Boutrophedon变换

Boutrophedon变换是一种保留整数序列的序列变换。B变换${\显示样式\mathbf{b}=（b_{n}）_{n\geq0}={\mathcal{b}}（\mathbf{a}）}$整数序列的${\显示样式\mathbf{a}=（a{n}）{n\geq0}}$最简单的定义是${\显示样式b_{n}:=T_{n，n}}$，引入了一个辅助三角形${\显示样式\mathbf{T}=（T_{n，k}）_{n\geqk\geq0}}$由定义

${\显示样式T_{n，0}=a_{n}~~~T_{n+1，k+1}=T_{n/1，k}+T_{n，n-k}~~~{n\geqk\geq0}~.}T_{n+1，k+1}=T_{n/1，k}+T_{n，n-k}~~~{n\geqk\geq0}~.}$

实际计算

上述定义公式可以应用如下：计算三角形$显示样式（T_{n，k}）_{n\geqk\geq0}}$，以交替的方向填充越来越长的行（一行从左到右，下一行从右到左），从相应的第n行开始${\显示样式a{n+1}}$，然后将之前放置的元素加上上一行中最近的元素之和作为下一个元素添加：

T00：=a0a1=：T10-------->T11=T10+T00T22=T21+T10<--------T21=T20+T11<--------T20:=a2a3=：T30-------->T31=T30+T22-------->T32=T31+T21-------->T33=T32+T20（…）<--------T41=T40+T33<--------T40：=a4

等等。

“final”元素${\显示样式T_{n，n}}$每行的定义为${\显示样式b{n}}$，所以

${\显示样式b_{0}=T_{0,0}=a_{0{}，~b_{1}=T_{1,1}=a{1}+a{0}，~ b_{2}=T_{2,2}=a_2}+b_{1'+a{1{，~…}$

显式公式

由于施工${\显示样式b_{n}=\sum_{k=0}^{n} B类_{n，k}a_{k} }{n} B类_{n，k}a_{k} }$，其中Boutrophedon系数 A109449号由提供

${\显示样式B_{n，k}={n\choose k}E_{n-k}~，~~n\geq k\geq 0~，}$

和往常一样二项式系数以及所谓的欧拉数 ${\显示样式E_{n}}$在中给出A000111号，例如f。${\displaystyle\sumE_{n}{\frac{x^{n}}{n！}}=\secx+\tanx~~（\secx=1/\cosx）}$.

这些Boutrophedon系数表显示：

1;1,     1;1,     2,     1;2,     3,     3,     1;5、8、6、4、1；16,    25,    20,    10,     5,    1;61,    96,    75,    40,    15,    6,    1;(...)

如果此表被视为无限方阵或矩阵B类用零完成右上半部分，Boutrophedon变换可以表示为简单地将序列（视为列矩阵）乘以该矩阵B类.

逆变换

上述无限矩阵B类具有反转(A247453型)等于B类最多交替标志${\显示样式（-1）^{n+k}}$:

${\displaystyle\mathbf{B}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots\\-1&1&0&0&0&&0&\cdots\\1&-2&1&0&0&\cdotes\\-2&3&3&1&0:\cdots\\5&-8&6&-4&1&0-\cdots \\-16&25&-20&10&-5&1&\cdot \\61&-96&75&-40&15&-6&\ddots\\vdots&&&&\ddot x}}.}{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots\\-1&1&0&0&0&&0&\cdots\\1&-2&1&0&0&\cdotes\\-2&3&3&1&0:\cdots\\5&-8&6&-4&1&0-\cdots \\-16&25&-20&10&-5&1&\cdot \\61&-96&75&-40&15&-6&\ddots\\vdots&&&&\ddot x}}.}$

因此，这个逆矩阵的乘法就是逆变换，也可以表示为

$｛\displaystylea_｛n｝=｛\mathcal｛B｝｝^{-1}b_{n} =\sum_{k=0}^{n}（-1）^{n+k}，B_{n，k}\，B_{k}~，~~n\geqk\geq0.}{-1}b_{n} =\sum_{k=0}^{n}（-1）^{n+k}，B_{n，k}\，B_{k}~，~~n\geqk\geq0.}$

历史

（待编写）--参见Millar，Sloane&Young参考。

程序

帕里/加仑

B（a，T=a[1.1]，S）={对于（n=2，#a，T=向量（n，k，如果（k>1，S+=T[n-k+1]，S=a[n]））/*；打印（T）*/；a[n]=S）；a}

或

B（a）={a+向量（#a，n，sum（k=1，n-1，abs（polylog（k-n，I））*2*二项式（n-1，k-1）*a[k]）}

请参阅“整数序列的转换”更多Maple、Mathematica和PARI/GP代码，请访问OEIS主网站上的页面。

工具书类

• J.Millar、N.J.A.Sloane和N.E.Young，序列的一种新操作：Boutrophedon变换,J.库姆。理论17安（1996）第44-54页。

作者

此页面由创建M.F.哈斯勒2017年10月5日。

将此页面引用为

M.F.Hasler，Boutrophedon变换.— 摘自整数序列在线百科全书®Wiki（OEIS®Wiki）。[https://oeis.org/wiki/Boutrophedon_transform网站]