加泰罗尼亚语数字的组合解释

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大量组合解释属于加泰罗尼亚数字已知。理查德·斯坦利列出了66个不同的枚举组合数学，第2卷，他的车里还有几十辆加泰罗尼亚补遗。Stanley要求读者证明模棱两可任何两种不同的解释${\显示样式\脚本样式S_{i}\，}$和${\显示样式\脚本样式S_{j}\，}$通过展示简单、优雅双射 ${\显示样式\脚本样式\ phi_{ij}:\，S_{i}\，\rightarrow\，S_{j}\，}$并在他的加泰罗尼亚语和相关数字练习的解决方案。

加泰罗尼亚语数字的组合解释

下表显示了解释Dyck路径（斯坦利的我),非交叉握手（斯坦利的n个),平面通用树（斯坦利的电子),非交叉圆形隔墙（斯坦利的qq（质量）),非交叉Murasaki图（斯坦利的rr（无线电频率）),平面二叉树（斯坦利的(c（c）)和(d日))还有欧拉多边形三角剖分（斯坦利的一)以一种如此自然的方式令人惊讶的事发生在不同的解释之间。

要获得更完整的列表（大小不限${\显示样式\脚本样式n\，}$=7），并有一些其他解释(此处尚未显示)请参阅：A014486/A014486.pdf.

加泰罗尼亚构造尺寸0、1、2和3的解释（i）、（n）、（e）、（qq）、（rr）、（c/d）和（a）。

${\显示样式\textstylen\，}$ Dyck单词 （基数10） A014486号 Dyck单词 （基数2） A063171号 (我) (n个) (电子) (qq（质量）) (rr（无线电频率）) (c（c）/d日) (一)

0 0 0 （0是空字符串） 空Dyck单词

1 2 10 ()

2 10 1010 ()() 三 12 1100 (())

4 42 101010 ()()() 5 44 101100 ()(()) 6 50 110010 (())() 7 52 110100 (()()) 8 56 111000 ((()))

Dyck单词

Dyck单词是来自戴克语，这是一种由两个字符组成的字母表中的平衡字符串组成的语言。

平衡括号通过将字母表选择为{（，）}，并使用字符“（”和“）”获得。

空的Dyck单词

空的Dyck单词（即空字符串）由数字0表示（实际上是一个前导的0，用于零，因此它具有可见的表示形式）。

戴克路径（斯坦利的我)

(...)

非交叉握手（斯坦利的n个)

(...)

刨除普通树木（斯坦利的电子)

(...)

非交叉圆形隔墙（Stanley’sqq（质量）)

(...)

无交叉Murasaki图（Stanley的rr（无线电频率）)

(...)

平面二叉树（Stanley’s(c（c）)和(d日))

对于平面二叉树与Dyck单词和括号之间的自然双射，考虑以下情况：“蠕虫以深度优先、从左到右的方式爬上二叉树”（即预排序遍历），该图改编自在这里，虫子吃掉了所有的1和0标记除了最后一个节点之外的二叉树的内部节点和叶节点（分别），标记为${\显示样式（0）}$，将最终输出二进制字符串${\显示样式1101100010}$，是的成员完全平衡序列或Dyck语言。

欧拉多边形三角剖分（Stanley’s一)

(...)

加泰罗尼亚数组合解释的自同构

只要找到定义明确的双射在任何此类解释之间还有一些著名的，比如括号或平面二叉树由编码A014486号（直接或通过一系列其他此类项目），任何旋转,反思或其他对称运算这些解释可以编码为整数序列，如中所述加泰罗尼亚自同构.

序列

这个空Dyck单词，一个非常重要的单词戴克语，包含在以下序列中。

戴克语（整套Dyck单词，第一个术语是空Dyck单词)（请参见A063171号${\显示样式\脚本样式（n），\，n\，\geq\，0，\，}$注释）

{, (), ()(), (()), ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())), ()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(), (())(()), (()())(), (()()()), (()(())), ((()))(), ((())()), ((()())), (((()))), ()()()()(), ()()()(()), ()()(())(), ()()(()()), ()()((())), ()(())()(), ()(())(()), ()(()())(), ()(()()()), ()(()(())), ()((()))(), ()((())()), ()((()())), ()(((()))), (())()()(), (())()(()), (())(())(), (())(()()), (())((())), (()())()(), (()())(()), (()()())(), (()()()()), (()()(())), (()(()))(), (()(())()), (()(()())), (()((()))), ((()))()(), ((()))(()), ((())())(), ((())()()), ((())(())), ((()()))(), ((()())()), ((()()())), ((()(()))), (((())))(), (((()))()), (((())())), (((()()))), ((((()))))。。。}

Dyck单词按升序解释为二进制数。（如果用“（”替换“1”，用“）”替换“0”，则会产生格式良好的括号表达式，请参见A063171号${\显示样式\脚本样式（n），\，n\，\geq\，0\，}$.)

{0, 10, 1010, 1100, 101010, 101100, 110010, 110100, 111000, 10101010, 10101100, 10110010, 10110100, 10111000, 11001010, 11001100, 11010010, 11010100, 11011000, 11100010, 11100100, 11101000, 11110000, 1010101010, 1010101100, ...}

二进制文件Dyck单词(A063171号)十进制表示。（请参见A014486号${\显示样式\脚本样式（n），\，n\，\geq\，0\，}$.)

{0, 2, 10, 12, 42, 44, 50, 52, 56, 170, 172, 178, 180, 184, 202, 204, 210, 212, 216, 226, 228, 232, 240, 682, 684, 690, 692, 696, 714, 716, 722, 724, 728, 738, 740, 744, 752, 810, 812, 818, 820, 824, 842, 844, 850, 852, 856, 866, 868, 872, 880, ...}

加泰罗尼亚数字:${\显示样式\脚本样式C_{n}\，}$给出的平衡括号数$｛\displaystyle\scriptstyle n，\，n\，\geq\，0，\，｝$“（”和$｛\displaystyle\scriptstyle n，\，n\，\geq\，0，\，｝$“）”（分别用“1”和“0”表示）（参见。A000108号)

{1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, ...} =

{#{ { } }, #{ {10} }, #{ {1010}, {1100} }, #{ {101010}, {101100}, {110010}, {110100}, {111000} }, #{ {10101010}, {10101100}, {10110010}, {10110100}, {10111000}, {11001010}, {11001100}, {11010010}, {11010100}, {11011000}, {11100010}, {11100100}, {11101000}, {11110000} }, ...}

另请参见

• 加泰罗尼亚数字
• 加泰罗尼亚数组合解释的排序