阶乘

这是一个未被引用和批准的页面。我们建议您首先阅读因子数的官方OEIS条目，https://oeis.org/A000142（它与许多其他资源有链接）-N.J.A.斯隆2020年7月17日08:59（美国东部夏令时）

这个阶乘的的非负整数

n个

定义为所有正整数高达

n个

，并标记为

n个!

例如，7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040.的阶乘0定义为空产品,1.阶乘先于指数运算按照…的顺序运算符优先级.

A000142号阶乘数

n个!,n个 ≥ 0

.

{1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, ...}

阶乘数是给定的最小整数主要签名例如。，720 = 2 4 × 三 2 × 5 1是带质数签名的最小整数{4, 2, 1}.

据推测，

t吨1= 1 = 1!,t吨三= 6 = 3!,t吨15= 120 = 5!,

只有这两个数字三角形和阶乘。

阶乘的应用

因式在数学的许多分支中都有应用。 ^{（回顾：§阶乘的应用.)} ^[1]

关于矩阵:

对于
n个> 0,n个!
是的数字
n个 × n个
(0, 1)-矩阵的每一行和每一列正好包含一个等于1.
n个!
是永久的
n个 × n个
矩阵
M（M）
具有
M（M） (我,j个) = 1
.
n个!
也是
n个 × n个
平方矩阵
A类n个
其系数是β函数的倒数：
一{我,j个} = 1 / β (我,j个)，检测 (A类n个 ) =n个!

关于图:

n个!
也是完整图中的最佳广播方案数
K（K） n个
，相当于嵌入到
K（K） n个
.^[2]
让
S公司n个
表示
n个
-星形图。这个
S公司n个
结构包括
n个

S公司n个 − 1
结构。（此序列给出任意两个指定顶点之间的边数
S公司n个 + 1
中的结构
S公司n个 + 2
，带有
n个> 0
).
太阳图的色不变量
S公司n个 − 2
.

关于链条:

幂集中最大长度链的个数
{1, 2, ...,n个}
按子集关系排序。
n个!
也是订单减少的完整转换数（
n个
-链条）。
(n个 − 1)!
也是幂零序递减的完全变换数（
n个
-链条）。

关于排列:

的数量循环排列属于
n个
不同的字母是
n个!,n个 ≥ 0
.
考虑一下
n个!
整数序列的置换
[n个] = 1, 2, ...,n个
. The
我
-置换包括
n个-循环 (我 )
置换循环。然后，我们有
∑
n个!

我 = 1
2 n个-循环 (我 )= (n个+ 1)!
。例如，用于
n个= 3
，我们有
三-循环 (1) = 3, 3-循环 (2) = 2, 3-循环 (3) = 1, 3-循环 (4) = 2, 3-循环 (5) = 1, 3-循环 (6) = 2,
和2 三+ 2 2+ 2 1+ 2 2+ 2 1+ 2 2= 8 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 = 24 =
(n个+ 1)!
.
元素排列数
1, 2, ...,n个+ 1
具有属于长度循环的固定元素
第页
不依赖于
第页
和相等
n个!
.
n个!
是的所有排列中不动点的数目
1, ...,n个
：总共
n个!
排列，1就是第一个
(n个 − 1)!
次，2正好是第二名
(n个 − 1)!
时间等，给予
(n个 − 1)!n个=n个!
.

关于分区:

n个!
是的数字分区表大小为
n个
（有关定义，请参阅Steingrimsson/Williams链接。）
n个!
是的数字集合划分属于
{1, 2, ..., 2 n个 − 1, 2 n个}
成块大小2（完美匹配）其中每个块由一个偶数整数和一个奇数整数组成。例如，3! = 6计数

{ { {12}, {34}, {56} }, { {12}, {36}, {45} }, { {14}, {23}, {56} }, { {14}, {25}, {36} }, { {16}, {23}, {45} }, { {16}, {25}, {34} } }.

