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A000 000 质数。
(原M0652 N0241)
+ 0
八千八百五十一
2, 3, 5,7, 11, 13,17, 19, 23,29, 31, 37,41, 43, 47,53, 59, 61,67, 71, 73,79, 83, 89,97, 101, 103,107, 109, 113,127, 131, 137,139, 149, 151,139, 149, 151,γ,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,1

评论

A065091对于仅奇数素数的注释、公式等。有关所有主要权力的信息,请参见A000 0961. 关于“几乎素数”的贡献参见A000 2808.

数n是大于1的素数,除1和n外没有正除数。

自然数是素数当且仅当它正好有两个(正)除数时。

素数正好有一个正的正数,1。

Kaoru Motose的论文开始如下:“设Q是MeSeNe数2π-1的素数除数,其中P是素数。然后p是2(mod q)的阶数。因此P是Q 1和Q>P的一个因子,这表明存在无穷多质数。”——Pieter Moree,10月14日2004。

1不是素数,如果素数包括1,那么自然数n分解成素数乘积将不是唯一的,因为n=n* 1。

素数(n)和π(n)是逆函数:A000 0720(a(n))=n和a(n)是最小数m,使得aA000 0720(m)=a(n)。A(A000 0720(n)= n如果(且仅当)n是素数。

电子计算机计算的第二序列,在EDSAC上,可能是09×1949(见Renwick链接)。-罗思考克斯4月20日2006

每个素数p>3是以前素数素数(n)与非零系数c(n)和c c(n)<素数(n)的线性组合。-阿马纳思穆西富兰克林·T·亚当斯·沃特斯约书亚祖克5月17日2006;澄清查伊姆洛文7月17日2015

希腊文音译“质数”是“质子算术”。-丹尼尔骗局08五月2009

数n是素数,当且仅当它与零不同且与单元不同时,n的每个倍数分解成n个因素中的至少一个。这同样适用于整数(其中素数正好有四个除数(除数的定义被放宽,使得它们可以是负数))和正整数(其中素数正好有两个不同的除数)。-彼得卢斯尼,10月09日2012

受他对连续素数交替和表示整数的启发,志伟孙猜想多项式pnn(x)=SuMu{{k=0 } ^ n(k+1)*x^ k在GaloIS群Syn的有理数域上是不可约的,而且pnn(x)是一些m似乎没有关于多项式的不可约性的已知判据意味着这个猜想。-孙志伟3月23日2013

关于(2n)和RAMANUJIN素数的问题在A337 39. -乔纳森·索道12月16日2013

菲舍尔,APR 02 2014:(开始)

自然数,使得正好有一个基B,使得BASE-B交替数字和为0(参见A249707

等价地:数p>1,使得B=P-1是唯一的基>1,其中BASE-B交替数字和为0。

等价地:数p>1,使得BASE-B交替数字和为所有基1<B<P-1>0。(结束)

整数n>1是一个素数,当且仅当它不是算术级数中正整数之和时,共有2。-让克里斯多夫,军01 2014

猜想:具有素数因子<=p(n+1)的数是{k^ k^ f(n)mod初等(n)=1 },其中f(n)=LCM(p(i)- 1,i=1…n)=A058254(n)和原动机(n)=A1002110(n)。例如,没有素数除数<=p(7)=17的数是{k ^ k^ 60 mod 30030=1 }。-加里德莱夫斯,军07 2014

克莱默猜想素数(n+1)-素数(n)<c log ^ 2素数(n)等价于不等式(log素数(n+ 1)/log素数(n))n<e^ c,因为n趋于无穷大,其中c是绝对常数。-托马斯奥多夫斯基,10月06日2014

我猜想,对于任何正有理数R,都有有限多个素数q1,…,qyk,使得r=SuMu{{j=1…k} 1 /(qyj-1)。例如,2=1 /(3-1)+1(/ 5-1)+1(/ 7-1)+1(/ 13-1),2, 3, 5,7和13所有素数,1/7=1 /(13-1)+ 1 /(29 -1)+ 1 /(43-1),与γ和γ全素数,和α= /(3-1)+,/(7-1)+,/(31 -1)+,/(71-1),与γ和γ全素数。-孙志伟,SEP 09 2015

我还猜想,对于任何正有理数r,都有有限多个素数p1,…,pYk,使得r=SUMU{{j=1…k} 1 /(pJj+1)。例如,1=1 /(2+1)+ 1 /(3+1)+ 1 /(5 + 1)+ 1 /(7+7)+/ /(α+)+ / /(α+),与γ,α和γ全素数,和α= /(α+)+ /(α+)+ /(α+)+ / /(α+)+ / /(α+)+ / /(α+)+ / /(α+),与γ,γ和γ全素数。-孙志伟9月13日2015

满足A(n)=2×n+SuMu{{(1(n))1 } COT(k*PI/a(n))*Sin(2×k*n^ a(n)*pI/a(n))。-伊利亚古图科夫基6月29日2016

数字N,这样((N-2)!^ ^==+- 1(mod n)。-托马斯奥多夫斯基8月27日2016

不满足本福德定律〔狄康尼斯,1977;Cohen Katz,1984;Berger Hill,2017〕。-斯隆,07月2日2017

质数是1 -辛(πγ(s)/s)/SiN(π/s)的整数根。-彼得卢斯尼2月23日2018

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“核心”序列的索引条目

与本福德定律相关的序列的索引条目

附加的(不太重要的)项目-评论,公式,参考,链接,程序等-与质数,A000 000 40有关。[ HTML版本]-[纯文本(TXT)版本].

公式

素数定理是A(n)~n*log n为n-无穷大的陈述(Hardy和莱特,第10页)。

对于n>=2,n*(log n+log log n- 3/2)< a(n);对于n>=20,a(n)<n*(log n+log log n- 1/2)。[ Rosser和舍恩菲尔德]

对于所有n,a(n)>n log n〔Rosser〕

n log(n)+n(log log n-1)< a(n)< n log n+n log log n为n>=6。[杜塞特,引用维基百科文章]

A(n)=n log n+n log log n+(n/log n)*(log log n- log n 2)+o(n(log log n)^ 2 /(log n)^ 2)。CiBura,也见CES.Ro或“质数定理”维基百科文章,用于扩展中的更多术语

A(n)=2+SuMy{{K=2…地板(2N*log(n)+2)}(1层(PI(k)/n)),对于n>1,其中给出了pi(k)的公式。A000 0720(鲁伊斯和索道2002)。-乔纳森·索道06三月2004

我猜想Suthi{{I>=1 }(1 /(Prime(i)*log(Prime(i)))=π/2=1.570796327…;SuMu{{i=1…100000 }(1 /(素数(i)* log(Prime(i))))=1.565585514…它收敛得很慢。-米克洛斯克里斯托夫2月12日2007

最后一个猜想是由最近的研究新闻组讨论的。大于π/ 2的和,按顺序示出。A137245. -诺德1月13日2009

A000 00 05(a(n))=2;A00 2033(a(n+1))=1。-斯特潘·杰拉西莫夫10月17日2009

A000 1222(a(n))=1。-斯特潘·杰拉西莫夫11月10日2009

加里德莱夫斯,9月10日2010:(开始)

猜想:

A(n)={nn n!mod n^ 2=n(n-1)},n<>4。

A(n)={nn n!*H(n)mod n=n-1 },n<>4,其中h(n)=SuMu{{k=1…n} 1/k(结束)。

对于n=1…15,A(n)=p+ABS(p 3/ 2)+1/2,其中p=m +int((m 3)/ 2)和m=n+int((n-2)/8)+int((n-4)/8)。-提摩太漏斗10月23日2010

A(2n)<A104227(n)- 2为n>1,a为(2n)~A104227(n)为n>无穷大。-乔纳森·索道12月16日2013

猜想:序列={ 5和n<>5(Fibonacci(n)mod n=1或Fibonacci(n)mod n=n-1)和2 ^(n-1)mod n=1 }。-加里德莱夫斯5月25日2014

猜想:序列={ 5和n<>5(斐波那契(n)mod n=1或斐波那契(n)mod n=n-1)和2 ^(3×n)mod 3 *n=8 }。-加里德莱夫斯5月28日2014

A(n)=1+SuMu{{m=1…L(n)}(ABS(n-π(m))-ABS(n-π(m)- 1/2)+1/2),其中皮(m)=A000 0720(m)和L(n)>a(n)- 1。L(n)可以是满足不等式的n的任意函数。例如,L(n)可以是上限((n+1)*log((n+1)*log(n+1))),因为它满足这个不等式。-提摩太漏斗,5月30日2015,6月16日2015

SuMu{{N>=1 } 1 /A(n)^ s= p(s),其中p(s)是素ζ函数。-埃里克·W·韦斯斯坦08月11日2016

A(n)=楼层(1 - log(-1/2)+ SuMu{{D})A1002110(n-1)}μ(d)/(2 ^ d-1)/log(2),其中μ(d)=A000 868(d)。戈洛姆在1974给出了一个证明:给出每个正整数的W(n)=1/2 ^ n的概率,然后D数整数倍的概率m(d)等于1(/ 2 ^ -1)。假设q= A(1)*A(2)*** A(n-1)=A1002110(n-1),则与q互为素数的随机整数的概率是SuMu{{q} M}(d)*m(d)= SuMu{{Q}q}亩(d)/(2 ^ D-1)= SUMU{{GCD(m,q)=1 } W(m)=1/2+1/2 ^ A(n)+1/2 ^ A(n+1)+1/2 ^ A(n+2)+…因此((SuMu{{q} MU(D)/(2 ^ D-1))- 1/2)* 2 ^ A(n)=1 +X(n),这意味着A(n)是唯一的整数,从而使1 <((SuMu{{q}Mu(d)/(2 ^ D-1))-1/2)*2 ^ A(n)<2。-晋源王,APR 08 2019

枫树

A000 000= n->IthPrime(n);[SEQ(IthPrimeI(i),i=1…100)];

仅用于说明目的:

ISPrime:=s->(1=Sin(πγ(s)/s)/SiN(π/s)):

选择(IsPrimy,[ 2美元…100 ]);彼得卢斯尼2月23日2018

Mathematica

素数〔范围〕〔60〕

黄体脂酮素

(岩浆)[n:n在[2…500 ]中的素(n)];

(岩浆)A: = Func<nnthPrimy(n)>;

(PARI){A(n)=IF(n<1, 0,素数(n))};

(PARI)/*以下函数提供渐近逼近,一个基于上面提到的渐近公式(对于n>10 ^ 8的轻微高估),另一个基于PI(x)~Li(x)=Ei(log(x))(略微低估):*/

Prime1(n)=n*(log(n)+ log(log(n))- 1 +(log(log(n))- 2)/log(n)-((log(log(n))- 6)*log(log(n))+ 11)/log(n)^ 2/2)

