搜索: 三分|四分|五分|七分|八分
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0, 45, 35, 285, 30, 725, 255, 1365, 110, 2205, 675, 3245, 240, 4485, 1295, 5925, 420, 7565, 2115, 9405, 650, 11445, 3135, 13685, 930, 16125, 4355, 18765, 1260, 21605, 5775, 24645, 1640, 27885, 7395, 31325, 2070, 34965, 9215, 38805, 2550, 42845, 11235, 47085
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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配方奶粉
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猜想:a(n)=3*a(n-4)-3*a(n-8)+a(n-12),n>11-R.J.马塔尔2010年3月2日
该猜想等价于a(4n)=5n*(5n+1),a(4n+1)=5*(20n+9)*-R.J.马塔尔2011年2月13日
总尺寸:5*x*(9+7*x+57*x^2+6*x^3+118*x^4+30*x^5+102*x^6+4*x^7+33*x^8+3*x^9+x^10)/((1-x)^3*(1+x)^3+(1+x^2)^3)。
a(n)=-5*n(5*n+4)*(27*(-1)^n+6*cos((Pi*n)/2)-37)/64。(结束)
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数学
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系数列表[级数[5*x*(9+7*x+57*x^2+6*x^3+118*x^4+30*x^5+102*x^6+4*x^7+33*x^8+3*x^9+x^10)/(1-x)^3*(1+x)^3+x^2)^3),{x,0,50}],x](*G.C.格鲁贝尔2018年9月19日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=分子(1/4-1/(5*n+2)^2)\\阿尔图·阿尔坎,2016年4月19日
(PARI)x='x+O('x^50);concat([0],Vec(5*x*(9+7*x+57*x^2+6*x^3+118*x^4+30*x^5+102*x^6+4*x^7+33*x^8+3*x^9+x^10)/((1-x)^3*(1+x)^3+(1+x^2)^3))\\G.C.格鲁贝尔2018年9月19日
(岩浆)m:=25;R<x>:=PowerSeriesRing(整数(),m);[0]cat系数(R!(5*x*(9+7*x+57*x^2+6*x^3+118*x^4+30*x^5+102*x^6+4*x^7+33*x^9+x^10)/((1-x)^3*(1+x)^3+(1+x^2)^3))//G.C.格鲁贝尔2018年9月19日
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关键词
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非n,容易的,较少的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A099239号
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| 与1/(1-x-x^k)段相关的反对偶读取的平方数组。 |
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+30 5
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 8, 8, 4, 1, 1, 16, 21, 13, 5, 1, 1, 32, 55, 41, 19, 6, 1, 1, 64, 144, 129, 69, 26, 7, 1, 1, 128, 377, 406, 250, 106, 34, 8, 1, 1, 256, 987, 1278, 907, 431, 153, 43, 9, 1, 1, 512, 2584, 4023, 3292, 1757, 686, 211, 53, 10, 1, 1, 1024, 6765, 12664, 11949, 7168, 3088, 1030, 281, 64, 11, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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T(n,k)=和{j=0..n}二项式(k*n-(k-1)*(j-1),j),n,k>=0。(方阵)
T(n,k)=和{j=0..n}二项式(k+(n-1)*(j+1),n*(j/1)-1),n>0。(方阵)
T(n,k)=Sum_{j=0..n-k}二项式(k*(n-k)-(k-1)*(j-1),j)。(数字三角形)
方阵的行由1/((1-x)^k-x)生成。
行满足a(n)=a(n-1)-Sum_{k=1..n}(-1)^(k^二项式(n,k))*a(n-k)。
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例子
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行开始
1, 2, 4, 8, 16, ... 1-1/(1-x-x)的截面A000079号;
1, 3, 8, 21, 55, .... 1/(1-x-x^2)的平分A001906号;
1, 4, 13, 41, 129, ...三等分第1/(1-x-x^3)页A052529号;(本质上)
1, 5, 19, 69, 250, ...四截面第1/(1-x-x^4)页A055991号;
1, 6, 26, 106, 431, ...五分法第1/(1-x-x^5)页A079675号;(本质上)
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数学
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T[n_,k_]:=和[二项式[k*(n-k)-(k-1)*(j-1),j],{j,0,n-k}];
表[T[n,k],{n,0,12},{k,0,n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔,2021年3月9日*)
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)
定义A099239号(n,k):返回和((0..n-k)中j的二项式(k*(n-k)-(k-1)*(j-1),j))
(岩浆)
A099239号:=函数<n,k|(&+[二项式(k*(n-k)-(k-1)*(j-1),j):[0..n-k]]中的j)>;
