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错乱数

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数量(完整)精神错乱,或无控制排列数,[1]属于
n
不同对象(即排列属于
n
由不同的对象给出)没有固定的点亚工厂
!n
属于
n
. 这个错乱数亚工厂编号.

公式

!n:=n!1−
1
1号!
+
1
2个!
1
三!
++(−1)n
1
n!
 = n!
n
k  = 0
  
(−1)k
k !
.

亚工厂编号

A000166号 亚工厂(伦茨数),[2]精神错乱:排列数量
n
没有固定点的元素。
{1,0,1,2,9,44,265,1854,14833,133496,1334961,14684570,176214841,2290792932,32071101049,481066515734,7697064251745,130850092279664,2355301661033953,…}
最后一位(基数10)的
!n,n≥0,
似乎遵循模式(长度)10)
{1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4

例子

你有6球进入6不同的颜色,每个球都有一个相同颜色的盒子。多少?精神错乱如果没有球在同一颜色的盒子里,你有吗?

!6 = 6! ⋅  1−
1
1号!
+
1
2!
1
三!
+
1
4个!
1
5个!
+
1
6个!
 = 265。

排列、排列和排列数的比较

排列、排列和排列数的比较


n
错乱数
dn=n!
n
k  = 0
  
(1)k
k !


dn  ≈  
n!
e


dn=
n!
e
=
n!
e
+
1
2
,n≥1
排列数

n!



n!   ≈  
2  dnn
安排数量
n=n!
n
k  = 0
  
1
k !


n  ≈  en!




n=
en!
,n≥1
A000166号 A000142号 A000522号
0 1 1 1
1 0 1 2
2 1 2 5
2 6 16
4 9 24 65
5 44 120 326
6 265 720 1957
7 1854 5040 13700
8 14833 40320 109601
9 133496 362880 986410
10 1334961 3628800 9864101
11 14684570 39916800 108505112
12 176214841 479001600 1302061345
13 2290792932 6227020800 16926797486
14 32071101049 87178291200 236975164805
15 481066515734 1307674368000 3554627472076
16 7697064251745 20922789888000 56874039553217
17 130850092279664 355687428096000 966858672404690
18 2355301661033953 6402373705728000 17403456103284421
19 44750731559645106 121645100408832000 330665665962404000
20 895014631192902121 243290200817664000 661331331924808000


n


(n! ) 2



(n! ) 2  ∼  dnn


dnn


(n! ) 2 − dnn
A001044型 A?????? (添加到OEIS?)[3] A?????? (添加到OEIS?)[4]
0 1 1 0
1 1 0 1
2 4 5 — 1
36 32 4
4 576 585 −9
5 14400 14344 56
6 518400 518605 −205
7 25401600 25399800 1800
8 1625702400
9 131681894400
10 13168189440000
11 1593350922240000
12 229442532802560000
13 3877578043632640000
14 7600054456551997440000
15 1710012252724199424000000
16 43776313669739505254400000
17 1265135465055471701852160000
18 409903890677972834009984000000
19 14797530453474819213543604224000000
20 5919012181389927685417441689600000000

复发

!n =  !(n−1)  n+(−1)n, n≥1。
!n =  (n !(n−1)+!(n−2)], n≥2。

注意阶乘有类似的复发

n!  =  (n−1)  [(n−1)!+ (n−2)!], n≥2。
所以,为了
n  ≥ 2,
!n
!(n−1)+!(n−2个)
 = n−1 = 
n!
(n−1)!+ (n−2)!
.

其他公式

!n = 
Γ (n+1,−1)
e
,
哪里
e
(参见。A001113)是欧拉数
Γ (z,)
不完全伽马函数.

