阶乘多项式

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这个阶乘多项式为[有限]差分微积分多项式对[无穷小]是什么微分学.

降阶乘和升阶乘

这个下降阶乘定义为

x个 k个 :=    k个  − 1 ∏   我  = 0    (x个−我), k个∈ ℕ,

和提高阶乘定义为

x个 k个 :=    k个  − 1 ∏   我  = 0    (x个+我), k个∈ ℕ,

其中，在任何一种情况下

k个= 0

我们得到了空产品，即。1.

阶乘多项式

A类阶乘项（Boole，1970年：第6页）或阶乘多项式（Elaydi，2005:p.60）定义为

x个 (k个 ) := x个 k个, k个∈ ℕ,

对于负极

k个

我们有定义

x个 ( − k个 ) :=  [x个 k个  ]  − 1, k个∈ ℕ,

其中，在任何一种情况下

k个= 0

我们得到了空产品，即。1.
这个阶乘多项式学位

n个

定义为阶乘项

P（P） (x个)  :=    n个 ∑   k个  = 0    一k个 x个 (k个 ), n个∈ ℕ,

在哪里

n个= 0

我们得到了常数多项式

一 0

.

广义阶乘多项式

以类似于的方式洛朗多项式，我们还有广义阶乘多项式

L（左） (x个)  :=    n个 ∑   k个  = 米    一k个 x个 (k个 ), 米∈ℤ,n个∈ ℤ,米≤n个.

有限差分算子

根据上述定义，[有限]差分算子

Δ（f）  (x个)  :=  (E类−我  )（f）  (x个)  = （f）  (x个+ 1) −（f）  (x个)

哪里

E类

是轮班操作员和

我

是身份运算符，与[普通或广义]阶乘多项式的行为类似于[无穷小]微分算子对[普通或洛朗]多项式的行为。

差分运算符	微分算子
Δ  x个 (0) =  0	D类  x个 0 =  0
Δ  x个 (k个 ) = k个 x个 (k个  − 1), k个∈ ℕ+	D类  x个 k个 = k个 x个 k个  − 1, k个∈ ℕ+
Δ  x个 ( − k个 ) =  ( − k个 )x个 ( − k个  − 1), k个∈ ℕ+	D类  x个  − k个 =  ( − k个 )x个  − k个  − 1, k个∈ ℕ+
Δ{ ∑ n个 k个  = 米 一k个 x个 (k个 )}= ∑ n个 k个  = 米 一k个Δ  x个 (k个 ), 米∈ℤ,n个∈ ℤ,米  ≤  n个	D类{ ∑ n个 k个  = 米 一k个 x个 k个}= ∑ n个 k个  = 米 一k个 D类  x个 k个, 米∈ ℤ,n个∈ ℤ,米  ≤  n个

从多项式表示转换为阶乘多项式表示，反之亦然

从多项式表示到阶乘多项式表示，我们有

(b条0,b条1, ...,b条n个  )T型 = F类n个  + 1× (一0,一1, ...,一n个  )T型,

从阶乘多项式表示到多项式表示，我们有

(一0,一1, ...,一n个  )T型 =  (F类n个  + 1)  − 1× (b条0,b条1, ...,b条n个  )T型,

哪里

(一0,一1, ...,一n个  )

是多项式系数，

(b条0,b条1, ...,b条n个  )

是阶乘多项式系数（在这两种情况下，次数为

n个

)，以及其中

F类n个  + 1

是一个

(n个+ 1)  ×  (n个+ 1)

上三角矩阵的变换（从多项式到阶乘多项式）

(F类n个  + 1)  − 1

是矩阵的逆矩阵。

     F类1 = 

1

, F类2 = 

1		0
0		1

, F类三 = 

1		0		0
0		1		1
0		0		1

, F类4 = 

1		0		0		0
0		1		1		1
0		0		1		三
0		0		0		1

, F类5 = 

1		0		0		0		0
0		1		1		1		1
0		0		1		三		7
0		0		0		1		6
0		0		0		0		1

, F类6 = 

1		0		0		0		0		0
0		1		1		1		1		1
0		0		1		三		7		15
0		0		0		1		6		25
0		0		0		0		1		10
0		0		0		0		0		1

, F类7 = 

1		0		0		0		0		0		0
0		1		1		1		1		1		1
0		0		1		三		7		15		31
0		0		0		1		6		25		90
0		0		0		0		1		10		65
0		0		0		0		0		1		15
0		0		0		0		0		0		1

,  ..., 

S公司 (0, 0)

S公司 (1, 0)

S公司 （2，0）

S公司 (3, 0)

S公司 (4, 0)

S公司 (5, 0)

S公司 (6, 0)

⋯

0

S公司 (1, 1)

S公司 (2, 1)

S公司 (3, 1)

S公司 (4, 1)

S公司 (5, 1)

S公司 (6, 1)

⋯

0

0

S公司 (2, 2)

S公司 （3，2）

S公司 (4, 2)

S公司 (5, 2)

