二项式变换

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这个二项式变换是一个双射的 序列变换基于卷积具有二项式系数.

定义

这个二项式变换映射序列${\显示样式\脚本样式\{a_{0}，a_{1}，a_{2}，…\}\，}$往返于序列${\显示样式\脚本样式\{b_{0}，b_{1}，b2}，…\}\，}$通过双向映射

${显示样式b_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}}a{k}，\a{n}=\sum_{k=0}^{n}（-1）^{n-k}{\biom{n{k}}b_{k}\，.}$

矩阵解释

考虑序列a、 b条作为列向量/矩阵A、 B类，这些变换可以写成与左下三角无限方阵的乘法对其中包括帕斯卡三角形属于二项式系数 A007318号，及其倒数130595英镑只是每个其他元素的符号不同，

${\显示样式B=P\，A~，~~A=P^{-1}\，B~，~~ P={\开始{pmatrix}1&0&0&0&\点\\1&1&0&\点\\1&2&1&0&\\[-.5ex]1&3&1&\ddots\\[-.5ex]1&4&\ddot \\[-.5 ex]\vdots&\vdots&&&\ddots \end{pmatrix}}~，~P^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0和\点\\-1&1&0&\点\\1&-2和1&0和\\[-.5ex]-1和3&1和\ddots\\[-.5ex]1&-4和6&-4和\ddot \\[-.5 ex]\vdots和\vdots&&\ddots \end{pmatrix}}~.}{pmatrix}1&0&0&0&\点\\1&1&0&\点\\1&2&1&0&\\[-.5ex]1&3&1&\ddots\\[-.5ex]1&4&\ddot \\[-.5 ex]\vdots&\vdots&&&\ddots \end{pmatrix}}~，~P^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0和\点\\-1&1&0&\点\\1&-2和1&0和\\[-.5ex]-1和3&1和\ddots\\[-.5ex]1&-4和6&-4和\ddot \\[-.5 ex]\vdots和\vdots&&\ddots \end{pmatrix}}~.}$

示例

序列的二项式变换(b条^n个)=（1，b，b²，…）生成序列(（b+1）^n个) = (1,b条+1, (b条+1)², ...). 证明很容易，实际上这只是牛顿（1）的二项式公式+b条)^n个这包括以下特殊情况：

• b条=1：常数序列A000012号=（1,1,1,1，…）转换为2的幂，A000079= (1, 2, 4, 8, 16,...).
• b条=-1:序列（-1）^n个=（1，-1,1，-1，…）转换为序列（1,0,0,0，…）=（0^n）。
• b条=2：2的权力，A000079=（1，2，4，8，16，…），转换为3的幂，A000244号= (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...).

另请参阅

• 序列变换
• 中的程序枫树,数学软件,PARI/GP公司,圣人

外部链接

• M.Bernstein和N.J.A.Sloane，一些标准整数序列被《线性代数及其应用》（Seidel Festschrift）收录出版。

作者

• 丹尼尔·福格斯创建于2010年8月22日。
• M.F.哈斯勒2014年11月4日，提供了矩阵公式、帕斯卡三角形参考、二项式系数、OEIS序列、链接和其他部分。

将此页面引用为

D.Forgues和M.F.Hasler，二项式变换。-来自在线整数序列百科全书®（OEIS®）wiki。（网址：https://oeis.org/wiki/二项式翻译)