素数的特征函数

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这个素数的特征函数，如果数字是质数否则为0，定义为

${\显示样式\chi_{\rm{prime}}（n）\equiv\pi（n$

哪里${\显示样式\脚本样式\pi（n）\，}$是素数计数函数.

它也由

$｛\displaystyle\chi_｛\rm｛prime｝｝（n）=[\gcd（n，\lfloor｛\sqrt｛n｝｝\lfloor\#）=1]，\，｝$

哪里${\显示样式\脚本样式\gcd（m，\，n）\，}$是最大公约数属于${\显示样式\脚本样式m\，}$和${\显示样式\脚本样式n\，}$,${\显示样式\脚本样式n\#，}$是素数阶乘属于${\显示样式\脚本样式n\，}$和$｛\displaystyle\scriptstyle[\cdot]\，｝$是艾弗森支架.

例如，$｛\displaystyle\scriptstyle\chi（7）\，=\，1\，｝$,${\displaystyle\scriptstyle\chi_{\rm{prime}}（8）\，=\，0\，}$（请参见A010051型上市金额高达10万英镑。）

${\displaystyle\scriptstyle\chi_{\rm{prime}}（n），\，1\，\leq\，n\，\leq \，257，\，}$哪里${\displaystyle\scriptstyle\chi_{\rm{prime}}（n）\，}$是素数的特征函数(A010051型)

1     ${\displaystyle\scriptstyle\chi_{\rm{prime}}（n）\，}$
		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（201，218，237）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>	<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 像素；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；borter-right-widths:0；border-top-color:black；boorder-bottom-color:black | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border style:solid；border top width:1px；border bottom width:1px；border left width:0；border right width:0；border top color:black；border bottom color:black；border left color:0；border right color:0；background color:rgb（206223242）；height: | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；borter-right-widths:0；border-top-color:black；boorder-bottom-color:black | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；borter-right-widths:0；border-top-color:black；boorder-bottom-color:black | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 像素；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；borter-right-widths:0；border-top-color:black；boorder-bottom-color:black | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>								<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border style:solid；border top width:1px；border bottom width:1px；border left width:0；border right width:0；border top color:black；border bottom color:black；border left color:0；border right color:0；background color:rgb（206223242）；height: | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>														<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div 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right width:0；border top color:black；border bottom color:black；border left color:0；border right color:0；background color:rgb（206223242）；height: | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>												<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>												<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>				<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>		<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>										<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；boorder-right-width-0；border-top-color:black；borter-bottom-color:black，bordert-left-color:0；border-right-color:0，background-color:%rgb（206，223，242）；高度： | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0 0；z索引：0；“></div>						<div style=“position:absolute；border-style:solid；borders-top-width:1px；bordert-bottom-width：1px，border-left-width:0；borter-right-widths:0；border-top-color:black；boorder-bottom-color:black | 100*1/1 | 二甲苯；底部：0；宽度：3px；边距：0 0 0；z索引：0；“></div>
0

渐近概率

这个素数的特征函数等于1，且缓慢减小（向0收敛）渐近概率

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}P（\chi_{\rm{prime}}（n）=1）={\frac{1}{\log（n$

当渐近概率缓慢增加（收敛到1）时等于0

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}P（\chi_{\rm{prime}}（n）=0）=1-{\frac{1}{\log（n$

如果你设置${\显示样式\脚本样式n\，}$到${\显示样式\脚本样式e\，}$=2.718281828459…，给出的概率为${\显示样式\脚本样式n\，}$由于素数等于1，所以两个整数都围绕在${\显示样式\脚本样式e\，}$，即2和3是质数！

上述限制意味着0%的整数是首要的（100%的整数是混合成的)然而无穷级数

${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{p_{n}}=\sum_{n=1}^{\finty}[\chi_{\rm{prime}}（n）=1]\，{\frac{1}}{n}{=\sum_n=1}^}[\gcd（n，\lfloor{\sqrt{n}\rfloor\#）=1]\\，{\frac{1}{n}}\到\输入，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式p_{n}\，}$是${\显示样式\脚本样式n\，}$第个素数，恰好向无穷远处发散！

另请参阅

• 素数计数功能
• 特性函数