S公司 (6, 2)

⋯

0

0

0

S公司 (3, 3)

S公司 (4, 3)

S公司 (5, 3)

S公司 (6, 3)

⋯

0

0

0

0

S公司 (4, 4)

S公司 (5, 4)

S公司 (6, 4)

⋯

0

0

0

0

0

S公司 （5，5）

S公司 (6, 5)

⋯

0

0

0

0

0

0

S公司 (6, 6)

⋯

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋱

,
哪里

S公司  (n个,k个 )

是第二类斯特林数。

F类n个  +1

递归获取自

F类n个

:
     

F类1  =  (1); F类n个+1(我,  j个)  = F类n个 (我,  j个), n个≥ 1, 0 ≤我≤n个− 1, 0 ≤  j个≤n个− 1; F类n个  +1(n个,  j个)  =  0, n个≥ 1, 0 ≤  j个≤n个− 1; F类n个  +1(0,n个) ＝0时， n个≥ 1; F类n个  +1(我,n个)  = 我 F类n个 (我,n个− 1) +F类n个 （i−1，n个− 1), n个≥ 1, 1≤我≤n个.

从上三角矩阵的中心对角线开始，对角线如下所示：

• A000012号第二类斯特林数

  S公司 (n个+0中，n个)

  .
  {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
• A000217号第二类斯特林数

  S公司 (n个+ 1,n个)

  .
  {0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, ...}
• A001296号第二类斯特林数

  S公司 (n个+ 2,n个)

  .
  {0, 1, 7, 25, 65, 140, 266, 462, 750, 1155, 1705, 2431, 3367, 4550, 6020, 7820, 9996, ...}
• A001297号第二类斯特林数

  S公司 (n个+ 3,n个)

  .
  {0, 1, 15, 90, 350, 1050, 2646, 5880, 11880, 22275, 39325, 66066, 106470, 165620, 249900, ...}
• A001298年第二类斯特林数

  S公司 (n个+ 4,n个)

  .
  {0, 1, 31, 301, 1701, 6951, 22827, 63987, 159027, 359502, 752752, 1479478, 2757118, ...}
• A112494号第二类斯特林数

  S公司 (n个+ 5,n个)

  .
  {0, 1, 63, 966, 7770, 42525, 179487, 627396, 1899612, 5135130, 12662650, 28936908, 62022324, ...}
• A144969号第二类斯特林数

  S公司 (n个+ 6,n个)

  .
  {0, 1, 127, 3025, 34105, 246730, 1323652, 5715424, 20912320, 67128490, 193754990, ...}

斯特林数

对于

n个  ≥   0

，我们有

x个 (n个) := x个 n个 =    n个 ∑   k个  = 0    秒 (n个,k个)x个 k个 =    n个 ∑   k个  = 0    S公司1(n个,k个)x个 k个 =    n个 ∑   k个  = 0    (−1) n个 + k个 | S公司1(n个,k个) | x个 k个,

和

x个 ( − n个 ) :=  [x个 n̅  ]  − 1 = [   n个 ∑   k个  = 0    (−1) n个 + k个 S公司1(n个,k个 ) [x个  − k个]  − 1]   − 1 = [   n个 ∑   k个  = 0    (−1) n个 + k个 S公司1(n个,k个 )x个 k个]   − 1 =

[   n个 ∑   k个  = 0    | S公司1(n个,k个 ) | x个 k个]   − 1 = [   n个 ∑   k个  = 0    [  n个k个  ]  x个 k个]   − 1,

哪里

秒 (n个,k个 )

或

S公司1(n个,k个 )

是第一类斯特林数、和

[  n个k个  ]

是第一类无符号斯特林数.

对于

n个  ≥   0

，我们有

x个 n个 =    n个 ∑   k个  = 0    {  n个k个  } x个 (k个 ) =    n个 ∑   k个  = 0    S公司  (n个) k个 x个 (k个 ) =    n个 ∑   k个  = 0    S公司 (n个,k个 )x个 (k个 ) =    n个 ∑   k个  = 0    S公司2(n个,k个 )x个 (k个 ),

和

x个  − n个 :=  [x个 n个 ]  − 1 = [   n个 ∑   k个  = 0    (−1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 ) [x个 ( − k个 ) ]  − 1]   − 1 = [   n个 ∑   k个  = 0    (−1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 )x个 k̅]   − 1,

哪里

{  n个k个  }

,

S公司  (n个) k个

,

S公司 (n个,k个 )

或

S公司2(n个,k个 )

是第二类斯特林数、和

( − 1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 )

是第二类有符号斯特林数.