Number of distinct submultisets (subbags) of a多组(子包装)
T型 (n个 − 1)
具有的元素1要素A类,2元素B类, ...,
n个 − 1
元素
X（X）
例如，在
n个= 5
，我们考虑[A、B、B、C、C、C、C、D、D、D]=[A:1、B:2、C:3、D:4]而且有5！=120.

给定
n个
具有不同大小的对象（例如，区域、体积），以便每个对象都足够大，可以同时包含所有以前的对象，然后
n个!
是使用所有
n个
物体。在排列中允许任意层次的对象嵌套。（序列的这种应用受到了考虑剩余移动框的启发。）如果存在限制，即每个对象一次最多只能包含一个较小（但可能是嵌套的）对象，则生成的序列将开始
{1, 2, 5, 15, 52, ...}
(铃声号码?). 在这里，人们会想到一组嵌套木箱或传统的嵌套俄罗斯娃娃。

n个!
是
n个
-连续的第个有限差分
n个
-的权力。例如，对于
n个= 3
,[0, 1, 8, 27, 64, ...] ⤇ [1, 7, 19, 37, ...] ⤇ [6, 12, 18, ...] ⤇ [6, 6, ...].

写入数字1到
n个
在一个圆上。然后
n个!
=所有产品的总和
n个 − 2
相邻数字。例如。，
一 (5) =
1·2·3 + 2·三·4 + 3·4·5 + 4·5·1+5·1·2 = 120.

考虑多集（包）
M（M）=
[1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ...] =
[1: 1, 2: 2, ...,n个:n个]
并形成一套
U型
（其中
U型
是严格意义上的集合）的所有子多重集（子标记）
N个
属于
M（M）
。然后是元素的数量
| U型 |
属于
U型
等于
(n个+ 1)!
例如，对于
M（M）=
[1, 2, 2]我们得到
U型=
{ [ ], [2], [2, 2], [1], [1, 2], [1, 2, 2] }和
| U型 |
=
3! = 6.

增加颜色1-2树的最右边的非叶枝有两种颜色可供选择。

带有的项链数量
n个
标记的珠子1颜色。

公式

n个!:=

n个

∏

k个 = 1

k个 = 1(n个) = n个(n个)，

哪里

x个 (n个)

和

x个(n个)

分别是升阶乘和下降阶乘.

(2 n个)！ = 2 n个

n个

∏

k个 = 1

t吨 2 k个 − 1 = 2 n个

n个

∏

k个 = 1

k个 (2 k个 − 1) = 2 n个 n个!

n个

∏

k个 = 1

(2k个 − 1) = 2 n个 n个! (2 n个− 1)!!, n个≥ 0,

(2 n个+ 1)! = (2 n个+ 1) (2 n个)! = (2 n个+ 1) 2 n个

n个

∏

k个 = 1

t吨 2 k个 − 1 = (2 n个+ 1) 2 n个

n个

∏

k个 = 1

k个 (2 k个 − 1) = 2 n个 n个!

n个 + 1

∏

k个 = 1

(2 k个 − 1) = 2 n个 n个! (2 n个+ 1)!!, n个≥ 0,

哪里

t吨n个

是

n个

第个三角形数,

n个!!

是双阶乘在哪里0!我们得到了空产品 1.

阶乘的以下定积分（欧拉积分形式）^见证明：^[3]

n个! =

∫

∞

0

t吨 n个 e（电子） − t吨 d日 t吨

导致泛化，对于复杂

z（z）

不是高斯Pi函数的负整数

Π (z（z）) := 

∫

∞

0

t吨 z（z） e（电子） − t吨 d日 t吨

或泛化，对于复杂

z（z）

既不是0也不是负整数，

Γ (z（z）) := 

∫

∞

0

t吨 z（z） − 1 e（电子） − t吨 d日 t吨 = Π (z（z）− 1),

它被称为Gamma函数.^[4]

对于

z（z）=n个

一个正整数，因此我们有

Γ (n个) = (n个− 1) !