Prime2(n)=求解(x= n*log(n)/2, 2×n*log(n),实数(eNt1(-log(x)))+n)

\\哈斯勒10月21日2013

(PARI)FoPrime(p=2, 10 ^ 3,Prrt1(p,),()))费利克斯弗罗伊希6月30日2014

(PARI)素数(10 ^ 5)阿图格-阿兰3月26日2018

(圣人)A =斯隆。A000 000打印A

打印A表(58)Jaap间谍,2007

(SAGE)PrimeLeRead(1, 300)α零度拉霍斯5月27日2009

(极大值)A000 000(n):=块

如果n=1,则返回(2),

返回(下一个素数)A000 000(n-1))

$/*递归,如果可能的话将被替换马塔尔2月27日2012*

(Haskell)参见Haskell维基链接

导入数据列表(通用索引)

A000 000 40N=GuangiChansA000 040y列表(n-1)

A000 9000List=碱基+ +较大的

BASIC=[ 2, 3, 5,7, 11, 13,17 ]

大于p:过滤素数较多

素数n=ALL((>0)。Mod n)$TAPTION(\x> x*x<=n)较大

P:更多=滚轮$Majes基础

滚轮(车轮N RS)= [N*K+R] K<-[0…],R<RS]

MaGookes=FoLDL NeXStEdSe(车轮1(1))

NEXSIZE(轮大小BS)P=轮(大小*p)

〔r〕k<〔0…p-1〕,b<BS,设r=size *k+b,mod r p>0〕

数据轮=轮整数[整数]

——莱因哈德祖姆勒,APR 07 2014

(GAP)

A000 000=滤波((1…10 ^ 5),等素数);阿尼鲁,SEP 04 2017

交叉裁判

对于IsPrimy和NExt*Primy,请参见A010051A151800.

囊性纤维变性。A000 0720(“PI”)A000 1223(质数之间的差异)A242476A000 2808A000 3627A000 68 79A000 68 80A000 857A353588.

词典顺序中的素数:A21077A21075A21075A210760A210761.

囊性纤维变性。A353558A179480(与希尔顿和佩德森的拟序定理有关)。

Botoffeon变换:A000 077A000 0732A230953.

A(2n)=A104227(n)A337 39(n)。

关键词

核心诺恩容易

作者

斯隆

地位

经核准的

A000 057 立方体:A(n)=n ^ 3。
(原M44 99 N1955)
+ 0
七百五十一
0, 1, 8、27, 64, 125、216, 343, 512、729, 1000, 1331、1728, 2197, 2744、3375, 4096, 4913、5832, 6859, 8000、9261, 10648, 12167、13824, 15625, 17576、19683, 21952, 24389、27000, 29791, 32768、35937, 39304, 42875、35937, 39304, 42875、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

A(n)=n次奇数的和,即,奇数组,使得第n组包含这样的n个元素:(1),(3, 5),(7, 9, 11),(13, 15, 17,19),(21, 23, 25,27, 29),…,然后每个组和=n^ 3=a(n)。每组的中值=n ^ 2=均值。由于第一n奇数之和是n^ 2,这又证明了n次部分和=(n(n+1)/2)^ 2的事实。-阿马纳思穆西9月14日2002

三角形中由交错的CeVeNe引起的三角形的总数,使得它的两个边都是n次划分的。-莱克拉吉贝达西,军02 2004

还构造TraskiS四面体数(顶点结构7)(参见A100175结构的四方棱镜数(顶点结构7)(参见A100177结构六边形菱形数(顶点结构7)(参见A100178=交替顶点;A000 044结构三角形的抗金刚石数(顶点结构7)(参见A100188=结构化抗钻石)。囊性纤维变性。A100145更多关于结构多面体数。- James A. Record(杰姆斯.Read(AT)Gmail),07月11日2004

这个多面体的施莱福符号:{ 4, 3 }。

n的最小乘数,使得每个部分和为正方形。-阿马纳思穆西,SEP 09 2005

画一个规则的六边形。在六边形的每一个边上构建点,使得这些点将每个边分成相等大小的段(即,每个边上的中点或每个边上的两个点,以将每个边分成三个相等大小的段等),对六边形的每一边做相同的构造,使得每个边以同样的方式被等分。用平行于多边形的至少一条边的线将所有这些点连接起来。其结果是六边形的三角形平铺和一些较小的规则六边形的生成。该方程给出了n=画出的点数+ 1的规则六边形的总数。例如,如果在每个边上画出1个点,则n=1+1=2,A(n)=2 ^ 3=8,因此总共有8个正规六边形。如果在每个边上画出2个点,则n=2+1=3,A(n)=3 ^ 3=27,因此总共有27个正规六边形。- Noah Priluck(NPRILKK(AT)Gmail),五月02日2007

A(n)=LCM(n,(n-1)^ 2)-(n-1)^ 2。例如:LCM(1,(1 - 1)^ 2)-(1 - 1)^ 2=0,LCM(2,(2 - 1)^ 2)-(2 -^)^=γ,LCM((,-~)^ ^)-(α-^)^ =γ,…-马格兰维克9月24日2007

丢番图方程(x/y)^ 2×*y=0的解的形式是:(n ^ 3,n)n=1。丢番图方程(m^ 2)*(x/y)^ 2k- xy=0的解的形式是:(m*n^(2k+1),m*n^(2k-1)),m>=1,k>=1,n>=1。丢番图方程(m^ 2)*(x/y)^(2k+1)-xy=0的解的形式是:(m*n^(k+1),m*n^ k),m>=1,k>=1,n>=1。- Mohamed Bouhamida(BHM95(AT)雅虎FR),OCT 04 2007

除前两个项外,该序列对应于C{{2n}的Wiener指数,即2n个顶点上的周期(n>1)。-K.V.IYER3月16日2009

A(n)的单位数属于周期序列:0, 1, 8、7, 4, 5、6, 3, 2、9。- Mohamed Bouhamida(BHM95(AT)雅虎FR),SEP 04 2009

A(n)=A000 75 31(n)+A000 0567(n)。-莱因哈德祖姆勒9月18日2009

p(p)=p^ 3的完全乘积序列雅罗斯拉夫克利泽克01月11日2009

三角形中的行和A17627n>0。-莱因哈德祖姆勒4月13日2010

5个柏拉图多面体之一(四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体)数(参见A053012-丹尼尔骗局5月14日2010

n为椭圆曲线y^ 2=x ^ 3—n的挠子群t的阶数n=t=2。-阿图尔贾辛斯基6月30日2010

皮萨诺周期K D的序列为1, 2, 3、4, 5, 6、7, 8, 3、10, 11, 12、13, 14, 15、16, 17, 6、19, 20、…对于k>=1,显然是乘法和派生的。A000 00 27将每第九个学期划分为3个学期。三次变型A186366. -马塔尔3月10日2011

具有N壳的BCC(体心立方)菱形六面体中的原子数是N ^ 3(T. P. Martin,原子壳层,等式(8))。-布里吉特·斯特潘诺夫,朱尔02 2011

A010057(a(n))=1。-莱因哈德祖姆勒10月22日2011

逆二项式变换产生(有限)0, 1, 6,6(第三行)。A019538A131689A-马塔尔1月16日2013

(0, 0),(t(n-1),t(n))和(t(n),t(n-1))的三角形的面积的两倍,其中t=A000 0217是三角形数。-贝尔戈6月25日2013

如果n>0不等于5(mod 6),那么A01088(a(n))除A(n)。-伊凡·尼亚基耶夫10月16日2013

对于n>2,A(n)=具有顶点的三角形的面积的两倍(二项式(n,3),二项式(n+2,3)),(二项式(n+1,3),二项式(n+1,3)),和(二项式(n+2,3),二项式(n,3))。-贝尔戈6月14日2014

27, 64, 343和1331猜想是唯一的立方体,不可被10可分为2个不同的数字。A155146对于具有3个不同数字的立方体和A155147对于具有4个不同数字的立方体。-德里克奥尔9月23日2014

螺旋结S(4,K,(1,1,1))的行列式。A(k)=DET(S(4,k,(1,1,1)))。-瑞恩斯蒂斯特12月14日2014

这个序列的最古老的已知例子之一是在SunKeEh平板电脑,BM 92698中显示的,它显示楔形的前32个术语。-查尔斯1月21日2015

补泉团,3月31日2015:(开始)

我们从整数1, 2, 3构造一个数三角形,…2*n-1如下。第一列包含所有整数1, 2, 3,…2×N-1。每个后续列与前一列相同,但没有第一个和最后一个项目。最后一列仅包含n。三角形中所有数字之和是n ^ 3。

这里是n=4的例子,其中1+2×2+3×3+4×4+3 * 5+2*6+6==a(α):

2 2

3 3 3

4 4 4 4

5 5 5

6 6

(结束)

所有项均为={0,1,8}(mod 9)。-扎克谢迪夫7月13日2015

序列是第三(0, 1, 5,6, 6, 6,…)的部分和。-加里·W·亚当森9月27日2015

对于n>0,a(n)是n+11的成分的数目,n部分避免了部分2和3。-米兰扬吉克,07月1日2016

不满足本福德定律〔罗斯,2012〕。-斯隆,08月2日2017

使用最多n种颜色的立方体的不等值面着色数,使得每个颜色至少出现两次。-戴维烟酸2月22日2017

考虑a={a,b,c},集合有三个不同的成员。A的子集的数目是8,包括{a,b,c}和空集。从这8个子集中的每个子集的数目是27。如果这样的迭代的数目是n,则子集的总数是(n-1)。-格雷戈瑞·L·西梅7月27日2018

由费马的最后定理,这些是具有最小可能k值的形式x^ k的整数,使得x^ k=y^ k+z ^ k在正整数x,y,z中从来没有解。费利克斯弗罗伊希7月27日2018

推荐信

T. Aaron Gulliver,《整数立方体序列》,《国际数学杂志》,4(2003),第5, 439—445页。HTTP协议关于该期刊的信息,请参阅//www-HIKARI.COM/Z23.HTML。[我扩展了引用,使之更容易找到。-斯隆2月18日2019

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

威尔斯,你是数学家,pp.23—241,企鹅图书1995。

链接

斯隆,n,a(n)n=0…10000的表

H. Bottomley初始条款说明

英国国家博物馆92698片[断线]?]