第一类斯特林数

我们有

${\显示样式{\开始{对齐}x^{（0）}&=x^{\下划线{0}}=+1，x^{0}，\\x^{（1）}&=x^{\underline{1}}=-0\，x^}0}+\\1\^{0}-\\\1\，x^{1}+\\\\1，x^}2}，\\x^{（3）}&=x^{\下划线{3}}=-0\，x^[0}+\\2\，x^{1}-\\\\3\，x^｛2｝+\\\1\，x^｛3｝，\\x^｛（4）｝&=x^｛\下划线｛4｝｝=+0\，x^{0}-\\\6\，x^{1}+\\11\，x^｛2｝-\\\6\，x^{3}+\\1\，x^}4}，\\x^{（5）}&=x^{5}}=-0\，x^{0}+\\24\，x^{1}-\\50\，x^{2}+\\35\，x^{3}-10\，x^{4}+\\1\，x^}5}，\\x^{（6）}&=x^{\下划线{6}}=+0\，x^{0}-120\，x^{1}+274\，x^{2}-225\，x^{3}+85\，x^{4}-15\，x^｛5｝+1\，x^｛6｝，\end｛aligned｝｝｝{对齐}x^{（0）}&=x^{\下划线{0}}=+1，x^{0}，\\x^{（1）}&=x^{\underline{1}}=-0\，x^}0}+\\1\^{0}-\\\1\，x^{1}+\\\\1，x^}2}，\\x^{（3）}&=x^{\下划线{3}}=-0\，x^[0}+\\2\，x^{1}-\\\\3\，x^｛2｝+\\\1\，x^｛3｝，\\x^｛（4）｝&=x^｛\下划线｛4｝｝=+0\，x^{0}-\\\6\，x^{1}+\\11\，x^｛2｝-\\\6\，x^{3}+\\1\，x^}4}，\\x^{（5）}&=x^{5}}=-0\，x^{0}+\\24\，x^{1}-\\50\，x^{2}+\\35\，x^{3}-10\，x^{4}+\\1\，x^}5}，\\x^{（6）}&=x^{\下划线{6}}=+0\，x^{0}-120\，x^{1}+274\，x^{2}-225\，x^{3}+85\，x^{4}-15\，x^｛5｝+1\，x^｛6｝，\end｛aligned｝｝｝$

涉及第一类斯特林数三角形，其中，行的系数

k个

通过乘以行的多项式得到

k个 −  1

通过

(x个 − k个+ 1)

.

第一类斯特林数三角形

秒 (n个,k个 )

n个																										∑ n个 k个  = 1 秒 (n个,k个 )
0													1													1
1												0		1												1
2											0		−1		1											0
三										0		2		−3		1										0
4									0		−6		11		−6		1									0
5								0		24		−50		35		−10		1								0
6							0		−120		274		−225		85		−15		1							0
7						0		720		−1764		1624		−735		175		−21		1						0
8					0		−5040		13068		−13132		6769		−1960		322		−28		1					0
9				0		40320		−109584		118124		−67284人		22449		−4536		546		−36		1				0
10			0		−362880		1026576		−1172700		723680		−269325		63273		−9450		870		−45		1			0
			k个 = 0		1		2		三		4		5		6		7		8		9		10

A048994号由第一类斯特林数行读取的三角形，

S公司1(n个,k个),n个  ≥   0, 0   ≤  k个  ≤  n个

.

{1, 0, 1, 0, −1, 1, 0, 2, −3, 1, 0, − 6、11、− 6, 1, 0, 24, −50, 35, −10, 1, 0, −120, 274, −225, 85, −15, 1, 0, 720, −1764, 1624, −735, 175, −21, 1, 0, −5040, 13068, −13132, 6769, −1960, 322, −28, 1, ...}

A008275号由第一类斯特林数行读取的三角形，

S公司1(n个,k个),n个  ≥   1, 1   ≤  k个  ≤  n个

.

{1, −1, 1, 2, −3, 1, − 6, 11, − 6, 1, 24, −50, 35, −10, 1, −120, 274, −225, 85, −15, 1, 720, −1764, 1624, −735, 175, −21, 1, −5040, 13068, −13132, 6769, −1960, 322, −28, 1, ...}

