加泰罗尼亚三角

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加泰罗尼亚三角类似于帕斯卡三角形，但不是将上面的两个项相加，而是将左边的项（在同一行上）和右边的项相加。也就是说，重复规则是

${\显示样式T（n，k）=T（n-1，k）+T（n、k-1）\，}$.

行总和是加泰罗尼亚数字，实际上下一行的最后一个数字就是当前行的总和

$显示样式T（n+1，n+1）=sum_{k=0}^{n} T型（n，k）\，}{n} T型（n，k）\，}$.

${\显示样式n\，}$								C类	一	t吨	一	我	一	n个		t吨	第页	我	一	n个	克	我	e（电子）						行总和 ${\显示样式\sum_{k=0}^{n} T型（n，k）\，}{n} T型（n，k）\，}$ ${\显示样式=\，}$ ${\显示样式\，}$ ${\显示样式C（n+1）\，}$ ${\显示样式\，}$ 加泰罗尼亚数字 (A000108号${\显示样式\脚本样式（n+1）\，}$)
0																	1												1
1																1		1											2
2															1		2		2										5
三														1		三		5		5									14
4													1		4		9		14		14								42
5												1		5		14		28		42		42							132
6											1		6		20		48		90		132		132						429
7										1		7		27		75		165		297		429		429					1430
8									1		8		35		110		275		572		1001		1430		1430				4862
9								1		9		44		154		429		1001		2002		3432		4862		4862			16796
10							1		10		54		208		637		1638		3640		7072		11934		16796		16796		58786
11						1		11		65		273		910		2548		6188		13260		25194		41990		58786		58786	208012
12					1		12		77		350		A005587号以下为：${\显示样式\脚本样式{\ frac{n^{4}+18n^{3}+107n^{2}+210n}{24}}\，}$																742900
13				1		13		90		A005586号以下为：行走次数在正方形格子 ${\显示样式\脚本样式{\ frac{n^{3}+9n^{2}+20n}{6}}\，}$																			2674440
14			1		14		A000096号以下为：${\显示样式\脚本样式{\ frac{n^{2}+3n}{2}}\，}$																						9694845
15		1		A000027号：该正整数																									35357670
16	A000012号以下为：连续分数对于黄金比率																												129644790

加泰罗尼亚三角形递推方程

${\显示样式T（0,0）=1，\，}$

${显示样式T（n，k）=T（n-1，k）+T（n、k-1），\0\leq k\leq n.，}$

加泰罗尼亚三角公式

$显示样式T（n，k）=\sum_{i=0}^{k}{\binom{n}{i}}\，}$

和

${\显示样式T（n，k）-T（n，k-1）={\binom{n}{k}}\，}$

加泰罗尼亚三角行

行读取的加泰罗尼亚三角形给出了有限序列的无限序列

｛｛1｝，｛1，1｝，｛1，2，2｝，｛1，3，5，5｝，｛1，4，9，14，14｝，｛1，5，14，28，42，42｝，｛1，6，20，48，90，132，132｝，｛1，7，27，75，165，297，429，429｝，｛1，8，35，110，275，572，1001，1430，1430｝，…｝

它的串联给出了无限序列（参见。A009766号)

{1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 5, 5, 1, 4, 9, 14, 14, 1, 5, 14, 28, 42, 42, 1, 6, 20, 48, 90, 132, 132, 1, 7, 27, 75, 165, 297, 429, 429, 1, 8, 35, 110, 275, 572, 1001, 1430, 1430, ...}

加泰罗尼亚三角行总和

行和给出了序列${\显示样式\脚本样式C（n+1），\n\geq 0\，}$，第页，共页加泰罗尼亚数字（也称为塞格纳数)

{1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, ...}

可以使用以下公式计算行和

${\显示样式\sum_{k=0}^{n} T型（n，k）=C（n+1）=｛\frac｛1｝｛n+2｝｝｛\binom｛2n+2｝｛n+1｝｝=｛\frac｛（2n+2）！｝｛（n+1）！（n+2）！｝｝，｝{n} T型（n，k）=C（n+1）=｛\frac｛1｝｛n+2｝｝｛\binom｛2n+2｝｛n+1｝｝=｛\frac｛（2n+2）！｝｛（n+1）！（n+2）！｝｝，｝$

哪里${\显示样式\脚本样式C（n）\，}$是${\显示样式\脚本样式n\，}$^第个 加泰罗尼亚数字.

