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阶乘多项式

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这个阶乘多项式是[有限]差分演算多项式是[无穷小]微分学.

降阶乘阶乘阶乘

这个下降阶乘定义为〔1〕

XγKγ=γ
γ
Kα-ε1
γ
γ
Iα=0
γ
X-IK*

以及提升阶乘定义为〔1〕

XγKγ=γ
γ
Kα-ε1
γ
γ
Iα=0
γ
X+IK*
无论在哪种情况下
K= 0
我们得到了空产品,即.

阶乘多项式

阶乘项(布尔,1970:第6页)或A阶乘多项式(ELAYDI,2005:第60页)被定义为

XγK()γ=γXγK, K*
而否定的
K
我们有定义
Xγ(γ)K()γ=[]XγKα]α-ε1, K*
无论在哪种情况下
K= 0
我们得到了空产品,即.
这个阶乘多项式程度的
N
定义为阶乘项
()X=γ
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
K XγK(), N*
何处
N= 0
我们得到常数多项式。
0
.

广义阶乘多项式

以类似的方式劳伦特多项式我们也有广义阶乘多项式

L()X=γ
γ
N
西米
γ
Kγ=
γ
K XγK(), *N*小于N.

有限差分算子

用以上定义,[有限]差分算子

δfαX=()e-Iα)fαX(=)fαX+ 1)fαX
在哪里?
e
移位算子
I
恒等算子用[[无穷小]微分算子]的[普通或广义]阶乘多项式与[无论是普通的还是劳伦特的多项式]做。
差分算子 微分算子
德克萨斯Xγ(0)α=0
DγX0α=0
德克萨斯XγK()(=)K XγK(1), Kγ+
DγXγK(=)K XγKα-ε1, Kγ+
德克萨斯Xγ(γ)K()(=)K()Xγ(γ)K(1), Kγ+
DγXγ射线K(=)K()Xγ射线Kα-ε1, Kγ+
δ{
西米
N

Kγ=
K XγK()}=
西米
N

Kγ=
K德克萨斯XγK(), *N*α-ωN
D{
西米
N

Kγ=
K XγK}=
西米
N

Kγ=
K DγXγK, *N*α-ωN

从多项式表示到阶乘多项式表示,反之亦然

从多项式表示到阶乘多项式表示,我们有

Nα)T(=)fNα+1×(Nα)T

从阶乘多项式表示到多项式表示,我们有

Nα)T(=)fNα+1α-ε1×(Nα)T
在哪里?
Nα)
是多项式系数,
Nα)
阶乘多项式系数(在两种情况下都是)
N
)以及在哪里
fNα+1
是一个
N+ 1)N+ 1)
上三角矩阵的变换(从多项式到阶乘多项式)
fNα+1α-ε1
矩阵是逆矩阵。

第二章f(=)
, f(=)
γ
γ
, f(=)
γγ
γγ
γγ
, f(=)
γγγ
γγγ
γγγ
γγγ
, f(=)
γγγγ
γγγγ
γγγγ
γγγγ
γγγγ
, f(=)
γγγγγ
γγγγγ
γγγγγ十五
γγγγγ二十五
γγγγγ
γγγγγ
, f(=)
γγγγγγ
γγγγγγ
γγγγγ十五γ三十一
γγγγγ二十五γ九十
γγγγγγ六十五
γγγγγγ十五
γγγγγγ
S(0, 0)γ S(1, 0)γ S(2, 0)γ S(3, 0)γ S(4, 0)γ S(5, 0)γ S(6, 0)γ 馅饼
γ S(1, 1)γ S(2, 1)γ S(3, 1)γ S(4, 1)γ S(5, 1)γ S(6, 1)γ 馅饼
γγ S(2, 2)γ S(3, 2)γ S(4, 2)γ S(5, 2)γ S(6, 2)γ 馅饼
γγγ S(3, 3)γ S(4, 3)γ S(5, 3)γ S(6, 3)γ 馅饼
γγγγ S(4, 4)γ S(5, 4)γ S(6, 4)γ 馅饼
γγγγγ S(5, 5)γ S(6, 5)γ 馅饼
γγγγγγ S(6, 6)γ 馅饼
γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ

在哪里?
SαNK()
斯特灵是第二类吗?
fNα+ 1
递归获得
fNγ

第二章
γ
f (=)(1);
fNα+ 1I,  J(=)fN()I,  JN±1, 0±I小于N(1, 0)J小于N1;
fNα+ 1N,  Jα=0;N±1, 0±J小于N1;
fNα+ 1(0)Nα=0;N1以上;
fNα+ 1IN(=)I fN()IN1)+fN(i)1,N(1)N1, 1以上小于I小于N.

