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这个阶乘多项式为[有限]微分学多项式对[无穷小]是什么微分学.
降阶乘和升阶乘
这个下降阶乘定义为[1]
-
x个 k个 以下为:= (x个−我), k个∈ ℕ, |
和提高阶乘定义为[1]
-
x个 k个 以下为:= (x个+我), k个∈ ℕ, |
其中,在任何一种情况下,对于我们得到了空产品,即。1.阶乘多项式
A类阶乘项(Boole,1970年:第6页)或阶乘多项式(Elaydi,2005:p.60)定义为
-
x个 (k个 ) 以下为:= x个 k个, k个∈ ℕ, |
对于负片我们有定义-
x个 ( − k个 ) 以下为:= [x个 k个 ] − 1, k个∈ ℕ, |
其中,在任何一种情况下,对于我们得到了空产品,即。1.这个阶乘多项式学位定义为阶乘项
-
P(P) (x个) 以下为:= 一k个 x个 (k个 ), n个∈ ℕ, |
在哪里我们得到了常数多项式.广义阶乘多项式
以类似于洛朗多项式,我们还有广义阶乘多项式
-
L(左) (x个) 以下为:= 一k个 x个 (k个 ), 米∈ ℤ,n个∈ ℤ,米≤n个. |
有限差分算子
根据上述定义,[有限]差分算子
-
Δ(f) (x个) 以下为:= (E类−我 )(f) (x个) = (f) (x个+ 1) −(f) (x个) |
哪里是轮班操作员和是身份运算符,与[普通或广义]阶乘多项式的行为类似于[无穷小]微分算子对[普通或洛朗]多项式的行为。
差分运算符 |
微分算子 |
|
|
Δ x个 (k个 ) = k个 x个 (k个 − 1), k个∈ ℕ+ |
|
D类 x个 k个 = k个 x个 k个 − 1, k个∈ ℕ+ |
|
Δ x个 ( − k个 ) = ( − k个 )x个 ( − k个 − 1), k个∈ ℕ+ |
|
D类 x个 − k个 = ( − k个 )x个 − k个 − 1, k个∈ ℕ+ |
|
Δ{ 一k个 x个 (k个 )}= 一k个Δ x个 (k个 ), 米∈ ℤ,n个∈ ℤ,米 ≤ n个 |
|
D类{ 一k个 x个 k个}= 一k个 D类 x个 k个, 米∈ ℤ,n个∈ ℤ,米 ≤ n个 |
|
从多项式表示转换为阶乘多项式表示,反之亦然
从多项式表示到阶乘多项式表示,我们有
-
(b条0,b条1。。。,b条n个 )T型 = F类n个 + 1× (一0,一1。。。,一n个 )T型, |
从阶乘多项式表示到多项式表示,我们有
-
(一0,一1。。。,一n个 )T型 = (F类n个 + 1) − 1× (b条0,b条1。。。,b条n个 )T型, |
哪里是多项式系数,是阶乘多项式系数(在这两种情况下,次数为),以及其中是一个上三角矩阵的变换(从多项式到阶乘多项式)是矩阵的逆矩阵。 F类1 = , F类2 = , F类三 = , F类4 = 1 | | 0 | | 0 | | 0 |
0 | | 1 | | 1 | | 1 |
0 | | 0 | | 1 | | 三 |
0 | | 0 | | 0 | | 1 |
, F类5 = 1 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 |
0 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 |
0 | | 0 | | 1 | | 三 | | 7 |
0 | | 0 | | 0 | | 1 | | 6 |
0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 1 |
, F类6 = 1 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 |
0 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 |
0 | | 0 | | 1 | | 三 | | 7 | | 15 |
0 | | 0 | | 0 | | 1 | | 6 | | 25 |
0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 1 | | 10 |
0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 1 |
, F类7 = 1 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 |
0 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 |
0 | | 0 | | 1 | | 三 | | 7 | | 15 | | 31 |
0 | | 0 | | 0 | | 1 | | 6 | | 25 | | 90 |
0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 1 | | 10 | | 65 |
0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 1 | | 15 |
0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 1 |
, ..., S公司 (0, 0) | | S公司 (1, 0) | | S公司 (2, 0) | | S公司 (3, 0) | | S公司 (4, 0) | | S公司 (5, 0) | | S公司 (6, 0) | | ⋯ |