这个生成函数是

$显示样式G_{\\sum_{k=0}^{n} T型（n，k）}（x）=G{{C（n+1）}}{n} T型（n，k）}（x）=G{{C（n+1）}}$

哪里

$｛\displaystyleG_｛C（n）｝｝（x）＝｛\frac｛1-｛\sqrt｛1-4x｝｝｝｛2x｝｝\，｝$

是的生成函数加泰罗尼亚数字.

加泰罗尼亚三角形行交替符号和

${\显示样式\sum_{k=0}^{n}（-1）^{k}\T（n，k）=~？\，}$

加泰罗尼亚三角上升对角线

该表给出了${\显示样式\脚本样式j\，}$^第个成员，${\显示样式\脚本样式j\，\geq\，0，\，}$的${\显示样式\脚本样式i\，}$^第个,$｛\displaystyle\scriptstyle i\，\geq\，0，\，｝$上升对角线（0表示最左边。）

加泰罗尼亚三角上升对角线序列

${\显示样式i\，}$	${\显示样式T（i+j，i），\j\geq 0\，}$序列	A编号
0	{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}	A000012号(${\显示样式\脚本样式j\，}$)
1	{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, ...}	A000027号(${\显示样式\脚本样式j+1，}$)
2	{2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, 65, 77, 90, 104, 119, 135, 152, 170, 189, 209, 230, 252, 275, 299, 324, 350, 377, 405, 434, 464, 495, 527, 560, 594, 629, 665, ...}	A000096号(${\显示样式\脚本样式j+1，}$)
三	{5, 14, 28, 48, 75, 110, 154, 208, 273, 350, 440, 544, 663, 798, 950, 1120, 1309, 1518, 1748, 2000, 2275, 2574, 2898, 3248, 3625, 4030, 4464, 4928, 5423, ...}	A005586号(${\显示样式\脚本样式j+1，}$)
4	{14, 42, 90, 165, 275, 429, 637, 910, 1260, 1700, 2244, 2907, 3705, 4655, 5775, 7084, 8602, 10350, 12350, 14625, 17199, 20097, 23345, 26970, 31000, 35464, ...}	A005587号(${\显示样式\脚本样式j+1，}$)
5	｛42、132、297、572、1001、1638、2548、3808、5508、7752、10659、14364、19019、24794、31878、40480、50830、63180、77805、95004、115101、138446、165416…｝	A005557号(${\显示样式\脚本样式j\，}$)
6	{132, 429, 1001, 2002, 3640, 6188, 9996, 15504, 23256, 33915, 48279, 67298, 92092, 123970, 164450, 215280, 278460, 356265, 451269, 566370, 704816, ...}	A064059号(${\显示样式\脚本样式j\，}$)
7	{429, 1430, 3432, 7072, 13260, 23256, 38760, 62016, 95931, 144210, 211508, 303600, 427570, 592020, 807300, 1085760, 1442025, 1893294, 2459664, ...}	A064061号(${\显示样式\脚本样式j\，}$)
8	{1430, 4862, 11934, 25194, 48450, 87210, 149226, 245157, 389367, 600875, 904475, 1332045, 1924065, 2731365, 3817125, 5259150, 7152444, ...}	A124087号(${\显示样式\脚本样式j+15\，}$)
9	｛4862、16796、41990、90440、177650、326876、572033、961400、1562275、2466750、3798795、5722860、8454225、12271350、17530500、24682944…｝	A124088型(${\显示样式\脚本样式j+17\，}$)
10	{16796, ...}	A？？？？？？
11	{58786, ...}	A？？？？？？
12	{208012, ...}	A？？？？？？

加泰罗尼亚三角上升对角线公式和值

${\显示样式i\，}$	公式 ${\显示样式T（i+j，i）=\，}$	生成 功能 $显示样式G_{T（i+j，i）}}（x）=\，}$	差异 ${\显示样式T（i+j，i）-T（i+j-1，i）=\，}$	部分金额 ${\显示样式\sum_{j=0}^{m}{T（i+j，i）}=\，}$	部分倒数和 ${\displaystyle\sum_{j=0}^{m}{1\over{T（i+j，i）}}=\，}$	倒数总和 $｛\displaystyle\sum_｛j=0｝^｛infty｝｛1\over｛T（i+j，i）｝｝=\，｝$
0
1
2
三
4
5
6
7
8
9
10

