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经典序列

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经典序列输入整数序列在线百科全书

Wythoff阵列和Para-Fibonacci序列

Wythoff阵列A035513号如下所示，位于虚线的右侧。它有许多奇妙的特性，其中一些列在表后。它还与在线百科全书中的大量序列有关。


0    1  |   1    2    3    5    8   13   21   34   55   89  1441    3  |   4    7   11   18   29   47   76  123  199  322  5212    4  |   6   10   16   26   42   68  110  178  288  466  7543    6  |   9   15   24   39   63  102  165  267  432  699 11314    8  |  12   20   32   52   84  136  220  356  576  932 15085    9  |  14   23   37   60   97  157  254  411  665 1076 17416   11  |  17   28   45   73  118  191  309  500  809 1309 21187   12  |  19   31   50   81  131  212  343  555  898 1453 23518   14  |  22   36   58   94  152  246  398  644 1042 1686 27289   16  |  25   41   66  107  173  280  453  733 1186 1919 310510   17  |  27   44   71  115  186  301  487  788 1275 2063 333811 19 | 30 49 7912   21  |  33   54   8713   22  |  35   57   92

Wythoff数组的一些属性。

（有关资料来源，请参阅下面的“参考资料”。）

  • 结构（1）：虚线左侧的两列分别由非负整数n组成下威瑟夫层序 A000201号，其第n项为[（n+1）tau]，其中tau=（1+sqrt（5））/2。然后用斐波那契规则填充这些行，即每个项都是前面两个项的总和。第一列中的条目n是指数在那一排。
  • 两种定义：Zeckendorf膨胀n的值是通过反复减去最大的斐波那契数来获得的，直到没有剩余值为止；例如100=89+8+3（参见A035514号-A035517号).
    这个斐波纳契继承人至（或左移位of）n，Sn，比方说，通过替换每个F得到我在Zeckendorf展开式中乘以Fi+1（输入+1）; 例如，100的后继是S100＝144＋13＋5＝162。请参见A022342号.
  • 结构（2）：虚线左侧的两列显示为n，1+Sn；然后在虚线之后的序列是
    m Sm SSm SSSm SSSSm。。。 ,
    其中m=n+1+Sn。
  • 施工（3）：设{S1，S2，S3，S4，…}={2,3,5,7,8,10,11，…}为斐波那契后继序列A022342号数组的第一列由不按该顺序排列的数字组成：1,4,6,9,12，。。。(A007067号). 通过重复应用S来填充每行的其余部分。
  • 施工（4）：第n行和第k列中的条目为
    [（n+1）τ]F钾+2+n个Fk+1（千分之一）,
    其中｛F0，F1，F2，F三, ...} = {0,1,1,2,3,5，…}是斐波那契数A000045号.
  • 1.Wythoff数组的第一行由斐波那契数列1,2,3,5,8组成，。。。A000045号
    2.每行满足斐波那契递推；
    3.每行中的前导项是前一行中未找到的最小数字；
    4.每个正整数在数组中只出现一次；
    5.任何行或列中的术语都是单调递增的；
    6.每个正Fibonacci型序列（即满足a（n）=a（n-1）+a（n-2）且最终为正）显示为数组的某一行；
    7.任意两行中的术语交替出现。

