（a，b）-帕斯卡三角形

这个（a，b）-帕斯卡三角形是以与原始数字相同的方式递归生成的数字的几何排列帕斯卡三角形，除了其边界条件（对于每行上最左边和最右边的条目。）假设其边界条件为正整数，则最右边的非零条目初始化为b条,b条>0及其最左侧的非零项（除了n个=0）初始化为一,一> 0. 这个（a，b）-帕斯卡三角形可以通过叠加（k，1）-Pascal三角形具有k个=一-1和（1，k）-Pascal三角形具有k个=b条-1，即：

显示样式T_{（a，b）}（n，j）=T_{

.

**（a，b）-Pascal三角形的矩形版本**
n=0	b条
1	一	b条
2	一	${\显示样式\脚本样式a+b\，}$	b条
三	一	${\显示样式\脚本样式2a+b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+2b\，}$	b条
4	一	$｛\displaystyle\scriptstyle 3a+b\，｝$	${\显示样式\脚本样式3a+3b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+3b\，}$	b条
5	一	${\显示样式\脚本样式4a+b\，}$	${\显示样式\脚本样式6a+4b\，}$	${\显示样式\脚本样式4a+6b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+4b\，}$	b条
6	一	${\显示样式\脚本样式5a+b\，}$	${\显示样式\脚本样式10a+5b\，}$	${\显示样式\脚本样式10a+10b\，}$	${\显示样式\脚本样式5a+10b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+5b\，}$	b条
7	一	${\显示样式\脚本样式6a+b\，}$	${\显示样式\脚本样式15a+6b\，}$	${\显示样式\脚本样式20a+15b\，}$	${\显示样式\脚本样式15a+20b\，}$	${\显示样式\脚本样式6a+15b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+6b\，}$	b条
8	一	${\显示样式\脚本样式7a+b\，}$	$｛\displaystyle\scriptstyle 21a+7b\，｝$	${\显示样式\脚本样式35a+21b\，}$	${\显示样式\脚本样式35a+35b\，}$	${\显示样式\脚本样式21a+35b\，}$	${\显示样式\脚本样式7a+21b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+7b\，}$	b条
9	一	${\显示样式\脚本样式8a+b\，}$	${\显示样式\脚本样式28a+8b\，}$	${\显示样式\脚本样式56a+28b\，}$	${\显示样式\脚本样式70a+56b\，}$	${\显示样式\脚本样式56a+70b\，}$	${\显示样式\脚本样式28a+56b\，}$	${\显示样式\脚本样式8a+28b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+8b\，}$	b条
10	一	${\显示样式\脚本样式9a+b\，}$	${\显示样式\脚本样式36a+9b\，}$	${\显示样式\脚本样式84a+36b\，}$	${\显示样式\脚本样式126a+84b\，}$	${\显示样式\脚本样式126a+126b\，}$	$｛\displaystyle\scriptstyle 84a+126b｝，｝$	${\显示样式\脚本样式36a+84b\，}$	${\显示样式\脚本样式9a+36b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+9b\，}$	b条
11	一	${\显示样式\脚本样式10a+b\，}$	${\显示样式\脚本样式45a+10b\，}$	${\显示样式\脚本样式120a+45b\，}$	${\显示样式\脚本样式210a+120b\，}$	${\显示样式\脚本样式252a+210b\，}$	${\显示样式\脚本样式210a+252b\，}$	${\显示样式\脚本样式120a+210b\，}$	${\显示样式\脚本样式45a+120b\，}$	${\显示样式\脚本样式10a+45b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+10b\，}$	b条
12	一	${\显示样式\脚本样式11a+b\，}$	${\显示样式\脚本样式55a+11b\，}$	${\显示样式\脚本样式165a+55b\，}$	${\显示样式\脚本样式330a+165b\，}$	${\显示样式\脚本样式462a+330b\，}$	$｛\displaystyle\scriptstyle 462a+462b\，｝$	${\显示样式\脚本样式330a+462b\，}$	${\显示样式\脚本样式165a+330b\，}$	${\显示样式\脚本样式55a+165b\，}$	${\显示样式\脚本样式11a+55b\，}$	${\显示样式\脚本样式a+11b\，}$	b条
	j=0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

在（a，b）-Pascal三角形的等边形式，我们从初始化为的单元格（第0行）开始b条，下面行中最左边的非零单元格初始化为一，在空（0）单元格的交错数组中。然后，我们递归地将单元格求值为上面交错的两个单元格的总和。这样三角形就长成了等边三角形。

在（a，b）-Pascal三角形的矩形形式，我们从初始化为的单元格（第0行）开始b条，其下的单元格初始化为一，在空（0）单元格的常规数组中。然后，我们递归地将单元格计算为左上方单元格和正上方单元格的总和。这样三角形就长成了矩形三角形。

如果一和b条是正数，则所有内部单元格必然大于或等于一+b条。第0行到第0行的单元格数n个等于一就是这样n个.（参见。A000027号(n个)，）从第0行到第0行的单元格数n个等于b条就是这样n个+1（参见。A000027号（n+1），）和从第0行到第0行的单元格数n个大于或等于一+b条是 $｛\displaystyle\scriptstyleP_｛3｝^｛（2）｝（n-1）\，｝$ ，的(n个-1)^第个三角形数.