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A226379型
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| a(5n)=2*n*(2*n+1),a(5n+1)=(2*n-3)*(2xn+5),a。 |
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+30 1
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0, -15, -3, 2, 3, 6, -7, 5, 12, 15, 20, 9, 21, 30, 35, 42, 33, 45, 56, 63, 72, 65, 77, 90, 99, 110, 105, 117, 132, 143, 156, 153, 165, 182, 195, 210, 209, 221, 240, 255, 272, 273, 285, 306, 323, 342, 345, 357, 380, 399, 420, 425, 437
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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序列是以下数组的第五行:
0, 6, 20, 42, 72, 110, 156, 210, 272, ...A002943号
0, 3, 6, 15, 20, 35, 42, 63, 72, ... 二等分A002943号,A000466号
0, 2, 3, 6, 12, 15, 20, 30, 35, ...A226023型(三等分 A002943号,A000466号,A002439号)
0, -15, -3, 2, 3, 6, -7, 5, 12, ... a(n)
0, -63, -15, -3, 2, 3, 6, -55, -7, ...
构造原则是:(i)左下三角部分在对角线(6、3、2、-3、-15…)下具有常量值,从第4行开始由A024036号.(ii)通过保持平分来定义沿行的延伸,三等分,四边形etc的形式(2*n+x)*(2*n+y)和一些常量x和y。在第五行中,需要五等分显示在NAME中。
只有前三行在各处单调增加。
序列从221开始单调递增吗?
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配方奶粉
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4*a(n)=A226096型(n) -周期5:重复[1,64,16,1,4]。
G.f.:x*(15-12*x-5*x^2-x^3-3*x^4-17*x^5+12*x^6+3*x^7-x^8+x^9)/((x^4+x^3+x^2+x+1)^2*(x-1)^3)-R.J.马塔尔2013年6月13日
当n>10时,a(n)=a(n-1)+2*a(n-5)-2*a(n-6)-a(n-10)+a(n-11)-韦斯利·伊万·赫特2017年10月3日
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数学
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系数列表[级数[x*(15-12*x-5*x^2-x^3-3*x^4-17*x^5+12*x^6+3*x^7-x^8+x^9)/((x^4+x^3+x^2+x+1)^2*(x-1)^3),{x,0,80}],x](*韦斯利·伊万·赫特2017年10月3日*)
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黄体脂酮素
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(Magma)R<x>:=PowerSeriesRing(整数(),60);[0]cat系数(R!(-x*(15-12*x-5*x^2-x^3-3*x^4-17*x^5+12*x^6+3*x^7-x^8+x^9)/((1-x^5)^2*(1-x)))//G.C.格鲁贝尔2024年3月23日
(SageMath)
P.<x>=PowerSeriesRing(ZZ,prec)
返回P(-x*(15-12*x-5*x^2-x^3-3*x^4-17*x^5+12*x^6+3*x^7-x^8+x^9)/(1-x^5)^2*(1-x)).list()
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,改变
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作者
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状态
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经核准的
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A369054型
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| n作为三个奇素数p<=q<=r的和(p*q+p*r+q*r)的表示数。 |
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+20 26
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0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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维克托·乌夫纳罗夫斯基(Victor Ufnarovski)和博·阿兰德(Bo Ahlander),如何区分数字,J.整数序列。,2003年第6卷。
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配方奶粉
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例子
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a(27)=1表示为27可以精确地用一种形式表示(p*q+p*r+q*r),在这种情况下,p、q、r都是3,即27=(3*3+3*3+3*3)。
a(311)=5等于311=(3*5+3*37+5*37)=(3x7+3*29+7*29)=(3+3+3*17+13*17)=(5*7+5*23+7*23)=(7*11+7*13+11*13)。用算术导数表示A099302号(311)=311的8个抗衍生物[366,430,494,555,609,663,805,1001],只有最后五个是三个奇素数的乘积:555=3*5*37,609=3*7*29,663=3*13*17,805=5*7*23,1001=7*11*13。
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黄体脂酮素
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(PARI)