0 | | S公司 (1, 1) | | S公司 (2, 1) | | S公司 (3, 1) | | S公司 (4, 1) | | S公司 (5, 1) | | S公司 (6, 1) | | ⋯ |
0 | | 0 | | S公司 (2, 2) | | S公司 (3, 2) | | S公司 (4,2) | | S公司 (5, 2) | | S公司 (6, 2) | | ⋯ |
0 | | 0 | | 0 | | S公司 (3, 3) | | S公司 (4, 3) | | S公司 (5, 3) | | S公司 (6, 3) | | ⋯ |
0 | | 0 | | 0 | | 0 | | S公司 (4,4) | | S公司 (5, 4) | | S公司 (6, 4) | | ⋯ |
0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | S公司 (5, 5) | | S公司 (6, 5) | | ⋯ |
0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | S公司 (6, 6) | | ⋯ |
⋮ | | ⋮ | | ⋮ | | ⋮ | | ⋮ | | ⋮ | | ⋮ | | ⋱ |
,哪里是第二类斯特林数。递归获取自以下为:
F类1 | = (1); |
F类n个 +1(我, j个) | = F类n个 (我, j个), n个≥ 1, 0 ≤我≤n个− 1, 0 ≤ j个≤n个− 1; |
F类n个 +1(n个, j个) | = 0, n个≥ 1, 0 ≤ j个≤n个− 1; |
F类n个 +1(0,n个) | = 0, n个≥ 1; |
F类n个 +1(我,n个) | = 我 F类n个 (我,n个− 1) +F类n个 (i−1,n个− 1), n个≥ 1, 1≤我≤n个. |
|
从上三角矩阵的中心对角线开始,对角线如下所示:
- A000012号第二类斯特林数.
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
- A000217号第二类斯特林数.
{0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, ...}
- A001296号第二类斯特林数.
{0, 1, 7, 25, 65, 140, 266, 462, 750, 1155, 1705, 2431, 3367, 4550, 6020, 7820, 9996, ...}
- A001297号第二类斯特林数.
{0, 1, 15, 90, 350, 1050, 2646, 5880, 11880, 22275, 39325, 66066, 106470, 165620, 249900, ...}
- A001298号第二类斯特林数.
{0, 1, 31, 301, 1701, 6951, 22827, 63987, 159027, 359502, 752752, 1479478, 2757118, ...}
- A112494号第二类斯特林数.
{0, 1, 63, 966, 7770, 42525, 179487, 627396, 1899612, 5135130, 12662650, 28936908, 62022324, ...}
- A144969号第二类斯特林数.
{0,1,127,3025,34105,246730,1323652,5715424,20912320,67128490,193754990,…}
斯特林数
对于,我们有-
x个 (n个) 以下为:= x个 n个 = 秒 (n个,k个)x个 k个 = S公司1(n个,k个)x个 k个 = (−1) n个 + k个 | S公司1(n个,k个) | x个 k个, |
和
-
x个 ( − n个 ) 以下为:= [x个 年 ] − 1 = [ (−1) n个 + k个 S公司1(n个,k个 ) [x个 − k个 ] − 1] − 1 = [ (−1) n个 + k个 S公司1(n个,k个 )x个 k个] − 1 = |
[ | S公司1(n个,k个 ) | x个 k个] − 1 = [ [ n个k个 ] x个 k个] − 1, |
哪里或是第一类斯特林数,以及是第一类无符号斯特林数.[2]对于,我们有-
x个 n个 = { n个k个 } x个 (k个 ) = S公司 (n个) k个 x个 (k个 ) = S公司 (n个,k个 )x个 (k个 ) = S公司2(n个,k个 )x个 (k个 ), |
和
-
x个 − n个 以下为:= [x个 n个 ] − 1 = [ (−1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 ) [x个 ( − k个 ) ] − 1] − 1 = [ (−1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 )x个 k̅] − 1, |
哪里,,或是第二类斯特林数,以及( − 1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 ) |
是第二类有符号斯特灵数.[2]
第一类斯特林数
我们有
-
涉及第一类斯特林数三角形,其中,行的系数通过乘以行的多项式得到通过.