兄弟、S. Evans、L. Taalman、L. Van Wyk、D. Witczak和C. Yarnall,螺旋结,密苏里数学博士。SCI,22(2010)。

M. DeLong、M. Russell和施罗克n(1,m,n,r,s)扭曲环面结的可着色性和决定因素,涉及,第8卷(2015),第3卷,361-38页。

Ralph Greenberg诗人数学

R. K. Guy强大数定律. 埃默。数学月95(1988),第8号,697—712。[注释扫描的副本]

米兰扬吉克有限集上一些函数的计数公式[在回程机上缓存的版本]

Hyun Kwang Kim关于正则多面体数,PROC。埃默。数学SOC,131(2002),65-75。-固定费利克斯弗罗伊希6月16日2014

T. P. Martin原子壳层Phys。报告,273(1996),1991~241,等式(8)。

Ed Pegg,Jr.,序列图片数学游戏专栏,十二月08日2003。

Ed Pegg,Jr.,序列图片数学游戏专栏,DEC 08 2003 [缓存副本,具有许可(仅PDF)]

Simon Plouffe近似逼近学位论文,博士论文,1992。

Simon Plouffe1031生成函数与猜想1992届屈加坡大学。

Kenneth A. Ross方块和立方体的第一位数数学。MAG 85(2012)34-42。DOI:104169/MAT.MA85.1.36。

Eric Weisstein的数学世界,立方数Hex Pyramidal数

Ronald YannoneHilbert Matrix分析

常系数线性递归的索引项,签名(4,-6,4,- 1)。

“核心”序列的索引条目

与本福德定律相关的序列的索引条目

公式

A(n)=SuMu{{i=0…n-1 }A000 32 15(i)。

乘以A(p^ e)=p^(3e)。-戴维·W·威尔逊,八月01日2001

G.f.:x*(1+4×x+x^ 2)/(1-x)^ 4。-西蒙·普劳夫在他的1992篇论文中

Dirichlet生成函数:Zeta(S-3)。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯9月11日2005,阿马纳思穆西,SEP 09 2005

E.g.f.:(1+3×x+x^ 2)*x*EXP(x)。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯9月11日2005阿马纳思穆西,SEP 09 2005

A(n)=SuMu{{i=1…n}(SUMU{{J= I.N+I-1 })A000 2024(J,I)-莱因哈德祖姆勒6月24日2007

开始(1, 8, 27,64, 125,…),=二项变换[ 1, 7, 12,6, 0, 0,0,…]。-加里·W·亚当森11月21日2007

A(n)=二项式(n+2,3)+4*二项式(n+1,3)+二项式(n,3)。

a(n)=n+6*二项(n+1,3)=二项式(n,1)+6*二项(n+1,3)。-罗恩诺特6月10日2019

这个序列可以从通式n*(n+1)*(n+1)*(n+1)**(n+k)*(n*(n+k)+(k-1)*k/6)/((k+3))得到。(6)K=0。-亚力山大·R·波洛夫茨基5月17日2008

A(n)=A000 0537(n)A000 0537(n-1),2个连续三角数的平方之间的差值。-彼埃尔卡米2月20日2012

A(n)=A08395(n)- 2**A000 600(n)。-贝尔戈11月25日2012

a(n)=1+7 *(n-1)+6 *(n-1)*(n-2)+(n-1)*(n-2)*(n-3)。-安东尼奥阿尔伯托奥利维亚雷斯,APR 03 2013

a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3)+ 6。-蚁王4月29日2013

A(n)=A000 0330(n)+ SuMu{{i=1…n-1 }A014105(i),n>=1。-伊凡·尼亚基耶夫9月20日2013

A(k)=DET(s(4,k,(1,1,1))=k*b(k)^ 2,其中b(1)=1,b(2)=2,b(k)=2*b(k-1)-b(k-2)=b(2)*b(k-1)-b(k-2)。-瑞恩斯蒂斯特12月14日2014

对于n>=1,A(n)=A152618(n-1)+A033(n-1)。-补泉团,APR 01 2015

a(n)=4*a(n-1)-6*a(n-2)+4*a(n-3)-a(n-4)。-乔恩·塔瓦萨尼斯2月21日2016

a(n)=n+SuMu{{j=0…n-1 } SuMu{{K=1…2 }二项式(3,k)*j^(3-k)。-帕特里克·J·麦克纳布3月28日2016

A(n)=A000 029(N-1)* 6 +N.扎多斯马姆贝塔里耶夫11月24日2016

a(n)=n*二项(n+1, 2)+2*二项(n+1)+二项式(n,3)。-托尼福斯特三世11月14日2017

科洛索夫佩特罗,10月22日2018:(开始)

A(n)=SuMu{{K=1…n}A28 7326(n,k)。

A(n)=SuMu{{K=0…n-1 }A28 7326(n,k)。

A(n)=SuMu{{K=0…n-1 }A28 7326A000 0124(k),1)。(结束)

例子

对于K=3,B(3)=2 B(2)-B(1)=4-1=3,因此DET(S(4,3,(1,1,-1))=3×3 ^ 2=27。

对于n=3,A(3)=3+(3×0 ^ 2+3×0+3×1 ^ 2+3*++**^ ^+×*)=α。-帕特里克·J·麦克纳布3月28日2016

枫树

A000 057= n>>n ^ 3;

SEQA000 057(n),n=0。50);

ISA000 058:= PROC(R)

局部P;

如果r=0或r=1,则

真的;

其他的

对于IfActuple(R)中的P(2)

如果OP(2,p)mod 3<0,那么

返回错误;

如果结束;

结束DO:

真的;

如果结束;

结束进程马塔尔,10月08日2013

Mathematica

表[n ^ 3,{n,0, 30 }]斯特凡·斯坦纳伯格,APR 01 2006*)

系数列表[x(1+4×+x^ 2)/(1 -x)^ 4,{x,0, 45 }],x](*)文森佐·利布兰迪,JUL 05 2014*)

累加[表[3n^ 2 +3n+1,{n,0, 20 }] ](*或*)线性递归[ { 4,-6, 4,-1 },{1, 8, 27,64 },20〕(*)哈维·P·戴尔8月18日2018*)

黄体脂酮素

(帕里)A000 057(n)=n ^ 3哈斯勒4月12日2008

(PARI)IS(n)=ISPOWER(n,3)\\查尔斯2月20日2012

(哈斯克尔)

A000 058=(^ 3)

A000 0588LIST=0:1:8:ZIPOP(+)

(map(+ 6)A000 057 8y列表)

(map(* 3)$$$ZIPOSE(-)(尾部A000 0588列表)A000 058Y列表)

——莱因哈德祖姆勒,SEP 05 2015,5月24日2012,10月22日2011

(极大值)A000 057(n):= n ^ 3美元

马克莱斯特A000 057(n),n,0, 30);马丁埃特尔,11月03日2012

(岩浆)[n^ 3:n在[ 0…50 ] ]中;卫斯理伊凡受伤6月14日2014

(岩浆)I=〔0, 1, 8,27〕;〔n LE 4选择i〔n〕4〕*(n-1)- 6 *自(n-2)+4 *自(n-3)-自(n-4):n(1…45)];文森佐·利布兰迪,朱尔05 2014

(蟒蛇)

A000 057*列表,M= [],[6,-6, 1, 0 ]

对于γin的范围(10×2):

    A000 057追加(m[-1)]

我在范围(3):

M[i+1]+=M[i]吴才华12月15日2015

(方案)(定义)A000 057n)(*n n n);安蒂卡特宁,10月06日2017

交叉裁判

(1/12)t*(n^ 3-n)+n为t=2, 4, 6,…给予A000 400 6A000 65 27A000 600 3A000 5900A000 4068A000 057A000 4126A000 044A000 4188A000 466A000 44 67A000 75 88A062025A063521A063522A063523.

对于立方体之和,参见A000 0537(部分和)A000 3072A000 325A024166A024670A10102(第五部分和)。

囊性纤维变性。A000 712(补语)A0300 78(n)(素数立方体),A08766A058645(二项式变换),A06876A101091A101097.

子序列A1457.

囊性纤维变性。A260260(评论)-布鲁诺·贝塞利7月22日2015

囊性纤维变性。A000 029(四面体数),A000 5900(八面体数)A000 6566(十二面体数)A000 6564(二十面体数)。

关键词

诺恩核心容易穆尔特

作者

斯隆

地位

经核准的

A000 1006 MoTZKIN数:画任意数目的非相交弦的方法,它连接一个圆上的n个(标记)点。
(前M1184 N045 6)
+ 0
四百三十七
1, 1, 2、4, 9, 21、51, 127, 323、835, 2188, 5798、15511, 41835, 113634、310572, 853467, 2356779、6536382, 18199284, 50852019、142547559, 400763223, 1129760415、3192727797, 9043402501, 25669818476、73007772802, 208023278209, 593742784829 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

4321,(34122413),(34123142)和3412避免在Syn中的对合。

由正整数组成的长度n-1的序列数,使得打开和结束元素是1或2,并且任何2个连续元素之间的绝对差是0或1。-乔恩佩里,SEP 04 2003

MoTZKIN n路径的数目:在n×n网格中从(0,0)到(n,0)的路径仅使用步骤U=(1,1),F=(1 0)和D=(1,1)。-戴维卡兰7月15日2004

没有UUU的Dyk n路径数。(给定这样的Dyk n路径,将每个UUD改变为U,然后将每个剩余的UD改变为F。这是对MysZn n路径的双射。n=5的例子:uüdüdüd d>u f u d d)戴维卡兰7月15日2004

Dyk数(n+1)-没有UDU的路径。(给定这样的Dyk(n+1)-路径,标记每一个U,后面跟着一个D,每个不跟随U的D,然后改变每个未标记的U,其匹配的D被标记为F。最后,删除所有标记的步骤。这是对MysZn n路径的双射。n=6的例子,小的标记步骤:uüu d d u d d d u>u d d f f d d d u>u u d f f d)戴维卡兰7月15日2004

A(n)是从以下递归定义的集合中的长度2n的字符串:L包含空字符串,并且对于L中的任何字符串A和B,我们也在L中找到(ab)。L的前几个元素是E、()、(())、(())、、((()))、、((()))、((())())、(()(()))等等。这证明A(n)小于或等于C(n),第n个加泰罗尼亚数。- Saul Schleimer(SulsCh(AT)数学,Rutgices,EDU),2月23日2006

A(n)=Dyk n路径的数目,所有其谷甚至有x坐标(当路径从原点开始)。例如,T(4,2)=3计数UUDUUDD,UUUDUDD,UUDUDUD。给定这样的路径,将其分裂成长度为2的N个子路径,并且变换UU-> U、DD -> D、UD-> F(不存在DU,这将导致奇数X坐标的山谷)。这是对MysZn n路径的双射。-戴维卡兰,军07 2006

身高标准幼稚园数<3。-迈克扎布罗基3月24日2007

A(n)是大小为2n+2的RNA形状的数目。RNA形状基本上是没有“直接嵌套”的形式A [B ] C的A,B和C Dyk单词的Dyk单词。第一个RNA形状是[],[]][][[]][[]][[]][][][[][]],[[][][]] [[][]][];- Yann Ponty(庞蒂(AT)LRI.FR),5月30日2007

