卷积积

在平方和函数空间中f： G公司→ R（右），定义在阿贝尔群上G公司在某些环中具有值R（右），卷积

${\显示样式f*g:={\开始{案例}G\到R\\x\mapsto\int_{y\在G}f（y）中，G（x-y），\mathrm{d}y\结束{cases}}}{案例}G\到R\\x\mapsto\int_{y\在G}f（y）中，G（x-y），\mathrm{d}y\结束{cases}}}$

定义明确。

一般来说，“d年“在这里表示对该组的Haar度量。如果G公司是一个离散组（如G公司=Z轴，整数），然后${\显示样式\int_{y\在G}\！\！\cdots\mathrm{d}y}\cdots\mathrm{d}y}$“简化”为$｛\displaystyle\sum_｛y\in G｝｝$.

多项式

的产品多项式是这样一个卷积积的特殊情况，给出公式

${\显示样式c{n}=\sum_{k=0}^{n} 一个_{k} \，b_{n-k}}{n} 一个_{k} \，b_{n-k}}$

对于系数${\显示样式c{n}}$产品的${\显示样式{\bigl（}\sum a_{k}\，X^{k}{\bigr）}\次{\bigle（}\sum b_{k{}\，X^{k{\biger）}}$。此公式适用于${\显示样式c{n}}$上述公式得出的结果${\显示样式a*b}$如果表达式${\显示样式a（k）\，b（n-k）}$当k个或n-k个为负值。

序列

同样的公式也可以用来定义卷积c=a*b任何（不一定是有限支持的）序列(一_k个)和(b条_k个).

如果R（右）是一个k个-代数，则卷积具有线性（或分配）特性

${\显示样式（f+\lambda\，g）*h=f*h+\lampda\，g*h~，~f*（g+\lambeda\，h）=f*g+\λ$

如果R（右）是可交换的那么*也是。

上述线性特性意味着每个元素f∈R^G公司定义了k个-线性算子${\显示样式{\波浪线{f}}:=（g\mapstof*g）}$根据k个-模块R（右）^G公司. 这与OEIS的每个序列相关，通过卷积作用于其他每个序列的变换。

示例

（待编写）

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