对数

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底座${\显示样式b}$ 对数是底的倒数${\显示样式b}$ 指数的，即。

${\显示样式\log_{b} b^{y} ：=y，\quad b>0，\，b\neq 1.\，}{b} b^{y} ：=y，\quad b>0，\，b\neq 1.\，}$

例如，${\显示样式\log_{7}2401=4}{7}2401=4}$，自${\显示样式7^{4}=2401}$。如果未指定基数，则在数学中假定为欧拉数 ${\显示样式\脚本样式e\，=\，2.71828\ldots\，}$因为它是自然对数尽管科学家和工程师的默认基数可能是10(十进制对数,普通对数); 然后使用${\显示样式\ln x}$当底座${\显示样式e}$.符号利昂哈德·尤勒他使用的是${\显示样式l\，x}$,谢天谢地，它已经变得更清晰了。计算机科学基础2(二进制对数)经常被考虑。

公式

自${\显示样式x=b^{y}}$暗示$｛\displaystyle\log x=y\log b｝$，我们有

${\显示样式y=\log_{b} x个={\frac{\logx}{\logb}}，\quad b>0，\，b\neq 1，\，}{b} x个={\frac{\logx}{\logb}}，\quad b>0，\，b\neq 1，\，}$

哪里${\显示样式\log}$表示自然对数.

麦克劳林级数展开

自几何级数我们有

${\显示样式{\frac{1}{1-x}}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}，\quad|x|<1，}$

因此

${\displaystyle\log\left（{\frac{1}{1-x}}\right）=-\log（1-x）=\int_{0}^{x}{\frac{du}{1-u}}=\int_0}^{x}\sum_{n=0}^}{\infty}u^{n}=\left。\和{n=0}^{infty}{\分数{u^{n+1}}{n+1}}\右|_{0}^}x}=\分数{n=0}^{分数}{\小数{x^{n+1{}{n+1{}}=\和{n=1}^{\分数}{分数{x^}{n}}，四元|x|<1，}\和{n=0}^{infty}{\分数{u^{n+1}}{n+1}}\右|_{0}^}x}=\分数{n=0}^{分数}{\小数{x^{n+1{}{n+1{}}=\和{n=1}^{\分数}{分数{x^}{n}}，四元|x|<1，}$

是生成函数的谐波序列(单位分数)

${\显示样式{{\tfrac{1}{1}}，{\tfrac{1}{2}}、{\tfrac:1}{3}}$

和（更换${\显示样式x}$通过${\显示样式-x}$)

${\displaystyle\log（1+x）=\sum_{n=1}^{\infty}（-1）^{n+1}\，{\frac{x^{n}{n}}，\quad|x|<1，}$

是的生成函数交变谐波序列

${\显示样式\{{\tfrac{1}{1}}，-{\tfrac{1}{2}}9}}，-{\tfrac{1}{10}}$

总计为日志（2），通过设置获得${\显示样式x}$到1，收敛性由交替串联试验.

同样（因为分母为偶数的分数抵消了）

${\displaystyle\log{\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}}={\frac{1}{2}}\log\left（{\frac:{1+x}{1-x}}\right）=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac-{x^{2n-1}}{2n-1}}，\quad|x|<1，}$

是具有奇数分母的单位派系的生成函数

${\显示样式{{\tfrac{1}{1}}，{\tfrac{1}{3}，}\tfrac}1}{5}}$

和（因为分母为奇数的分数相互抵消）

${\displaystyle\log{\sqrt{\frac{1}{1-x^{2}}}={\frac{1}}}\log\left（{\frac}{（1+x）（1-x）}}\right）=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{3}}{2n}}，\quad|x|<1，}$

是分母为偶数的单位派系的生成函数

${\显示样式{{\tfrac{1}{2}}，{\tfrac{1}}{4}}、{\tfrac:1}{6}}和{\tfrac-1}{8}}$

另请参阅

• 自然对数函数
• 迭代对数

• 算术函数模板：
  • {{日志}}或{{日志（_e）}}或{{自然对数}}
  • {{日志_2}}
  • {{log_10（日志_10）}}
  • {{日志_b}}
  • {{对数星}}({{重对数}})

与数字相关的操作的层次列表

0^第个迭代

• 继承人: 

  S公司(n个)

  .
• 前置处理器: 

  P（P）(n个)

  .

1^标准迭代

• 添加: 

  S（S）(⋯"一次”⋯（S(n个))))

  ，的总和 

  n个 + 一

  ，其中 

  n个

  是被加数和 

  一

  是加数（当加法是可交换的时，两者都被简单地称为条款.)
• 减法: 

  P（P(⋯"秒次“⋯（P(n个))))

  ，的差异 

  n个 − 秒

  ，其中 

  n个

  是被减数和 

  秒

  是减数.