从上三角矩阵的中心对角线开始,对角线是由:

  • A000 0 12第二类斯特灵数
    S()N+ 0,N
    .
    { 1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、…}
  • A000 0217第二类斯特灵数
    S()N+ 1,N
    .
    { 0, 1, 3、6, 10, 15、21, 28, 36、45, 55, 66、78, 91, 105、120, 136, 153、171, 190, 210、…}
  • A000 1296第二类斯特灵数
    S()N+ 2,N
    .
    { 0, 1, 7、25, 65, 140、266, 462, 750、1155, 1705, 2431、3367, 4550, 6020、7820, 9996、…}
  • A000 1297第二类斯特灵数
    S()N+ 3,N
    .
    { 0, 1, 15、90, 350, 1050、2646, 5880, 11880、22275, 39325, 66066、106470, 165620, 249900、…}
  • A000 1298第二类斯特灵数
    S()N+ 4,N
    .
    { 0, 1, 31、301, 1701, 6951、22827, 63987, 159027、359502, 752752, 1479478、2757118、…}
  • A112492第二类斯特灵数
    S()N+ 5,N
    .
    { 0, 1, 63、966, 7770, 42525、179487, 627396, 1899612、5135130, 12662650, 28936908、62022324、…}
  • A1449第二类斯特灵数
    S()N+ 6,N
    .
    { 0, 1, 127、3025, 34105, 246730、1323652, 5715424, 20912320、67128490, 193754990、…}

斯特灵数字

Nα~(0)
我们有
XγNγ=γXγN(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
S()NKXγK(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
SNKXγK(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
(1)γNγ+K
γSNK
XγK

Xγ(γ)N()γ=[]Xγn*α]α-ε1(=)[
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
(1)γNγ+K SNK()Xγ射线K[]α-ε1]γα-ε1(=)[
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
(1)γNγ+K SNK()XγK]γα-ε1(=)
[
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
γSNK*)
XγK]γα-ε1(=)[
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
[γNKγ]γ XγK]γα-ε1
在哪里?
S()NK()
SNK()
斯特灵第一类数
[γNKγ]γ
第一类无符号斯特灵数.〔2〕

Nα~(0)
我们有
XγN(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
{γNKγ} XγK()(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
SαNγK XγK()(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
S()NK()XγK()(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
SNK()XγK()

Xγ射线Nγ=[]XγN[]α-ε1(=)[
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
(1)γNγ+K SNK()X(α)K()[]α-ε1]γα-ε1(=)[
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
(1)γNγ+K SNK()XγK*]γα-ε1
在哪里?
{γNKγ}
Sγ()NγK
S()NK()
SNK()
第二类斯特灵数
(第1)γNγ+K SNK()
第二类符号斯特灵数.〔2〕

斯特灵第一类数

我们有

涉及第一类斯特灵数的三角形,其中的行系数
K
通过乘行多项式获得
Kα1
Xγ-εK+ 1)
.

