序列的增长

这是对序列增长率的描述：有界的，不是原始递归的，还有许多介于两者之间的东西，比如迭代对数、四元数和多项式。请注意，并不是所有序列都包含在内，例如A124625号交替生长不属于以下类别。

有边界

{\显示样式\脚本样式a（n）\，\ in \，O\左（1\右）.}

具有 ${\显示样式\脚本样式N}$ 具有 ${\显示样式\脚本样式-N\，\leq\，a（N）\，\leq\，N}$ 为所有人 ${\显示样式\脚本样式n}$ 。根据定义，这包括所有序列关键词：cons（因为这些是常数的数字，数字的范围是固定的，只取决于所用的基数），但还有许多其他的例子。

推测：

A031346美元,A180021型

定期

具有 ${\显示样式\脚本样式k}$ 这样的话 ${\显示样式\脚本样式a（n）\，=\，a（n+k）}$ 为所有人 ${\显示样式\脚本样式n}$ （或全部 ${\显示样式\脚本样式n\，>\，n}$ 对于最终周期）。

A000035号,A010873号,A010874号,A010875号,A010876号,A010877号,A010878号,A010879号,A010880型,A010881号,A010882美元,A010883号,A010884号,A010885号,A010886美元,A010887号 A010875号,A038605型,A131027号,A133880号,A165472号,A175723号,A203571型,A242627型

其生成函数中的本征分母为 ${\显示样式\脚本样式1-x^{k}}$ ，这使得它们可以通过索引跟踪到线性递归。如果1也是生成函数分子的根，这可能会降低阶 ${\显示样式\脚本样式k}$ 分母多项式，这个简单的递推成为分圆多项式的其他乘积 ${\显示样式\脚本样式x}$ .

常量

存在的序列 ${\显示样式\脚本样式k}$ 这样的话 ${\显示样式\脚本样式a（n）\，=\，k}$ 为所有人 ${\显示样式\脚本样式n}$ （或全部 ${\显示样式\脚本样式n\，>\，n}$ 表示最终常数）。

这些是中线性重复出现的索引订单01，（1）类别。

次多项式

无界但亚重对数

A098820号

迭代对数

存在的序列 ${\显示样式\脚本样式0\，<\，\alpha\，<\\，\beta\，}$ 具有 ${\displaystyle\scriptstyle\alpha\，\log^{*}（n）\，\leq\，a（n$ 具有 ${\显示样式\脚本样式\日志^{*}（x）\，=\，0\，}$ 如果 ${\显示样式\脚本样式x\，\leq\，0\，}$ 和 ${\displaystyle\scriptstyle\log^{*}（x）\，=\，\log^}（\log x）+1\，}$ 否则。

A010096型,A001069号

超对数但亚双对数

A334789飞机

双对数

A063510号

超双对数但次对数

A099563号（逆伽马增长，~log n/log n）

对数

A000193号,A000195号,A000523号,A003434号,A004233号,A029837号,A038605型,A055778号,A063511号,A070939号,A070941号,A084320型,102572年,A133775号,A190796号

超对数但次多项式

A010553号（exp（sqrt（log n））左右）

多项式的

{\显示样式a（n）\ in \ bigcup_{k} O（运行）（n^{k}）\cap\大杯_{k>0}\欧米茄

多项式增长序列： ${\显示样式\脚本样式n^{\阿尔法}\，\leq\，a（n）\，\leq\，n^{\beta}\，}$ 对一些人来说 $｛\displaystyle\scriptstyle0\，<\，\alpha\，<\，\beta\，｝$ 而且都很大 ${\显示样式\脚本样式n.\，}$

次线性

这包括带有 ${\显示样式n^{\alpha}<a（n）<n^{\ beta}}$ 对一些人来说 ${\显示样式0<\alpha<\beta<1}$ 和足够大的n。例如，序列 ${\displaystyle\Theta（{\sqrt{n}}）。}$ 下面列出了一些带有 $｛\displaystyle n ^｛\alpha-\varepsilon｝＜a（n）＜n ^｛\alpha+\varepsilon｝｝$ 为所有人 ${\displaystyle\varepsilon>0}$ 而且足够大n个.

指数1

这些序列是次线性的，但增长速度比 ${\显示样式n^{e}}$ 对于任何 ${\显示样式e<1}$ : ${\显示样式n^{1-\varepsilon}<a（n）<kn}$ 为所有人 ${\显示样式k，\varepsilon>0}$ 而且足够大n个.

A002410号,A002505号,A008508号

线性的

{\显示样式\脚本样式a（n）\asymp n.}

序列，其中每个 ${\显示样式\脚本样式a（n）\，=\，a（n-1）+c，\，}$ 称为算术序列。例如：A085959号，其中 ${\显示样式\脚本样式c\，}$ =37。这包括所有一次多项式，这些多项式在以下线性递归索引中找到序号02，（-2,1）它还包括线性增长的非多项式，如212445英镑.

