狄利克雷L函数

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1837年，Lejeune Dirichlet公司广义欧拉zeta函数（定义为欧拉-泽塔级数)到Dirichlet L-函数（定义为Dirichlet L系列)以证明在任何算术级数 ${\显示样式\脚本样式\{a，\，a+k，\，a+2k，\$，其中${\显示样式\脚本样式a\，}$和${\显示样式\脚本样式k\，}$是互质，有无限多素数（即每个剩余类有无穷多个素数${\显示样式\脚本样式a\，}$ 互质到${\显示样式\脚本样式k\，}$)

${显示样式L（s，\chi）\equiv\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\chi（n）}{n^{s}}={\frac{\chi（1）}{1^{s{}}+{\ frac{\ chi+\cdot，\quad s>1，\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle\chi（n）\，}$是Dirichlet字符属于${\显示样式\脚本样式n\，}$.

Dirichlet字符

Dirichlet角色${\displaystyle\scriptstyle\chi（n）\，}$是的函数${\显示样式\脚本样式n{\bmod{k}}\，}$，即它是余数的函数(残渣等级)第页，共页${\显示样式\脚本样式n\，}$除以${\显示样式\脚本样式k\，}$并且当${\显示样式\脚本样式n\，}$和${\显示样式\脚本样式k\，}$不是互质。它也必须是完全乘法的，即。

${\displaystyle\chi（mn）=\ chi（m）\cdot\chi（n）\，}$.

考虑了Dirichlet${\显示样式\脚本样式\，}$和${\displaystyle\scriptstyle\chi（n）\，}$作为实数。稍后，作为黎曼广义的${\显示样式\脚本样式\，}$到复数对于欧拉zeta函数，提供黎曼-泽塔函数，其他数学家将进行概括${\显示样式\脚本样式\，}$和${\displaystyle\scriptstyle\chi（n）\，}$到复数.

Dirichlet L-函数的Euler积

还有一个欧拉产品对于Dirichlet L-函数

$L（s，\chi）=\prod_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{1-{\tfrac{\chi（p_{i}）}{{p_{i}}^{s}}}={\frac{1}}{1-}\tfrac}\chi}\cdot{\frac{1}{1-{\tfrac{\chi，\quad\sigma={\mathfrak{R}}>0，\，\quad\sigma={\mathfrak{R}}>0，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式p_{i}\，}$是${\显示样式\脚本样式i\，}$^第个素数。

这个黎曼-泽塔函数是在以下情况下获得的特例${\displaystyle\scriptstyle\chi（n）\，}$全部为1${\显示样式\脚本样式n\，}$.

这个反向Dirichlet L函数的莫比乌斯反演Dirichlet级数

${\显示样式{\frac{1}{L（\chi，s）}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\ frac{\mu（n）\chi（n”）}{n^{s}}}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式\mu（n）\，}$是莫比乌斯函数.

另请参见

• Zeta函数
• 黎曼-泽塔函数