第一类斯特灵数的三角形
S()NK()

N
γ γ γ γ γ
西米
N

Kα=1
S()NK()

γ γ

γ γ

γ 1 γ

γ 3 γ

γ 6 十一 6 γ

二十四 50 三十五 10 γ

γ 120 二百七十四 225 八十五 15 γ

γ 七百二十 1764 一千六百二十四 735 一百七十五 21 γ

γ 5040 一万三千零六十八 13132 六千七百六十九 1960 三百二十二 28 γ

γ 四万零三百二十 109584 十一万八千一百二十四 67284 二万二千四百四十九 4536 五百四十六 36 γ

362880 一百零二万六千五百七十六 1172700 七十二万三千六百八十 269325 六万三千二百七十三 9450 八百七十 45 γ

K=*










γ
A049099由第一类斯特灵数行读取的三角形,
SNKNα~(0, 0)Kα-ωN
.
{ 1, 0, 1,0,1, 1, 0,2,3, 1, 0,π,6, 11,6, 1, 0,24,50, 35,10, 1, 0,120, 274,225, 85,π,γ,,γ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…
A000 8255由第一类斯特灵数行读取的三角形,
SNKNα~(1, 1)Kα-ωN
.
{ 1,1, 1, 2,3, 1,6, 11,6, 1, 24,50, 35,10, 1,120, 274,225, 85,15, 1, 720,1764, 1624,735, 175,},γ,γ,,γ,…

第一类斯特灵数的行和

第一类斯特灵数的行和

γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
SNK(=)0γN(2)α=0γNαN(1), N0以上。

第一类无符号斯特灵数

我们有

涉及第一类无符号斯特灵数的三角形也称为阶乘三角形〔3〕行系数
K
通过乘行多项式获得
Kα1
X+K(1)
.

A1323第一类无符号斯特灵数的三角形(参见A049099)按行读取,
γS()NK
Nα~(0, 0)Kα-ωN
.
{ 1, 0, 1,0, 1, 1,0, 2, 3,1, 0, 6,11, 6, 1,0, 24, 50,35, 10, 1,0, 120, 274,225, 85, 15,1, 0, 720,1764, 1624, 735,175, 21, 1,175, 21, 1,γ,γ,…}

第一类无符号斯特灵数的三角形的行和

第一类无符号斯特灵数的行和

γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
γSNK
(=)
γSN+ 1, 1)
(=)N, N0以上。

第一类无符号斯特灵数三角形的降对角线

系数
K
γ下降对角线,在哪里
K= 0
指最右边的一个,由一个多项式给出。
2℃K
.
A000 0 12斯特灵第一类数字:
S()NNNα~(0)。
(最简单的正数序列:全部)“S序列”
N= 1
G.f.:
1(1)X
.
{ 1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1、…}
A000 0217斯特灵第一类数字:
S()N+ 1,NNα~(0)。
三角数
()N=γN+ 1γγ=N()N+ 1)/ 2=0+1+2+…+N
N(=)N+N2^)/ 2=N(1)N)/ 2
G.f.:
1(1)X3
.
{ 0, 1, 3、6, 10, 15、21, 28, 36、45, 55, 66、78, 91, 105、120, 136, 153、171, 190, 210、231, 253, 276、300, 325, 351、378, 406, 435、465, 496, 528、561, 595, 630、561, 595, 630、…}
A000 0914斯特灵第一类数字:
S()N+ 2,NNα~(0)
. []
N=(10)N+ 21N2+ 14N3+ 3N4^)/ 24=N(1)N(2)N(5±3)N)/ 24
G.f.:
(2)X+X2(1)X5
.
{ 0, 2, 11、35, 85, 175、322, 546, 870、1320, 1925, 2717、3731, 5005, 6580、8500, 10812, 13566、16815, 20615, 25025、30107, 35926, 42550、50050, 58500, 67977、78561, 90335、…}
A000 1303斯特灵第一类数字,
S()N+ 3,NNα-ε1,
否定。[]
N=(36)N+ 96N2+ 97N3+ 47N4+ 11N5+N6^)/ 48=N(1)N(2)N2(3 +)N248
G.f.:
(6)X+ 8X2+X3(1)X7
.
{ 6, 50, 225、735, 1960, 4536、9450, 18150, 32670、55770, 91091, 143325、218400, 323680, 468180、662796, 920550, 1256850、1689765, 2240315, 2932776、3795000, 4858750, 6160050、…}
A000 0915斯特灵第一类数
S()N+ 4,NNα-ε
. [
N=?γ
G.f.:
(24)X+ 58X2+ 22X3+X4(1)X9
.
{ 24, 274, 1624、6769, 22449, 63273、157773, 357423, 749463、1474473, 2749747, 4899622、8394022, 13896582, 22323822、34916946, 53327946, 79721796、116896626, 16842387、…}