\\用它来建立一个达到一定n的列表。我们迭代奇数素数的弱递增三元组:
A369054list(up_to)={my(v=[3,3,3],ip=#v,d,u=向量(up_to]);而(1,d=(v[1]*v[2])+(v[1]*v[3])+(v[2]*v[3]));如果(d>up_to,ip--,ip=#v;u[d]++);如果=v[i-1]);};
v369054=A369054列表(100001);
(PARI)
\\用它来计算任意n的值。我们迭代弱递增的奇素数对:
A369054型(n) =如果(3!=(n%4),0,my(v=[3,3],ip=#v,r,c=0);而(1,r=(n-(v[1]*v[2]))/(v[1]+v[2]);if(r<v[2],ip--,ip=#v;if(1==分母(r)&isprime(r),c++));if(!ip,return(c));v[ip]=下一素数(1+v[ip');对于(i=1+ip,#v,v[i]=v[i-1]));
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 5, 132, 4862, 208012, 9694845, 477638700, 24466267020, 1289904147324, 69533550916004, 3814986502092304, 212336130412243110, 11959798385860453492, 680425371729975800390, 39044429911904443959240, 2257117854077248073253720, 131327898242169365477991900, 7684785670514316385230816156, 451959718027953471447609509424
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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三段式序列的实数o.g.f.g(x)表示为
G(x)=G0(x^3)+x*G1(x^三)+(x^2)*G2(x*3),使用以下解决方案(使用r:=exp(2*Pi*i/3)=(-1+sqrt(3)*i)/2):
G0(x)=(G(x^(1/3)+(G(r*x^)(1/3))/3,
G1(x)=(G(x^(1/3))+(1/r)*G(r*x^,
G2(x)=(G(x^(1/3))+(r*G(r*x^,
其中c.c.表示前面表达式的复共轭。
另见J.Arndt链接,第节。36.1.4,第688页:“用指数s mod M选择项的多段”,其中M=3,其中带零散的M段序列的o.g.f.s是在一般情况下给出的。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=C(3*n),n>=0,C(n):=A000108美元(n) (加泰罗尼亚语)。
外径:G0(x)=。
例如:3F3(1/6,1/2.5/6;2/3,1,4/3;64*x)。
a(n)~64^n/(3*sqrt(3*Pi)*n^(3/2))。(结束)
具有递推n*(3*n-1)*(3*n+1)*a(n)-8*(6*n-5)*(6*n-1)*(2*n-1)*a(n-1)=0的D-有限-R.J.马塔尔2020年2月21日
a(n)=产品{1<=i<=j<=3*n-1}(3*i+j+2)/(3*i+j-1)-彼得·巴拉2023年2月22日
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数学
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表[CatalanNumber[3*n],{n,0,20}](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年3月16日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 5, 43, 341, 2731, 21845, 174763, 1398101, 11184811, 89478485, 715827883, 5726623061, 45812984491, 366503875925, 2932031007403, 23456248059221, 187649984473771, 1501199875790165, 12009599006321323, 96076792050570581
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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a(n)=7*a(n-1)+8*a(n-2)。
G.f.:(1-2*x)/((1+x)*(1-8*x))。(结束)
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数学
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f[n]:=(2*8^n+(-1)^n)/3;数组[f,25,0](*罗伯特·威尔逊v2011年8月13日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[0..30]]中[2*8^n/3+(-1)^n/3:n//文森佐·利班迪2011年8月13日
(PARI)x='x+O('x^30);Vec((1-2*x)/(1+x)*(1-8*x))\\G.C.格鲁贝尔2018年9月16日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 4, 10, 26, 69, 181, 476, 1252, 3292, 8657, 22765, 59864, 157422, 413966, 1088589, 2862617, 7527704, 19795288, 52054840, 136886433, 359964521, 946583628, 2489191330, 6545722210, 17213011605, 45264335853, 119029728628
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
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评论
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链接
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Hung Viet Chu、Nurettin Irmak、Steven J.Miller、Laszlo Szalay和Sindy Xin Zhang,Schreier多重集与s步Fibonacci序列,arXiv:2304.05409[math.CO],2023年。
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配方奶粉
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总尺寸:1/(1-x*(1+x)^3)。