    有无穷多个属性为1-7的数组，请参见[Kim95a]。
  • 另一个特别有趣的具有属性1-7的数组是斯托拉尔斯基阵列:A035506号,
1   2   3    5    8   13   21   34   55   894   6  10   16   26   42   68  110  178  2887  11  18   29   47   76  123  199  322  5219  15  24   39   63  102  165  267  432  69912  19  31   50   81  131  212  343  555  89814  23  37   60   97  157  254  411  665 107617  28  45   73  118  191  309  500  809 130920  32  52   84  136  220  356  576  932 150822  36  58   94  152  246  398  644 1042 168625  40  65  105  170  275  445  720 1165 1885
  • Wythoff数组的第k列由Zeckendorf展开式以F结尾的数字组成k个.
  • 垂直方向的第n项副Fibonacci序列
    0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 4, 0, 5, 3, 2, 6, 1, 7, 4, 0, 8, 5, ...
    (A019586年或者，对于原始形式，A003603型)给出了包含n的Wythoff数组行的索引（或参数）。此序列还具有一些很好的属性。
    A.如果删除每个数字的第一次出现，则顺序不变。因此，如果我们删除红色数字来自
    0, 0, 0,1, 0,2, 1, 0,三，2，1，4, 0,5, 3, 2,6, 1,7，4，0，8, 5, ...
    我们得到
    0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 4, 0, 5, 3, 2, 6, 1, 7, 4, 0, 8, 5, ...
    再一次！
    B.在任何两个连续的0之间，我们看到前几个正整数的排列，这些整数嵌套，因此序列可以重写为：
000                10         2      10     3   2      1      40   5 3   2    6 1    7 40 8 5 3 9 2 10 6 1 11 7 4 12
  • 水平的第n项副Fibonacci序列
    1, 2, 3, 1, 4, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 1, 6, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 2, 7, 1, 2, ...
    (A035612号)给出了包含n的Wythoff数组列的索引（或参数）。此序列还有一个非常好的属性（请参阅条目）。

工具书类

[Con96]J.H.Conway，未出版注释，1996年。
[FrKi94]A.Fraenkel和C.Kimberling，广义Wythoff数组，洗牌和散布，离散数学126（1994）137-149。
[Kim91]C.Kimberling，问题1615，Crux Mathematicorum，卷17（2）44 1991，卷18，1992年3月，第82-83页。
[Kim93]C.Kimberling，所有正斐波那契数列集合的排序，收录于G.E.Bergum等人，编辑，斐波那奇数的应用，第5卷（1993年），第405-416页。
[Kim93a]C.Kimberling，《间隙和分散》，Proc。阿默尔。数学。Soc.117（1993）313-321。
[Kim94]C.Kimberling，《中介的第一纵队》，《斐波纳契季刊》32（1994）301-314。
[Kim95]C.Kimberling，《数值系统和分形序列》，《算术学报》73（1995）103-117。
[Kim95a]C.Kimberling，Stolarsky interspersions，Ars Combinatoria 39（1995）129-138。
[Kim95b]C.Kimberling，Zeckendorf阵列等于Wythoff阵列，Fibonacci Quarterly 33（1995）3-8。
[Kim97]C.Kimberling，分形序列和区间，Ars Combinatoria，第45卷，第157页，1997年。
[Mor80]D.R.Morrison，Wythoff对的Stolarsky数组，收录于《斐波那契序列相关手稿集》，斐波那奇协会，加利福尼亚州圣克拉拉，1980年，第134-136页。
[Sto76]K.B.Stolarsky，Beatty序列，连分式和某些移位运算符，Canad。数学。公牛。，19 (1976), 472-482.
[Sto77]K.B.Stolarsky，一组广义Fibonacci序列，使得每个自然数恰好属于一个，Fib。夸脱。，15 (1977), 224.

其他链接

克拉克·金伯利，分形序列
克拉克·金伯利，Interspessions公司
克拉克·金伯利（Clark Kimberling）和约翰·布朗（John E.Brown），部分互补和可转座分散，J.整数序列。，2004年第7卷。

关联序列

Wythoff阵列的连续列A035513号给定序列A000201号（就在虚线之前）；
A007065号,A035336号,A035337号,A035338号,A035339号,A035340号.
连续的行给出斐波那契数A000045号，Lucas数A000204号，翻倍的斐波那契数列A013588型，三倍斐波那契数列A022086级,A022087号,A000285号,A022095型等。
主对角线为A020941美元.

Losanitsch三角

帕斯卡三角形的类似物(A007318号)这应该得到更多的了解。

1
1 1
1 1 1
1 2 2 1
1 2 4 2 1
1 三 6 6 三 1
1 三 9 10 9 三 1
1 4 12 19 19 12 4 1
1 4 16 28 38 28 16 4 1
1 5 20 44 66 66 44 20 5 q个

产生这些数字的规则与帕斯卡三角形的规则基本相同(A007318号)：每个项都是其上两个数字的总和，但如果n是偶数，k是奇数，则（按n=0,1,2，…和按k=0,12,2，…对每行中的条目进行编号）红色条目！-我们减去C（n/2-1，（k-1）/2）。

正式地，

a（n，k）=a（n-1，k-1）+a（n-1，k）-C（n/2-1，（k-1）/2），其中只有当n为偶数，k为奇数时，最后一项才存在。

参考文献：S.M.Losanitsch，Die Isomerie-Arten。。。石蜡Reihe，化学。Ber.公司。 30(1897), 1917-1926.