第一类斯特林数三角形
|
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0
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1 |
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1
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1
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0 |
1 |
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1
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2
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0 |
−1 |
1 |
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0
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三
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0 |
2 |
−3 |
1 |
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0
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4
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0 |
−6 |
11 |
−6 |
1 |
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0
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5
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|
0 |
24 |
−50 |
35 |
−10 |
1 |
|
0
|
6
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0 |
−120 |
274 |
−225 |
85 |
−15 |
1 |
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0
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7
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0 |
720 |
−1764 |
1624 |
−735 |
175 |
−21 |
1 |
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0
|
8
|
|
0 |
−5040 |
13068 |
−13132 |
6769 |
−1960 |
322 |
−28 |
1 |
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0
|
9
|
|
0 |
40320 |
−109584 |
118124 |
−67284 |
22449 |
−4536 |
546 |
−36 |
1 |
|
0
|
10
|
|
0 |
−362880 |
1026576 |
−1172700 |
723680 |
−269325 |
63273 |
−9450 |
870 |
−45 |
1 |
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0 |
|
|
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1
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2
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三
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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|
|
A048994号由第一类斯特林数行读取的三角形,S公司1(n个,k个),n个≥0, 0 ≤ k个 ≤ n个 |
.-
{1,0,1,0,−1,1,0,2,−3,1,0,− 6, 11, − 6, 1, 0, 24, −50, 35, −10, 1, 0, −120, 274, −225, 85, −15, 1, 0, 720, −1764, 1624, −735, 175, −21, 1, 0, −5040, 13068, −13132, 6769, −1960, 322, −28, 1, ...}
A008275号由第一类斯特林数行读取的三角形,S公司1(n个,k个),n个≥1, 1 ≤ k个 ≤ n个 |
.-
{1,−1,1,2,−3,1,− 6, 11, − 6, 1, 24, −50, 35, −10, 1, −120, 274, −225, 85, −15, 1, 720, −1764, 1624, −735, 175, −21, 1, −5040, 13068, −13132, 6769, −1960, 322, −28, 1, ...}
第一类Stirling数的行和
第一类Stirling数的行和为
-
S公司1(n个,k个) = 0 n个 (2) = 0 n个 (n个 − 1), n个≥ 0. |
第一类无符号斯特林数
我们有
-
涉及第一类无符号斯特林数三角形,也称为阶乘三角形,[3]其中,行的系数通过乘以行的多项式得到通过.
A132393号第一类无符号斯特林数三角形(参见A048994号),按行读取,| S公司 (n个,k个) | ,n个≥0, 0 ≤ k个 ≤ n个 |
.-
{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 6, 11, 6, 1, 0, 24, 50, 35, 10, 1, 0, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, ...}
第一类无符号Stirling数三角形的行和
第一类无符号斯特林数的行和为
-
| S公司1(n个,k个) | = | S公司1(n个+ 1, 1) | = n个!, n个≥ 0. |
第一类无符号Stirling数三角形的下降对角线
The coefficients of the
第个下降对角线,其中指最右边的一个,由次数多项式给出.
A000012号第一类斯特林数:(最简单的正数序列:all1的序列。)[]通用名称:.-
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
A000217号第一类斯特林数:(三角形数字以下为:一 (n个) =( n个+ 12 ) =n个 (n个+ 1) / 2 = 0 + 1 + 2 + ... +n个 |
.) [一1(n个) = (n个+n个 2 ) / 2 =n个 (1 +n个)第2页 |
]通用名称:.-
{0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, ...}
A000914号第一类斯特林数:. [一2(n个) = (10n个+ 21n个 2+ 14n个 三+ 3n个 4 ) / 24 =n个 (1 +n个) (2 +n个) (5 + 3n个) / 24 |
]通用名称:.-
{0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500, 10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500, 67977, 78561, 90335, ...}
A001303号第一类斯特林数,否定。[一三(n个) = (36n个+ 96n个 2+ 97n个 三+ 47n个 4+ 11n个 5+n个 6 ) / 48 =n个 (1 +n个) (2 +n个) 2(3 +n个) 2/ 48 |
]通用名称:(6x个+ 8x个 2+x个 三) / (1 − x个) 7 |
.-
{6, 50, 225, 735, 1960, 4536, 9450, 18150, 32670, 55770, 91091, 143325, 218400, 323680, 468180, 662796, 920550, 1256850, 1689765, 2240315, 2932776, 3795000, 4858750, 6160050, ...}
A000915号第一类斯特林数. []通用名称:(24x个+ 58x个 2+ 22x个 三+x个 4) / (1 − x个) 9 |
.-
{24, 274, 1624, 6769, 22449, 63273, 157773, 357423, 749463, 1474473, 2749747, 4899622, 8394022, 13896582, 22323822, 34916946, 53327946, 79721796, 116896626, 16842387, ...}
沿着下降对角线的无符号第一类斯特林数的o.g.f.s分子的多项式三角:
-
A112007号无符号Stirling1对角线o.g.f.s所用多项式的系数三角形.-
{1, 2, 1, 6, 8, 1, 24, 58, 22, 1, 120, 444, 328, 52, 1, 720, 3708, 4400, 1452, 114, 1, 5040, 33984, 58140, 32120, 5610, 240, 1, 40320, 341136, 785304, 644020, 195800, 19950, ...}
第二类斯特林数
我们有
-
涉及第二类斯特林数三角形.