由于勒让德.^[5]

定期

${\displaystyle{\begin{array}{l}\displastyle{n！={\bench{案例}1&{\text{if}}n=0，\\cdot（n-1）&{\text{if}}n>0.\end{cases}}}\end{array}}}$

n个! = (n个− 1) ⋅ [(n个− 1)! + (n个− 2)!], n个≥ 2.

请注意次系数的有类似的复发

!n个 = (n个− 1) ⋅ [!(n个−1）+！(n个− 2)], n个≥ 2.

所以，对于

n个 ≥ 2,

n个!

(n个−1）！+(n个− 2)!

= n个− 1 =

!n个

!(n个− 1) + !(n个− 2)

.

正在生成函数

G公司{n个!}(x个) =

∞

∑

n个 = 0

n个! x个 n个 = ?

指数生成函数

这个指数生成函数属于

n个!

是

E类{n个!}(x个) =

∞

∑

n个 = 0

n个!

x个 n个

n个!

=

∞

∑

n个 = 0

x个 n个 =

1

1 −x个

.

三角形

n个! =

n个

∑

k个 = 0

(−1) n个 + k个 (

n个

k个

) k个 n个.

n个

∑

n个

k个 = 0

T型 (n个,k个 )

0

+ 0^0

1

− 0^1

+ 1 * 1^1

1

2

+ 0^2

− 2 * 1^2

+ 1 * 2^2

2

三

−0^3

+ 3 * 1^3

− 3 * 2^3

+ 1 * 3^3

6

4

+ 0^4

−4*1^4

+ 6 * 2^4

− 4 * 3^4

+ 1 * 4^4

24

5

− 0^5

+5*1^5

− 10 * 2^5

+ 10 * 3^5

− 5 * 4^5

+ 1 * 5^5

120

6

+ 0^6

− 6 * 1^6

+ 15 * 2^6

− 20 * 3^6

+ 15 * 4^6

− 6 * 5^6

+ 1 * 6^6

720

7

− 0^7

+ 7 * 1^7

− 21 * 2^7

+ 35 * 3^7

− 35 * 4^7

+ 21 * 5^7

− 7 * 6^7

+ 1 * 7^7

5040

8

+ 0^8

− 8 * 1^8

+ 28 * 2^8

− 56 * 3^8

+ 70 * 4^8

− 56 * 5^8

+ 28 * 6^8

− 8 * 7^8

+1*8^8

40320

9

− 0^9

+ 9 * 1^9

− 36 * 2^9

+ 84 * 3^9

−126*4^9

+ 126 * 5^9

− 84 * 6^9

+ 36 * 7^9

− 9 * 8^9

+1*9^9

362880

10

+ 0^10

− 10 * 1^10

+ 45 * 2^10

− 120 * 3^10

+ 210 * 4^10

− 252 * 5^10

+ 210 * 6^10

− 120 * 7^10

+ 45 * 8^10

− 10 * 9^10

+ 1 * 10^10

3628800

11

− 0^11

+ 11 * 1^11

− 55 * 2^11

+ 165 * 3^11

− 330 * 4^11

+ 462 * 5^11

− 462 * 6^11

+ 330 * 7^11

− 165 * 8^11

+ 55 * 9^11

− 11 * 10^11

+ 1 * 11^11

39916800

12

+ 0^12

− 12 * 1^12

+ 66 * 2^12

−220×3^12

+ 495 * 4^12

− 792 * 5^12

+ 924 * 6^12

− 792 * 7^12

+495*8^12

− 220 * 9^12

+ 66 * 10^12

− 12 * 11^12

+ 1 * 12^12

479001600

k个 = 0

1

2

三

4

5

6

7

8

9

10

11

12

n个

∑

n个

k个 = 0

T型 (n个,k个 )