按行读取三角形形成的序列为A034851号，且连续对角线为A000012号,A004526号,A002620型,A005993号,A005994号,A005995号,A018210号,A018211年,A018212号,A018213号,A018214号.中央立柱产生A034872号,A032123号,A005654号.行总和形式A005418号Pascal三角形和Losanitsch三角形之间的差异给出了如下所示的三角形A034852号.

偶数对角线是前面对角线的部分和。第（2m）对角线的生成函数为

总和C（m+1，2i）x第2页，i=0,1,2，。。。
-------------------------------------------
{（1-x）（1-x2) }米+1

将（2m+1）st对角线的对角线除以1-x得到。

例如，第五对角线1,3,12,28,66126，。。。(A005995号)具有生成功能

（1+3 x2)
---------------------------
{（1-x）（1-x2) }三.

姿势。

含有n个元素的部分有序集有多少？（顺序A001035号.)
如果点是可区分的，即标记的，则n=0、1、2、3。。。点数为：

1、1、3、19、219、4231、130023、6129859。。。

目前，这些数字是通过n=17而知道的。

一些相关序列为：

参考文献选择：

  • K.K.-H.Butler，布尔关系矩阵的Moore-Penrose逆，组合数学（第二届澳大利亚会议论文集），Lect。数学笔记。403, 1974.
  • K.K.-H.Butler和G.Markowsky，有限拓扑的枚举，Proc。第四届S-E Conf.Combinan.，图论，计算，国会。数字。8 (1973), 169-184.
  • C.Chaunier和N.Lygeros，Progres dans l’enumeration des poset，C.R.Acad。科学。巴黎314 serie I（1992）691-694。
  • C.Chaunier和N.Lygeros，《13个元素的订单数量》，第9:3号订单（1992）203-204。
  • C.Chaunier和N.Lygeros，Le nombre de posets一个同构presayant 12个元素。理论计算机科学，123（1994），89-94。
  • J.C.Culberson和G.J.E.Rawlins，《位组计数算法的新结果》，第7阶（90/91），第4期，第361-374页。
  • M.Erne，《点多于不可比对的偏序集的数量》，《圆盘数学》105（1992）49-60。
  • M.Erne，关于有限拓扑的基数和偏序集中反链的个数，Disc。数学。35 (1981) 119-133.
  • M.Erne和K.Stege，《有限偏序集和拓扑计数》，《秩序》，第8卷，第247-265页，1991年。
  • J.W.Evans、F.Harary和M.S.Lynn；关于有限拓扑的计算机枚举；Comm.Assoc.计算机器。10 (1967), 295--298.
  • R.Fraisse和N.Lygeros，《小偏序集：分母、可代表性参数和补偿器》。C.R.学院。科学。巴黎，313（1991），417-420。
  • D.Kleitman和B.L.Rothschild，有限集上偏序的渐近枚举，Trans。阿默尔。数学。Soc.，205（1975）205-220。
  • Y.科达(ykoda@rst.fujixerox.co.jp)，有限格和有限拓扑的数量，Bull。组合数学及其应用研究所，1984年1月。
  • N.Lygeros，Calculs exhaustifs sur les posets d'au加7个元素。SINGULARITE，第2卷第4页，第10-24页，1991年4月。
  • N.Lygeros和P.Zimmermann，a（14）的计算
  • P.Renteln，《关于有限拓扑的枚举》，J.Combin，Inform&System Sci。，第19卷，第201-206页，1994年。
  • P.Renteln，有限偏序集计数的几何方法。。。，Nieuw Archiv威斯康星州。，第14卷，第349-371页，1996年。
  • V.I.Rodionov，MR 83k:05010 T（12）和T0（12）计算值（俄语）。
  • 另请参见

阿达玛最大行列式问题：

条目为0和1的n x n矩阵的最大行列式是什么？（顺序A003432号.)
以下是序列（对于n=1，2，…）：

1, 1, 2, 3, 5, 9, 32, 56, 144, 320, 1458, 3645, 9477, 25515, 131072, 327680, 1114112, 3411968, 19531250, 56640625, ...

