克罗内克三角洲

这个克罗内克三角洲函数比较（通常是离散的）值并返回1如果它们都相同，则返回0换句话说，如果所有参数的差异都是0，然后函数返回1.

尽管有希腊字母和围绕克罗内克三角洲的张量、向量和恒等矩阵的所有难听的说法，但这实际上只是一个等式测试，正如下面的示例有望阐明的那样：

δ  4747==============================================================1

δ  172947==============================================================0

δ  e（电子） 我  π−1==============================================================1

δ 7中，  2 3 − 1,  21 3 ==============================================================1

δ  罪 (2017   5√  2  )−1==============================================================0

（尽管最后一个示例需要比大多数计算器更高的精度才能正确解析）。

然而请注意，一些数学家和物理学家认为函数的参数仅限于有理整数，这在给定的条件下是有意义的克罗内克他的名言是“亲爱的上帝创造的所有数字，其他都是人类的杰作。”

公式

单变量Kroneckerδ

单变量克罗内克三角洲

δn个  ≡   0  | n个 |

函数返回1如果

n个= 0

，否则返回0，我们在那里使用了的权力0（参见：A000007号0的特征函数。）

$｛\displaystyle｛\bbegin｛array｝｛l｝\displaystyle｛0^｛x｝＝｛\bbegin{案例}1&{\text{if}}x=0，\\0&{\text}if}x>0.\end{cases}}}}\end{array}}}{案例}1&{\text{if}}x=0，\\0&{\text}if}x>0.\end{cases}}}}\end{array}}}$

根据这个定义，那么，

δx个= 0  x个

.

二元克罗内克三角洲

双变量克罗内克三角洲${\displaystyle\textstyle{\delta_{i}^{j}\equiv\delta_{i-j}=0^{\verti-j\vert}}}}$函数返回1如果

我 − j个= 0

,0否则。这是原件函数，返回1如果

我

和

j个

等于或0如果它们不同（因此三角洲).

公式也可以如下所示

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{\delta_{i}^{j}=1-（\operatorname{sgn}（i-j））^{2}=（1+\operator name{sgan}（ij））$

哪里

sgn公司 (x个)

是符号函数（该符号函数)第页，共页

x个

.

多变量克罗内克-德尔塔

多元克罗内克三角洲${\displaystyle\textstyle{\delta_{i{0}，\，\ldot，\，i{n}}}}$函数返回1如果所有的价值差异都是0，否则返回0.

可以使用以下公式表示：

δ我0 ,  ..., 我n个 =    n个 − 1 ∏   k个  = 0    δ 我k个  + 1我k个==============================================================0  [  ∑ n个 − 1 k个  = 0 |  我k个 − 我k个  + 1 |   ].

多元变量的双变量情况克罗内克三角洲给出了替代符号

δ我, j个

（或

δ我 j个

如果没有歧义）

δ    j个我

.

启动位置

如果我们将二进制整数{0，1}映射到布尔二进制逻辑值{False（错误）,真的}分别，然后克罗内克三角洲应用于二进制整数的函数与等价运算（通过XNOR门完成)应用于布尔二进制逻辑值。在C或C++的某些实现中，可以通过将相等比较的结果“强制转换”为整数或任何数字数据类型的简单操作来实现Kronecker增量；但仅在其他实现中False（错误）特别绑定到0，而真的可以是“除零以外的任何值。”因此，不能保证以下各项正常工作：

布尔kroneckerDelta（int x，int y）{返回（x==y）；}

在Mathematica中，克罗内克德尔塔[i，j]基本上与布尔〔i＝＝j〕（前者在第4版中添加，后者在第5.1版中添加）。尽管如此，让学生编写自己版本的函数可能有一些教学价值：例如，Shaw和Tigg使用它来说明Mathematica如何存储规则。在下面的示例中，这些说明

k增量[x_，x_]：=1；k增量[x_，y_]：=0；

需要按此精确顺序给出（或强制按此顺序）；如果不是，函数将始终返回0，即使两个参数完全相同，因为x、y_规则“阴影”x，x_规则。

问题

使用具有非离散（例如浮点）值的Kroneckerδ函数会导致精度限制问题（参见。讨论。）例如，请查看“可能的问题”下的数学7.

应用程序

在OEIS中，该函数已用于矩阵（参见A132440号和A132710型)和三元单词（参见A120987号).

这个克罗内克三角洲函数在数学的许多分支中都有应用，如微积分和分析，在物理学中也有应用，例如流体动力学的研究。例如，在理论量子光学中，Kroneckerδ经常与平方矩阵一起使用

M（M）

，使用

M（M）我  j个

引用矩阵中的特定单元格

M（M）

按行显示

我

和列

j个

.

该函数甚至可以用于数论，使得一些数论函数的定义相当紧凑，例如莫比乌斯函数:

μ (n个)  = δ  Ω (n个)ω (n个)(−1) ω (n个).

但根据你的观点，结果要么简明扼要 ^{（添加引用作为支持）} 或令人困惑。此外，使用克罗内克三角洲很容易使身份元素的错误不被发现。

另请参见

• 狄拉克三角洲（功能

  δ (x个)

  )
• 艾弗森支架
• 列维-西维塔ε（表示法

  ϵ我, j个, k个

  )

外部链接

• 克罗内克三角洲，Wolfram Mathematica 7文档。
• 狄拉克三角洲，Wolfram Mathematica 7文档。
• Kronecker Delta函数Song