相等的左右边界和三角形的行和A144218具有偏移量变化。-加里·W·亚当森9月14日2008

序列自顶行A自左开始(1,1)和底行=B,序列相同,但开始(0,1),向右。取A和B的点积,并将结果加到A的第n项,得到A(n+1)的第1项。A:(5)=21:取a=(9, 4, 2,1, 1)和(0, 1, 1,2, 4)=(0,+4+2+2+4)=4的点积;-加里·W·亚当森10月27日2008

等于A000 593/A000 593移位(即,(1,2,5,13,35,96,…)/(1,1,2,5,13,35,96,…))。-加里·W·亚当森12月21日2008

从偏移1开始=M*[1,1,0,0,0,…]的迭代,其中m=[01,1,1,1,1……]的三对角矩阵在主对角线和[1,1,1,…]中的超对角线和次对角线中。-加里·W·亚当森,07月1日2009

A(n)是具有亏格0的{1,2,…,n}的重合数。{1,2,…,n}的置换p的G(p)是由G(p)=(1/2)[n+1-z(p)-z(CP′)]定义的,其中p′是p的逆置换,c=234…n=(1,2,…,n),z(q)是置换q的循环数。例如:A(4)=9;实际上,p=3412=(13)(24)是{1,2,3,4}的唯一对合,属>0。这很容易地从{1,2,…,n}的置换p具有亏格0的事实,当且仅当p的周期分解给出{1,2,…,n}的非交叉划分,并且p的每个周期增加时(参见Duluq Siimon引用的引理2.1)。另外,对于p=3412=(13)(24),我们具有CP′=2341*3412=4123=(1432),且因此G(p)=(1/2)(4 +1-2-1)=1。埃米里埃德奇5月29日2010

设W(i,j,n)表示满足多元递归的n ^ 2中的行进

W(i,j,n)=W(i,j+1,n-1)+w(i-1,j,n- 1)+w(i+1,j- 1,n- 1),边界条件w(0,0,0)=1,w(i,j,n)=0,如果i或j或n是0。然后A(n)=SuMu{{i=0…n,j=0…n}w(i,j,n)是长度n的这种步长的数目。彼得卢斯尼5月21日2011

A(n)/a(n-1)趋向于LIM n->INF:(1+2×CoS 2PI/n)与最长的奇数正多边形对角线有关,以n=7为例:使用三对角生成器〔1月07 2009〕,对于多边形n=7,我们提取一个(n-1)/2=3×3矩阵,[0,1,0;1,1,1,01,1,1],用E-VAL为2.24697;最长的七边形对角线为边=1。当n趋于无穷大时,对角线长度趋向于3,收敛于序列。-加里·W·亚当森,军08 2011

避免模式132和点图案23 \点{ 1 }的(n+2)长度排列的数目。-让卢克巴里尔07三月2012

n个长度字W在字母表{ a,b,c}上的数目,使得对于w的每个前缀z,我们有π(z,a)>=α(z,b)>=α(z,c),其中γ(z,x)计数单词z中的字母x。a(4)=9个单词是:AAAA,AAAB,AABA,ABAA,AABB,ABAB,AABC,ABAC,ABCA。-阿洛伊斯·P·海因茨5月26日2012

长度为n的限制增长字符串(RGS)[R(1),R(2),…,R(n)],使得r(1)=1,r(k)=R(K-1);例如,n=4的9个RGS为1010, 1012, 1201、1210, 1212, 1230、1231, 1232, 1234。-乔尔格阿尔恩特4月16日2013

长度为n的限制增长字符串(RGS)[R(1),R(2),…,R(n)],使得r(1)=0,r(k)=1;例如,n=4的9个RGS为0000, 0002、0003, 0004、0022, 0024、0033, 0222、0224。-乔尔格阿尔恩特4月17日2013

在Syn中避免(42315276143)-对合的数目。亚力山大·伯斯坦05三月2014

A(n)是具有n个节点的增加的一元二叉树的数目,其具有相关联的排列避免了132。有关关联置换的一元二叉树的更多信息,请参见A24588. -曼达里尔,八月07日2014

A(n)是在[n]上避免单个图案p的重合数,其中p是8个(经典)图案1234, 1243, 1432、2134, 2143, 3214、3412, 4321中的任意一个。此外,(34122413)-,(34123142)-,(341224133142)-避免对[n]的对合,因为这3个集合中的每一个实际上与3412避免[n]上的对合一致。这是一个完整的列表中的8个单曲,2对,和1个三字母的古典字母模式,其对合避免者被Mosikin数计算。(见巴尔纳比等2011参考文献)戴维卡兰8月27日2014

使用2×A(n)+A(n+1)生成的级数具有f(2n)的Hankel变换,偏移3,f是斐波那契二分,A000(实证观察)。-托尼福斯特三世7月28日2016

使用2×A(n)+3*a(n+1)+a(n+2)生成的级数给出了SuMu{{=0…n} k*Fibonacci(2*k),偏移3的Hankel变换,A19764(实证观察)。-托尼福斯特三世7月28日2016

猜想:2/n*SuMu{{K=1…n}(2k+1)a(k)^ 2是每个正整数n的整数。孙志伟11月16日2017

Rubey和残根参考文献证明了一个关于Re E.MARCZIZIK的猜想的精化,他们称之为:“2-Grand斯坦代数的数目,其是具有n个简单模的Nakayama algebras,并且具有一个相关的箭头的定向线等于长度n的Mothkin路径数”。埃里克·M·施密特12月16日2017

ukaseWicz路径的u{{k}-等价类的个数。UKaseWiCz路径是p等价的IFF,在这些路径中模式P的位置是相同的。-谢尔盖·吉尔吉佐夫,APR 08 2018

如果TauE1和Tuue2是从集合{ 132231312 }中选择的两个不同排列模式,那么A(n)是避免模式Tuue1和Taue2的[n+1]排列的有效钩子配置的数目。-柯林辩护律师4月28日2019

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“核心”序列的索引条目

公式

G.f.:A(x)=(1×-(1-**X-3*x^ 2)^(1/2))/(2×x^ 2)。

G.f. A(x)满足A(x)=1+x*a(x)+x^ 2×a(x)^ 2。

G.f. F(x)/x,其中f(x)是x/(1 +x+x^ 2)的反转。-乔尔格阿尔恩特10月23日2012

A(n)=(1/2)SuMui(- 3)^ i C(1/2,I)C(1/2,j);i+j= n+2,i>=0,j>=0。

a(n)=(3/2)^(n+2)*SuMu{{K>=1 } 3 ^(-k)*加泰隆(K-1)*二项式(k,n+2-k)。[多斯克里斯等人]

A(n)~3 ^(n+1)qRT(3)〔1+1/(16n)〕/[(2n+3)qRT((n+2)π)]。[巴克奇,Pinzani和Sprugnoli ]

Limi{{N->无穷大} A(n)/A(n-1)=3。[艾格纳]

a(n+1)-a(n+1)=a(0)*a(n)+a(1)*a(n-1)+…+a(n)*a(0)。[伯恩哈特]

A(n)=(1 /(n+1))*SUMY{{I}(n+1)!(我)*(i + 1)!*(N-2*i)![伯恩哈特]

伦斯迈利(开始)

A(n)=SuMu{{K=0…n}(-1)^(N-K)*二项式(n,k)*A000 0108(k+1)。

A(n)=(1 /(n+1))*SUMY{{K=0…上限((n+1)/2)}二项式(n+1,k)*二项式(n+1-k,k-1);

(n+1)*a(n)=(2n+1)*a(n-1)+(3n~3)*a(n-2)。(结束)

A(n)=SuMu{{K=0…n} C(n,2k)*A000 0108(k)。-保罗·巴里7月18日2003

E.g.f.:EXP(X)* BesselI(1, 2×x)/X.瓦拉德塔约霍维奇8月20日2003

A(n)=A000 5043(n)+A000 5043(n+1)。

这个序列的Hankel变换给出了A000 0 12= [ 1, 1, 1,1, 1, 1,…]。例如,DET(〔1, 1, 2,4;1, 2, 4;9;2, 4, 9,21;4, 9, 21,51〕)=1。-菲利普德勒姆2月23日2004

A(m+n)=SuMu{{K>=0 }A064 189(m,k)*A064 189(n,k)。-菲利普德勒姆05三月2004

A(n)=(1/(n+1))*Suthi{{j=0…层(n/3)}(-1)^ j*二项式(n+1,j)*二项式(2n-3j,n)。-埃米里埃德奇3月13日2004

A(n)=A0861515(n)A0861515(n-1)(n>=1)。-埃米里埃德奇7月12日2004

G.f.:A(x)=(1-y+y^ 2)/(1-y)^ 2(1+x)*(y^ 2-y)+x=0;a(x)=4 *(1 +x)/(1 +x+qrt(1-x×3*x^ 2))2;a(n)=(3/4)*(1/2)^ n*和(k=0…-保罗·巴里2月22日2005

G.f.:C(x^ 2/(1-x)^ 2)/(1-x),c(x)。A000 0108. -保罗·巴里5月31日2006

渐近公式:A(n)~SqRT(3/4/π)* 3 ^(n+1)/n^(3/2)。-班诺特回旋曲1月25日2007

A(n)=A000 797(n+2)/ 2。-零度拉霍斯2月28日2007

A(n)=(1 /(2×皮))*积分{{x=- 1…3 } x^ n*qRT((3-x)*(1 +x))是矩表示。-保罗·巴里9月10日2007

等于逆二项变换A000 0108开始(1, 2, 5,14, 42,…)。-加里·W·亚当森12月10日2007

给定整数t>=1和初始值u=[a00,aa1,…,a{{1- }],我们可以通过设置Ayn=A{{N}1+Ay0*A{{N-1}+Ay1*A{{N}}+,来定义无穷序列Phi(U)…+A{{N-2 } AA1为n>=T。例如,φ(〔1〕)是加泰罗尼亚数。A000 0108. 本序列为φ([0,1,1]),见第六公式。-加里·W·亚当森10月27日2008

G.f.:1/(1-x x^ 2/(1-x x^ 2/(1-x x^ 2//(1-x x^ 2//(1-x x^ 2/……)…(连分数)。-保罗·巴里,十二月06日2008

G.f.:1 /(1 -(x+x^ 2)/(1-x ^ 2)/(1)-(x+x^ 2)/(1-x^ 2 / /(1 -(x+x^ 2)/ /(1-x^ 2)/(1)-…(连分数)。-保罗·巴里,08月2日2009

a(n)=(- 3)^(1/2)/(6*(n+2))*(-1)^ n*(3*HygEGM([1/2,n+1),[1,4/3)] -超几何([1/2,n+2),[un],y]。-马克范霍伊11月12日2009