下一个任期被认为是195312500年，尽管这还没有得到正式证明。

关于上述问题，人们已经知道了很多。例如，请参阅J.Brenner在Amer发表的调查文章。数学。《月刊》，1972年6月/7月，第626页，以及1973年12月、1975年12月和1977年12月的进一步评论。
如果n+1可以被4整除，并且存在n阶Hadamard矩阵，则f（n）=（n+1）^{（n+1）/2}/2^n。
该问题有四个等价的版本：求矩阵的最大行列式，其条目如下：
o 0或1，或
0≤x≤1范围内的o，或
o-1或1，或
o在-1<=x<=1范围内。

有关最新信息，请参阅网站Hadamard极大行列式问题由W.P.Orrick和B.Solomon维护。

铃声号码：

展开exp（ex个-1）x的幂，总和Bn个x个n个/n！。系数Bn个是贝尔号码吗(A000110号):

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, ...

Motzkin数字：

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, ...
就像加泰罗尼亚数字，莫茨金(A001006号)数字有多种解释。例如：

  • 通过不相交弦连接圆上n个点的方法数
  • 从（0,0）到（n，0）的路径不低于水平轴，由步骤（1,1）（即NE）、（1，-1）（即SE）和（1,0）（即e）组成。
  • a（n）=（s（0），s（1）。。。，s（n）），使得s（i）是非负整数，并且对于i=1,2，。。。，n、 s（0）=0=s（n）。

参考文献选择：

  • T.Motzkin，超曲面交比之间的关系。。。牛市。阿默尔。数学。Soc.，54，352-360，1948年。
  • R.Donaghey，四个Motzkin Catalan方程的限制平面树表示，J.Combin.Theory Ser。B、 1977年11月22日至121日。
  • R.Donaghey和L.W.Shapiro，Motzkin numbers，J.Combin.理论Ser。A、 23291-301977年。
  • E.Barccci、R.Pinzani和R.Sprugnoli，莫茨金家族，PU。硕士学位。A、 2，编号3-4249-2791991。
  • A.Kuznetsov、I.Pak和A.Postnikov，与Motzkin数相关的树，J.Combin。A、 1996年，第76页，第145-147页。
  • F.Bergeron等人，《组合物种和树状结构》，剑桥。1998年，第267页。
  • 理查德·斯坦利（Richard Stanley）的主页在第二卷《枚举组合数学》（Enumerative Combinatorics）（即将出版）下，列出了莫茨金数的表现形式。

公式：

  • 通用格式：（1-x-（1-2*x-3*x^2）^（1/2））/（2*x^ 2）。
  • G.f.满足A（x）=1+xA（x）+x^2A（x）^2。
  • 递归：a（n）=（-1/2）SUM（-3）^a C（1/2，a）C（1/2、b）；a+b=n+2，a>=0，b>=0。
  • 在Maple中：seriestolist（系列（（1-x-（1-2*x-3*x^2）^（1/2））/（2*x^ 2），x，40））；
  • 在Mathematica中：a[0]=1；a[n_Integer]：=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k]，{k，0，n-2}]；数组[a[#]&，30]

完美数字：

等于除以它们的每个（较小的）数字之和的数字。
例如，6是完美的，因为它可以被1、2和3整除，并且1+2+3=6。
完全数序列(A000396号)开始时间：

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328,
2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, ...

只有大约三十个左右的完美数字是已知的。这些是有史以来计算出的最大数字。

阿伦森序列：

1, 4, 11, 16, 24, 29, 33, 35, 39, 45, 47, 51, 56, 58, 62, 64, ...

这是阿伦森的序列(A005224号)，其定义为：

t是第一、第四、第十一。。。这句话的字母。

国际象棋游戏：

在20世纪90年代初，我的同事Ken Thompson计算了可能的n步国际象棋游戏的数量，从n到7，专门用于在线百科全书-参见A006494号.

现在这个序列有几个版本，具体取决于所计算的内容。首选版本（现在已知n≤10）为(A048987号):

1、20、400、8902、197281、4865609、119060324。。。

有关其他版本，请参见国际象棋比赛项目在中OEIS索引.

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