Dirichletβ函数

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这个Dirichletβ函数（也称为加泰罗尼亚β函数)是一个特殊功能与黎曼-泽塔函数。定义为

${\displaystyle\beta（s）：=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{（-1）^{n}}{（2n+1）^{s}}=\sum_{n=1}^{\ infty{{\ frac{{chi_{\beta}}（n）}{n^{s{}}，\quads s>0，\，}$

哪里

$显示样式{chi{beta}}（n）=\cos\，{frac{（n-1）\pi}{2}}，\quadn\geq1，\，}$

是交替的性格上述（第四期）狄利克雷L函数，给出了顺序(A056594号)

{1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ...}

具有生成函数

$显示样式G{{chi{scriptscriptstyle\beta}}（n）}（x）={frac{x}{1+x^{2}}}，\quadn\geq1.\，}$

公式

${\displaystyle\beta（2n+1）=（-1）^{n}\，{\frac{E_2n}}{2\，（2n）！}}\左（{\frac{\pi}{2}}\右）^{2n+1}，\quadn\geq 0，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式E_{n}\，}$是欧拉数.

${\displaystyle\beta（2n）={压裂{\psi^{（2n-1）}（{\frac{1}{4}}）}{2\，（2n-1）^{2n-1}-{\frac{1}{2}}）\，|B_{2n}|\，\pi^{2n{{（2n）！}}={\frac{\psi^{（2-n-1）}（{\frac-1}{4}）}{2\，（2n-1）！\，4^{2n-1}}-（1-2^{-2n}）{2n-1}-{\frac{1}{2}}）\，|B_{2n}|\，\pi^{2n{{（2n）！}}={\frac{\psi^{（2-n-1）}（{\frac-1}{4}）}{2\，（2n-1）！\，4^{2n-1}}-（1-2^{-2n}）$

哪里${\显示样式\脚本样式\psi^{（n）}（x）\，}$是多囊膜功能,${\显示样式\脚本样式B_{n}\，}$是伯努利数和黎曼-泽塔函数因为偶数由以下公式给出

${\displaystyle\zeta（2n）={\frac{2^{2n-1}\，|B_{2n}|\，\pi^{2n{}}{（2n！}}，\quadn\geq1.\，}$

另请参阅

• 加泰罗尼亚常数(${\显示样式\脚本样式\测试版（2）\，}$)

外部链接

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,Dirichlet Beta函数，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。