卡迈克尔数

这篇文章需要做更多的工作。

请帮助扩展它！

这个卡迈克尔数(A002997号)是合成数

n个

哪个分水岭

b n个负极b

对于每个整数

b

，或等效的Carmichael数具有以下属性

b n个  − 1  ≡   1 （修订版n个)

适用于所有底座

b

互质到

n个

。它们以命名罗伯特·丹尼尔·卡迈克尔.卡迈克尔数有时也被称为绝对费马伪素数.例如，561=3个 ⋅  11 ⋅  17，所以561是一个费马伪素数适用于所有底座

b

互质3, 11, 17.

每个Carmichael数字都是无平方的至少有三种不同的基本因子.

科塞尔特标准（1899年）。对于每个Carmichael数

n个

它认为

n个 −  1

可除以

第页我 −  1, 1   ≤  我  ≤  ω (n个)

即通过其每一个主要因素

第页我

.

第二个卡迈克尔数(1105)可以表示为两个平方和以比任何较小的数字更多的方式。第三个卡迈克尔数(1729)是Hardy–Ramanujan编号：可以表示为两个立方体的和以两种不同的方式（因此可以用比任何更小的数字更多的方式表示为两个立方体的总和）。

Carmichael数字很重要，因为它们超过了费马素性检验但实际上不是首要的由于卡迈克尔数存在素性检测无法证明首要性虽然它仍然可以用来证明一个数是合成的。然而，随着数字变大，卡迈克尔数字变得非常罕见。例如，有20138200个Carmichael数字介于1和10 21（约为500亿人中的一人）。

Chernick的Carmichael数

1939年，J.切尔尼克找到了一种方法来构造三-卡迈克尔数。如果，对于自然数

米

，三个数字

6 米+ 1

,

12 米+ 1

和

18 米+ 1

是质数，产品

M（M） 三 (米) = (6 米+ 1)  (12 米+ 1)  (18 米+ 1)

是一个三-卡迈克尔数(A033502号). 只有在数字

米

以数字结尾0, 1, 5或6在基地10（即。

米

与…一致0或1模5).Chernick构造的等效公式是：

第页

,

2 第页 −  1

和

三 第页 −  2

是质数与…一致1模6，然后是产品

第页  (2第页 −  1)  （3）第页 −  2）

是一个三-卡迈克尔数。

顺便说一句Hardy–Ramanujan编号，例如。1729 = 7 ⋅  13 ⋅  19，是第三个Carmichael数字和第一个Chernick Carmichale数字！

扩展的Chernick的Carmichael数

这种构造Carmichael数的方法可以推广到

M（M） k个 (米)  =  (6 米+ 1)  (12 米+ 1)   k个  − 2 ∏   我   = 1    (9 ⋅  2 我 米+ 1), k个≥ 3,

条件是因素都是质数

米

可除以

2 k个  − 4

.

序列

Carmichael数相关序列

A002997号卡迈克尔数。

{561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, ...}

A055553号Carmichael数小于

10 n个,n个  ≥   1

.

{0, 0, 1, 7, 16, 43, 105, 255, 646, 1547, 3605, 8241, 19279, 44706, 105212, 246683, 585355, 1401644, 3381806, 8220777, 20138200, ...}

A006931号最小Carmichael数

n个

主要因素，

n个  ≥   三

.

{561, 41041, 825265, 321197185, 5394826801, 232250619601, 9746347772161, 1436697831295441, 60977817398996785, 7156857700403137441, 1791562810662585767521, ...}

A317126型扩展的Chernick Carmichael数。

{1729, 63973, 294409, 56052361, 118901521, 172947529, 216821881, 228842209, 1299963601, 2301745249, 9624742921, 11346205609, 13079177569, 21515221081, ...}

2-Carmichael数相关序列

推论C2。

没有精确的Carmichael数字2主要因素。

证明。假设

第页

和

q个

素数是这样的

第页 q个

是一个卡迈克尔数字。然后

第页 q个 −  1

可除以

第页 −  1

和依据

q个 −  1

.所以

0  ≡  第页 q个 −  1  ≡  第页 q个 −  1负极q个 (  第页 −  1) 选择第页 q个 −  1 −  (  第页 q个负极q个)   ≡  q个 −  1 （修订版第页 −  1)