0

1

0

1

2

0

−2

4

2

三

0

三

−24

27

6

4

0

−4

96

−324

256

24

5

0

5

−320

2430

−5120

3125

120

6

0

−6

960

−14580

61440

−93750

46656

720

7

0

7

−2688

76545

−573440

1640625

−1959552

823543

5040

8

0

−8

7168

−367416

4587520

−21875000

47029248

−46118408

16777216

40320

9

0

9

−18432

1653372

−33030144

246093750

−846526464

1452729852

−1207959552

387420489

362880

10

0

−10

46080

−7085880

220200960

−2460937500

12697896960

−33897029880美元

48318382080

−34867844010

10000000000

3628800

k个 = 0

1

2

三

4

5

6

7

8

9

10

A258773型按行读取三角形，

T型 (n个,k个) = ( − 1) n个 − k个 ( ^n个_k个 ) k个 n个

，用于

n个 ≥ 0

和

0 ≤ k个 ≤ n个

.

{1, 0, 1, 0, −2, 4, 0, 3, −24, 27, 0, − 4, 96, −324, 256, 0, 5, −320, 2430, −5120, 3125, 0, − 6, 960, −14580, 61440, − 93750, 46656, 0, 7, −2688, 76545, −573440, 1640625, −1959552, 823543, 0, −8, 7168, −367416, 4587520, −21875000, 47029248, − 46118408, 16777216, ...}

A000312号

一 (n个) =n个 n个,n个 ≥ 0

; 中的标记映射数

n个

指向自身（内函数）。（上述三角形的最右对角线。）

{1, 1, 4, 27, 256, 3125, 46656, 823543, 16777216, 387420489, 10000000000, 285311670611, 8916100448256, 302875106592253, 11112006825558016, 437893890380859375, ...}

阶乘三角形

阶乘三角形
（三角形第一类无符号斯特林数)

n个

∑

n个

k个 = 1

T型 (n个,k个 )

1

2

1

2

三

1

三

2

6

4

1

6

11

6

24

5

1

10

35

50

24

120

6

1

15

85

225

274

120

720

7

1

21

175

735

1624

1764

720

5040

8

1

28

322

1960

6769

13132

13068

5040

40320

9

1

36

546

4536

22449

67284

118124

109584

40320

362880

10

1

45

870

9450

63273

269325

723680

1172700

1026576

362880

3628800

k个 = 1

2

三

4

5

6

7

8

9

10

A094638号按行读取三角形：

T型 (n个,k个) =

| 秒 (n个,n个 +1 − k个) |

，其中

秒(n个,k个)

是[签名]吗第一类斯特林数 A008276号(

1 ≤ k个 ≤ n个

; 换句话说，第一类无符号斯特林数的顺序相反）。

｛1，1，1，1，3，2，1，6，11，6，1，10，35，50，24，1，15，85，225，274，120，1，21，175，735，1624，1764，720，1，28，322，1960，6769，13132，13068，5040，1，36，546，4536，22449，67284，118124，109584，40320，1，45，870，9450，63273，269325，723680，1172700，1026576，362880，…｝

渐进行为

n个! ∼

2√ 2π n个

n个

e（电子）

n个.

近似值n个!

近似值

n个!

(

[·]

是最接近的整数功能）

n个

n个!

斯特林近似
（最接近的整数）

2√ 2π n个

n个

e（电子）

n个

2√ 2π n个

n个

e（电子）

n个

−n个!

高斯珀近似
（最接近的整数）

2√ (2n个+

1

三

) π

n个

e（电子）

n个

2√ (2n个+

1

三

) π

n个

e（电子）

n个

−n个!

A000142号

A005394号

A090583号

0

1

0
–1

1
0

1

1
0

2

2
0

三

6

6
0

4

24

24
0

5

120

118
–2

120
0

6

720

710
–10

720
0

7

5040

4980
–60

5039
–1

8

40320

39902
–418

40316
–4

9

362880

359537
–3343

362851
–29

10

3628800

3598696
–30104

3628561
–239

11

39916800

39615625
–301175

39914615
–2185

12

479001600

475687486
–3314114

478979481
–22119

13

6227020800

6187239475
–39781325

6226774954
–245846

14

87178291200

86661001741
–517289459

87175314872
–2976328

15

1307674368000

1300430722199
–7243645801

1307635379670
–38988330

16

20922789888000

20814114415223
?