为了进行比较（1,1）-Pascal三角形(帕斯卡三角形)如下所示：

帕斯卡三角形的矩形版本
（数字三角形）^[1]
n=0	1
1	1	1
2	1	2	1
三	1	三	三	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1
	j=0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

递归规则

（a，b）-Pascal三角形递归规则为：

{\显示样式T_{（a，b）}（n，n）=b，\n\geq 0，\，}

{\显示样式T_{（a，b）}（n，0）=a，\n\geq 1，\，}

显示样式T_{（a，b）}（n，j）=T_{

公式

{\显示样式T_{（a，b）}（0,0）=b，\，}

{显示样式T_{（a，b）}（n，j）=T_{[（a-1,1）}j}}{\bigg\}}\，}

显示样式=b\{\binom{n-1}{j-1}}+a\{\biom{n-1}{j}}=b\T_{（1,1）}（n-1，j-1）+a\T_{（1,1

哪里 ${\displaystyle\scriptstyle{\binom{n}{r}}\\equiv\0\，}$ 什么时候n个< 0,第页<0或n个-第页< 0,^[2]和 ${\显示样式\脚本样式T_{（1,1）}（n，j）\，}$ 是单元格(n个,j个)第页，共页帕斯卡三角形.

（a，b）-Pascal三角形公式和可加交换半群

**（a，b）-Pascal三角形的矩形版本**
n=0	b条
1	一	b条
2	一	${\显示样式\脚本样式a+b\，}$	b条
三	一	${\显示样式\脚本样式a+（a+b）\，}$	${\显示样式\脚本样式（a+b）+b\，}$	b条
4	一	${\显示样式\脚本样式a+（a+（a+b））\，}$	${\显示样式\脚本样式（a+（a+b））+（（a+b）+b）\，}$	${\显示样式\脚本样式（（a+b）+b）+b\，}$	b条
5	一	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	b条
6	一	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	$｛\displaystyle\scriptstyle\，｝$	${\显示样式\脚本样式\，}$	b条
7	一	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	b条
8	一	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	b条
9	一	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	$｛\displaystyle\scriptstyle\，｝$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	b条
10	一	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	b条
11	一	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	$｛\displaystyle\scriptstyle\，｝$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	b条
12	一	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	${\显示样式\脚本样式\，}$	b条
	j=0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12

由于二项式系数是计算设备（告诉添加的次数），我们只需要一和b条属于可加交换半群^[3]（半群是一个具有结合性和闭包性质的运算的集合。）

需要结合性和交换性来允许a’s和b’秒：

{\显示样式（a+（a+b））+（（a+b）+b）=3a+3b\，}

因此一和b条可能都属于：

自然数 $｛\displaystyle\mathbb｛N｝\，｝$
有理整数 ${\显示样式\mathbb{Z}\，}$
有理整数（modn个) ${\显示样式\mathbb{Z}/{n\mathbb}}\，}$
有理数 ${\显示样式\mathbb{Q}\，}$
代数整数 ${\显示样式\mathbb{Z}（\rho_{1}，…，\rho_{n}）\，}$ （例如，高斯整数 ${\显示样式\mathbb{Z}（i）\，}$ )
代数数 ${\显示样式\mathbb{Q}（\rho_{1}，…，\rho_{n}）\，}$
实数 ${\显示样式\mathbb{R}\，}$
复数 $｛\displaystyle\mathbb｛C｝\，｝$ （相当于二（a，b）-帕斯卡三角形：一个用于实部，一个用于虚部）
四元数（相当于四（a，b）-帕斯卡三角形）
八元数（相当于八（a，b）-帕斯卡三角形）
羞涩（相当于十六（a，b）-帕斯卡三角形）
向量（秩1张量） ${\显示样式\mathbb{R}^{n}\，}$ 或在任何给定字段上（相当于n个（a，b）-帕斯卡三角形）
矩阵（秩2张量） ${\显示样式\mathbb{R}^{m}\times\mathbb{R}^{n}\，}$ 或在任何给定字段上（相当于米×n个（a，b）-帕斯卡三角形）
相同秩的张量第页在里面 ${\displaystyle\scriptstyle\prod_{i=1}^{r}\mathbb{r}^{m_{i}}\，}$ 或在任何给定字段上（相当于 ${\displaystyle\scriptstyle\prod_{i=1}^{r} 米_{i} \，}$ （a，b）-帕斯卡三角形）
...