O-G.F.S的分子的三角多项式,用于沿下降对角线的第一类无符号斯特灵数:

A112007用于无符号斯特林1对角线的O.G.F.S多项式的系数三角形
Nα-ε1, 1α-ωKα-ωN
.
{ 1, 2, 1、6, 8, 1、24, 58, 22、1, 120, 444、328, 52, 1、720, 3708, 4400、1452, 114, 1、5040, 33984, 58140、32120, 5610, 240、1, 40320, 341136、785304, 644020, 195800、19950、…}

第二类斯特灵数

我们有

涉及第二类斯特灵数的三角形.

第二类斯特灵数的三角形
S()NK()

N
γ γ γ γ γ
西米
N

Kα=1
S()NK()

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ
十五
十五 二十五 γ
五十二
γ 三十一 九十 六十五 十五 γ
二百零三
γ 六十三 三百零一 三百五十 一百四十 二十一 γ
八百七十七
γ 一百二十七 九百六十六 一千七百零一 一千零五十 二百六十六 二十八 γ
四千一百四十
γ 二百五十五 三千零二十五 七千七百七十 六千九百五十一 二千六百四十六 四百六十二 三十六 γ
二万一千一百四十七
五百一十一 九千三百三十 三万四千一百零五 四万二千五百二十五 二万二千八百二十七 五千八百八十 七百五十 四十五 γ
十一万五千九百七十五

K=*










γ
A04903第二类斯特灵数的三角形,
S2NK()Nα~(0, 0)Kα-ωN
.
{ 1, 0, 1,0, 1, 1,0, 1, 3,1, 0, 1,7, 6, 1,0, 1, 15,25, 10, 1,0, 1, 31,90, 65, 15,1, 0, 1,63, 301, 350,140, 21, 1,140, 21, 1,γ,γ,γ,γ,γ,…}
A1068第二类斯特灵数的三角形,
S2NNγ-εK()Nα~(0, 0)Kα-ωN
.
{ 1, 1, 0,1, 1, 0,1, 3, 1,0, 1, 6,7, 1, 0,1, 10, 25,15, 1, 0,1, 15, 65,90, 31, 1,0, 1, 21,140, 350, 301,63, 1, 0,63, 1, 0,γ,γ,γ,γ,…,}
A000 827由第二类斯特灵数行行读取的三角形,
S2NK()Nα~(1, 1)α-ωKα-ωN
.
{ 1, 1, 1,1, 3, 1,1, 7, 6,1, 1, 15,25, 10, 1,1, 31, 90,65, 15, 1,1, 63, 301,350, 140, 21,1, 1, 127,966, 1701, 1050,266, 28, 1,266, 28, 1,γ,γ,…}

第二类斯特灵数的三角形的行和

这个第二类斯特灵数的行和

γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
SNK*)=Nγ,*N0以上,
在哪里?
N
贝尔(或指数)数.
A000 0110Bell或指数数:划分一组
NNα~(0),
标记元素。
{ 1, 1, 2、5, 15, 52、203, 877, 4140、21147, 115975, 678570、4213597, 27644437, 190899322、1382958545, 10480142147, 82864869804、682076806159, 5832742205057, 51724158235372、…}

贝尔多项式

通过替换
X()K
XγK
进入
XγN(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
SNK()X()K, N0以上,

一个获得贝尔多项式

NX=γ
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
SNK()XγK, N0以上,
为此
N(1)
收益率贝尔数
N(α~(1))
收益率互补贝尔数.

第二类符号斯特灵数

我们有

涉及第二类符号斯特灵数的三角形.

