Möbius变换

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不要与Möbius变换（线性分数变换）。

这个Möbius变换（或莫比乌斯反演)是一个双射从整数序列集到整数序列集。

整数序列的Möbius变换$显示样式$是整数序列$显示样式$定义（通过所谓的莫比乌斯反演公式)作为

$显示样式b{n}:=\sum_{d|n}\mu{big（}{\tfrac{n}{d}}{big）}\，a{d}，}$

哪里$｛\displaystyle d|n｝$方法${\显示样式d}$ 划分 ${\显示样式n}$和${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，}$是莫比乌斯函数.

逆Möbius变换

逆Möbius变换，有时称为divisors和变换，给出$显示样式$从$显示样式$，是

$显示样式a{n}=sum{d|n}b{d}，}$

哪里${\显示样式d|n}$方法${\显示样式d}$ 划分 ${\显示样式n}$.

示例

例如斐波那契数

$显示样式$＝{1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…}

是

$显示样式$= {1, 0, 1, 2, 4, 6, 12, 18, 32, 50, 88, 134, ...} (A007436号)

因为我们有，因为

${\显示样式n}$= 1:${\显示样式b{1}}$=${\显示样式\mu}$(1 / 1) *${\显示样式a{1}}$= 1 * 1 = 1;

${\显示样式n}$= 2:${\显示样式b{2}}$=${\显示样式\mu}$(2 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$(2 / 2) *${\显示样式a{2}}$=（−1）*1+1*1=0；

${\显示样式n}$= 3:${\显示样式b{3}}$=${\显示样式\mu}$(3 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$（3/3）*${\显示样式a{3}}$= (−1) * 1 + 1 * 2 = 1;

${\显示样式n}$= 4:${\显示样式b{4}}$=${\显示样式\mu}$(4 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$(4 / 2) *${\显示样式a{2}}$+${\显示样式\mu}$(4 / 4) *${\显示样式a_{4}}$= 0 * 1 + (−1) * 1 + 1 * 3 = 2;

${\显示样式n}$= 5:${\显示样式b{5}}$=${\显示样式\mu}$(5 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$(5 / 5) *${\显示样式a{5}}$= (−1) * 1 + 1 * 5 = 4;

${\显示样式n}$= 6:$｛\displaystyle b｛6｝｝$=${\显示样式\mu}$(6 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$(6 / 2) *${\显示样式a{2}}$+${\显示样式\mu}$(6 / 3) *${\显示样式a{3}}$+${\显示样式\mu}$(6 / 6) *${\显示样式a{6}}$= 1 * 1 + (−1) * 1 + (−1) * 2 + 1 * 8 = 6;

${\显示样式n}$= 7:${\显示样式b{7}}$=${\显示样式\mu}$(7 / 1) *${\显示样式a{1}}$+${\显示样式\mu}$(7 / 7) *${\显示样式a{7}}$= (−1) * 1 + 1 * 13 = 12;

相反，斐波那契数的莫比乌斯变换的逆莫比乌s变换返回斐波那奇数，例如。

${\显示样式n}$=1：${\显示样式a{1}}$=${\显示样式b{1}}$= 1;

${\显示样式n}$= 2:${\显示样式a{2}}$=${\显示样式b{1}}$+${\显示样式b{2}}$= 1 + 0 = 1;

${\显示样式n}$= 3:${\显示样式a{3}}$=${\显示样式b{1}}$+${\显示样式b{3}}$= 1 + 1 = 2;

${\显示样式n}$= 4:${\显示样式a_{4}}$=${\显示样式b{1}}$+$｛\displaystyle b｛2｝｝$+${\显示样式b{4}}$= 1 + 0 + 2 = 3;

${\显示样式n}$= 5:${\显示样式a{5}}$=${\显示样式b{1}}$+${\显示样式b{5}}$= 1 + 4 = 5;

${\显示样式n}$= 6:${\显示样式a{6}}$=${\显示样式b{1}}$+${\显示样式b{2}}$+${\显示样式b{3}}$+${\显示样式b{6}}$= 1 + 0 + 1 + 6 = 8;