严格递增序列具有线性增长当且仅当其低密度是积极的。

全部Beatty序列有线性增长（根据定义）。

推测：A005279号,A096399号,A319630型,A325160型,A194186号,A003147号**,A127666号,A129485型,A070087号,A070089号,A293186型,A112643号,A348274,A194184号,A348604飞机

*不是一套

†Beatty序列的线性移位

**根据GRH假设进行证明。

超线性但次二次的

{\显示样式a（n）\ in \ omega\ left（n\right）\ cap o\ left[n^{2}\ right）}

A000093号,A005836号

准线性

n\ll a（n）\ll n^{1+\varepsilon}{\text{for-all}}\varepsilon>0

A000040美元,A005153号,A174973号,A216761号,A216762型,A221284型,A361300型

二次方

｛\displaystyle\scriptstyle a（n）\，\ in \，O \ left（n ^｛2｝\ right）.\，｝

这包括所有二次多项式，它们在以下线性递归索引中找到订单03，（3，-3,1）.

它还包括二次增长的非多项式：

A001597年,A045619号,A100613号,A181900个.

超二次但次三次

{\显示样式\脚本样式a（n）\，\ in \，O\左（n^{k}\右），\，2\，<，k\，<，3.\，}

例如。 ${\显示样式\脚本样式a（n）\，\ in \，O\left（n^{2}\log n\right）\，\subset \，O\ left（n ^{2+\epsilon}\right）.\，}$

A221285型

立方（Cubic）

{\显示样式a（n）\asymp n^{3}.}

A065733号,A360284型

超立方但次四次

显示样式a（n）=o（n^{4}）

例如。 $｛\displaystyle a（n）\in O\left（n^｛3｝\log n\right）\substeq O\left（n^｛3+\epsilon｝\right）。｝$

四分之一

显示样式a（n）\asymp n^{4}.}

124162英镑,A358212型

次指数但超多项式

其中的序列 ${\显示样式\脚本样式n^{\alpha}\，<\，a（n）\，}$ 为所有人 ${\显示样式\脚本样式\字母\，}$ 而且都很大 ${\显示样式\脚本样式n（\alpha），\，}$ 但为了这个 ${\显示样式\脚本样式a（n）\，<\，\alpha^{n}\，}$ 为所有人 $｛\displaystyle\scriptstyle\alpha\，>\，1\，｝$ 而且都很大 ${\显示样式\脚本样式n（\alpha）.\，}$

A058577号,A061567号

指数

其中的序列 ${\displaystyle\scriptstyle\alpha^{n}\leqa（n）\leq\beta^{n{}}$ 对一些人来说 ${\显示样式\脚本样式1<\alpha\leq\beta}$ 而且都很大 ${\显示样式\脚本样式n.}$

分母（以最低项表示）不是分圆多项式的有理母函数序列具有指数增长。等效地，线性递推关系其中特征多项式的一个根的绝对值大于1。

最少超递增序列具有指数增长（尽管一些超增长序列具有超指数增长）。

在可能的情况下，序列按基数排序。范围可以表示基值的不确定性， ${\displaystyle\scriptstyle\alpha<\beta}$ 或者不确定这些案例中的哪一个适用。有关更多详细信息，请参阅各个序列条目。

1.1184…至2:160675英镑
1.3017597至1.3017619：A006156号
2:A002804号,2015年2月22日
φ^2=φ+1=2.61803…：A065885号,A007598号
e=2.718…：A002387号,A034386号
第6页：A342452型
e^3=20.08…：A091463号

超指数

超指数但亚双指数

用于的序列 ${\显示样式\脚本样式\ alpha^{n}<a（n）}$ 为所有人 $｛\displaystyle\scriptstyle\alpha>1｝$ 并且足够大 ${\显示样式\脚本样式n（\alpha），}$ 但是 ${\显示样式\脚本样式a（n）<\alpha\uparrow^{2} n个}$ 为所有人 ${\displaystyle\scriptstyle\alpha>e^{1/e}}$ 并且足够大 ${\显示样式\脚本样式n（\alpha）.}$

A000312号,A000178号,A002109号,A003266号,A050614号,A055462号,A063439号,A113511号,A120838号,155877英镑,A161774号,A165554号,A182856号,A200564号,A217534号,A296653型

双指数

其中的序列 ${\displaystyle\scriptstyle\exp{\left（\alpha^{n}\right）}\，\leq\，a（n）\，\ leq\$ 对一些人来说 ${\显示样式\脚本样式1\，<\，\alpha\，\leq\，\beta\，}$ 而且都很大 ${\显示样式\脚本样式n\，}$ .