2^第二次迭代

• 乘法: 

  n个+ (n个+ (⋯"k个次“⋯(n个+ (n个))))

  ，的产品 

  米 ⋅  k个

  ，其中 

  米

  是被乘数和 

  k个

  是乘数，乘数.（当乘法是可交换的时，两者都被简单地称为因素.)
• 部门：的比率 

  n个 / d日

  ，其中 

  n个

  是股息和 

  d日

  是除数.
  • 商: (整数除法).
  • 剩余部分: (模和同余).

三^第个迭代

• 指数化( 

  d日

  作为“度”， 

  b条

  作为“基础”， 

  n个

  作为“变量”）。
  • 权力: 

    n个 ⋅   (n个 ⋅   (⋯"d日次“⋯(n个 ⋅   (n个))))

    ，已写入 

    n个 d日

    .
  • 指数: 

    b条·(b条 ⋅   (⋯"n个次“⋯(b条 ⋅   (b条))))

    ，已写入 

    b条 n个

    .
    • 指数函数: 

      e（电子） n个

      ，其中 

      e（电子）

      是欧拉数.
• 指数反转( 

  d日

  作为“度”， 

  b条

  作为“基础”， 

  n个

  作为“变量”）。
  • 根: 

    d日 √  n个

    .
  • 对数: 

    日志b条 n个

    .
    • 自然对数函数: 

      日志n个

      ，或 

      日志e（电子） n个

      ，其中 

      e（电子）

      是欧拉数.

4^第个迭代

• 迭代幂次( 

  d日

  作为“度”， 

  b条

  作为“基础”， 

  n个

  作为“变量”）。
  • 四功率(超级大国): 

    n个^ (n个^ (⋯"d日次“⋯(n个^ (n个))))

    ，已写入 

    n个^^d日或n个↑↑d日

    .
  • 四指数(超指数): 

    b条^ (b条^ (⋯"n个次“⋯(b条^ (b条))))

    ，已写入 

    b条^^n个或b条↑↑n个

    .
• 四分位反转( 

  d日

  作为“度”， 

  b条

  作为“基础”， 

  n个

  作为“变量”）。
  • 四罗牌汽车(超级光驱)
  • 四对数(超对数): 

    1.adj.艰难的；艰难的b条 n个

    .
    • 迭代对数: 

      日志 ⁎b条 n个=标语b条 n个中国

      .

5^第个迭代

• 祈祷( 

  d日

  作为“度”， 

  b条

  作为“基础”， 

  n个

  作为“变量”）。
  • 五角大楼: 

    n个^^ (n个^^ (⋯"d日次”⋯(n个^^ (n个^^ (n个)))))

    ，已写入 

    n个^^^d日或n个↑↑↑d日

    .
  • 五指数: 

    b条^^ (b条^^ (⋯"n个次“⋯(b条^^ (b条^^ (b条)))))

    ，已写入 

    b条^^^n个或b条↑↑↑n个

    .
• 倒数Pentation
  • 五角形根
  • 五对数

6^第个迭代

• 六边形( 

  d日

  作为“度”， 

  b条

  作为“基础”， 

  n个

  作为“变量”）。
  • 六种动力: 

    n个^^^ (n个^^^ (⋯"d日次“⋯(n个^^^ (n个))))

    ，已写入 

    n个^^^^d日或n个↑↑↑↑d日

    .
  • 六指数: 

    b条^^^(b条^^^ (⋯"n个次“⋯(b条^^^ (b条))))

    ，已写入 

    b条^^^^n个或b条↑↑↑↑n个

    .
• 六边形倒数
  • 六轮
  • 六位数

7^第个迭代

• Heption公司( 

  d日

  作为“度”， 

  b条

  作为“基础”， 

  n个

  作为“变量”）。
  • 七项功率: 

    n个^^^^ (n个^^^^(⋯"d日次“⋯(n个^^^^ (n个))))

    ，已写入 

    n个^^^^^d日或n个↑↑↑↑↑d日

    .
  • 七指数: 

    b条^^^^ (b条^^^^ (⋯"n个次“⋯(b条^^^^ (b条))))

    ，已写入 

    b条^^^^^n个或b条↑↑↑↑↑n个

    .
• 肝病逆转
  • 赫普塔根
  • 七项算术

8^第个迭代

• 辛烷值( 

  d日

  作为“度”， 

  b条

  作为“基础”， 

  n个

  作为“变量”）。
  • 八次幂: 

    n个^^^^^ (n个^^^^^ (⋯"d日次“⋯(n个^^^^^ (n个))))

    ，已写入 

    n个^^^^^^d日或n个↑↑↑↑↑↑d日

    .
  • 八指数: 

    b条^^^^^ (b条^^^^^(⋯"n个次“⋯(b条^^^^^ (b条))))

    ，已写入 

    b条^^^^^^n个或b条↑↑↑↑↑↑n个

    .
• 八分位倒数
  • 八角根
  • 八对数