第一类Stirling数的行和

第一类Stirling数的行和为

n个 ∑   k个  = 0    S公司1(n个,k个)  =  0 n个 （2） =  0 n个  (n个 − 1), n个≥0。

第一类无符号斯特林数

我们有

${\显示样式{\开始{对齐}x^{（-0）}&=\左[x^{\上划线{0}}\右]^{-1}=\左[1\，x^{0}\右]^{-1{，\\x^{（-1）}&=\左[x^{\下划线{1}\右〕^{-1neneneep=\左[0\，x*{0}+\\1\，x^}1\右]^}-1}，\\x^{{（-2）}&=\右[x^}\overline{2}}\right]^{-1}=\left[0\，x^{0}+\\1\，x^}1}+\\%1\，x^{2}\right]^{-1}，\\x^{（-3）}&=\left[x^{\overline{3}}\reight]^{-1}=\ left[0，x*{0}+\\\2\，x^{1}+\\\\3\，x^}2}+\\1\，x^{3}\right]^{-1}，\\x^{（-4）}&=\left[x^{\overline{4}}\rift]^{-1}=\left[0\，x*{0}+\\6\，x|{1}+\\11\，x_^{2}+\ \\6\ 4}\right]^{-1}，\\x^{（-5）}&=\left[x^{\overline{5}\right]^{-1-}=\ left[0，x^{0}+\\24\，x^}1}+\\50\，x*{2}+\\35\，x|{3}+10\，x`{4}+\\1\，x`5}\reight]^{-1}，\x^{6（-6）}&=\left[x^{上划线{6}}\right]^{-1}=\left[0，x^{0}+120，x^}1}+274，x^[2}+225，x^[3]+85，x^[4}+15，x*5}+1，x^6}\right]^{-1}。\结束{对齐}}{对齐}x^{（-0）}&=\左[x^{\上划线{0}}\右]^{-1}=\左[1\，x^{0}\右]^{-1{，\\x^{（-1）}&=\左[x^{\下划线{1}\右〕^{-1neneneep=\左[0\，x*{0}+\\1\，x^}1\右]^}-1}，\\x^{{（-2）}&=\右[x^}\overline{2}}\right]^{-1}=\left[0\，x^{0}+\\1\，x^}1}+\\%1\，x^{2}\right]^{-1}，\\x^{（-3）}&=\left[x^{\overline{3}}\reight]^{-1}=\ left[0，x*{0}+\\\2\，x^{1}+\\\\3\，x^}2}+\\1\，x^{3}\right]^{-1}，\\x^{（-4）}&=\left[x^{\overline{4}}\rift]^{-1}=\left[0\，x*{0}+\\6\，x|{1}+\\11\，x_^{2}+\ \\6\ 4}\right]^{-1}，\\x^{（-5）}&=\left[x^{\overline{5}\right]^{-1-}=\ left[0，x^{0}+\\24\，x^}1}+\\50\，x*{2}+\\35\，x|{3}+10\，x`{4}+\\1\，x`5}\reight]^{-1}，\x^{6（-6）}&=\left[x^{上划线{6}}\right]^{-1}=\left[0，x^{0}+120，x^}1}+274，x^[2}+225，x^[3]+85，x^[4}+15，x*5}+1，x^6}\right]^{-1}。\结束{对齐}}$

涉及第一类无符号斯特林数三角形，也称为阶乘三角形,其中，行系数

k个

通过乘以行的多项式得到

k个 −  1

通过

(x个+k个 −  1)

.

A132393号第一类无符号斯特林数三角形（参见A048994号)，按行读取，

| S公司 (n个,k个) | ,n个  ≥   0, 0   ≤  k个  ≤  n个

.

{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 6, 11, 6, 1, 0, 24, 50, 35, 10, 1, 0, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, ...}

第一类无符号Stirling数三角形的行和

第一类无符号斯特林数的行和为

n个 ∑   k个  = 0    | S公司1(n个,k个) |  =  | S公司1(n个+ 1, 1) |  = n个!, n个≥ 0.

第一类无符号Stirling数三角形的下降对角线

The coefficients of the

k个

 第个下降对角线，其中

k个= 0

指最右边的一个，由次数多项式给出

2 k个

.
A000012号第一类斯特林数：

秒 (n个,n个),n个  ≥   0

（最简单的正数序列：all1的序列。）[

一0(n个) = 1

]通用名称：

1 / (1  − x个)

.

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}

A000217号第一类斯特林数：

秒 (n个+1中，n个),n个  ≥   0

(三角形数字:

一 (n个)=(  n个+ 12  ) =n个 (n个+ 1) / 2 = 0 + 1 + 2 + ... +n个

.) [

一1(n个)=======================================================================================================================================================================================================(n个+n个 2 ) / 2 =n个  (1 +n个) / 2

]通用名称：

1 / (1  − x个) 三

.

{0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, ...}

A000914号第一类斯特林数：

秒 (n个+ 2,n个),n个  ≥   0

. [

一2(n个)=（10n个+ 21n个 2+ 14n个 三+ 3n个 4 ) / 24 =n个  (1 +n个) (2 +n个) (5 + 3n个) / 24

]通用条款：

(2x个+x个 2)/（1） − x个) 5

.

{0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500, 10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500, 67977, 78561, 90335, ...}

A001303号第一类斯特林数，

秒 (n个+ 3,n个),n个  ≥  1,

否定。[

一三(n个) = (36n个+ 96n个 2+97年n个 三+ 47n个 4+ 11n个 5+n个 6 ) / 48 =n个  (1 +n个) (2 +n个) 2(3 +n个) 2/ 48

]通用名称：

（6）x个+ 8x个 2+x个 三) / (1  − x个) 7

.

{6, 50, 225, 735, 1960, 4536, 9450, 18150, 32670, 55770, 91091, 143325, 218400, 323680, 468180, 662796, 920550, 1256850, 1689765, 2240315, 2932776, 3795000, 4858750, 6160050, ...}

A000915号第一类斯特林数

秒 (n个+4中，n个),n个  ≥  1

. [

一4(n个) = ?

]通用名称：

(24x个+ 58x个 2+ 22x个 三+x个 4) / (1  − x个) 9

.