G.f.:1 /(1-x/(1-x^ 2)/(1-x/(1-x/)(1-x/)(1-x^ 2 /(1-x/)(1-x/)(1-x^ 2 / /(1)-…(连分数)。-保罗·巴里02三月2010

G.f.:1/(1-x/(1×X-/(1-x/)(1 +X-x/)(1-x/)(1 +X-x/(1-x/)(1 +X-x/(1)…(连分数)。-保罗·巴里,1月26日2011 [显然增加了一个第三’1’在前面。-马塔尔1月29日2011

设A(x)为G.F.,B(x)=1+x*a(x)=1+1×x+1×x ^ 2+2×x ^ 3+4×x ^ 4+9×x ^ 5+…= 1 /(1-Z/(1-Z/(1-Z/(…))),其中z=x/(1+x)(连续分数);更一般地B(x)=C(x/(1+x)),其中C(x)是加泰罗尼亚数的G.F.A000 0108-乔尔格阿尔恩特3月18日2011

a(n)=(2/π)*积分{{x=1…1 }(1+2×x)^ n*SqRT(1-x^ 2)。-彼得卢斯尼9月11日2011

3*(x^ 2))/(2×(x^ 2))=1/2 /(x^ 2)-1/2/x-1/2 /(x^ 2)*g(0);G(k)=1+(4*k-1)*x*(2+2×x)/(α*k+2-x*(α+k*x)*(α*k+a)*(x*(α+k*x)*(α*k+a)+(α*k+a)/g(k+i)),if -<x<x;(连续分数)。G.f.:(1-X-SqRT(1-2-*X)-谢尔盖·格拉德科夫斯克,十二月01日2011

G.f.:(1-X-SqRT(1-2*X-3*(x^ 2)))/(2×(x^ 2))=(-1+1/g(0))/(2×x);G(k)=1-2*x/(1+x/(1+x/)(1-2*x/(1-x//(2-x x/g(k+1,α-x));(连分数))。-谢尔盖·格拉德科夫斯克12月11日2011

0=a(n)*(9×a(n+1)+15×a(n+2)-12*a(n+3))+a(n+1)*(-3*a(n+1)+10*a(n+2)- 2*a(n+i))+a(n+*)*(a(n+y)+a(n+-)),除非n=-i。-米迦勒索摩斯3月23日2012

A(n)=(-1)^ n*超几何([-n,3/2),[3 ],4)。-彼得卢斯尼8月15日2012

雅可比多项式的特殊值p(n,α,β,x)的表示,在Maple符号中:A(n)=2*(- 1)^ n*n!* JacobiP(n,2,-3/2-n,- 7)/(n+2)!,n>=0。-卡罗尔·彭森6月24日2013

G.f.:q(0)/x 1/x,其中q(k)=1+(4×k+1)*x/((1 +x)*(k+1)-x*(1 +x)*(2*k+2)*(4*k+3)/(x*(ωk+a)+(α* k+a)*(α+x)/q(k+x)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克5月14日2013

加泰罗尼亚(N+ 1)= SuMu{{K=0…n}二项式(n,k)*a(k)。例如:42=1×1+4×1+6×2+4×4+1×9。-多伦·泽尔伯格2015年3月12日

具有偏移1的G.f. A(x)满足:a(x)^ 2=a(x^ 2 /(1-2-x))。-保罗·D·汉娜08月11日2015

猜想:+(n+1)*a(n)+(- 2×n-1)*a(n-1)+3*(-n+1)*a(n-2)=0。-马塔尔,SEP 06 2016 [猜想遵循由G.F.满足的De(3×x ^ 3 +2×X^ 2-x)*G′(x)+(3×x ^ 2 +3×X-2)*g(x)+2=0。-罗伯特以色列3月16日2018

A(n)=GeGeNbAuErPy(n,-n-1,- 1/2)/(n+ 1)。-伊曼纽勒穆纳里尼10月20日2016

a(n)=a(n-1)+A00 2026(n-1)。从F步开始加上一个U步开始的MoTZKI路径的MoTZKIN路径的数量。-马塔尔7月25日2017

G.f. A(x)满足A(x)*a(-x)=f(x^ 2),其中f(x)是A1685 92. -亚力山大·伯斯坦,10月04日2017

G.f.:A(x)=EXP(int((e(x)- 1)/xdx)),其中e(x)是gf。A000 2426. 等价地,E(x)=1 +x*a'(x)/a(x)。-亚力山大·伯斯坦,10月05日2017

G.f. A(x)满足:A(x)=SUMY{{J>=0 } X^ J*SuMu{{K } 0…j}二项式(j,k)*x^ k*a(x)^ k。伊利亚古图科夫基4月11日2019

例子

G.f.:1+x+2×x ^ 2+4×x ^ 3+9×x ^ 4+21×x ^ 5+51×x ^ 6+127×x ^++×*^ ^+…

枫树

这个序列的三个不同的枫树脚本:

[SEQ(二项式(n+1,k)*二项式(n+1-k,k-1),k=0…CEIL((n+1)/2))/(n+1),n=0…50);

A000 1006记住:Pro(n)选项;局部k;如果n<1,则1个其他的PROCEND(N-1)+Add(PROCEND(K)* PROCENT(N-K-2),K=0…N-2);FI;结束;

阶数=20:解(级数(x/(1+x+x^ 2),x)=y,x);

ZL:=4*(1-Z+SqRT(1-*Z-3*Z^ 2))/(1-Z+SqRT(1-2*Z-3*Z^ 2))^ 2/2:GSE:=级数(ZL,Z=0, 35):SEQ(COEFF(GSER,Z,N),n=0…29);零度拉霍斯2月28日2007

αn->〔A(0),A(1),…,A(n)〕

A000 1006OLLIST: = PROC(n)局部W,m,j,i;w:= PROC(i,j,n)选项记住;

如果min(i,j,n)<0或max(i,j)>n,则为0。

ELIF n=0,如果i=0,j=0,则1个其它0个Fi。

w(i,j+1,n-1)+w(i-1,j,n- 1)+w(i+1,j-1,n-1)Fi端:

[SEQ(ADD(加法(w(i,j,m),i=0…m),j=0…m),m=0…n)]结束:

A000 1006表(29);彼得卢斯尼5月21日2011

Mathematica

a〔0〕=1;a〔n-整数〕=a[n]=a[n- 1 ] +和[a[k] *a[n- 2 -k],{k,0,n- 2 }];数组[a[y] ],30

系数列表[[(1 -x-(1 -2x- 3x^ 2)^(1/2))/(2x^ 2),{x,0, 29 }],x](*)让弗兰11月29日2011*)

表[超几何体2F1[(1-n)/ 2,-n/2, 2, 4 ],{n,0, 29 }](*)彼得卢斯尼5月15日2016*)

表[GeGeNbAuErc[n,-n-1,- 1/2 ] /(n+1),{n,0, 100 }](*)伊曼纽勒穆纳里尼10月20日2016*)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)=POLCOFEF((1×-qRT((1×)^ 2×4×x^ 2 +x^ 3×O(x^ n)))/((2×x ^ 2),n)};/*米迦勒索摩斯9月25日2003*

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,n++;PoCOFEF(Serx)(x/(1 +x+x^ 2)+x*o(x^ n)),n)};/*;米迦勒索摩斯9月25日2003*

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,n)!*POLCOFEF(Exp(x+x*o(x^ n))*Beeleli(1, 2×x+x*o(x^ n)),n)};/*米迦勒索摩斯9月25日2003*

(极大值)A〔0〕:1元

A〔1〕:1元

a[n]=((2×n+1)*a[n-1)+(3×n-3)*a[n-2)/(n+2)$

马克莱斯特(A[n],n,0, 12);/*伊曼纽勒穆纳里尼,02年3月2011日

(极大值)

m(n):=COEFF(展开((1 +x+x^ 2)^(n+1)),x^ n)/(n+1);

马克莱斯特(m(n),n,0, 60);/*伊曼纽勒穆纳里尼,APR 04 2012*

(Max)(超声(n,-n-1,- 1/2)/(n+1),n,0, 12);伊曼纽勒穆纳里尼10月20日2016*

(哈斯克尔)

A000 1006 n=a00 1006x列表!n!

AA1001006List= ZIPOFF(+)A00 5043Y列表$AA505043Y列表

——莱因哈德祖姆勒1月31日2012

(蟒蛇)

从GMPY2导入

A000 1006=〔1, 1〕

对于n的范围(2, 10 ** 3):

A000 1006追加(DIVITION)A000 1006〔1〕*(2×n+1)+(3×n-3)*A000 1006〔2〕,n+2)

γ吴才华,SEP 01 2014

(圣人)

DEF模式():

a,b,n=0, 1, 1

虽然真实:

产量B/N

n+=1

a,b=b,(3*(n-1)*n*a+(2×n-1)*n*b)/ /((n+1)*(n-1))

A000 1006=()

打印()A000 1006n()在范围(30)中的n)彼得卢斯尼5月16日2016

交叉裁判

囊性纤维变性。A026300A000 57 17A02074A000 1850A000 4148. 第一列A064 191A064 189A000 0108A08615A000 797A000 1405A000 5817A04401A000 75 79A000 75 78A097 862A144218A000 593A1785A217255. 第一排A064 645.

Bisections:A026945A09250.

与弦和弦相关的序列:A000 1006A054 726A000 65 33A000 661A000 6600A000 765A000 767. 参见索引文件中和弦图的条目。

A(n)=A000 5043(n)+A000 5043(n+1)。

A086246是另一个版本,虽然这是主要入口。列k=3A182172.

Motzkin数A000 1006读取MOD 2、3、4、5、6、7、8、11:A03963A0399 64A29 919A25812A29 920A25811A29 918A25810.

囊性纤维变性。A000 4148A000 4149A023 421A023 422A023 423.

