设备迭代汇总功能

介绍

OEIS中的许多序列是偏差总和函数sigma的专用迭代=A000203号,

${\displaystyle\sigma（n）=\sum_{d|n}d~，}$

的特殊情况

${\displaystyle\sigma_{k}（n）=\sum_{d|n}d^{k}，}$与相乘$｛\displaystyle\sigma\｛k｝（p^｛e｝）＝｛\frac｛p^｛k（e+1）｝-1｝｛p^{k} -1个}}~（=e+1{\text{for}}k=0）~.}{k} -1个}}~（=e+1{\text{for}}k=0）~.}$

特别地，${\显示样式~\西格玛{0}=d=\tau=}$ A000005号是divisors函数的数目，

${\显示样式\西格玛{-k}（n）=\和{d|n}1/d^{k}=\西格马{k}$和

${\显示样式\西格玛（2^{n}\，m）=（2^}n+1}-1）\，\西格马（m）}$如果米很奇怪。

考虑这一点的主要动机和出发点是论文关于某些算术函数迭代的正规性作者：Erdős，Granville，Pomerance&Spiro（1990）和迭代divisors函数的总和作者：Cohen&te Riele（1996）.

根据这些作者，我们定义

${\显示样式\sigma^{m}（n）=\ sigma（\sigma ^{m-1}（n））}$的米>0，具有${\显示样式\sigma^{0}（n）=n}$

对于米-sigma函数的折叠迭代。

(米,k个)-完全数

让我们也回顾一下完全数(A000396号)是这样的${\显示样式\σ（n）=2\，n}$.这是特例k个=更一般的2k个-完全数这样的话${\displaystyle\sigma（n）=k\，n}$.我们将考虑更一般的(米,k个)-完美数这样的话

$｛\displaystyle\sigma^｛m｝（n）=k\，n｝$.

正如我们在续集中看到的，任何n个是一个(米,k个)-某些整数的完美数米和k个.在下面我们将找到最小的米.

迭代σ是起始值的倍数

特别是，我们对第一个米>0这样，对于给定的n个,${\显示样式\sigma^{m}（n）}$又可以被n个.我们在OEIS中有以下相关序列：

m（n）=当从n开始时，达到n的倍数所需的sigma迭代次数：

A019294号= (1, 2, 4, 2, 5, 1, 5, 2, 7, 4, 15, 3, 13, 3, 2, 2, 13, 4, 12, 5, 2, 13, 16, 2, 17, 4, 9, 1, 78, ...)

k（n）=比率σn、 其中sigma被迭代，直到达到n的倍数，即m（n）=A019294号（n） 次数：

A019295号= (1, 2, 5, 2, 24, 2, 24, 3, 168, 12, 1834560, 10, 84480, 12, 4, 2, 92520, 20, 62720, 84, 3, 49920, 6516224, ...)

超完美数：numbers n，其中m（n）=A019294号（n） 增加到新的记录值：

A019276号= (1, 2, 3, 5, 9, 11, 23, 25, 29, 59, 67, 101, 131, 173, 202, 239, 353, 389, 401, 461, 659, 1319, 1579, 1847, 2309, 2797, ...)

记录m（n）的值=A019294号（n） ：

A019277号= (1, 2, 4, 5, 7, 15, 16, 17, 78, 97, 101, 120, 174, 214, 239, 261, 263, 296, 380, 557, 1287, 1524, 1722, 1911, 2023, 2373, ...)

一般来说，人们发现sigma函数的迭代增长很快。因此，尽管A019294号（列于A019277号)指数（也称为超完美数字）也只是适度增长A019276美元)在出现这些记录的情况下，对应的比率k不是这样=A019295美元(A019276号),

A331035型= (1, 2, 5, 24, 168, 1834560, 6516224, 881280, 517517500266693633076805172570524811961093324800, ...)

接下来的术语有65、67、80、127、161、185和205个数字！

另请参见

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作者

M.F.Hasler，设备迭代汇总功能.— 摘自整数序列在线百科全书®Wiki（OEIS®Wiki）。[https://oeis.org/wiki/Iterated_sum-of-disvisors_function（https://eeis.org/维基/Iterated_sum-of-divisors功能）]，初始版本于2020年1月15日编写