加泰罗尼亚三角下降对角线

该表给出了${\显示样式\脚本样式j\，}$^第个成员，${\显示样式\脚本样式j\，\geq\，0，\，}$的${\显示样式\脚本样式i\，}$^第个,${\显示样式\脚本样式i\，\geq\，0，\，}$下降对角线（0表示最右边。）

加泰罗尼亚三角下降对角线序列

$｛\displaystyle i｝，｝$	${\显示样式T（i+j，j），\j\geq 0\，}$序列	A编号
0	{1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, ...}	A000108号(${\显示样式\脚本样式j\，}$)
1	{1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, ...}	A000108号(${\显示样式\脚本样式j+1，}$)
2	{1, 3, 9, 28, 90, 297, 1001, 3432, 11934, 41990, 149226, 534888, 1931540, 7020405, 25662825, 94287120, 347993910, 1289624490, 4796857230, 17902146600, ...}	A000245型(${\显示样式\脚本样式j+1，}$)
三	｛1、4、14、48、165、5722002、7072、25194、90440、326876、1188640、4345965、15967980、58929450、218349120、811985790、3029594040、11338026180…｝	A002057号(${\显示样式\脚本样式j\，}$)
4	{1, 5, 20, 75, 275, 1001, 3640, 13260, 48450, 177650, 653752, 2414425, 8947575, 33266625, 124062000, 463991880, 1739969550, 6541168950, 24647883000, ...}	A000344号(${\显示样式\脚本样式j+2\，}$)
5	{1, 6, 27, 110, 429, 1638, 6188, 23256, 87210, 326876, 1225785, 4601610, 17298645, 65132550, 245642760, 927983760, 3511574910, 13309856820, ...}	A003517号(${\显示样式\脚本样式j+2\，}$)
6	{1, 7, 35, 154, 637, 2548, 9996, 38760, 149226, 572033, 2187185, 8351070, 31865925, 121580760, 463991880, 1771605360, 6768687870, 25880277150, ...}	A000588号(${\显示样式\脚本样式j+3\，}$)
7	｛1，8，44，208，910，3808，15504，62016，245157，961400，3749460，14567280，56448210，218349120，843621600，3257112960，12570420330，48507033744，…｝	A003518号(${\显示样式\脚本样式j+3\，}$)
8	{1, 9, 54, 273, 1260, 5508, 23256, 95931, 389367, 1562275, 6216210, 24582285, 96768360, 379629720, 1485507600, 5801732460, 22626756594, 88152205554, ...}	A001392号(${\显示样式\脚本样式j+4\，}$)
9	{1, 10, 65, 350, 1700, 7752, 33915, 144210, 600875, 2466750, 10015005, 40320150, 161280600, 641886000, 2544619500, 10056336264, 39645171810, ...}	A003519号(${\显示样式\脚本样式j+4\，}$)
10	{1, 11, 77, 440, 2244, 10659, 48279, 211508, 904475, 3798795, 15737865, 64512240, 262256280, 1059111900, 4254603804, 17018415216, 67837293986, ...}	A000589号(${\显示样式\脚本样式j+5\，}$)
11	{1, 12, 90, ...}	A？？？？？？
12	{1, 13, ...}	A？？？？？？

加泰罗尼亚三角形下降对角线公式和值

${\显示样式i\，}$	公式 ${\显示样式T（i+j，j）=\，}$	生成 功能 $显示样式G_{T（i+j，j）}}（x）=\，}$	差异 ${\显示样式T（i+j，j）-T（i+j-1，j）=\，}$	部分金额 $｛\displaystyle\sum_｛j=0｝^｛m｝｛T（i+j，j）｝=\，｝$	部分倒数和 ${\displaystyle\sum_{j=0}^{m}{1\over{T（i+j，j）}}=\，}$	倒数总和 ${\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty}{1\over{T（i+j，j）}}=\，}$
0
1
2
三
4
5
6
7
8
9
10

使用加泰罗尼亚语三角形对Dyck单词/路径进行排序和取消排序

加泰罗尼亚三角可以用来等级和取消分级 Dyck单词或路径（或任何其他加泰罗尼亚数的组合解释对于其中一个双射的可以找到与前者的通信）。例如，唐纳德·克莱尔和道格拉斯·斯廷森就解释了这一点，和Frank Ruskey的论文。

代码

要执行的操作：复制自[[1]]所有适当的部分，Maple和Scheme-code等。

另请参见

• A124061号 乘法编码加泰罗尼亚三角：产品${\显示样式\脚本样式p（i+1）^{T（n，i）}\，}$.