关键词

诺恩核心容易

作者

斯隆

地位

经核准的

A131333 连续分数收敛的分子到SqRT(2)。
(原M2665 N1064)
+ 0
三百二十一
1, 1, 3、7, 17, 41、99, 239, 577、1393, 3363, 8119、19601, 47321, 114243、275807, 665857, 1607521、3880899, 9369319, 22619537、54608393, 131836323, 318281039、768398401, 1855077841, 4478554083、10812186007, 26102926097, 63018038201、152139002499, 367296043199 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

n阶非自相交路径的数目从(0,0)开始,具有类型(1,0)、(-1,0)或(0,1)[斯坦利]的步骤。

N级台阶单侧谨慎行走,东、西、北两级台阶。-高山镇4月26日2011

不允许子字(0,2)和(2,0)的长度为n-1的三值串的数目。-奥利维尔·G·拉德8月28日2012

对称2n×2或(2n-1)x 2纵横字谜网格的数量:所有白色正方形都是边缘连接的;在网格的每个边缘上至少有1个白色正方形;180度旋转对称性。-埃里希弗里德曼

A(n+1)是将分子置于2×N阶梯晶格上的方式,使得分子彼此不接触。

换言之,A(n+1)是n-梯形图pY2x pnn中独立顶点集和顶点覆盖的个数。埃里克·W·韦斯斯坦,APR 04 2017

(N-1)x 2二进制阵列的数目,从上排到下行具有相邻1的路径。-R·H·哈丁3月16日2002

A(2×n+1)与B(2×n+1):=A000 0129(2×n+1),n>=0,给出PLE方程A^ 2—2×B^ 2=-1的所有(正整数)解。

A(2×n)与B(2×n):=A000 0129(2×n),n>=1,给出PLE方程A^ 2—2×B^ 2=+1(见爱默生参考)的所有(正整数)解。

对分:A(2×n)=t(n,3)=A000 1541(n),n>=0,a(2×n+1)=s(2×n,2×平方rt(2))=A000(n),n>0,t(n,x),RESP。S(n,x),Chebyshev的多项式的第一,RESP。第二类。A053120,RESP。A04310.

二项式变换A07957. -保罗·巴里2月25日2003

对于n>0,(s(0),s(1),…,s(n))的数目使得0<s(i)<4和s s(i)-s(i-1)<1=i=1,2,…,n,s(0)=2,s(n)=2。-赫伯特科西姆巴,军02 2004

对于n>1,A(n)对应于近直角等腰三角形的长边,相等边之一。A000 0129(n)。-莱克拉吉贝达西,八月06日2004

F(x,1)系列中的项的指数,其中f由方程f(x,y)=XY+f(x^ 2×y,x)确定。-乔纳森·索道12月18日2004

从字母表A= {01,1,2}的n个单词的数目,其中两个邻居最多相差1。- Fung Cheok Yin(CHIOKYNION Read(AT)雅虎.com,HK),8月30日2006

考虑映射F(a/b)=(a+2b)/(a+b)。以A=B=1开始并在每个新的(约化)有理数上重复执行该映射给出以下序列1/1、3/2、7/5、17/12、41/29、…收敛到2 ^(1/2)。序列包含分子。-阿马纳思穆西3月22日2003 [ Paul E. Black修正案(保罗.Black(AT)NIST,GOV),12月18日2006 ] ]

A(n)mod 10=A131707. A131711. -保罗寇兹,APR 08 2008

具有奇指数的素数分子是素数RMS数(A140480)还有NSW素数(A08165-齐兹卡8月13日2008

中间收敛到2 ^(1/2)从4/3,10/7,24/17,58/41开始;基本上,分子=A052542分母在这里。-克拉克·金伯利8月26日2008

等于三角形的右边界A1439 66. 起始(1, 3, 7,…)等于三角形的(1, 2, 2,2,…)和行和的逆变换。A1439 66. -加里·W·亚当森,SEP 06 2008

逆二项变换A000 6012Hankel变换是:=(1, 2, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,…)。-菲利普德勒姆,十二月04日2008

贡献来自查利玛丽恩,07月2009日:(开始)

通常,分母,A(k,n)和分子,b(k,n),连分数收敛到qRT((k+1)/k),可以发现如下:

设a(k,0)=1,a(k,1)=2k;对于n>0,a(k,2n)=2*a(k,2n-1)+a(k,2n-2)和a(k,2n+1)=(2k)*a(k,2n)+a(k,2n-1);

设B(k,0)=1,b(k,1)=2k+1;对于n>0,b(k,2n)=2*b(k,2n-1)+b(k,2n-2)和b(k,2n+1)=(2k)*b(k,2n)+b(k,2n-1)。

例如,收敛到SqRT(2/1)开始1/1、3/2、7/5、17/12、41/29。

一般来说,如果A(k,n)和b(k,n)分别是分子器和分子,则上面定义的连分数收敛到SqRT((k+1)/k),然后

k*a(k,2n)^ 2 -a(k,2n-1)*a(k,2n+1)=k= k*a(k,2n-2)*a(k,2n)-a(k,2n-1)^ 2和2

b(k,2n-1)*b(k,2n+ 1)-k*b(k,2n)^ 2=k+ 1=b(k,2n-1)^ 2 -k*b(k,2n-2)*b(k,2n);

例如,如果k=1,n=3,则B(1,n)=a(n+1)和

1×A(1,6)^ 2 -A(1,5)*A(1,7)=1×169 ^ 2 -70×408=1;

1*a(1,4)*a(1,6)-a(1,5)^ 2=1*29*169~70 ^ 2=1;

B(1,5)*B(1,7)-1*B(1,6)^ 2=99×577×1×239 ^ 2=2;

B(1,5)^ 2 - 1×B(1,4)*B(1,6)=99 ^ 2×1×41×239=2。

囊性纤维变性。A000 0129A142138-A142249A1533-A1533.

(结束)

该序列出现在n个串联串联并联电阻的等效电阻组的下限范围内。A08211-萨明艾哈迈德汗6月28日2010

设M=在每个列中有斐波那契级数的三角形,但最左边的列向上移动一行。A131333= Limi{{N-> INF}M^ n,将左移位向量视为序列。-加里·W·亚当森7月27日2010

A(n)是N的1种类型,当有1种类型和2种其他自然数时。-米兰扬吉克8月13日2010

相等的倒数变换A055099. -加里·W·亚当森8月14日2010

埃德森杰弗里,APR 04 2011:(开始)

让u成为单位本原矩阵(参见[杰弗里])

u= u~(8,2)=

(0 0 0 1)

(0 1 1 0)

(1 0 0 2)

(0 2 2 0)。

然后A(n)=(1/4)*迹(U^ n)。(也见)A084130A000 6012

(结束)

对于n>=1,三角形的行和

M/ K…0…1…2…3…4…5…6…7

事业单位

0….. 1

1….. 1…2

2…1…2…4

3…1…4…4…8

4…1…4…12…8…16

5…1…6…12…32…16…32

6…1…6…24…32…80…32…64

7……1…8…24…80…80…192…64…128

这是一个三角形,对于具有重复对角线的数为2 ^ ^×*C(m,k)的三角形。-弗拉迪米尔谢维列夫4月12日2012

A(n)也是在2×N板上放置k个非攻击的WaZIs的方法的数目,在所有k>0(AWAZIR是LePay[0,1])上求和。-瓦茨拉夫科特索维茨08五月2012

序列A(n)和b(n):=A000 0129(n)是条目

BRAHMAGUTA矩阵的特殊情况的权力-详情见Suryanarayan的论文。此外,作为SurnayalayaRead,如果我们设置A=2*(a(n)+b(n))*b(n),b=a(n)*(a(n)+2*b(n)),c=a(n)^ 2+2*a(n)*b(n)+2*b(n)^ 2,则我们得到毕达哥拉斯关系a~(2)+b^ 2=c^ 2的积分解,其中a和b是连续整数。-罗马威特拉7月28日2012

皮萨诺周期长度:1, 1, 8、4, 12, 8、6, 4, 24、12, 24, 8、28, 6, 24、8, 16, 24、40, 12、…-马塔尔8月10日2012

A131333A000 0129给出SmiRNA描述的对角线数。-Sture Sj·奥斯特10月20日2012

A(n)是以下六个3×3二元矩阵中的任何一个的n次幂的左上项:[1, 1, 1;1, 1, 1;1, 0, 0 ]或[1, 1, 1;1, 1, 0;1, 1, 0 ]或[1, 1, 1;1, 0, 1;1, 1, 0 ]或[1, 1, 0;γ;y]或[y;y];-马塔尔,03月2日2014

如果p是素数,A(p)=1(mod p)(与类似的注释比较)A000 0 32-克赖顿戴蒙10月11日2005修改达维德科拉辛加里6月26日2016

A(n)=A000 0129(n)+A000 0129(n-1),在哪里A000 0129(n)是第n个pEL数,例如A(6)=99=A000 0129(6)+A000 0129(5)=70+29。因此,分数的序列具有形式1 +。A000 0129(n-1)/A000 0129(n)及其比值A000 0129(n-1)/A000 0129(n)收敛到SqRT2—1。-格雷戈瑞·L·西梅11月30日2018

推荐信

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V. Thebault关于两类奇异完备方对阿梅尔。数学月刊,56(1949),43-44。

Eric Weisstein的数学世界,独立顶点集

Eric Weisstein的数学世界,梯形图

Eric Weisstein的数学世界,毕达哥拉斯常数

Eric Weisstein的数学世界,平方根

Eric Weisstein的数学世界,平方三角数

Eric Weisstein的数学世界,顶点覆盖

“核心”序列的索引条目

与切比雪夫多项式相关的序列的索引条目。

常系数线性递归的索引项签名(2,1)。

公式

A(n)=A055A125058(n)。-莱因哈德祖姆勒,02月2日2007

a(n)=2a(n-1)+a(n-2);

a(n)=((1-qRT(2))^ n+(1+qRT(2))^ n)/2。

G.f.:(1 -x)/(1 - 2×x -x ^ 2)=1 /(1 -x/(1 - 2×x/(1 + x)))。-米迦勒索摩斯,SEP 02 2012

A000 0129(2n)=2**A000 0129(n)*a(n)。-约翰·麦克纳马拉10月30日2002

A(n)=(-i)^ n*t(n,i),具有第一类t(n,x)切比雪夫多项式A053120i ^ 2=1。

a(n)=a(n-1)+A052542(n-1),n>1。A(n)/A052542(n)收敛到SqRT(1/2)。- Mario Catalani(马里奥·卡塔拉尼(AT)Unit),4月29日2003

E.g.f.:Exp(x)COSH(x*SqRT(2))。-保罗·巴里08五月2003

A(n)=SUMY{{K=0…地板(n/2)}二项式(n,2k)2 ^ k。保罗·巴里5月13日2003

对于n>0,a(n)^ 2(1 +(-1)^(n))/ 2=SuMu{{k=0…n-1 }((2k+1)*)A000 1653(N-1-K);例如,17 ^ 2 - 1=288=1×169+3×29+5*5+7*1;-查利玛丽恩7月18日2003

A(n+2)=A07834(n+1)+A044064(n)。-克赖顿戴蒙1月19日2005

A(n)=A000 0129(n)+A000 0129(n-1)=A000 110 9(n)/A000 0129(n)=qRTA111110(n)/A000 0129(n)^ 2)=天花板(QRT)A000 110 8(n))。-亨利·伯顿利4月18日2000

也是第一个不同之处A000 0129(佩尔数)因为A05937(n)=A000 0129(n+1)+1。-格雷姆麦克雷,八月03日2006

A(n)=SuMu{{K=0…n}A122542(n,k)。-菲利普德勒姆,10月08日2006

对于另一个复发见A000 0129.