{24, 274, 1624, 6769, 22449, 63273, 157773, 357423, 749463, 1474473, 2749747, 4899622, 8394022, 13896582, 22323822, 34916946, 53327946, 79721796, 116896626, 16842387, ...}

沿着下降对角线的无符号第一类斯特林数的o.g.f.s分子的多项式三角：

${\显示样式{\开始{对齐}&1，\\&0+\\1\，x，\\&0+\\2\，x+\\\\1，x^{2}\\1，x^{4}，\\&0+120，x+\\444+114\，x^{5}+1，x^}6}。\结束{对齐}}+114\，x^{5}+1，x^}6}。\结束{对齐}}$

A112007号无符号Stirling1对角线o.g.f.s所用多项式的系数三角形

n个  ≥  1, 1  ≤  k个  ≤  n个

.

{1, 2, 1, 6, 8, 1, 24, 58, 22, 1, 120, 444, 328, 52, 1, 720, 3708, 4400, 1452, 114, 1, 5040, 33984, 58140, 32120, 5610, 240, 1, 40320, 341136, 785304, 644020, 195800, 19950, ...}

第二类斯特林数

我们有

${\显示样式{\开始{对齐}x^{0}&=1\，x^{（0）}，\\x^{1}&=0\，x^}（0 \1\，x^{（3）}，\\x^{4}&=0\，x^}（0）}+1 \，x*{（1）}+\\7\，x|{（2，x^{（4）}+\\1\，x^}（5）}，\\x^{6}&=0\，x^｛（0）}+1\，x*{（1）}+31\，x^{（2）}+90，x^{（3）}+65，x^}（4）}+15，x*{（5）}+1，x*}（6）}，结束{对齐}}}}{对齐}x^{0}&=1\，x^{（0）}，\\x^{1}&=0\，x^}（0 \1\，x^{（3）}，\\x^{4}&=0\，x^}（0）}+1 \，x*{（1）}+\\7\，x|{（2，x^{（4）}+\\1\，x^}（5）}，\\x^{6}&=0\，x^｛（0）}+1\，x*{（1）}+31\，x^{（2）}+90，x^{（3）}+65，x^}（4）}+15，x*{（5）}+1，x*}（6）}，结束{对齐}}}}$

涉及第二类斯特林数三角形.

第二类斯特林数三角形

S公司 (n个,k个 )

n个																										∑ n个 k个  = 1 S公司 (n个,k个 )
0													1													1
1												0		1												1
2											0		1		1											2
三										0		1		三		1										5
4									0		1		7		6		1									15
5								0		1		15		25		10		1								52
6							0		1		31		90		65		15		1							203
7						0		1		63		301		350		140		21		1						877
8					0		1		127		966		1701		1050		266		28		1					4140
9				0		1		255		3025		7770		6951		2646		462		36		1				21147
10			0		1		511		9330		34105		42525		22827		5880		750		45		1			115975
			k个 = 0		1		2		三		4		5		6		7		8		9		10

A048993号第二类斯特林数三角形，

S公司 2(n个,k个 ),n个  ≥   0, 0   ≤  k个  ≤  n个

.

{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 7, 6, 1, 0, 1, 15, 25, 10, 1, 0, 1, 31, 90, 65, 15, 1, 0, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1, 0, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1, 0, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1, ...}

A106800标准第二类斯特林数三角形，

S公司 2(n个,n个 − k个 ),n个  ≥   0, 0   ≤  k个  ≤  n个

.

{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 6, 7, 1, 0, 1, 10, 25, 15, 1, 0, 1, 15, 65, 90, 31, 1, 0, 1, 21, 140, 350, 301, 63, 1, 0, 1, 28, 266, 1050, 1701, 966, 127, 1, 0, 1, 36, 462, 2646, 6951, 7770, 3025, 255, 1, ...}

A008277号由第二类斯特林数行读取的三角形，

S公司 2(n个,k个 ),n个  ≥   1, 1  ≤  k个  ≤  n个

.

{1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 6, 1, 1, 15, 25, 10, 1, 1, 31, 90, 65, 15, 1, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1, ...}

第二类斯特林数三角形的行和

这个第二类Stirling数的行和是

n个 ∑   k个  = 0    S公司2(n个,k个）=B类n个 , n个≥ 0,

哪里

B类n个

是贝尔（或指数）数.
A000110号贝尔数或指数数：划分一组

n个,n个  ≥   0中，

标记的元素。

{1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, 51724158235372, ...}

贝尔多项式

通过更换

x个 (k个)

通过

x个 k个

在里面

x个 n个 =    n个 ∑   k个  = 0    S公司2(n个,k个 )x个 (k个), n个≥ 0,

一个人获得贝尔多项式

B类n个(x个)  :=    n个 ∑   k个  = 0    S公司2(n个,k个 )x个 k个, n个≥ 0,

对于其中

B类n个 (1)

生成铃声号码和

B类n个 ( − 1)

生成互补贝尔数.