等等

(  第页 −  1) ∣ (q个 −  1)

而且（通过对称）

(q个 −  1) ∣ (  第页 −  1)

.所以

第页=q个

这与卡迈克尔数是平方自由的事实相矛盾。因此没有2-Carmichael数，即2 基本因子. □

三-Carmichael数相关序列

A087788号 三-Carmichael数，即等于三 素数:

n个=第页 q个 第页

，其中

第页<q个<第页

素数是这样的

一 n个  − 1  ≡   1 （修订版n个)

如果

一

是prime to

n个

.

{561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 46657, 52633, 115921, 162401, 252601, 294409, 314821, 334153, 399001, 410041, 488881, 512461, 530881, 1024651, 1152271, 1193221, ...}

A033502号Chernick Carmichael数，即。三-Carmichael数是三形式素数

6 米+ 1

,

12 米+ 1

和

18 米+ 1

.

{1729, 294409, 56052361, 118901521, 172947529, 216821881, 228842209, 1299963601, 2301745249, 9624742921, 11346205609, 13079177569, 21515221081, 27278026129, 65700513721, 71171308081, ...}

A046025型数字

n个

这样的话

6 n个+ 1

,

12 n个+ 1

和

18 n个+ 1

都是素数（因此

(6 n个+ 1)  (12 n个+ 1)  (18 n个+ 1)

Chernick Carmichael数字）。

{1, 6, 35, 45, 51, 55, 56, 100, 121, 195, 206, 216, 255, 276, 370, 380, 426, 506, 510, 511, 710, 741, 800, 825, 871, 930, 975, 1025, 1060, 1115, 1140, 1161, 1270, 1280, 1281, 1311, 1336, 1361, ...}

A174734号 素数

n个

这样的话

2 n个 −  1

和

三 n个 −  2

是质数（除了

n个= 3

给{3, 5, 7}以及在哪里105 = 3 ⋅  5 ⋅  7不是三-卡迈克尔数，都与1模6哪里

n个 (2 n个  −  1)  （3） n个 −  2）

是Chernick Carmichael数字）。

{3, 7, 37, 211, 271, 307, 331, 337, 601, 727, 1171, 1237, 1297, 1531, 1637, 2221, 2281, 2557, 3037, 3061, 3067, 4261, 4447, 4801, 4951, 5227, 5581, 5851, 6151, 6361, 6691, 6841, 6967, 7621, 7681, ...}

n个-Carmichael数相关序列(n个> 3)

A141711号大于的Carmichael数三主要因素。

{41041, 62745, 63973, 75361, 101101, 126217, 172081, 188461, 278545, 340561, 449065, 552721, 656601, 658801, 670033, 748657, 825265, 838201, 852841, 997633, 1033669, 1050985, 1082809, 1569457, ...}

A074379号 4-Carmichael数，即等于4 素数:

n个=第页 q个 第页 秒

，其中

第页<q个<第页<秒

素数是这样的吗

一 n个  − 1  ≡   1 （修订版n个)

如果

一

是prime to

n个

.

{41041, 62745, 63973, 75361, 101101, 126217, 172081, 188461, 278545, 340561, 449065, 552721, 656601, 658801, 670033, 748657, 838201, 852841, 997633, 1033669, 1082809, 1569457, 1773289, 2100901, ...}

A？？？？？？扩展Chernick4-卡迈克尔数。

{63973, 192739365541, 461574735553, 10028704049893, 84154807001953, 197531244744661, 973694665856161, 3060522900274753, 3183276534603733, 11861640972220321, 26862493078871893, ...}

A？？？？？？大于的Carmichael数4主要因素。（如下321197185，第一个Carmichael数字6主因子，与5-卡迈克尔数字。）

{825265, 1050985, 9890881, 10877581, 12945745, 13992265, 16778881, 18162001, 27336673, 28787185, 31146661, 36121345, 37167361, 40280065, 41298985, 41341321, 41471521, ...}

