欧拉–马斯切罗尼常数

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这个欧拉–马斯切罗尼常数（也称为欧拉常数)，以以下名称命名利昂哈德·尤勒和洛伦佐·马斯切罗尼，是一个常数发生于分析和数论，通常由小写希腊字母表示 

γ

.欧拉常数 

γ

不应与基础混淆 

e（电子）

的自然对数有时称为欧拉数。

它被定义为调和级数和自然对数，即。

${\displaystyle\gamma:=\lim_{n\to\infty}\left\{\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}-\log n\right\}=\lim _{n\to \infty}\left \{sum_{k=1}^{n}{\frac{1{k}-\int_{1}^}n}{\ frac{dx}{x}}右\to\infty}\left\{\sum_{k=1\topta\Delta k=1}^{n}{\frac{\Delta k}{k}}-\int_{1}^{n}{\frac{dx}{x}}\right\}=\int_}1}^}\infty}\left（{\frac{1}{\lfloor x\rfloor}}-{\frac{1}{x}}\right）\，dx=\int_{1}^{\infty}{\frac{\{x\}}{\lffloor x\ rfloor，x}}\，dx，\，}{\lfloor x\rfloor}}-{\frac{1}{x}}\right）\，dx=\int_{1}^{\infty}{\frac{\{x\}}{\lffloor x\ rfloor，x}}\，dx，\，}$

哪里 

⌊  x个⌋

是楼层功能和 

{  x个 }:=x个 −  ⌊  x个⌋

是小数部分属于 

x个

，何时 

x个≥0

.

年轻证明了

${\显示样式{\frac{1}{2（n+1）}}<\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}}-\logn-\gamma<{\ frac{1'{2n}}，\，}$

因此

${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}-\logn-\gamma\sim{\frac{1}{2n}}.\，}$

尚不清楚是否 

γ

是不合理的.

十进制展开

Euler–Mascheroni常数的十进制展开式为

$｛\displaystyle\gamma=0.577215664901532860651209008240243104215933593992\ldots，\，｝$

非常接近 

1 2√  3 = 0.577350269189626…

( 

γ= 1 2√  3  ×  0.999766858534…

)!

A001620号Euler常数（或Euler–Mascheroni常数）γ的十进制展开式。

 

{5, 7, 7, 2, 1, 5, 6, 6, 4, 9, 0, 1, 5, 3, 2, 8, 6, 0, 6, 0, 6, 5, 1, 2, 0, 9, 0, 0, 8, 2, 4, 0, 2, 4, 3, 1, 0, 4, 2, 1, 5, 9, 3, 3, 5, 9, 3, 9, 9, 2, 3, 5, 9, 8, 8, 0, 5, 7, 6, 7, 2, 3, 4, 8, 8, 4, 8, 6, 7, 7, 2, 6, 7, 7, 7, 6, 6, 4, ...}

在Pari/GP中，该值可用作“Euler”，WolframAlpha可用作“EulerGamma”。

持续分数膨胀

这个单连分式Euler–Mascheroni常数的展开式为

${\displaystyle\gamma={0+{\cfrac{1}{1+{\fcrac{1{1+}\cfrac}{2+{\crac{1}}{1+{\cfac{1{2+}\ cfrac{1}{1+/{\cfras{1}{\ddots}}}}{}}}}}}.\，}}$

A002852号欧拉常数（或欧拉-马斯切罗尼常数）的连分式 

γ

（伽马）。

 

{0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 4, 1, 1, 2, 5, 1, 3, 6, 2, 1, 2, 1, 1, ...}

Euler–Mascheroni常数的平方

欧拉-马斯切罗尼常数平方的十进制展开式为

${\显示样式\gamma^{2}=0.331779238077186743183761363552442\ldots，\，}$

非常接近 

1 3 = 0.3333333333…

( 

γ 2= 1 3  ×  0.999533771423156…

)!

A155969号Euler–Mascheroni常数平方的十进制展开式。

 

{3, 3, 3, 1, 7, 7, 9, 2, 3, 8, 0, 7, 7, 1, 8, 6, 7, 4, 3, 1, 8, 3, 7, 6, 1, 3, 6, 3, 5, 5, 2, 4, 4, 2, 2, 6, 6, 5, 9, 4, 1, 7, 1, 4, 0, 2, 4, 9, 6, 2, 9, 7, 4, 3, 1, 5, 0, 8, 3, 3, 3, 3, 8, 0, 0, 2, 2, 6, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 5, 7, 5, 6, 6, ...}

往复式

欧拉-马斯切罗尼常数倒数的十进制展开式为

${\显示样式{\frac{1}{\gamma}}=1.732454714606333583025315860829681157765522668050220484361328706553140865524300883284\ldot，\，}$

非常接近 

2√  3 = 1.732050807568877…

( 

1 / γ= 2√  3  ×  1.0002331958335…

)!
A098907号的十进制展开式 

1 / γ

，其中gamma是Euler–Mascheroni常数。

 

{1, 7, 3, 2, 4, 5, 4, 7, 1, 4, 6, 0, 0, 6, 3, 3, 4, 7, 3, 5, 8, 3, 0, 2, 5, 3, 1, 5, 8, 6, 0, 8, 2, 9, 6, 8, 1, 1, 5, 5, 7, 7, 6, 5, 5, 2, 2, 6, 6, 8, 0, 5, 0, 2, 2, 0, 4, 8, 4, 3, 6, 1, 3, 2, 8, 7, 0, 6, 5, 5, 3, 1, 4, 0, 8, 6, 5, 5, 2, ...}

黎曼-泽塔函数的洛朗展开

从黎曼-泽塔函数的洛朗展开关于 

秒= 1

，我们获得

${\displaystyle\lim_{s\to1}{\bigg[}\zeta（s）-{\frac{1}{s-1}}{\bigg]}=\gamma.\，}$

另请参见

• 常量十进制表示的OEIS格式
• Stieltjes常数（有时称为广义欧拉常数)
• Meissel–Mertens常数（Euler–Mascheroni常数的模拟素数的调和级数)

外部链接

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,Euler-Mascheroni常数，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。