${\显示样式n}$= 7:${\显示样式a{7}}$=${\显示样式b{1}}$+${\显示样式b{7}}$= 1 + 12 = 13;

莫比乌斯变换的矩阵表示

有限整数序列的Möbius变换$显示样式$变成有限的整数序列$｛\displaystyle\｛b_｛n｝\｝_｛1\leq n\leq n｝｝$可以用${\显示样式N\次N}$ 矩阵 ${\显示样式M}$（此处显示为右侧运算符，以便我们可以方便地将序列表示为行向量; 如果序列表示为列向量，我们使用转置 ${\显示样式M^{T}}$作为左侧运算符）

${\displaystyle（b_{1}，\ldots，b_{N}）=（a_{1{，\ltots，a_{N{）\，M=（a_1}，\tots，a_{Nneneneep）\左（{\begin{matrix}{\being{array}{cccccc}M_{11} &M_{12}&\cdots&M_}1N}\\M_{21}&M_[22}&\cdots&M_{2N}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\M_{N1}&M_{N2}&\ cdots＆M_{NN}\end{array}}\end}{matrix}\right），}{cccccc}M_{11} &M_{12}&\cdots&M_}1N}\\M_{21}&M_[22}&\cdots&M_{2N}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\M_{N1}&M_{N2}&\ cdots＆M_{NN}\end{array}}\end}{matrix}\right），}$

哪里$M_{ij}=[i|j]\，\mu{\big（}{\tfrac{j}{i}}{big）}$（该矩阵具有追踪 ${\显示样式N}$和行列式1.)

因此，对于逆Möbius变换，我们有

$｛\displaystyle（a_｛1｝，\ldots，a_｛N｝）=（b_｛1｝，\ldots，b_｛N｝）\，M^｛-1｝，｝$

哪里${\显示样式M^{-1}}$是逆矩阵属于${\显示样式M}$，带有${\显示样式M_{ij}^{-1}=[i|j]}$（该矩阵还具有追踪 ${\显示样式N}$和行列式1.)

从开始${\显示样式M^{-1}}$（为此，我们必须了解约数，对于从1到的每个整数${\显示样式N}$)，然后可以生成${\显示样式M}$作为${\显示样式（M^{-1}）^{-1{}}$（上面一行现在告诉我们从1到${\显示样式N}$是无平方的，以及它们是否有奇数或偶数不同的素因子!).

对于有限整数序列的Möbius变换，例如斐波那契序列的前8项，我们有8个${\显示样式\时间}$8矩阵

${\显示样式（1,0,1,2,4,6,12,18）=（1,1,2,3,5,8,13,21）\左（{\begin{matrix}{\being{array}{cccccccc}1&-1&-1&0&-1&1&-1&-1&0\\0&1&0&1&-1&-1&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&&0&1&0&1 \\0&0&0&1&0&0&0&0 \结束{矩阵}}\右），}{cccccccc}1&-1&-1&0&-1&1&-1&-1&0\\0&1&0&1&-1&-1&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&&0&1&0&1 \\0&0&0&1&0&0&0&0 \结束{矩阵}}\右），}$

对于逆Möbius变换，我们有

${\显示样式（1,1,2,3,5,8,13,21）=（1,0,1,2,4,6,12,18）\左（{\开始{矩阵}{\开始}数组}{cccccccc}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\0&1&0&1&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\\end｛array｝｝\ end｛matrix｝｝\ right）.｝{cccccccc}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\0&1&0&1&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\\end｛array｝｝\ end｛matrix｝｝\ right）.｝$

对于无穷整数序列的Möbius变换，例如斐波那契序列，我们有无穷平方矩阵

${\显示样式（1,0,1,2,4,6,12,18,32,50,88134，…）=（1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89144{cccccc}M_{11} &M_{12}&M_{13}&\cdots\\M_{21}&M_{22}&R_{23}&\ cdots\\ M_{31}&N_{32}&P_{33}&\\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}}\end{matrix}}\right）。}{cccccc}M_{11} &M_{12}&M_{13}&\cdots\\M_{21}&M_{22}&R_{23}&\ cdots\\ M_{31}&N_{32}&P_{33}&\\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{array}}\end{matrix}}\right）。}$