A112428号Carmichael数等于5素数。

{825265, 1050985, 9890881, 10877581, 12945745, 13992265, 16778881, 18162001, 27336673, 28787185, 31146661, 36121345, 37167361, 40280065, 41298985, 41341321, 41471521, ...}

A112429号卡迈克尔数等于6素数。

{321197185, 413631505, 417241045, 496050841, 509033161, 611397865, 612347905, 638959321, 672389641, 832060801, 834720601, 868234081, 945959365, 986088961, 1074363265, 1177800481, ...}

A112430型Carmichael数等于7素数。

{5394826801, 6295936465, 12452890681, 13577445505, 15182481601, 20064165121, 22541365441, 24673060945, 26242929505, 26602340401, 27405110161, 28553256865, 33203881585, 38059298641, ...}

A112431号Carmichael数等于8素数。

{232250619601, 306177962545, 432207073585, 576480525985, 658567396081, 689702851201, 747941832001, 1013666981041, 1110495895201, 1111586883121, 1286317859905, 1292652236161, ...}

A112432号Carmichael数等于9素数。

{9746347772161, 11537919313921, 11985185775745, 14292786468961, 23239986511105, 24465723528961, 26491881502801, 27607174936705, 30614445878401, 30912473358481, 34830684315505, ...}

卡迈克尔数素数分解

Carmichael数（素因式分解）

n个	C类 (n个)	素因子分解	ω （C） (n个))	扩展的Chernick的Carmichael数 M（M）k个 (米) = (6 米+1）（12 米+ 1) ∏ k个  − 2 我   = 1 (9 ⋅  2 我 米+ 1), 米  ≥   1
1	561	三 ⋅  11 ⋅  17	三
2	1105	5 ⋅  13 ⋅  17	三
三	1729	7 ⋅  13 ⋅  19	三	M（M） 三 (1)
4	2465	5 ⋅  17 ⋅  29	三
5	2821	7 ⋅  13 ⋅  31	三
6	6601	7 ⋅  23 ⋅  41	三
7	8911	7 ⋅  19 ⋅  67	三
8	10585	5 ⋅  29 ⋅  73	三
9	15841	7 ⋅  31 ⋅  73	三
10	29341	13 ⋅  37 ⋅  61	三
11	41041	7 ⋅  11 ⋅  13 ⋅  41	4
12	46657	13 ⋅  37 ⋅  97	三
13	52633	7 ⋅  73 ⋅  103	三
14	62745	三 ⋅  5 ⋅  47 ⋅  89	4
15	63973	7 ⋅  13 ⋅  19 ⋅  37	4	M（M） 4 (1)
16	75361	11 ⋅  13 ⋅  17 ⋅  31	4
17	101101	7 ⋅  11 ⋅  13 ⋅  101	4
18	115921	13 ⋅  37 ⋅  241	三
19	126217	7 ⋅  13 ⋅  19 ⋅  73	4
20	162401	17 ⋅  41 ⋅  233	三
21	172081	7 ⋅  13 ⋅  31 ⋅  61	4
22	188461	7 ⋅  13 ⋅  19 ⋅  109	4
23	252601	41 ⋅  61 ⋅  101	三
24	278545	5 ⋅  17 ⋅  29 ⋅  113	4
25	294409	37 ⋅  73 ⋅  109	三	M（M） 三 (6)
26	314821	13 ⋅  61 ⋅  397	三
27	334153	19 ⋅  43 ⋅  409	三
28	340561	13 ⋅  17 ⋅  23 ⋅  67	4
29	399001	31 ⋅  61 ⋅  211	三
30	410041	41 ⋅  73 ⋅  137	三
31	449065	5 ⋅  19 ⋅  29 ⋅  163	4
32	488881	37 ⋅  73 ⋅  181	三

另请参见

• 费马伪素数
• 欧拉伪素数
• 绝对欧拉伪素数

• 卡米凯尔·扎伦（Tabelle Carmichael Zahlen）
• Tabelle Carmichael Zahlen nach Chernick公司