20922240412500
?

17

355687428096000

353948328666101
?

355679137660826
?

18

6402373705728000

6372804626194309
?

6402240370021199
?

19

121645100408832000

121112786592293963
?

121642823201649058
?

20

243290200817664万

2422786846761133394
?

2432860847996122437
?

21

51090942171709440000

?
?

51090157192742729183
?

22

112400072777760768万

?
?

1123984974735953018069
?

23

25852016738884976640000

?
?

25851684898376695192336
?

24

620448401733239439360000

?
?

620441080509682809701382
?

25

15511210043330985984000000

?
?

15511041215936944579902093
?

26

403291461126605635584000000

?
?

403287399526697316252516250
?

27

10888869450418352160768000000

?
?

10888767684658777169852805388
?

28

304888344611713860501504000000

?
?

304885693246011383041733210739
?

29

8841761993739701954543616000000

?
?

8841690269587826737517642605696
?

30

265252859812191058636308480000000

?
?

265250847945328962838481886897160
?

斯特林近似n个!

斯特林的近似值

n个!

是

n个! ≈

2√ 2π n个

n个

e（电子）

n个, n个≥ 0.

A005395号斯特林近似的主导项

n个!

,

2√ 2π n个

(n个 / e（电子）) n个,n个 ≥ 0,

四舍五入。

｛0，1，2，6，24，119，711，4981，39903，359537，3598696，39615626，475687488，6187239487，86661001990，1300430725000，20814114480000，353948329800000，63728046430000，121112787000000，…｝

A005394号斯特林近似的主导项

n个!

,

2√ 2π n个

(n个 / e（电子）) n个,n个 ≥ 0,

四舍五入到最接近的整数。

{0, 1, 2, 6, 24, 118, 710, 4980, 39902, 359537, 3598696, 39615625, 475687486, 6187239475, 86661001741, 1300430722199, 20814114415223, 353948328666101, 6372804626194309, 121112786592293963, 2422786846761133394, ...}

A005393号斯特林近似的主导项

n个!

,

2√ 2π n个

(n个 / e（电子）) n个,n个 ≥ 0,

四舍五入。

{0, 0, 1, 5, 23, 118, 710, 4980, 39902, 359536, 3598695, 39615625, 475687487, 6187239487, 86661001990, 1300430725000, 20814114480000, 353948329800000, 6372804643000000, 121112787000000000, ...}

高斯珀近似n个!

R.W.Gosper近似

n个!

是

n个! ≈

2√ (2n个+

1

三

) π

n个

e（电子）

n个, n个≥ 0.

A090583号高斯珀近似

n个!

,

2√ (2n个+ 1 / 3) π

(n个 / e（电子）) n个,n个 ≥ 0,

四舍五入为最接近的整数。

{1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5039, 40316, 362851, 3628561, 39914615, 478979481, 6226774954, 87175314872, 1307635379670, 20922240412500, 355679137660826, 6402240370021199, 121642823201649058, 2432860847996122437, ...}

还有其他近似值，请参见彼得·卢什尼:阶乘函数的近似公式n个!

的倒数总和n个!

∞

∑

n个 = 0

1

n个!

= e（电子）,

和

∞

∑

n个 = 0

(−1) n个

n个!

=

1

e（电子）

,

哪里

e（电子）

是自然对数的底。这些是从麦克劳林膨胀属于

e（电子） x个

评估时间：

x个= 1

和

x个= − 1

∞

∑

n个 = 0

x个 n个

n个!

= e（电子） x个.

主要因素n个!

这个素因子数（具有多重性）属于

n个!

由求和Omega函数

Ω (n个!) =

n个

∑

我 = 1

Ω (我) .

这个不同素因子的个数属于

n个!