对于无限整数序列的Möbius逆变换，我们显然不会试图将上述无限矩阵逆变换！

莫比乌斯变换的特征序列

莫比乌斯变换的特征序列是。。。？

序列

序列（Moebius变换）

A？？？？？？对序列1,0,0,0…应用一次Moebius变换，。。。。

A007427号对序列1,0,0,0…应用了两次Moebius变换，。。。。

A007428型Moebius变换对序列1,0,0,0…应用了三次，。。。。

A？？？？？？（将Moebius变换应用于自然数.)

A007431号Sum_{d|n}φ（d）*mu（n/d）。（莫比乌斯变换欧拉函数(A000010号).) （对应用了两次Moebius变换自然数.)

A007432号莫比乌斯变换对自然数应用了三次。

A007438号的莫比乌斯变换三角形数.

A007434号Jordan函数J_2（n）（φ（n）的推广）。（莫比乌斯变换正方形.)

A007444号的莫比乌斯变换素数.

A007436号的莫比乌斯变换斐波那契数.

序列（逆Moebius变换）

A？？？？？？d2（n）或tau2（n。（对所有1的序列应用一次反向Moebius变换。）

A007425号d3（n）或tau3（n。（反向Moebius变换应用于所有1的序列两次。）

A007426号d4（n）或tau4（n。（逆Moebius变换对所有1的序列应用了三次；或者，d（n）的Dirichlet卷积[A000005号].)

A061200型d5（n）或tau5（n。（对所有1的序列应用4次逆莫比乌斯变换。）

A000005号d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。（…的逆Moebius变换）

A000203号sigma（n）=n的除数之和，也称为sigma_1（n）。（自然数的逆Moebius变换。）

A007429号反向Moebius变换对自然数应用了两次。

A007430美元逆莫比乌斯变换对自然数应用了三次。

A007437号三角数的反莫比乌斯变换。

A007433号对正方形应用两次逆莫比乌斯变换。

A046951号除以n的正方形数。（平方特征函数的逆Moebius变换(A010052号).)

A061704号立方体数除以n。（立方体特征函数的逆Moebius变换(A010057号).)

A069088型求和（d|n，核（d）），其中d是n的除数，其中核（d。（n的平方自由部分的逆Moebius变换(A007913号).)

A007445号素数的反莫比乌斯变换。

A001221号除以n的不同素数（也称为ω（n））。（素数特征函数的逆Moebius变换(A010051型).)

A？？？？？？不同的“2-几乎素数”（A？？？？）的个数，它们是n的因子。（“2-几乎素数”特征函数的逆Moebius变换）

A101606号不同“3-几乎素数”的个数(A014612美元)它们是n的因子。（“3-几乎素数”特征函数的逆Moebius变换(A101605号).)

A101638号不同“4-几乎素数”的个数(A014613号)它们是n的因子。（“4-几乎素数”特征函数的逆Moebius变换(A101637号)）

A？？？？？？不同的“5-几乎素数”（A？？？？）的个数，它们是n的因子。（“5-几乎素数”特征函数的逆Moebius变换）

A？？？？？？不同的Sophie-Germain素数除以n。Sophie-Germain素数特征函数的逆Moebius变换(A156660型).) ^{（验证。）} 

A007435号斐波那契数的逆莫比乌斯变换。

A057660号和{k=1..n}n/GCD（n，k）。（φ（n^2）的逆Moebius变换。）

外部链接

• 伯恩斯坦，M。；新泽西州斯隆（1995），“一些标准整数序列”,线性代数及其应用 226-228: 57-72,doi程序:10.1016/0024-3795(94)00245-9,http://neilsloane.com/doc/eigen.pdf .（塞德尔费斯特施里夫.)