第二类有符号Stirling数

我们有

${\显示样式{\开始｛对齐｝x^{-0}&=\左[+1 \，x^{\上划线{0}\右]^{-1}，\\x^{-1}&=\left[-0\，x_^{\下划线{0{}+1 \，x ^{\上划线{1}\右]^{-1}，\ x^{-2}&=\fleft[+0\，x~{\上中线{0}-1\，x_2{\上拉线{1}+\\1\，x^}\上划线行{2}}\right]^{-1}，\\x^{-3}&=\left[-0\，x^{\overline{0}}+1，x^}\overline{1}}-\\3\，x*{\overrine{2}+\\1\&=\left[+0\，x^{\overline{0}}-1\，x*{\overrine{1}}+\\7\，x|{\overbine{2}}-\\6\，x`{\overvine{3}}+\1\，x^}\overline{4}}\right]^{-1}，\\x^{-5}&=\left[-0\，x_{\overpline{0}+1\，xx^{\ overline}-1}-15\，x^{\overline{2}}+25\，x^}\overline{3}}-10\，x#{\overrine{4}}+\\1\，x#}\overrine{5}}\right]^{-1}，\\x#{-6}&=\left[+0\，x#1}}-1\，x^{\上划线{1}}+31\、x^{上划线{2}}-90\、x^}\上划线}+65\、x*{\上拉线{4}}-15\、x|{\上中线{5}}+1 \、x`{\上基线{6}}\right]^{-1}。\结束{对齐}}｛对齐｝x^{-0}&=\左[+1 \，x^{\上划线{0}\右]^{-1}，\\x^{-1}&=\left[-0\，x_^{\下划线{0{}+1 \，x ^{\上划线{1}\右]^{-1}，\ x^{-2}&=\fleft[+0\，x~{\上中线{0}-1\，x_2{\上拉线{1}+\\1\，x^}\上划线行{2}}\right]^{-1}，\\x^{-3}&=\left[-0\，x^{\overline{0}}+1，x^}\overline{1}}-\\3\，x*{\overrine{2}+\\1\&=\left[+0\，x^{\overline{0}}-1\，x*{\overrine{1}}+\\7\，x|{\overbine{2}}-\\6\，x`{\overvine{3}}+\1\，x^}\overline{4}}\right]^{-1}，\\x^{-5}&=\left[-0\，x_{\overpline{0}+1\，xx^{\ overline}-1}-15\，x^{\overline{2}}+25\，x^}\overline{3}}-10\，x#{\overrine{4}}+\\1\，x#}\overrine{5}}\right]^{-1}，\\x#{-6}&=\left[+0\，x#1}}-1\，x^{\上划线{1}}+31\、x^{上划线{2}}-90\、x^}\上划线}+65\、x*{\上拉线{4}}-15\、x|{\上中线{5}}+1 \、x`{\上基线{6}}\right]^{-1}。\结束{对齐}}$

涉及第二类有符号斯特灵数的三角形.

A？？？？？？第二类有符号斯特林数三角形， 

( − 1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 ),n个  ≥   0，0  ≤  k个  ≤  n个

.

{1, 0, 1, 0, −1, 1, 0, 1, −3, 1, 0, −1, 7, − 6, 1, 0, 1, −15, 25, −10, 1, 0, −1, 31, − 90, 65, −15, 1, 0, 1, − 63, 301, −350, 140, −21, 1, 0, −1, 127, − 966, 1701, −1050, 266, −28, 1, ...}

A？？？？？？由第二类有符号斯特林数行读取的三角形， 

( − 1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 ),n个  ≥   1, 1   ≤  k个  ≤  n个

.

{?, ...}

第二类有符号Stirling数三角形的行和

这个第二类有符号Stirling数的行和

n个 ∑   k个  = 0    (−1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 )  =  (−1) n个   n个 ∑   k个  = 0    (−1) k个 S公司2(n个,k个 )  =  (−1) n个 B̃n个 , n个≥ 0,

哪里

B̃n个

是Rao Uppuluri–卡彭特数（或补充贝尔数），生成序列

{1, (−) −1, 0, (−) 1, 1, (−) −2, − 9, (−) − 9、50、（−）267、413、（−）−2180、−17731、（−）−50533、110176、（−）1966797、9938669、（−）8638718、−278475061、（−）−2540956509、− 9816860358, (−) 27172288399, ...}

A000587号Rao Uppuluri–卡彭特数（或补充贝尔数），

n个  ≥   0

：例如f=

经验 (1  −  经验 (x个))

.