A000278号,A000284号,A000301号,A000371号,A002665号,A002716号,A002813号,A002814号,A002794号,A002795号,A006888元,A007570美元,A016088型,A039941号,A046024型,A050548号,A052129号,A055402号,A057194号,A064183号,A064991号,A070177号,A087417号,A091456号,A096580型,A100009号,A100010型,A100011号,A100012号,A100865号,2013年1月61日,A103591号,A103592号,A103593号,A103594号,A103595号,A103596号,A103597号,A103598号,A103599号,A103600号,A110368号,112961英镑,A114953号,A114954号,A114957号,A115410号,A116961号,A118017号,123180英镑,A125149号,A133026号,135378英镑,A142471号,A143684号,A153450型,A159344号,162634英镑,A162647号,2017年1月28日,A178981号,A185981号,A210508型,A216151型,A333554型,A348456飞机

形式a（n+1）=a（n）^2+。。。

请参见“索引”页.

A000058号,A000289号,A000324号,A001042号,A001146号,A001510号,A001543号,A001544号,A001566号,A001696号,A001697号,A001699号,A001999号,A002065号,A003010号,A003095号,A003096号,A003423号,A003487号,A004019号,A005267号,A013589号,A014253号,0.283万元,A051179号,A056207号,A000215号,A000283号,A007018号,A058181号,A058182号,A062000型,A063573号,A065035号,A067686号,A076725号,A086851号,A092500型,A092501号,A098152号,A099941号,A099729号,A100523号,A100528号,A110360型,A110383年,A113848号,A115590型,A117805号,A118623号,123180英镑,A125046号,126023英镑,A129871号,A135927号,A143760型,A143761号,A143762号,A143763号,A143764号,A143765号,A143766号,A153059号,A153060型,A153061号,A153062号,A174864号,186750澳元,A204321型,A228931型

这些都是有问题的成员：严格的定义不会承认他们，但有些人可能会承认。例如，最后一项可能不仅仅是平方，而是乘以一个常数。

A001054号,A001056号,A001601号,A001064号,A002812号,A007660美元,A114793号,A114950型,A172028号

推测的

A037096号,A037097号,A136386号

基本，但超双指数

其中的序列 $｛\displaystyle\scriptstyle\exp｛\left（\alpha^｛n｝\right）｝＜a（n）｝$ 为所有人 ${\displaystyle\scriptstyle\alpha}$ 而且都足够大 ${\显示样式\脚本样式n（\alpha），}$ 但为了这个 ${\显示样式\脚本样式a（n）<\exp_{k}{\左（\alpha^{n}\右）}}$ 对一些人来说k个，其中 ${\displaystyle\scriptstyle\exp_{k}}$ 是k个-时间按指数迭代。非正式地，这些是固定高度的塔楼（参见基本).

A116213号,A002488号,A058124美元,A171874号,A171879号,A195529号,A358972型

非基本的，但亚四国的

其中的序列 ${\displaystyle\scriptstyle\exp_{k}{\left（\alpha^{n}\right）}<a（n）}$ 为所有人k个和大型 ${\显示样式\脚本样式n（k），\，}$ 但为了这个 ${\显示样式\脚本样式a（n）<\alpha\uparrow^{2} n个}$ 为所有人 ${\displaystyle\scriptstyle\alpha>e^{1/e}}$ 并且足够大 $｛\displaystyle\scriptstyle n（\alpha）。｝$

OEIS中没有已知序列具有这种行为，但请参阅Chazelle 2009^[1]行为序列的示例 $｛\displaystyle\scriptstyle2\uparrow^｛2｝\Theta（\logn）。｝$

迭代指数和超迭代指数

四民族

其中的序列 ${\displaystyle\scriptstyle\alpha\，\uparrow^{2}\，n\，\leq\，a（n）\，\leq \，\beta\，\ uparrow ^{2{\，n\，}$ 对一些人来说 ${\显示样式\脚本样式e^{1/e}\，<\，\alpha\，\leq\，\beta\，}$ 而且都很大 ${\显示样式\脚本样式n\，}$ .非正式地， ${\显示样式\脚本样式n\，}$ 给出了指数塔的高度。

示例包括：

A006050号,A045646号,A014221号,A073236号,A115658号,A173566号

这些都是有问题的成员：严格的定义不会承认他们，但有些人可能会承认。例如，它们可能与具有非恒定碱基的四元函数相当。

A091409号（推测）

本原递归，但超遍历

其中的序列 ${\displaystyle\scriptstyle\alpha\，\uparrow^{2}\，n\，<\，a（n）\，}$ 为所有人 ${\显示样式\脚本样式\字母\，}$ 而且都很大 ${\显示样式\脚本样式n（\alpha），\，}$ 但有一个 ${\显示样式\脚本样式k\，}$ 具有 ${\显示样式\脚本样式a（n）\，\leq\，\alpha\，\uparrow^{k}\，\，}$ 对一些人来说 ${\显示样式\脚本样式\阿尔法\，>\，e^{1/e}.\，}$

非原语递归

用于的序列 ${\显示样式\脚本样式2\，\上箭头^{k}\，n\，<，a（n）\，}$ 为所有人 ${\显示样式\脚本样式k\，}$ 而且足够大 $｛\displaystyle\scriptstyle n（k）.\，｝$