A??????第二类符号斯特灵数的三角形
(第1)γNγ+K SNK()Nα~(0, 0)Kα-ωN
.
{ 1, 0, 1,0,1, 1, 0,1,3, 1, 0,1, 7,ε6, 1, 0,1,15, 25,10, 1, 0,1, 31,ε90, 65,},γ,,γ,,γ,,γ,,γ,,γ,…
A??????用第二类符号斯特灵数列来读取三角形
(第1)γNγ+K SNK()Nα~(1, 1)Kα-ωN
.
{?,…}

第二类符号斯特灵数三角形的行和

这个第二类符号斯特灵数的行和

γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
(1)γNγ+K SNKγ)=(1)γN
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
(1)γK SNKγ)=(1)γN Nγ,*N0以上,
在哪里?
N
RoopuPururi木匠数(或互补贝尔数)产生序列
{(1),(1, 0),(1, 1),(2),(9),(())267, 413,(())2180,17731,(())50533, 110176,(())8638718,(8638718),(,),(,),,,,(…),(…)

A000 0597RoopuPururi木匠数(或互补贝尔数)
Nα~(0)
例如:
EXP(1π×Exp)X
.
{ 1,1, 0, 1,1,2,9,9, 50, 267,413,2180,17731,50533, 110176, 1966797,9938669, 8638718,278475061,},γ,α,…

LAH数

Ivo Lah发现的Lah数(也称为“第三类斯特灵数”)〔4〕在1954,定义为

L()NK*)=γ
γ
N
西米
γ
γ=K
γ
γS()N
S()K
在哪里?
γS()NK*)
S()NK()
分别为第一类和第二类斯特灵数的无符号的斯特灵数。

LAH数字表示“上升阶乘”的“下降阶乘”,反之亦然,即“上升阶乘”。

Xγn*(=)
γ
N
西米
γ
Kα=1
γ
L()NK()XγK
XγN(=)
γ
N
西米
γ
Kα=1
γ
(1)γNγ-εK L()NK()XγK.

LAH数三角形
L()NK()

N
γ γ γ γ γ
西米
N

Kα=1
L()NK()

γ 1 γ
1
γ γ

γ 6 6 1 γ
13
γ 二十四 三十六 十二 γ
七十三
γ 120 240 120 20 1 γ
501
七百二十 一千八百 一千二百 三百 三十 γ
四千零五十一
γ 5040 15120 12600 4200 630 42 1 γ
37633
γ 四万零三百二十 十四万一千一百二十 十四万一千一百二十 五万八千八百 一万一千七百六十 一千一百七十六 五十六 γ
三十九万四千三百五十三
γ 362880 1451520 1693440 846720 211680 28224 2016 72 1 γ
4596553
γ 三百六十二万八千八百 一千六百三十二万九千六百 二千一百七十七万二千八百 一千二百七十万零八百 三百八十一万零二百四十 六十三万五千零四十 六万零四百八十 三千二百四十 九十 γ
五千八百九十四万一千零九十一
十一 39916800 199584000 299376000 199584000 69854400 13970880 1663200 118800 4950 110 1 γ
824073141

K=*










十一 γ

A000 829LAH数的三角形(级联行)。

{ 1, 2, 1,ε6,ε6,1, 24, 36,12, 1,120,240,120,20,1, 720, 1800,1200, 300, 30,1,},ω,α,α,α,α,α,α,α,α,α,…

Lah数三角形的行和

A23125扩展E.F.:
Exp(α)Xγ/(1)X
Nα~(1)
给出Lah三角形的行和。
{ 1, 3,13, 73,501, 4051,37633, 394353,4596553, 58941091,824073141, 12470162233,202976401213, 3535017524403,π65573803186921, 1290434218669921,…}

由一般二项展开式导出的阶乘多项式

由普通二项展开式导出的阶乘多项式X+ 1)N

通过替换
XγK
X()K()
二项式展开
第二章
X+ 1)γN(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
N
K
XγK, N0以上,

我们得到

第二章
N()X=γ
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
N
K
X()K(), N0以上,

由递推关系给出

第二章
γ
()Xα=1;
X==1+X
N()X(=)X-(N(2)Nα-ε1X+)N(1)Nα-ε2XN2以上。

实例:

A??????由替换的普通多项式系数行读取的三角形
XγK
X()K()
在二项式展开中
X+ 1)γN
,为了
Nα~(0)
.
{ 1, 1, 1、1, 1, 1、1, 2, 0、1, 1, 0、5、2, 1, 1、9、15, 15、5, 1, 1、35, 94、85, 40、ε9, 1、…}