A(n)=SuMu{{K=0…n}A098158(n,k)* 2 ^(N-K)。-菲利普德勒姆12月26日2007

A(n)= [1,1,2,1] ^的左上和右下项。加里·W·亚当森3月12日2008

E.g.f.:Exp(x)*COSH(x*SqRT(2))=g(0)/2;G(k)=(-1)^ k+ 1 /(((3 +qRT(2))^ k)-x*(1 +qRT(2))*((17+12×qRT(2))^)/(x*(2 +qRT(α))*((α+qRT(α))^ k)-(k+y)/g(k+i));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,十二月04日2011

对于n>=2,a(n)=fyn(2)+f~(n+1)(n+1)(2),其中fyn(x)是斐波那契多项式(参见)。A04310):Fyn(x)=SuMu{{i=0…地板((n-1)/2)}二项式(n-1,i)x^(n-2*i-1)。-弗拉迪米尔谢维列夫4月13日2012

(-n)=(-1)^ n*a(n)。-米迦勒索摩斯,SEP 02 2012

G.f.:G(0)/2,其中G(k)=1+1 /(1××(2×k-1)/(x*(2×k+1)-1/g(k+1)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克5月26日2013

G.f.:(1 +g(0))/(4×x),其中G(k)=x*(2×k-1)-1 +4×x+x*(2×k-1)/g(k+1);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克8月14日2013

(多对数(S,1-SqRT(2))+多对数(S,1 +SqRT(2))/ 2。-伊利亚古图科夫基6月26日2016

A(n)=A000 0129(n)A000 0129(n-1),在哪里A000 0129(n)是第n个佩尔数。因此,连分数是形式1 -(A000 0129(n-1)/A000 0129(n)。-格雷戈瑞·L·西梅09月11日2018

例子

辐合物为1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, 8119/5741, 19601/13860, 47321/13860, 47321/…=A131333/A000 0129.

15个3×2纵横字形网格,用O表示的白色方格:

哦,哦,哦,哦!O.O。O。O。哦…哦哦。OO

哎哟。O.O。O。O。哦……哦,哦,哦,哦,哦,哦。

如果p〔1〕=1,且p[i]=2,(i>1),且如果A是由n(a,j)=p[j-i+1 ],(i <=j)定义的n阶HsEnEng-矩阵,则a [ i,j ]=-1,(i=j+1),和a [ i,j ]=0。然后,对于n>=1,A(n)=DET A.米兰扬吉克4月29日2010

1+x+3×x ^ 2+7×x ^ 3+17×x ^ 4+41×x ^ 5+99×x ^ 6+239×x ^++××^++…

枫树

A131333= PROC(n)选项记住;如果n=0,则1 ELIF n=1,然后1个其他2 *PROCEND(N-1)+ PROCEND(N-2)FI结束;

数字:=50;A131333=n->圆((1/2)*(1+qRT(2))^ n);

(NUM):CF:=CCRAF(SqRT(2),1000):[SEQ(nthNoNever(CF,I),I=0…50)];

A131333=-(z+1)/(- 1+2×z+Z** 2);西蒙·普劳夫在他的1992篇论文中

A==Pro(n)局部m;m=(矩阵〔〔〔2, 1〕,〔1, 0〕〕n);m〔2, 1〕+m〔2, 2〕端:SEQ(A(n),n=0…30);阿洛伊斯·P·海因茨,八月01日2008

Mathematica

插入[表] [从连续部分[连续部分[SqRT〔2〕,n] ] ],{n,1, 40 },1, 1 ](*)斯特凡·斯坦纳伯格,APR 08 2006*)

表〔(1 - Sqrt〔2〕)^+(1+SqRT〔2〕)n〕/ 2,{n,0, 29 }〕/简化(*)Robert G. Wilson五世,五月02日2006 *)

A〔0〕=1;A〔1〕=1;A [n]:= a[n]=2a[n- 1 ] +a[n-2 ];表[a@ n,{n,0, 29 }](*)Robert G. Wilson五世,五月02日2006 *)

表[矩阵{ { 1, 2 },{ 1, 1 }},n[[〔1, 1〕],{n,0, 30 }〕(*)Robert G. Wilson五世,五月02日2006 *)

a= c=0;t= { b=1 };do[c= a+b+c;AppDeto [t,c];a= b;b= c,{n,40 }];t(*)弗拉迪米尔-约瑟夫斯蒂芬奥尔洛夫斯基3月23日2009*)

线性递归[ { 2, 1 },{ 1, 1 },40〕(*)弗拉迪米尔-约瑟夫斯蒂芬奥尔洛夫斯基3月23日2009*)

连接[{ 1 },分子[收敛] [SQL RT(2),30 ] ] ]哈维·P·戴尔8月22日2011*)

表[(-I)^ n切比雪夫[n,i],{n,10 }](*)埃里克·W·韦斯斯坦,APR 04 2017*)

系数列表[[(-1 +x)/(- 1 + 2×+x^ 2),{x,0, 20 }],x](*)埃里克·W·韦斯斯坦9月21日2017*)

表[SqRT[(切比雪夫[n,3 ] +(-1)^ n)/ 2 ],{n,0, 20 }](*)埃里克·W·韦斯斯坦4月17日2018*)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)=IF(n<0,(- 1)^ n,1)*CraceFrpNQn(向量(ABS(n),i,1 +(i>1)))[1, 1 ] }/*米迦勒索摩斯,SEP 02 2012*

(PARI){A(n)=PoCurBysHeV(n,1,i)/i^ n}/*米迦勒索摩斯,SEP 02 2012*

(SAGE)从SAGE.COMPATA.SLANNEYA函数导入递归2

它=递归2(1, 1, 2,1)

[n.](i)在范围(30)]中零度拉霍斯6月24日2008

(SAGE)[LuxasNoMuleB2(n,2,-1)/2,n在XRead(0, 30)]中零度拉霍斯4月30日2009

(PARI){Debug(RealDe精度,2000);对于(n=0, 4000,a=CraceFrpNQn(向量(n,i,1+(i>1)))[1, 1 ];如果(a>10 ^(10 ^ 3 -6),断裂);写(“B01333.txt”,n,“a”,a);}哈里史密斯6月12日2009

(哈斯克尔)

A00 1333 N=A00 1333名单!n!

AA131333列表=1:1:ZIPOP(+)

AA131333列表(MAP(* 2)$尾部A00 1333)列表

——莱因哈德祖姆勒,朱尔08 2012

(岩浆)[NLE 2选择1个另外的2 *自身(N-1)+自身(N-2):n在[1…35 ] ];//文森佐·利布兰迪11月10日2018

交叉裁判

分母见A000 0129.

A04000对于SqRT(2)的连续分式展开。

A(n)+A(n+1)=2A000 0129(n+1)。2*a(n)=A00 2203(n)(伴随佩尔数)。

也见A078057这是相同的序列没有初始1。

Cf.也A152113.

无符号切比雪夫三角三角形的行和A053120. A(n)=A054(n,0)(卷积三角形的第一列)。

行和A140750A16075A135837.

等于A034 182(n-1)+2和A084128(n)/ 2 ^ n的第一个差异A05937. 部分和A052542. 对偶和A08624. 二分法A000 965.

下面的序列(和其他)属于同一个家庭:A131333A000 0129A026150A000 2605A0461717A015518A084057A06327A00 2533A000 2532A083098A083099A083100A015519.

数组中的第二行A13597.

A08211A153588A174893A174244A174255A174266A1764A176500A176501A176502. -萨明艾哈迈德汗6月28日2010

囊性纤维变性。A055099. -加里·W·亚当森8月14日2010

囊性纤维变性。A028 85A000/A08305A03303A000 0225A095263A000 39 45A000 6356A000 2478A214260A00 1911A000 0217对于其他限制三元词。-奥利维尔·G·拉德8月28日2012

三角A1065(交替行和)。-狼人郎,10月05日2014

关键词

诺恩共模抑制比容易核心压裂

作者

斯隆小伙子

扩展

切比雪夫评论狼人郎1月10日2003

地位

经核准的

A000 829 欧拉数T(n,k)的三角形(n>=1, 1<k<=n)。 + 0
三百一十六
1, 1, 1,1, 4, 1,1, 11, 11,1, 1, 26,66, 26, 1,1, 57, 302,302, 57, 1,1, 120, 1191,2416, 1191, 120,1, 1, 247,4293, 15619, 15619,4293, 247, 1,4293, 247, 1,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,5

评论

这里使用的索引是在Riordan和COMTET的经典著作中给出的。对于其他两个版本A173018A123125. -斯隆11月21日2010

欧拉多项式的系数。具有k-1的n个对象的排列数上升。有N+1节点和K叶的增根树数。

T(n,k)=具有k的[n ]排列的数目。T(n,k)=需要k读数的[n]的排列数(参见KnuthRead)。T(n,k)=在其倒置表中具有k个不同条目的[n ]的排列数。-埃米里埃德奇,军09 2004

T(n,k)=用S{{Eyk }和S{{Eai+Eyj}形式的少量反射来写出CyxTebe元素S{{E1} {E1-E2} S{{E2-E3} S{{E3-E4}…S{{E}{N}}-Eyn},其中i=1, 2,…,n和j不尽可能地与I相等。- Pramook Khungurn(PAROOK(AT)麻省理工学院,教育部,JUL 07 2004)

三角形的k>=1和n>=1的次三角形A123125. -菲利普德勒姆10月22日2006

T(n,k)/n!还表示由(n-1)维超平面XY1+XY2+切割的n维超立方体切割的部分的n维体积。xnn= k,xy1+xy2+…Xyn=K-1;或者,等价地,它表示在0和1之间具有均匀分布的n个独立随机变量之和在K-1和K. Stefano Zunino之间的概率,10月25日2006。

[e(,t)/(1-t)] ^ n=n!*滞后[n,-p(,t)/(1-t)]和[-p(,t)/(1-t)] ^ n=n!*滞后[n,e(t,t)/(1-t)]包含一个组合拉盖尔变换对,其中E(n,t)是欧拉多项式,p(n,t)是多项式。A131758. -汤姆·科普兰9月30日2007

汤姆·科普兰,OCT 07 2008:(开始)

g(x,t)=1(/ 1 +(1-EXP(x*t))/t)=1+1×x+(2+t)*x^ 2/2;+(6 + 6×t+t ^ 2)*x^ 3/3!+…给出行多项式A090582A关于置换子群的逆F多项式(见)A019538

g(x,t-1)=1+1×x+(1+t)*x^ 2/2!+(1 + 4×t+t ^ 2)*x^ 3/3!+…给出行多项式A000 829,置换多项式的H-多项式(Postnikov等人)。

G((t+1)*x,-1(/ t+1))=1+(1+t)*x+(1+3×t+2×t^ 2)*x^ 2/2;+…给出行多项式A024246.

