繁忙的海狸号码

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忙碌的海狸正在停止图灵机器 $｛\displaystyle H\ in｛\mathcal｛H｝｝_｛（n，k）｝$具有n个活动状态${\显示样式q}$（除HALT状态外），在无限磁带上操作，该磁带可容纳k个独特的符号。当在最初的空白磁带上启动时，它们会竞争完成的最大步骤数，或停止后磁带上剩余的最大非零符号数。

[编辑序言（第0节）]

繁忙海狸的两个定义

让${\显示样式\，{\mathcal{H}}（n，k）\，}$成为所有人的集合图灵机器具有${\显示样式n}$状态和${\显示样式k}$在空白处启动时停止的符号(即，全零）磁带。（在整个页面中，“blank”、“zero”和“0”是同义词。）在这个上下文中，通常只允许移位{LEFT（-1）和RIGHT（+1）}，而d+=NONE（0）被排除在外。最初的Busy Beaver问题考虑${0,1\}}中的显示样式$,即,${\显示样式k=2}$，但文献中考虑了更一般的BB.

忙碌的海狸是图灵机器吗${\显示样式\，H\在{\mathcal{H}}（n，k）\，}中$竞争方式有两种：

• 最大化${\显示样式（H）}$，的步骤数（或移位，因为方向NONE被排除在外）由图灵机执行$｛\displaystyle H\ in｛\mathcal｛H｝｝（n，k）｝$从空白磁带开始，一旦停止，

• 最大化${\显示样式\西格玛（H）}$，的磁带标记数图灵机（最初空白磁带上留下的非空白符号）${显示样式H\在{数学{H}}（n，k）}中$，一旦停止。
  （机器可能会写入更多非空白符号，但会用零覆盖其中一些符号。）

相应地，我们定义${\显示样式S（n，k）}$和${\显示样式\Sigma（n，k）}$作为这两个函数所达到的最大值：

${\显示样式S（n，k）=\最大\，\，S（H）：H\在{\数学{H}}（n，k）\，\}~，}中$

${\displaystyle\Sigma（n，k）=\max\，\{\，\Sigma（H）：H\在{\mathcal{H}}（n，k）\，\}~.}中$

Rado的sigma函数

这个繁忙河狸功能,Rado的sigma函数sigma（n）,${\displaystyle\scriptstyle\Sigma:\，n\，\ to \，n\，}$, (A028444美元)定义如下：${\显示样式\脚本样式\西格玛（n）\，\equiv\，\Sigma（n，2）\，}$是所有分数中可以达到的最大分数（磁带上最后的最大1s数）${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态，2符号停止图灵机器(TM（TM）)${\显示样式\脚本样式H\，\ in \，H_{（n，2）}\，}$在空白磁带上开始时，属于上述类型（全部为0。）

拉多证明了${\显示样式\脚本样式\西格玛\，}$是一个定义明确的函数; 也就是说，对于每个${\显示样式\脚本样式n\，}$，的${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态，2符号繁忙的海狸游戏确实有一个可以达到的最高分数。为此，他使用的基本原则是非空有限集属于非负整数必须具有最大元素.Rado的sigma函数比任何人都长得快可计算函数（即，对于任何可计算函数$｛\displaystyle\scriptstyle f\，｝$，有一个整数${\显示样式\脚本样式N\，}$这样，${\显示样式\脚本样式\所有n\，>\，n\，}$，我们有${\显示样式\脚本样式\西格玛（n）\，\equiv\，\Sigma（n，2）\，>\，f（n）\n，}$)因此是一个不可竞争函数.