由素数计数函数

π (n个)

ω (n个!) = ω （拉德 (n个!)) = ω (n个 #) = π (n个),

哪里

拉德 (n个!)

是激进派属于

n个!

即无平方核

平方英尺 (n个!)

.这个素因子之和（具有多重性）（整数日志），共

n个!

是

sopfr公司 (n个!) = ?

这个不同素因子之和属于

n个!

是素数阶乘属于

n个

sopf（标准操作程序） (n个!) = sopf（标准操作程序） (n个#）=

π (n个)

∑

我 = 1

对我 ,

哪里

π (n个)

是素数计数函数和

对我

是

我

-第个首要的. 这个不同素因子的乘积(激进派或平方自由核）

n个!

是素数阶乘属于

n个

拉德 (n个!) = 平方英尺 (n个!) = n个 # =

π (n个)

∏

我 = 1

对我 ,

哪里

π (n个)

是素数计数函数和

对我

是

我

-第个首要的.

的除数n个!

的除数

n个!

是（…） ^{（详细说明：n个!.)} ^[6]

底座10代表n个!

的尾随零数n个!

的数量尾随零（在底座中10)英寸

n个!

（最高功率5分割

n个!

和最高功率10分割

n个!

)由提供

NTZ公司 (n个!) = α (n个, 5),

其中素数的指数

对

在中素因子分解属于

n个!

由提供勒让德公式

α (n个,对) =

⌊ 日志对(n个 ) ⌋

∑

k个 = 1

n个

对 k个

.

Pochhammer符号

根据上下文Pochhammer符号

(x个)n个

，由介绍利奥古斯特·波奇哈默（Leo August Pochhammer），可以表示升阶乘或下降阶乘定义如下。

下降阶乘

这个下降阶乘（用表示

x个(n个)

)的实数

x个

,

n个

成为非负整数定义为

x个(n个) :=

n个 − 1

∏

我 = 0

(x个−我 ), n个≥ 0,

在哪里

n个= 0

我们得到了空产品，给予1.

上升阶乘

这个升阶乘（用表示

x个(n个)

)的实数

x个

,

n个

成为非负整数定义为

x个 (n个) :=

n个 − 1

∏

我 = 0

(x个+我 ), n个≥ 0,

在哪里

n个= 0

我们得到了空产品，给予1.

序列

A027868号尾随零的数量（以基数计10)英寸

n个!

（最高功率5分割

n个!

和最高功率10分割

n个!

).

｛0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，4，4，4，4，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，10，10，12，12，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…｝

A004154号省略尾随零（以基数表示10)从阶乘数，即。

n个!

10 α (n个, 5)

,n个 ≥ 0

.

{1, 1, 2, 6, 24, 12, 72, 504, 4032, 36288, 36288, 399168, 4790016, 62270208, 871782912, 1307674368, 20922789888, 355687428096, 6402373705728, 121645100408832, 243290200817664, ...}

另请参见

运算符优先级

圆括号-阶乘-指数化-乘法运算和分开-添加和减法

笔记

↑ 评审内容(§阶乘的应用).
↑ （见Calin D.Morosan，《信息处理快报》，100（2006），188-193）。
↑ 请参见：欧拉积分公式的证明-晶体数学。
定理（欧拉积分形式
n个!
). (欧拉)

n个! =
∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − t吨 d日 t吨.

证明。

d日 n个
d日 x个 n个
x个 − 1 = (−1) n个 n个!x个 − (n个 + 1),

∫
∞
0
e（电子） − x个 t吨 d日 t吨 = x个 − 1,

d日 n个
d日 x个 n个

∫
∞
0
e（电子） − x个 t吨 d日 t吨 = (−1) n个
∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − x个 t吨 d日 t吨,

因此

(−1) n个
∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − x个 t吨 d日 t吨 = (−1) n个 n个!x个 − (n个 + 1),
最后，让
x个= 1
，我们有

∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − t吨 d日 t吨 = n个!.
□

请注意，如果我们允许
x个=
1
k个
,k个∈ ℕ+
，我们有

∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − t吨 / k个 d日 t吨 = n个!k个 n个 + 1,