第二类斯特林数三角形
|
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|
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|
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0
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1 |
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1
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1
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0 |
1 |
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2
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0 |
1 |
1 |
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2
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三
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|
0 |
1 |
三 |
1 |
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5
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4
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0 |
1 |
7 |
6 |
1 |
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15
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5
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0 |
1 |
15 |
25 |
10 |
1 |
|
52
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6
|
|
0 |
1 |
31 |
90 |
65 |
15 |
1 |
|
203
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7
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|
0 |
1 |
63 |
301 |
350 |
140 |
21 |
1 |
|
877
|
8
|
|
0 |
1 |
127 |
966 |
1701 |
1050 |
266 |
28 |
1 |
|
4140
|
9
|
|
0 |
1 |
255 |
3025 |
7770 |
6951 |
2646 |
462 |
36 |
1 |
|
21147
|
10
|
|
0 |
1 |
511 |
9330 |
34105 |
42525 |
22827 |
5880 |
750 |
45 |
1 |
|
115975 |
|
|
|
1
|
2
|
三
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
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9
|
10
|
|
|
A048993美元第二类斯特林数三角形,S公司 2(n个,k个 ),n个≥0, 0 ≤ k个 ≤ n个 |
.-
{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 7, 6, 1, 0, 1, 15, 25, 10, 1, 0, 1, 31, 90, 65, 15, 1, 0, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1, 0, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1, 0, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1, ...}
A106800标准第二类斯特林数三角形,S公司 2(n个,n个 − k个 ),n个≥0, 0 ≤ k个 ≤ n个 |
.-
{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 6, 7, 1, 0, 1, 10, 25, 15, 1, 0, 1, 15, 65, 90, 31, 1, 0, 1, 21, 140, 350, 301, 63, 1, 0, 1, 28, 266, 1050, 1701, 966, 127, 1, 0, 1, 36, 462, 2646, 6951, 7770, 3025, 255, 1, ...}
A008277号由第二类斯特林数行读取的三角形,S公司 2(n个,k个 ),n个≥1, 1 ≤ k个 ≤ n个 |
.-
{1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 6, 1, 1, 15, 25, 10, 1, 1, 31, 90, 65, 15, 1, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1, ...}
第二类斯特林数三角形的行和
这个第二类Stirling数的行和是
-
S公司2(n个,k个 ) = B类n个 , n个≥ 0, |
哪里是贝尔(或指数)数.
A000110号贝尔数或指数数:划分一组标记的元素。-
{1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975,678570,4213597,27644437,190899322,1382958545,10480142147,82864869804,682076806159,5832742205057,51724158235372,…}
贝尔多项式
通过更换通过在里面-
x个 n个 = S公司2(n个,k个 )x个 (k个), n个≥ 0, |
一个人获得贝尔多项式
-
B类n个(x个) 以下为:= S公司2(n个,k个 )x个 k个, n个≥ 0, |
对于其中生成铃声号码和生成互补贝尔数.第二类有符号Stirling数
我们有
-
涉及第二类有符号Stirling数三角形.
