号三角数的逆Moebius变换。

A007433号对正方形应用两次逆莫比乌斯变换。

A046951号除以n的正方形数。（平方特征函数的逆Moebius变换(A010052号).)

A061704号立方体数除以n。（立方体特征函数的逆Moebius变换(A010057号).)

A069088型求和（d|n，核（d）），其中d是n的除数，其中核（d。（n的平方自由部分的逆Moebius变换(A007913号).)

A007445号素数的逆Moebius变换。

A001221号除以n的不同素数的数目（也称为omega（n））。（素数特征函数的逆Moebius变换(A010051型).)

A？？？？？？不同的“2-几乎素数”（A？？？？）的个数，它们是n的因子。（“2-几乎素数”特征函数的逆Moebius变换）

A101606号不同“3-几乎素数”的个数(A014612号)它们是n的因子。（“3-几乎素数”特征函数的逆Moebius变换(A101605号).)

A101638号不同的“4-几乎素数”的数目(A014613号)它们是n的因子。（“4-几乎素数”特征函数的逆Moebius变换(A101637号).)

A？？？？？？不同的“5-最素数”（A？？？？？？？？）的数量，它们是n的因子。（“5-几乎素数”特征函数的逆Moebius变换）

A？？？？？？不同的Sophie-Germain素数除以n。（Sophie Germain素数特征函数的逆Moebius变换(A156660型).) ^{（验证。）} 

A007435号斐波那契数的逆莫比乌斯变换。

A057660号和{k=1..n}n/GCD（n，k）。（φ（n^2）的逆Moebius变换。）

外部链接

• 伯恩斯坦，M。；新泽西州斯隆（1995），“一些标准整数序列”,线性代数及其应用 226-228: 57-72,国防部:10.1016/0024-3795(94)00245-9,http://neilsloane.com/doc/eigen.pdf .（塞德尔费斯特施里夫.)