这就产生了

1
k个

∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − t吨 / k个 d日 t吨 =

n个
∏

我 = 1

k个我,
哪里 ${\displaystyle\textstyle{\prod_{i=1}^{n} k个\，i=（k\，n）\下大括号{！\cdots\，！}_{k~{\text{times}}}}$ 是k个-多因素的属于
k个 n个
.
↑ 彼得·卢什尼,Gamma函数是否定义错误？或者：哈达玛与欧拉——谁发现了更好的伽马函数？
↑ 人们希望伽马函数定义为
Γ(z（z）) =
∫
∞
0
 t吨 z（z） e（电子） − t吨 d日 t吨
以便获得
Γ(n个) =n个!
但由于历史原因，我们
Γ(z（z）) =
∫
∞
0
 t吨 z（z） − 1 e（电子） − t吨 d日 t吨
它会产生
Γ(n个) = (n个 − 1)!
.
↑ 需要详细说明（部门n个!).

外部链接

彼得·卢什尼, “快速工厂功能,” 2000–2011.
Peter Luschny，《阶乘函数的近似公式》，网络版。2011年6月3日查阅。可用http://www.luschny.de/math/factrial/approx/SimpleCases.html.
为什么阶乘没有明确的公式？-StackExchange：数学。
埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,玻尔-莫勒鲁普定理，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。

[1] 评审内容(§阶乘的应用).

[2] （见Calin D.Morosan，《信息处理快报》，100（2006），188-193）。

[3] 请参见：欧拉积分公式的证明-晶体数学。
定理（欧拉积分形式
n个!
). (欧拉)

n个! =
∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − t吨 d日 t吨.

证明。

d日 n个
d日 x个 n个
x个 − 1 = (−1) n个 n个!x个 − (n个 + 1),

∫
∞
0
e（电子） − x个 t吨 d日 t吨 = x个 − 1,

d日 n个
d日 x个 n个

∫
∞
0
e（电子） − x个 t吨 d日 t吨 = (−1) n个
∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − x个 t吨 d日 t吨,

因此

(−1) n个
∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − x个 t吨 d日 t吨 = (−1) n个 n个!x个 − (n个 + 1),
最后，让
x个= 1
，我们有

∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − t吨 d日 t吨 = n个!.
□

请注意，如果我们允许
x个=
1
k个
,k个∈ ℕ+
，我们有

∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − t吨 / k个 d日 t吨 = n个!k个 n个 + 1,

这就产生了

1
k个

∫
∞
0
t吨 n个 e（电子） − t吨 / k个 d日 t吨 =

n个
∏

我 = 1

k个我,
哪里 ${\displaystyle\textstyle{\prod_{i=1}^{n} k个\，i=（k\，n）\下大括号{！\cdots\，！}_{k~{\text{times}}}}$ 是k个-多因素的属于
k个 n个
.

[4] 彼得·卢什尼,Gamma函数是否定义错误？或者：哈达玛与欧拉——谁发现了更好的伽马函数？

[5] 人们希望伽马函数定义为
Γ(z（z）) =
∫
∞
0
 t吨 z（z） e（电子） − t吨 d日 t吨
以便获得
Γ(n个) =n个!
但由于历史原因，我们
Γ(z（z）) =
∫
∞
0
 t吨 z（z） − 1 e（电子） − t吨 d日 t吨
它会产生
Γ(n个) = (n个 − 1)!
.

[6] 需要详细说明（部门n个!).

[1]

阶乘

目录

阶乘的应用

公式

定期

正在生成函数

指数生成函数

三角形

阶乘三角形

渐进行为

近似值n个!

斯特林近似n个!

高斯珀近似n个!

的倒数总和n个!

主要因素n个!

的除数n个!

底座10代表n个!

的尾随零数n个!

Pochhammer符号

下降阶乘

上升阶乘

序列

另请参见

笔记

外部链接

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