分数

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分数是有理数，这是比率（或分割）整数（该分子)由正整数（该分母)，通常垂直表示为

${\显示样式{\ frac{n}{d}}，\quad n\in\mathbb{Z}，\，d\in\mathbb{n}_{+}}$

或水平作为${\显示样式n/d，\，n\in\mathbb{Z}，\$. (${\显示样式{\tfrac{n}{1}}}$是与整数相对应的[平凡]分数${\显示样式n，\，n\in\mathbb{Z}}$.)

如果分子和分母互质，则分数为简化形式，即写入最低条件例如，${\显示样式{\tfrac{12}{16}}={\tfrac{3}{4}}$.

如果${\显示样式\脚本样式|n|\，>\，d\，>\、0}$，该分数有时被称为不当分数，在这种情况下，它可能被重写为（有时称为混合分数)

${\displaystyle\operatorname{sgn}（n）\left（\left\lfloor{\frac{|n|}{d}\right\rfloor+{\frac{\left，}$

哪里${\显示样式\运算符名称{sgn}（n）}$是符号函数和${\显示样式|n|}$是绝对值.

例如，${\displaystyle\scriptstyle{\frac{4}{3}}\，=\，1+{\frac{1}{3{}}}$尽管加号通常会成为一个默认运算符，例如。${\显示样式\脚本样式1\，{\frac{1}{3}}}$.

一个重要的分数序列是even-index序列伯努利数

$显示样式{\Bigg\{}1，{\frac{1}{6}}，{\frac{-1}{30}}$

在组织环境信息系统,分数序列通常呈现为两个整数序列一个表示分子，另一个表示分母。然后两个序列都有关键字frac相互参照。在伯努利示例中，A000367号给出了分子和A002445号给出了分母。

然而，对于序列单位分数，我们可以说这样或那样的序列有分母A000012号都有分子。

简化形式

给定一个分数${\显示样式{\tfrac{N}{D}}}$，其中一个获得简化形式（分数in最低条件)${\显示样式{\tfrac{n}{d}={\tfrac{n}{d}}}$分别除以分子${\显示样式N}$和分母${\显示样式D}$由gcd公司属于${\显示样式N}$和${\显示样式D}$

$显示样式n={\frac{n}{\gcd（n，D）}}$

正确、错误和混合分数

分数有时被称为

• 适当的分数：分数${\displaystyle\scriptstyle{\frac{n}{d}}}$科学技术。${\显示样式\脚本样式|n|\，<\，d，\，n\，\in\，\mathbb{Z}，\，d\，\in，\mathbb{n}_{+}}$;
• 分数不正确：分数${\displaystyle\scriptstyle{\frac{n}{d}}}$科学技术。${\显示样式\脚本样式|n|\，\ geq\，\，\$;
• 混合分数：分数${\displaystyle\scriptstylei+{\frac{n}{d}}}$科学技术。${\displaystyle\scriptstyle i\，\in\，\mathbb{Z}}$和${\显示样式\脚本样式|n|\，<\，d，\，n\，\in\，\mathbb{Z}，\，d\，\in，\mathbb{n}_{+}}$.

分数的可数性

分数${\显示样式{\tfrac{n}{d}}，\，n\in\mathbb{Z}$是可数的（即分数集具有整数的基数)，因为你可以井然有序他们（在词典编纂顺序)，首先是总数${\显示样式|n|+d}$分子和分母的绝对值，然后通过分子${\显示样式n，\，-（|n|+d）$，沿途丢弃非简化形式的分数，给出

${\显示样式{{\tfrac{0}{1}}，{\tfrac{-1}{1{}}{3}}，{\tfrac{1}{3}，}\tfrac}3}{1}}2}}，{\tfrac{4}{1}}，{\tfrac{-1}{5}}，{\tfrac{1}{5{}}{\tfrac{-1}{5}}，{\tfrac{1}{5{}}$

A037161号把有理数排序好；取分子。（有趣的图表！）

{0, -1, 1, -2, -1, 1, 2, -3, -1, 1, 3, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, -5, -1, 1, 5, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, -8, -7, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 7, 8, ...}

A037162号把有理数排序好；取分母。

{1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 5, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 1, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 8, 7, 5, 4, 2, 1, ...}

分数的数量${\显示样式{\tfrac{n}{d}}，\，n\in\mathbb{Z}$具有${\显示样式|n|+d=k，\，k\geq 1}$由以下顺序给出。

A140434号n X n栅格中每个步骤创建的新可见点的数量。

{1, 2, 4, 4, 8, 4, 12, 8, 12, 8, 20, 8, 24, 12, 16, 16, 32, 12, 36, 16, 24, 20, 44, 16, 40, 24, 36, 24, 56, 16, 60, 32, 40, 32, 48, 24, 72, 36, 48, 32, 80, 24, 84, 40, 48, 44, ...}

另请参见

• OEIS分数索引
• 埃及分数
• 连续分数