图灵机器数量有限（无论是否停止）${\显示样式\脚本样式T\，\in\，T_{（n，2）}\，}$具有${\显示样式\脚本样式n\，}$状态和2个符号，具体有${\显示样式\脚本样式[2k（n+1）]^{nk}|_{（k\，=\，2）}\$（无论是否停止）如果我们不考虑停止后的状态，图灵机。）此外，可以看到其中一些停机机器; 即，至少存在一个${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态，2符号暂停图灵机${\显示样式\脚本样式H\，\ in \，H_{（n，2）}\，}$，每${\显示样式\脚本样式n\，}$。现在定义

• ${\显示样式\脚本样式H_{n}\，\equiv\，H_{（n，2）}\，}$是有限的，非空集停止的时间${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态2符号图灵机${\显示样式\脚本样式H\，}$上述类型（双向无限带、由5元组定义的转换函数等）
• $｛\displaystyle\scriptstyle\sigma（H）\，｝$，对于每台停机的图灵机器${\显示样式\脚本样式H\，\ in \，H_{（n，2）}\，}$，是分数机器的${\显示样式\脚本样式H\，}$-机器后磁带上的最终1s数${\显示样式\脚本样式H\，}$用一个初始空白磁带（全部为0）运行到结束
• ${\显示样式\脚本样式\西格玛（n）\，\equiv\，\Sigma（n，2）\，=\，\max\{\Sigma（H）\，|\，H\，\in\，H_{（n，2中）}\，}$（即所有得分中的最高分${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态2符号暂停图灵机$｛\displaystyle\scriptstyle H\，｝$从空白磁带开始。）

自${\显示样式\脚本样式\西格玛（H）\，}$是一个非负整数对于任何${\显示样式\脚本样式H\，\ in \，H_{（n，2）}\，}$，自${\显示样式\脚本样式H_{（n，2）}\，}$是非空有限集，${\显示样式\脚本样式\西格玛（n）\，}$对于每个非负整数都是一个定义明确的非负整数${\显示样式\脚本样式n\，}$.

这个无限序列${\显示样式\脚本样式\西格玛\，}$是繁忙河狸功能、以及任何${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态2符号停止图灵机${\显示样式\脚本样式H\，\ in \，H_{（n，2）}\，}$对于其中$｛\displaystyle\scriptstyle\sigma（H）\，=\，\西格玛（n）\，｝$（即获得最高分数）称为忙碌的海狸注意，对于每个${\显示样式\脚本样式n\，}$，至少存在两个${\显示样式\脚本样式n\，}$-州繁忙的海狸（因为，任何${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态忙beaver，另一个是通过在暂停转换中仅更改移位方向获得的。）

最大换档功能

除了${\显示样式\脚本样式\西格玛\，}$函数，Radó[1962]引入了另一个极值函数对于BB级图灵机器，的最大换档功能,${\显示样式\脚本样式S（n）\，}$，定义为

• ${\显示样式\脚本样式s（H）\，=\，\，}$移位次数（因此步数，因为方向NONE（0）被排除在外）${\显示样式\脚本样式H\，}$在停止之前进行任何操作${\显示样式\脚本样式H\，\ in \，H_{（n，2）}\，}$,
• ${\显示样式\脚本样式S（n）\，=\，\最大值\{S（H）\，| \，H \，\ in \，H_{（n，2）}\}\，=，\，}$任何暂停所产生的最大移位次数（因此，由于方向NONE（0）被排除在外，因此为步数${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态2符号停止图灵机${\显示样式\脚本样式H\，}$（不一定是同一台图灵机器产生最大数量的磁带标记，即1，甚至不需要产生许多磁带标记。）。A060843型)

因为这些图灵机需要在每个转换或“步骤”中进行转换（包括任何到停止状态的转换）max-shifts函数同时是一个max-steps函数.

Radó表明${\显示样式\脚本样式S\，}$是无可争辩的因为同样的原因${\显示样式\脚本样式\西格玛\，}$是无可争议的——它的增长速度比任何东西都快可计算函数他只是通过指出${\显示样式\脚本样式\用于所有n，\，S（n）\，\geq\，\Sigma（n）\n，}$，因为在磁带上写入1需要移位；因此，${\显示样式\脚本样式S\，}$增长速度至少与${\显示样式\脚本样式\西格玛\，}$已经证明，它的增长速度比任何可计算函数都快。