a(n)=和{k=0..n}二项式(3*(n-k),k)。
a(n)=a(n-1)+3*a(n-2)+3*a(n-3)+a(n-4)。
a(n)=Sum_{k=0..n}C(3*k,n-k)=Sum_{k=0..n}C(n,k)*C(4*k,n)/C(4*k,k)-保罗·巴里2006年2月4日
G.f.:1/(G(0)-x),其中G(k)=1-(2*k+3)*x/(2*k+1-x*(k+2)*(2*k+1)/(x*(k+2)-(k+1)/G(k+1)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
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数学
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系数列表[级数[1/(1-x(1+x)^3),{x,0,30}],x](*或*)线性递归[{1,3,3,1},{1,1,4,10},30](*哈维·P·戴尔2011年6月5日*)
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 35, 1716, 92378, 5200300, 300540195, 17672631900, 1052049481860, 63205303218876, 3824345300380220, 232714176627630544, 14226520737620288370, 873065282167813104916, 53753604366668088230810, 3318776542511877736535400, 205397724721029574666088520
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这也出现在三等分属于A001700号(奇数帕斯卡行中的中心二项式):二项式(2*(3*n)+1,3*n+1)。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=二项式(2*(3*n+1),3*n/1)/2,n>=0。
a(n)=二项式(2*(3*n)+1,3*n+1),n>=0。
O.g.f.:(cb(x^(1/3))-平方(2)*P(x^(1/3),
cb(x):=1/sqrt(1-4*x)(o.g.f.ofA000984号)和P(x):=P(-1/2,4*x)=1/sqrt(1+4*x+16*x^2)(o.g.f.ofA116091号,其中P(x,z)是勒让德多项式的o.g.f.)。
a(n)=(1/2)*Sum_{k=0..3*n+1}二项式(3*n+1,k)^2。
a(n)=(1/2)*超几何([-1-3*n,-1-3*n],[1],1)。
a(n)=8*(2*n-1)*(6*n-1。(结束)
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数学
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表[c=3n+1;二项式[2c,c]/2,{n,0,20}](*哈维·P·戴尔2012年5月10日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 4, 12, 37, 114, 351, 1081, 3329, 10252, 31572, 97229, 299426, 922111, 2839729, 8745217, 26931732, 82938844, 255418101, 786584466, 2422362079, 7459895657, 22973462017, 70748973084, 217878227876, 670976837021, 2066337330754
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.3
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评论
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链接
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配方奶粉
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通用格式:(1-x-x^2)/(1-2x-3x^2-x^3);
a(n)=和{k=0..2n,二项式(k,4n-2k)};
a(n)=2a(n-1)+3a(n-2)+a(n-3);
a(n)=总和[k=0..n,C(2n-k,2k)]。
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例子
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1+x+4*x^2+12*x^3+37*x^4+114*x^5+351*x^6+。。。
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数学
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线性递归[{2,3,1},{1,1,4},40](*哈维·P·戴尔2011年8月23日*)
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 3, 21, 171, 1365, 10923, 87381, 699051, 5592405, 44739243, 357913941, 2863311531, 22906492245, 183251937963, 1466015503701, 11728124029611, 93824992236885, 750599937895083, 6004799503160661, 48038396025285291, 384307168202282325, 3074457345618258603
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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总尺寸:3x/(1-7*x-8*x^2)。
当n>=1时,a(n+1)=7*a(n)+8*a(n-1),a(0)=0,a(1)=3。(结束)
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数学
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线性递归[{7,8},{0,3},40](*哈维·P·戴尔,2015年2月8日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[0..25]]中[-(1/3)*(-1)^n+(1/3)*8^n:n//文森佐·利班迪2011年8月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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