{1, −1, 0, 1, 1, −2, − 9, − 9, 50, 267, 413, −2180, −17731, −50533, 110176, 1966797, 9938669, 8638718, −278475061, −2540956509, − 9816860358, 27172288399, 725503033401, 5592543175252, ...}

Lah数字

拉赫数（也称为“第三类斯特林数”），由伊沃·拉赫发现1954年，定义为

L（左） (n个,k个 )  :=    n个 ∑   米  = k个    | 秒 (n个,米) | S公司 (米,k个 ) ,

哪里

| 秒 (n个,k个 ) |

和

S公司 (n个,k个 )

分别是第一类无符号斯特林数和第二类斯特林数。

Lah数用“下降阶乘”表示“上升阶乘”，反之亦然，即。

x个 n̅ =    n个 ∑   k个  = 1    L（左） (n个,k个 )x个 k个 ,

x个 n个 =    n个 ∑   k个  = 1    (−1) n个 − k个 L（左） (n个,k个 )x个 k个.

Lah数三角形

L（左） (n个,k个 )

n个																										∑ n个 k个  = 1 L（左） (n个,k个 )
1													−1													−1
2												2		1												三
三											−6		−6		−1											−13
4										24		36		12		1										73
5									−120		−240		−120		−20		−1									−501
6								720		1800		1200		300		30		1								4051
7							−5040		−15120		−12600		−4200		−630		−42		−1							−37633
8						40320		141120		141120		58800		11760		1176		56		1						394353
9					−362880		−1451520		−1693440		−846720		−211680美元		−28224		−2016		−72		−1					−4596553
10				3628800		16329600		21772800		12700800		3810240		635040		60480		3240		90		1				58941091
11			−39916800		−199584000		−299376000		−199584000人		−69854400		−13970880		−1663200		−118800		−4950		−110		−1			−824073141
			k个 = 1		2		三		4		5		6		7		8		9		10		11

A008297号Lah数三角形（连接行）。

{−1, 2, 1, − 6, − 6、−1、24、36、12、1、−120、−240、−120、−20、−1、720、1800、1200、300、30、1、−5040、−15120、−12600、− 4200, − 630, − 42, −1, 40320, 141120, 141120, 58800, 11760, ...}

Lah数三角形的行和

A293125型扩展，例如：

经验 ( − x个 / (1 +x个))

：用于

n个  ≥   1

，给出了Lah三角形的行和。

{−1, 3, −13, 73, −501, 4051, −37633, 394353, − 4596553, 58941091, −824073141, 12470162233, −202976401213, 3535017524403, − 65573803186921, 1290434218669921, ...}

受普通二项式展开式启发的阶乘多项式

受普通二项式展开式启发的阶乘多项式(x个+ 1)^n个

通过更换

x个 k个

通过

x个 (k个 )

在二项式展开
     

(x个+ 1) n个 =    n个 ∑   k个  = 0    ( n个 k个 ) x个 k个, n个≥ 0,

我们得到

     

P（P）n个 (x个)  :=    n个 ∑   k个  = 0    ( n个 k个 ) x个 (k个 ), n个≥0时，

由递推关系给出

     

P（P）0 (x个)  =  1; P（P）1(x个)  =  1 +x个; P（P）n个 (x个)  =  (x个− (n个− 2))P（P）n个  − 1(x个)+(n个− 1)P（P）n个  − 2(x个), n个≥ 2.

示例：

${\显示样式{\开始{对齐}P_{0}（x）&=\sum_{k=0}^{0}{\binom{0}}，x^{（k）}=1\，x^}0}，\\P_{1}（x）&=\sum_{k=0.}^{1}{\biom{1}}{k}}\，x*{k=0}^{2}{\binom{2}}{k}}\，x^{（k ^{2}+\\1\，x^{3}，\\P_{4}（x）&=\sum_{k=0}^{4}{\binom{4}{k}}\，x^{（k）}=1\，x*0}+\\0\，x*1}+\\5\，x^｛2｝-\\2\，x^{3}+\\1\，x^{4}，\\P_{5}（x）&=\sum_{k=0}^{5}{\binom{5}}，x_{（k）}=1\，x^}0}+\\9\，x^{1}-15\，x^{2}+15\，x^{3}-\5\，x^{4}+1，x^}5}，\\P_{6}（x）&=\sum_{k=0}^{6}{\binom{6}}\，x*{（k）}=1\，x^｛0｝-35\，x^{1}+94\，x^{2}-85\，x^{3}+40\，x^{4}-9\，x^{5}+1\，x^}6}。\结束{对齐}}{对齐}P_{0}（x）&=\sum_{k=0}^{0}{\binom{0}}，x^{（k）}=1\，x^}0}，\\P_{1}（x）&=\sum_{k=0.}^{1}{\biom{1}}{k}}\，x*{k=0}^{2}{\binom{2}}{k}}\，x^{（k ^{2}+\\1\，x^{3}，\\P_{4}（x）&=\sum_{k=0}^{4}{\binom{4}{k}}\，x^{（k）}=1\，x*0}+\\0\，x*1}+\\5\，x^｛2｝-\\2\，x^{3}+\\1\，x^{4}，\\P_{5}（x）&=\sum_{k=0}^{5}{\binom{5}}，x_{（k）}=1\，x^}0}+\\9\，x^{1}-15\，x^{2}+15\，x^{3}-\5\，x^{4}+1，x^}5}，\\P_{6}（x）&=\sum_{k=0}^{6}{\binom{6}}\，x*{（k）}=1\，x^｛0｝-35\，x^{1}+94\，x^{2}-85\，x^{3}+40\，x^{4}-9\，x^{5}+1\，x^}6}。\结束{对齐}}$

A？？？？？？由替换产生的普通多项式系数行读取的三角形

x个 k个

通过

x个 (k个 )

在二项式展开式中

(x个+1） n个

，用于

n个  ≥   0

.