以下连接${\显示样式\脚本样式\西格玛\，}$和${\显示样式\脚本样式S\，}$由Lin&Radó使用来证明这一点${\显示样式\脚本样式\西格玛（3）\，=\，6\，}$。对于给定的${\显示样式\脚本样式n\，}$，如果${\显示样式\脚本样式S（n）\，}$就知道了${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态图灵机（原则上）最多可以运行${\显示样式\脚本样式S（n）\，}$步数，此时任何尚未停止的机器都将永远不会停止。在这一点上，通过观察哪些机器已停止，磁带上的1s数最多（即忙碌的海狸)，人们从磁带中获得${\显示样式\脚本样式\西格玛（n）\，}$Lin&Radó针对以下情况使用的方法${\显示样式\脚本样式n\，=\，3\，}$就是猜测${\显示样式\脚本样式S（3）\，=\，21\，}$，然后模拟所有本质上不同的3状态机，最多21个步骤。通过分析那些在21步内没有停止的机器的行为，他们成功地证明了这些机器中没有一台会停止，从而证明了以下猜测：${\显示样式\脚本样式S（3）\，=\，21\，}$，并确定${\显示样式\脚本样式\西格玛（3）\，=\，6\，}$按照刚才描述的程序。

不平等相关${\显示样式\脚本样式\西格玛\，}$和${\显示样式\脚本样式S\，}$包括以下内容，

${显示样式S（n，k）\geq\Sigma（n，k），\quad k\，\geq\，2，\，n\，\geq，1，\，}$

${显示样式S（n，2）\leq（2n-1）~\Sigma（3n+3,2），\quad n，\geq，1，\，}$

${显示样式S（n，2）<\Sigma（3n+6,2），\quad n，\geq，1，\，}$

和一个渐近地改进界限：存在常量${\显示样式\脚本样式c\，}$，因此

${\显示样式S（n，2）\leq\Sigma{\Bigg（}n+{\Big\lceil}{\frac{8n}{\log_{2} n个}}{\Bigg\rceil}+c，2{\Big）}，\quadn\，\geq\，2.\，}{2} n个}}{\Bigg\rceil}+c，2{\Big）}，\quadn\，\geq\，2.\，}$

序列

A028444美元=忙碌的海狸序列，或Rado的sigma函数：${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态，2符号，${\显示样式\脚本样式d+\，}$在{LEFT，RIGHT}，5-元组中(${\显示样式\脚本样式q、\、s、\、q+、\、s+、\，d+\，}$)停机图灵机可以在暂停之前在初始空白磁带（全部为0）上打印(${\显示样式n\geq 0}$):

{0, 1, 4, 6, 13, ≥ 4098, ≥ 1.29 · 10⁸⁶⁵，…｝

A060843型=繁忙的海狸问题:$｛\displaystyle\scriptstyle a（n）\，｝$是一个${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态，2符号，${\显示样式\脚本样式d+\，}$在{LEFT，RIGHT}，5-元组中(${\显示样式\脚本样式q、\、s、\、q+、\、s+、\，d+\，}$)停机图灵机可以在暂停之前在初始空白磁带（全部为0）上创建(${\显示样式n\geq 1}$):

{1, 6, 21, 107, ≥ 47176870, ≥ 3 · 10¹⁷³⁰，…｝

A052200型（n） =（4（n+1））^第2个=数量${\显示样式\脚本样式n\，}$-状态，2符号，${\显示样式\脚本样式d+\，}$在{LEFT，RIGHT}，5-元组中(${\显示样式\脚本样式q、\、s、\、q+、\、s+、\，d+\，}$)（是否停止）图灵机：

{1, 64, 20736, 16777216, 25600000000, 63403380965376, 232218265089212416, 1180591620717411303424, 7958661109946400884391936, 68719476736000000000000000000, ...}

另请参阅

• 与Busy Beaver问题相关的序列索引条目

• BB级图灵机
• 图灵机器
• 通用图灵机
• 正在停止问题

• 可计算的数字和不争数
• 可计算序列和不可竞争序列
• 可计算函数和不可竞争函数

外部链接

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,忙碌的海狸，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。
• 忙碌的海狸—维基百科.org.
• 布莱恩·克莱尔，宇宙中最大的数字《奇异的地平线》，2001年。
• 帕斯卡·米歇尔，繁忙海狸的历史考察, 2011.
• 帕斯卡·米歇尔，忙碌海狸的行为, 2010.
• 帕斯卡·米歇尔，繁忙的海狸比赛, 2010.
• 帕斯卡·米歇尔，繁忙的海狸比赛：历史考察，arXiv，2010年。