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这个代数数是具有整数系数的非恒定多项式方程的根(即。)[1]
具有据说多项式是原始的什么时候等价地,代数数是具有有理系数的非恒定一元多项式方程的根.
例如数字3,和都是代数数,因为它们是方程的根.
这个最小多项式对于代数数是最小的本原多项式度其中有作为一个根(多项式是这样的不可约的,即不能分解为具有整数系数的低阶多项式)。例如,是一个代数数,并且是它的最小多项式。
如果整系数多项式为一元论的即领先系数,则多项式根为代数整数(1次代数整数是“线性整数”,称为有理整数在里面数论(该戒指的整数领域属于有理数),通常称为整数 .)
最小多项式次数代数数
- 有理数:一阶代数数]](有理整数[2]:一阶代数整数)
- 二次方数字:二次代数数(二次整数:二阶代数整数)
- 立方数字:三次代数数(三次整数:三阶代数整数)
代数数的分次序
请参见:代数数的排序.
算术数字
算术数字是可以用有限个代数运算表示的代数数,其中包括域运算(+、−、×、/)和带[常数]有理指数的指数(即。权力和/或根拔除).
一种代数数,可以表示为一个有限的加、减、乘、除、幂(具有整数指数)和根(具有整数索引,例如平方根、立方根等)序列自然数有时被称为“算术数字。”[3][4]
例如
是一个算术数(一个“显式”闭式代数数)。
算术数是代数数的一个适当子集。虽然所有4阶以下的代数数都是算术数,但并非所有5阶及以上的代数数均是算术数。例如不是算术。(的根,如果是不可约的[即不能分解为具有整数系数的低阶多项式],并且如果和是均匀的,并且和是奇数,不是算术。)
一般来说,多项式的根是算术的当且仅当Galois群的扩展字段多项式的是可解决的.
超越数
不是任何整数系数多项式根的数字称为超越数代数数是复数,因此几乎所有的数字都是超越的。示例包括.
另请参阅
笔记
- ↑ 请参见巴赫曼–朗道符号.
- ↑ 术语有理整数指的是由.
- ↑ 弗雷德里克·史蒂文森,探索实数第215页。
- ↑ 指数(使用整数指数)和根(使用整数索引,例如平方根、立方根等)等于指数(使用有理指数)。(注意:不允许,因为是不合理的。)
外部链接