A??????第二类有符号斯特林数三角形, ( − 1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 ),n个≥0, 0 ≤ k个 ≤ n个 |
.-
{1, 0, 1, 0, −1, 1, 0, 1, −3, 1, 0, −1, 7, − 6, 1, 0, 1, −15, 25, −10, 1, 0, −1, 31, − 90, 65, −15, 1, 0, 1, − 63, 301, −350, 140, −21, 1, 0, −1, 127, − 966、1701、−1050、266、−28、1、…}
A??????由第二类有符号斯特林数行读取的三角形, ( − 1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 ),n个≥1, 1 ≤ k个 ≤ n个 |
.-
{?, ...}
第二类有符号Stirling数三角形的行和
这个第二类有符号Stirling数的行和
-
(−1) n个 + k个 S公司2(n个,k个 ) = (−1) n个 (−1) k个 S公司2(n个,k个 ) = (−1) n个 B̃n个 , n个≥ 0, |
哪里是Rao Uppuluri–卡彭特数(或补充贝尔数),生成序列-
{1, (−) −1, 0, (−) 1, 1, (−) −2, − 9, (−) − 9, 50, (−) 267, 413, (−) −2180, −17731, (−) −50533, 110176, (−) 1966797, 9938669, (−) 8638718, −278475061, (−) −2540956509, − 9816860358, (−) 27172288399, ...}
A000587号Rao Uppuluri–卡彭特数(或补充贝尔数),:例如f=.-
{1, −1, 0, 1, 1, −2, − 9, − 9, 50, 267, 413, −2180, −17731, −50533, 110176, 1966797, 9938669, 8638718, −278475061, −2540956509, − 9816860358, 27172288399, 725503033401, 5592543175252, ...}
拉赫数
Ivo Lah发现的Lah数(也称为“第三类Stirling数”)[4]1954年,定义为
-
L(左) (n个,k个 ) 以下为:= | 秒 (n个,米) | S公司 (米,k个 ) , |
哪里和分别是第一类无符号斯特林数和第二类斯特林数。Lah数用“下降阶乘”表示“上升阶乘”,反之亦然,即。
-
x个 年 = L(左) (n个,k个 )x个 k个 , |
-
x个 n个 = (−1) n个 − k个 L(左) (n个,k个 )x个 k个. |
Lah数三角形
|
|
|
|
|
|
1
|
|
−1 |
|
−1
|
2
|
|
2 |
1 |
|
三
|
三
|
|
−6 |
−6 |
−1 |
|
−13
|
4
|
|
24 |
36 |
12 |
1 |
|
73
|
5
|
|
−120 |
−240 |
−120 |
−20 |
−1 |
|
−501
|
6
|
|
720 |
1800 |
1200 |
300 |
30 |
1 |
|
4051
|
7
|
|
−5040 |
−15120 |
−12600 |
−4200 |
−630 |
−42 |
−1 |
|
−37633
|
8
|
|
40320 |
141120 |
141120 |
58800 |
11760 |
1176 |
56 |
1 |
|
394353
|
9
|
|
−362880 |
−1451520 |
−1693440 |
−846720 |
−211680美元 |
−28224 |
−2016 |
−72 |
−1 |
|
−4596553
|
10
|
|
3628800 |
16329600 |
21772800 |
12700800 |
3810240 |
635040 |
60480 |
3240 |
90 |
1 |
|
58941091
|
11
|
|
−39916800 |
−199584000 |
−299376000 |
−199584000 |
−69854400 |
−13970880 |
−1663200 |
−118800 |
−4950 |
−110 |
−1 |
|
−824073141 |
|
|
|
2
|
三
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
A008297号Lah数三角形(连接行)。
-
{−1, 2, 1, − 6, − 6, −1, 24, 36, 12, 1, −120, −240, −120, −20, −1, 720, 1800, 1200, 300, 30, 1, −5040, −15120, −12600, − 4200, − 630,− 42, −1, 40320, 141120, 141120, 58800, 11760, ...}
Lah数三角形的行和
209125英镑扩展,例如::用于,给出了Lah三角形的行和。-