与(尽管符号不同)有关:

A26953按行读取三角形
TαNK=)
西米
N

Jα=0
γγ-εJα1γ-εNα1γγ S(α)JK()
在哪里?
S
是斯特灵循环数A1323,为了
Nα-ε
α-ωKα-ωN
.
{ 1,1, 1, 1,1, 1,1, 2, 0,1, 1, 0,5, 2, 1,1, 9, 15,15, 5, 1,1, 35, 94,85, 40, 9,1,1, 230, 595,1, 230, 595,γ,Y,Y,Y,γ,…,}。

三角列和

看来,行和产量

Nε(1)N+ 1N0以上。

三角柱

看来我们可能有第1栏。
TαN,1)=(α~1)[]N 属于某一套] A000 741()NNα~(0),
在哪里?[]艾弗森括号.
{ 0, 1, 1,2, 0, 9,35,…}
A000 741对数数:扩展
γ- log(1π)X(Exp)XNα~(0)
.
{ 0, 1,1, 2, 0,9, 35, 230,1624, 13209, 120287,1214674, 13469896, 162744945,2128047987, 29943053062, 451123462672,7245940789073,…}

由普通二项展开式导出的阶乘多项式X(1)N

通过替换
XγK
X()K()
二项式展开
第二章
X(1)γN(=)
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
N
K
(1)γNγ射线K XγK, N0以上,

我们得到

第二章
N()X=γ
γ
N
西米
γ
Kα=0
γ
N
K
(1)γNγ射线K X()K(), N0以上,

由递推关系给出

第二章
γ
()Xα=1;
X==1+X
N()X(=)X-NNα-ε1X()N(1)Nα-ε2XN2以上。

实例:

A??????由替换的普通多项式系数行读取的三角形
XγK
X()K()
在二项式展开中
X(1)γN
,为了
Nα~(0)
.
{ 1、1, 1, 1、3, 1、1, 8、6, 1, 1、24, 29、10, 1、1, 89、145, 75、15, 1, 1、15, 1, 1、415, 814、545, 160、545, 160、}…

这个绝对值是由

A09816按行读取三角形:
TαNK0)Kα-ωN
等于Calier-多项式的系数:A0461616转位。
{ 1, 1, 1、1, 3, 1、1, 8, 6、1, 1, 24、29, 10, 1、1, 89, 145、75, 15, 1、1, 415, 814、545, 160, 21、1, 1, 2372、5243, 4179, 1575、301、…}

三角列和

看来,行和产量
Nε(1)π=(α~(1))γN+ 1N(1)Nα~(0)。
{ 1, 0,1, 2,3, 4,5,…}

三角柱

看来我们有第1栏。
TαN(1)(=)(α~(1))γN+ 1 A000 2104()NNα~(0)。
{ 0, 1,3, 8,24, 89,π415,…}
A000 2104对数数:扩展
γ- log(1π)X(EXP)XNα~(0)
.
{ 0, 1, 3、8, 24, 89、415, 2372, 16072、125673, 1112083, 10976184、119481296, 1421542641, 18348340127、255323504932, 3809950977008、…}

笔记

  1. γ 一点一 使用
    XγK
    XγK
    在(Graham,Knuth,Patashnik,1994:第48页)中提出的符号。
  2. γ 二点一 以苏格兰数学家命名斯特林.
  3. γ Steven Schwartzman:“阶乘三角形与多项式序列,”大学数学学报,第15卷,第5期(第11期,第1984期),第424页-第426页。
  4. γ 奥康纳,John J.,罗伯森,Edmund F.,“Ivo Lah”数学档案史圣·安驻斯大学γ.

推荐信

  • Boole,G.有限差分第五版,纽约,纽约:切尔西,1970。
  • S.N.差分方程导论,第三ED。施普林格,2005。
  • Graham,R. L.;克努斯,D. E.;Patashnik,O.混凝土数学:计算机科学的基础,第二版。阅读,马:Addison Wesley,1994。

外部链接