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 5, −2, 1, 1, 9, −15, 15, −5, 1, 1, −35, 94, −85, 40, − 9, 1, ...}

与以下内容相关（尽管符号不同）：

A269953型按行读取三角形，

T型  (n个,k个 ) = ∑ n个 j个  = 0 (   − j个 −  1 − n个 −  1  )  S公司1(  j个,k个 )

哪里

S公司1

是斯特林循环数A132393号，用于

n个  ≥  0

和

0  ≤  k个  ≤  n个

.

{1, −1, 1, 1, −1, 1, −1, 2, 0, 1, 1, 0, 5, 2, 1, −1, 9, 15, 15, 5, 1, 1, 35, 94, 85, 40, 9, 1, −1, 230, 595, 609, 315, 91, 14, 1, 1, 1624, 4458, 4844, 2779, 924, 182, 20, 1, −1, ...}

三角形行总和

行总和似乎产生了:

P（P）n个 (1)  = n个+ 1, n个≥ 0.

三角形立柱

看来我们可能有第1列:

T型  (n个, 1) = ( − 1) [n个 属于某一组] A002741号 (n个),n个  ≥   0中，

哪里[⋅]是艾弗森支架.

｛0，1，1，2，0，9，−35，…｝

A002741号对数：展开

−  日志 (1  − x个)经验 ( − x个),n个  ≥   0

.

{0, 1, −1, 2, 0, 9, 35, 230, 1624, 13209, 120287, 1214674, 13469896, 162744945, 2128047987, 29943053062, 451123462672, 7245940789073, ...}

受普通二项式展开式启发的阶乘多项式(x个 −  1)^n个

通过更换

x个 k个

通过

x个 (k个 )

在二项式展开
     

(x个− 1) n个 =    n个 ∑   k个  = 0    ( n个 k个 )(−1) n个  − k个 x个 k个, n个≥ 0,

我们得到

     

P（P）n个 (x个)  :=    n个 ∑   k个  = 0    ( n个 k个 )(−1) n个  − k个 x个 (k个 ), n个≥ 0,

由递推关系给出

     

P（P）0 (x个) =1； P（P）1(x个)  =  − 1 +x个; P（P）n个 (x个)  =  (x个−n个)P（P）n个  − 1(x个) − (n个− 1)P（P）n个  − 2(x个), n个≥ 2.

示例：

${\显示样式{\开始{对齐}P_{0}（x）&=\sum_{k=0}^{0}{\binom{0}}\，（-1）^{n-k}\，x^{（k）}=+1，x^}，\\P_{1}$

A？？？？？？由替换产生的普通多项式系数行读取的三角形

x个 k个

通过

x个 (k个 )

在二项式展开式中

(x个 −  1) n个

，用于

n个  ≥   0

.

{1, −1, 1, 1, −3, 1, −1, 8, − 6, 1, 1, −24, 29, −10, 1, −1, 89, −145, 75, −15, 1, 1, − 415, 814, −545, 160, −21, 1, ...}

该绝对值由下式给出:

A094816号按行读取三角形：

T型  (n个,k个 ), 0  ≤  k个  ≤  n个,

等于Charlier多项式的系数：A046716号转置。

{1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 6, 1, 1, 24, 29, 10, 1, 1, 89, 145, 75, 15, 1, 1, 415, 814, 545, 160, 21, 1, 1, 2372, 5243, 4179, 1575, 301, ...}

三角形行总和

行总和似乎产生了:

P（P）n个 (1)  =  ( − 1) n个 +1(n个 −  1), n个  ≥   0

{1, 0, −1, 2, −3, 4, −5, ...}

三角形立柱

看来我们有第1列:

T型  (n个，1） =  ( − 1) n个 +1 A002104号 (n个),n个  ≥   0

{0, 1, −3, 8, −24, 89, − 415, ...}

A002104号对数：展开

−  日志 (1  − x个)经验 (x个),n个  ≥   0

.

{0, 1, 3, 8, 24, 89, 415, 2372, 16072, 125673, 1112083, 10976184, 119481296, 1421542641, 18348340127, 255323504932, 3809950977008, ...}

参考文献

• G.布尔。有限的差异第5版，纽约：切尔西，1970年。
• Elaydi，S.N.公司。差分方程简介第三版，施普林格出版社，2005年。
• 格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和O.Patashnik。具体数学：计算机科学基础第二版，雷丁，马萨诸塞州：Addison-Wesley，1994年。

外部链接

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,铃声号码，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。
• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,互补钟号，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。
• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,贝尔多项式，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。