正在生成函数

A类生成函数是一个形式幂级数指生成（枚举）序列的某种给定形式。

普通生成函数

普通生成函数（OGF、OGF或o.g.f.）即幂级数生成函数是形式的形式幂级数

$显示样式G{{a{n}}（x）等于和{n=0}^{infty}a{n{}\，x^{n}，\，}$

生成（枚举）序列${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=0}^{\infty}\，}$.

最简单序列的普通生成函数正整数，的所有1的序列，是

$显示样式G{{n^{0}}（x）=G{{1^{n}}}$

生成（枚举）序列${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=0}^{\infty}\，}$等于

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}.

通过生成函数，通常指的是普通生成函数。

指数生成函数

指数生成函数（EGF，EGF或e.g.f.），即Maclaurin级数生成函数，是形式的形式幂级数

$显示样式E_{{a_{n}}（x）\equiv\sum_{n=0}^{infty}a_{n}，{frac{x^{n}{n！}}，\，}$

生成（枚举）序列$｛\displaystyle\scriptstyle\｛a_｛n｝\｝_｛n＝0｝^｛infty｝\，｝$.

最简单的正整数序列，即all-1序列的指数生成函数为

$显示样式E_{{n^{0}}（x）=E_{{1^{n}}$

生成（枚举）序列${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=0}^{\infty}\，}$等于

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...},

因此，术语指数生成函数。

对数生成函数？

对数生成函数（LGF、LGF或l.g.f.）是形式上的幂级数

$显示样式L_{{a{n}}（x）等于和{n=1}^{infty}a{n{}，{frac{（-1）^{n+1}，x^{n}{n}，，}$

生成（枚举）序列${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=1}^{\infty}\，}$.

请注意，我们无法生成${\显示样式\脚本样式a{0}\，}$任期自${\显示样式\脚本样式n\，}$显然，不能为0。

最简单的正整数序列，即all-1序列的对数生成函数为

$显示样式L_{{n^{0}}（x）=L_{1^{n}}$

生成（枚举）序列${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=1}^{\infty}\，}$等于

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}.

双曲对数生成函数？

双曲对数生成函数是形式上的幂级数

$显示样式LH_{{a_{n}}（x）\equiv\sum_{n=1}^{infty}a_{n}，{frac{x^{n}{n}，\，}$

生成（枚举）序列${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=1}^{\infty}\，}$.

请注意，我们无法生成${\显示样式\脚本样式a{0}\，}$任期自${\显示样式\脚本样式n\，}$显然，不能为0。

最简单的正整数序列，即all-1序列的双曲对数生成函数为

$显示样式LH_{{n^{0}}（x）=LH_{1^{n}}$

生成（枚举）序列${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=1}^{\infty}\，}$等于

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...},

（因此，通过与指数生成函数相类比，可以称为双曲对数生成函数）。

普通生成函数的对数导数

序列的普通生成函数（LGDOGF或LGDOGF）的对数导数${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=0}^{\infty}\，}$是一个函数${\显示样式\脚本样式f（x）\，}$科学技术。

$显示样式G{{a{n}}（x）等于和{n=0}^{infty}a{n{}\，x^{n}=\exp{\bigg（}\int{f（x）dx}{\big）}\，}$

是的普通生成函数${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=0}^{\infty}\，}$.

指数生成函数的对数导数

序列的指数生成函数（LGDEGF或LGDEGF）的对数导数${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=0}^{\infty}\，}$是一个函数${\显示样式\脚本样式f（x）\，}$科学技术。

${\显示样式E_{{a{n}}（x）\equiv\sum_{n=0}^{\infty}a{n{}\，{\frac{x^{n}{n！}}=\exp{\bigg（}\int{f（x）dx}{\big）}\，}$

是的指数生成函数${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=0}^{\infty}\，}$.

Dirichlet生成函数

Dirichlet生成函数（Dirichletg.f.，）即Dirichlete级数生成函数是形式上的幂级数

${\显示样式D_{{a_{n}}}=和{n=1}^{infty}{\ frac{a_}}{n^{s}}，\，}$

生成（枚举）序列$｛\displaystyle\scriptstyle\｛a_｛n｝\｝_｛n=1｝^｛infty｝\，｝$.

请注意，我们无法生成${\显示样式\脚本样式a{0}\，}$任期自${\显示样式\脚本样式n\，}$显然，不能为0。

最简单的正整数序列，即全1序列的Dirichlet生成函数为

$显示样式D_{{n^{0}}=D_{1^{n}}=\sum_{n=1}^{infty}{\frac{1}{n^}}=\zeta（s）\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式\泽塔\，}$是zeta函数，生成（枚举）序列${\显示样式\脚本样式\{a{n}\}{n=1}^{\infty}\，}$等于

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...},

（因此，通过与术语指数生成函数类比，可以称为zeta生成函数）。

狄利克雷生成函数非常适合算术函数（数论函数）由于欧拉zeta函数封装有关素因子分解的自然数.

例如，由于相互的属于欧拉zeta函数通过以下方式获得莫比乌斯反演

$｛\displaystyle｛\frac｛1｝｛zeta（s）｝｝＝\sum_｛n=1｝^｛infty｝｛\frac｛\mu（n）｝｛n^｛s｝｝｝，\，｝$

哪里${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，}$是莫比乌斯函数，这意味着，${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{\zeta（s）}}\，}$是Möbius函数的Dirichlet生成函数${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，}$对于所有正整数。

连续分数生成函数

请参见以下示例双阶乘.

多元生成函数

对于具有多个索引的序列，可以在多个变量中定义生成函数。这些被称为多元生成函数(二元的、三变量等）。

二元生成函数

帕斯卡三角二元生成函数

例如，因为${\显示样式\脚本样式（1+x）^{n}\，}$是的生成函数二项式系数对于固定的${\显示样式\脚本样式n\，}$，可以要求一个生成二项式系数的二元生成函数${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{k}}\，}$为所有人${\显示样式\脚本样式n\，}$和${\显示样式\脚本样式k\，}$.

要做到这一点，请考虑${\显示样式\脚本样式（1+x）^{n}\，}$作为它本身系列（in${\显示样式\脚本样式n\，}$)，并在中找到生成函数${\显示样式\脚本样式y\，}$将这些作为系数。由于的生成函数${\显示样式\脚本样式a^{n}\，}$只是${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{1-ay}}\，}$，二项式系数的生成函数为

$显示样式G{{{二进制{n}{k}}}（x，y）={frac{1}{1-（1+x）y}}=\sum_{n=0}^{infty}（1+x）^{k} 年^{n} \，}{k} 年^{n} \，}$

外部链接

• François Bergeron和Simon Plouffe，计算给定前几个项的级数的生成函数《实验数学》，欧几里得计划。
• 西蒙·普劳夫，MéMOIRE DE MAÎTRISE：关于SéRIES GéNéRATRICES ET QUELQUES猜想的近似, 1992.
• 西蒙·普劳夫，OEIS推测公式（截至2011年2月17日，在184755个已处理序列中，37619个唯一序列的OEIS序列生成函数的推测公式列表，命中率为20.36%，表达式超过124800个）^[死链接]
• 西蒙·普劳夫，OEIS数据库中自动检测到的序列百分比（截至2011年2月11日，185000个序列中有33826个生成函数的公式，成功率为18.26%）^[死链接]
• 维基百科，生成函数
• 赫伯特·S·威尔夫，生成功能学, 2^第1994年编辑。