很好的近似值由

!n ≈ 
n!
e
.
如果四舍五入,你会得到一个完美的公式
n≥1
!n = 
n!
e
 = 
n!
e
+
1
2
, n≥1。
如果在除法之前将1加到阶乘上,则可以截断而不是舍入,以得到
n≥1
!n = 
n! +1
e
, n≥1个,
与近似值比较
n
!n
n!
e
n!
e
n! +1
e
n! +1
e
0 1 0.3679 0 0.7358 0
1 0 0.3679 0 0.7358 0
2 1 0.7358 1 1.1036 1
2 2.2073 2 2.5752 2
4 9 8.8291 9 9.1970 9
5 44 44.1455 44 44.5134 44
6 265 264.8732 265 265.2411 265
7 1854 1854.1124 1854 1854.4803 1854
8 14833 14832.8991 14833 14833.2669 14833
9 133496 133496.0916 133496 133496.4595 133496
哪里
[n]
功能和
⌊  n
地板功能。 有一个序列(参见。A000255)
n= !(n+1)+!n=
!(n+(二)
n+1
和会员们在一起
 0=1,1=1,
以及递归规则:
n = n ⋅  n  - 1+ (n−1)  n  - 2 .

有了这个序列,你就可以计算子因子

!n =  (n−1)  n  - 2 .
!n
1 0 1 2 9 44 265 1854 14833 133496 1334961
n
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10
n
1 1 11 53 309 2119 16687 148329 1468457 16019531

生成函数

普通母函数

G{!n}()  ≡
n  = 0
  
 !n n = 
1
 ⋅  
Ei (1+1 / )
e (1 + 1 / )
,
哪里
Ei ()
指数积分.

指数母函数

E{!n}()  ≡
n  = 0
  
 !n
n
n!
 = 
e  − 
1−
.

渐近行为

商的极限
n
阶乘与
n
亚工厂聚合到
e
(参见。A001113欧拉数)
n!
!n
 = e .

证明:

e   = 
k  = 0
  
k
k !
, e = e 1 = 
k  = 0
  
1
k !
, 
1
e
 = e 1 = 
k  = 0
  
(−1)k
k !
,
n!
!n
 = 
n!
n!
n

k  = 0
(−1)k
k !
 = 
1
n → 
n

k  = 0
(−1)k
k !
 .
商的极限安排数量
n
任何子集的
n
不同的物体错乱数
dn
属于
n
不同的对象聚合到
e 2
(参见。A072334号)
n
dn
 = e 2.

这个几何平均数安排数量以及错乱数是渐近的排列数

2  n  dn
 = n!

至少有一个不动点的排列

排列数
fn
至少有一个固定点,因此不是(完全)混乱的,由
fn = n! − !n = n! n!
n
k  = 0
  
(−1)k
k !
 = n!
n
k  = 1
  
(−1)k
k !
,
第二个求和得到空头(定义为加性恒等式,即。0)为
n=0
.

序列

A000166号 亚工厂编号(或伦茨数,或精神错乱:排列数量
n
无固定点的元件)
!n,n≥0。
{1,0,1,2,9,44,265,1854,14833,133496,1334961,14684570,176214841,2290792932,32071101049,481066515734,7697064251745,130850092279664,2355301661033953,…}
A000255
 (n) = !(n+1)+!n=
!(n+(二)
n+1
=n  (n − 1)+(n − 1) (n − 2), (0)=1, (1)=1。
{1,1,3,11,53,309,2119,16687,148329,1468457,16019531,190899411,246700773,34361893981,513137616783,8178130767479,13854715631409,24861753313617,…}
A002467号数量
n!  −  !n
排列的
n,n≥0,
有固定点的。
{0,1,1,4,15,76,455,3186,25487,229384,2293839,25232230,302786759,3936227868,55107190151,826607852266,13225725636255,224837335816336,4047072044694047,…}

另请参见



笔记

  1. “Rencontre”是一个法语单词,意思是相遇。
  2. 应该被称为“rencontre free”[排列]数字,这是法语中“遇到自由”[排列]数字的意思。置换数0相对(遭遇),即与0固定点。
  3. 向OEI添加序列?
  4. 向OEI添加序列?

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