{−1, 3, −13, 73, −501, 4051, −37633, 394353, − 4596553、58941091、−824073141、12470162233、−2029764021213、3535017524403、− 65573803186921, 1290434218669921, ...}
受普通二项式展开式启发的阶乘多项式
受普通二项式展开式启发的阶乘多项式(x个+ 1)n个
通过更换通过在中二项式展开 (x个+ 1) n个 = () x个 k个, n个≥ 0, |
我们得到
P(P)n个 (x个) 以下为:= () x个 (k个 ), n个≥ 0, |
由递推关系给出
P(P)0 (x个) | = 1; |
P(P)1(x个) | = 1 +x个; |
P(P)n个 (x个) | =(x个− (n个− 2))P(P)n个 − 1(x个) + (n个− 1)P(P)n个 − 2(x个), n个≥2。 |
|
示例:
-
A??????由替换产生的普通多项式系数行读取的三角形通过在二项式展开式中,用于.-
{1,1,1,1,1,1,2,0,1,1,0,5,−2,1,1,9,−15,15,−5,1,1,−35,94,−85,40,− 9, 1, ...}
与以下内容相关(尽管符号不同):
269953元按行读取三角形,T型 (n个,k个 ) = ( − j个 − 1 − n个 − 1 ) S公司1( j个,k个 ) |
哪里是斯特林循环数A132393号,用于和.-
{1, −1, 1, 1, −1, 1, −1, 2, 0, 1, 1, 0, 5, 2, 1, −1, 9, 15, 15, 5, 1, 1, 35, 94, 85, 40, 9, 1, −1, 230, 595, 609, 315, 91, 14, 1, 1, 1624, 4458, 4844, 2779, 924, 182, 20, 1, −1, ...}
三角形行总和
行总和似乎产生了以下为:
-
P(P)n个 (1) = n个+ 1, n个≥ 0. |
三角形立柱
看来我们可能有第1列以下为:T型 (n个, 1) = ( − 1) [n个 属于某一组] A002741号 (n个),n个≥0, |
哪里[⋅]是艾弗森支架.-
{0, 1, 1, 2, 0, 9, −35, ...}
A002741号对数:展开 − 日志 (1 − x个)经验 ( − x个),n个≥0 |
.-
{0, 1, −1, 2, 0, 9, 35, 230, 1624, 13209, 120287, 1214674, 13469896, 162744945, 2128047987, 29943053062, 451123462672, 7245940789073, ...}
受普通二项式展开式启发的阶乘多项式(x个 − 1)n个
通过更换通过在中二项式展开 (x个− 1) n个 = ()(−1) n个 − k个 x个 k个, n个≥ 0, |
我们得到
P(P)n个 (x个) 以下为:= ()(−1) n个 − k个 x个 (k个 ), n个≥ 0, |
由递推关系给出
P(P)0 (x个) | = 1; |
P(P)1(x个) | = − 1 +x个; |
P(P)n个 (x个) | =(x个−n个)P(P)n个 − 1(x个) − (n个− 1)P(P)n个 − 2(x个), n个≥2。 |
|
示例:
-
A??????由替换产生的普通多项式系数行读取的三角形通过在二项式展开式中,用于.-
{1, −1, 1, 1, −3, 1, −1, 8, − 6, 1, 1, −24, 29, −10, 1, −1, 89, −145, 75, −15, 1, 1, − 415, 814, −545, 160, −21, 1, ...}
该绝对值由下式给出以下为:
A094816号按行读取三角形:等于Charlier多项式的系数:A046716号转置的。-
{1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 6, 1, 1, 24, 29, 10, 1, 1, 89, 145, 75, 15, 1, 1, 415, 814, 545, 160, 21, 1, 1, 2372, 5243, 4179, 1575, 301, ...}
三角形行总和
行总和似乎产生了以下为:P(P)n个 (1) = ( − 1) n个 +1(n个 − 1), n个≥0 |
-
{1,0,−1,2,−3,4,−5,…}
三角形立柱
看来我们有第1列以下为:T型 (n个, 1) = ( − 1) n个 +1 A002104号 (n个),n个≥0 |
-
{0, 1, −3, 8, −24, 89, − 415, ...}
A002104号对数:展开 − 日志 (1 − x个)经验 (x个),n个≥0 |
.-
{0, 1, 3, 8, 24, 89, 415, 2372, 16072, 125673, 1112083, 10976184, 119481296, 1421542641, 18348340127, 255323504932, 3809950977008, ...}
笔记
工具书类
- G.布尔。有限的差异第5版,纽约:切尔西,1970年。
- Elaydi,S.N.公司。差分方程导论第三版,施普林格出版社,2005年。
- 格雷厄姆·R·L。;Knuth,D.E。;和O.Patashnik。具体数学:计算机科学基础第二版,雷丁,马萨诸塞州:Addison-Wesley,1994年。
外部链接