(结束)

[n]上的一个超超越函数F是一个映射f:[n] -> [n],使得1个<< f(i)例t(3,2)=4:如果我们用字F(1)f(2)…f(n)来识别次超函数f,那么[3 ]上的次超函数是111, 112, 113,121, 122和123,这些函数的四具有基数2的图像集。-彼得巴拉10月21日2008

进一步评论汤姆·科普兰上面,这个三角形的第N行是单纯复对偶到Ayn(n-1)类型的置换子群的H-向量。对应的F向量是A019538. 例如,1+4×x+x^ 2=y^ 2+6*y+6和1+11×x+11×x^ 2 +x^ 3=y^ 3+y*y^+y*y+y,其中x=y+y,给出[1,6],[1,14],36[24],作为A019538. 这个三角形的希尔伯特变换(参见A145905对于定义是A047 959. A060187对于B型欧拉数的三角形(单纯型复数的H向量与B型的置换子群)。A066094A对于限制型欧拉数表的D型H-向量数组A144696-A144699. -彼得巴拉10月26日2008

为了自然的精炼A000 829连接到组成反转和迭代导数,参见A14527. -汤姆·科普兰06月11日2008

多项式E(z,n)=分子(SuMu{{K>=1 }(- 1)^(n+1)*k^ n*z ^(k-1)),对于n>1,直接通向欧拉数的三角形。-约翰内斯·梅杰5月24日2009

来自Walther Janous(瓦尔特.Jauly(AT)TiROL .com),11月01日2009:(开始)

(欧拉)多项式E(n,x)=SuMu{{=0…n-1 } t(n,k+1)*x^ k也是无穷和的闭式表达式的分子:

S(p,x)=Suthi{{j>=0 }(j+1)^ p*x^ j,即

S(p,x)=E(p,x)/(1-x)^(p+1),当x x<1,p为正整数时。

(注意在公式部分列出的部分中t(n,k)的不一致用法。我默默无闻地坚持着第一个。

如果n是奇数素数,则所有(n-2)-和(n-1)行的所有数都在级数k*n+ 1中。-弗拉迪米尔谢维列夫,朱尔01 2011

欧拉三角形是Suthi{{=1…n} k^ j的r次连续求和的公式的一个元素,它是SuMu{{=1…n} t(j,k-1)*二项式(j-k+n+r,j+r)。-加里德莱夫斯11月11日2011

李和Wong表明,T(n,k)计数具有n+1顶点和角度(2×k n-1)*皮的组合不等价星形多边形。一个等价的公式是:定义对称群Syn中置换p的总符号变化S(p)等于SuMu{{ 1…n}符号(p(i)-p(i+1)),在这里我们取p(n+1)=p(1)。T(n,k)给出了q(1)=1和S(q)=2×K-n-1的Syn(n+1)中排列q的个数。例如,T(3,2)=4,因为在SY4中排列(1243)、(1324)、(1342)和(1423)具有总符号变化0。-彼得巴拉12月27日2011

熊、霍尔和Tsao提到Riordan,并提到传统的欧拉数A(n,k)是具有弱弱超越的(1,2,n)的排列数。-苏珊维恩8月25日2014

在Buchstaber和Bunkova、CopLand、Hirzebruch、LeART和ZayulLin、洛赛夫和Manin以及Sheppeard链接中讨论了代数几何/拓扑和特征类的连接;到Grasman年,在Copfield,法伯和Postnikov,Pipe,和Y-链接;以及组成反转和微分算子,在Copand和PARK链接中。-汤姆·科普兰10月20日2015

在公式中指出的双变量E.F.涉及在Pauli-MaCuli连杆中讨论的某些图中的乘法边。见第42页。-汤姆·科普兰12月18日2016

通过Euler数的移位给出了TeelSelves中左子的分布。TeeSelves是有序的二进制(0-2)增加树,其中每个孩子通过左或右链接连接到它的父节点。A7867A27 867A27 867更多的定义和例子。-谢尔盖·吉尔吉佐夫12月24日2016

行多项式p(n,x)=1=n.t(n,k)*x^ k出现在O.G.F.G(n,x)= SUMY{{m>0 } s(n,m)*x^ m的分子中,s(n,m)=SuMu{{=0…m } j ^ n为n>=1,作为G(n,x)=1,n=1,n} p(n,x)/(1 -x)^(n+2),对于n>=0(0π0=1)。这个也见三角形A131689A用3月31日2017对改写形式的评论。对于f f参见A0242463月13日发表2017评论。- Wolfdieter Lang,3月31日2017。

对于与ErHART多项式的关系,多面体、多对数、托德算子和其他特殊函数、多项式和序列的体积,参见A131758以及其中的参考文献。-汤姆·科普兰6月20日2017

对于积分参数中黎曼zeta函数的值的关系,请参见A131758以及杜邦的参考。-汤姆·科普兰3月19日2018

归一化体积的超单纯形,归因于Laplace。(参见De Loera等人)。参考文献,第327页)汤姆·科普兰6月25日2018

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与有根树相关的序列的索引条目

“核心”序列的索引条目

公式

t(n,k)=k*t(n-1,k)+(n+k+ 1)*t(n-1,k-1),t(1, 1)=1。

T(n,k)=Suthi{{j=0…k}(-1)^ j*(kj)^ n*二项式(n+ 1,j)。

行和= n!=A000 0142(n),除非n=0。-米迦勒索摩斯3月17日2011

E.g.f. A(x,q)=SuMu{{n> 0 }(SuMu{{=1…n} t(n,k)*q^ k)*x^ n/n!= q*(e^(q*x)-e^ x)/(q*e^ x -e^(q*x))满足dA/dx=(a+1)*(a+q)。-米迦勒索摩斯3月17日2011

对于列列表,第n项:t(c,n)=c^(n+c-1)+ SuMu{{i=1…C-1 }(-1)^ I/I!*(C-I)^(n+c-1)*乘积{{j=1…i}(n+c+1-j)。- Randall L. Rathbun(RANDALR(AT)ABAC.com),1月23日2002

从J·罗伯逊(JPR27 18(AT)AOL .com),SEP 02 2002:(开始)

欧拉数t(i,n)的四个刻画

1。t(0,n)=1,对于n>=1,t(i,1)=0,对于i>1,t(i,n)=(n-1)t(i-1,n-1)+(i+1)t(i,n-1)。

2。t(i,n)=Suthi{{j=0…i}(-1)^ j*二项式(n+1,j)*(i-j+1)^ n为n>=1,i>=0。

三。设Cyn为具有顶点(E1,E2,…,Eyn)的R^ n中的单位立方体,其中每个EAI为0或1,所有2个^ n组合使用。然后T(i,n)/n!Cyn的体积在超平面XY1+XY2+之间…+xnn= i和x1+xy2+…+xnn=i+1。因此T(i,n)/n!是i < xx1+xy2+的概率…+xyn<i+1,其中xyJ是独立的一致[ 0, 1 ]分布。见ErnBurg和Read Dead。

4。设f(i,n)=t(i,n)/n!F(i,n)是唯一的系数,使得(1/(R-1)^(n+1))SuMu{{i=0…n-1 } f(i,n)r^ {i+1 }=SUMU{{j>0 }(j^ n)/(r^ j)每当n>1和ABS(r)>1时。(结束)

O.G.F.用于第n行:(1-x)^(n+1)*多对数(-n,x)/x.瓦拉德塔约霍维奇,SEP 02 2002

三角形T(n,k),n>0和k>0,按行读取;由[0, 1, 0,2, 0, 3,0, 4, 0,5, 0, 6,…]δ[1, 0, 2,0, 3, 0,4, 0, 5,0, 6,…]给出(正整数与0的散布),其中δ是定义在DeleHAM中的操作符。A084938.

SuMu{{=1…n} t(n,k)* 2 ^ k=A000 0629(n)。-菲利普德勒姆,军05 2004

汤姆·科普兰,10月10日2007:(开始)

Bell(n,x)=Suthi{{=0…n)S2(n,j)*x^ j=SuMu{{j=0…n}e(n,j)*滞后(n,-x,j-n)=SUMU{{j=0…n}(E(n,j)/n!)*(n)!*滞后(n,-x,j-n)= SUMY{{=0…n} e(n,j)*二项式(贝尔(x,)+ j,n),其中Bell(n,x)是Bell/ToucARD/指数多项式;S2(n,j),第二类的斯特灵数;E(n,j),欧拉数;以及滞后(n,x,m),m阶的相关Laguerre多项式。

对于x=0,方程给出了Suth{{=0…n} e(n,j)*二项式(j,n)=1,对于n=0,0为所有其它n。*二项式(y,n),对于方程中的x,得到了WordpZigy恒等式;y^ n=SuMu{{j=0…n}e(n,j)*二项式(y+j,n)。

注意E(n,j)/n!= E(n,j)/(SuMu{{K=0…n}e(n,k))。(n)!*滞后(n,1,J-N)是A086895用一个简单的组合解释来解释座位安排,对x=1的等式给出组合解释;n!*贝儿(n,1)=n!* Suthi{{j=0…n}s2(n,j)=SuMu{{j=0…n}e(n,j)*(n)!*滞后(n,1,J-N)。

澄清(4月19日2014):这里E(0,0)=S2(0,0)=1,而对于K>0,E(0,K)=E(k,0)=S2(0,k)=S2(k,0)=0。(结束)

从置换多项式的H-和F多项式与E.F. S的倒数之间的关系A049019(t-1)((t-1)d/dx)^ n 1(t- EXP(x))在x=0时给出了t(n)中的第n欧拉行多项式和(t-1)中的第n行多项式。A019538A090582A. 从COMTET和CopLand参考文献A139605((t+EXP(x)- 1)d/dx)^(n+x)x给出了在t中泰勒对的Euler多项式的x展开为x ^ 0和x^ 1的系数。汤姆·科普兰,10月05日2008

G.f:1 /(1-x/(1-x*y/1-2x/)(1-2x*y/(1-3x//(1-3x*y/)(1)…(连分数)。-保罗·巴里3月24日2010

如果n是奇素数,则下面连续的2×N+ 1项是1模n:((n-1)*(n-2)/2 +i),i=0,…,2 *n。

彼得巴拉,9月29日2011:(开始)

对于k= 0,1,2,…设G(k,x,t)=x-(1+2 ^ k*t)*x^ 2/2 +(1+2 ^ k*t+3 ^ k*t^ 2)*x^ 3/3 -(1+2 ^ k*t+3 ^ k*t^ 2+τ^ k*t^)**^ ^ +…然后,G(k,x,t)相对于x的级数回归给出了当k=0时的当前表的E.G.F.A000 85 17当k=1时。

e.g.f. B(x,t)=x,g(0,x,t)=(EXP(x)-EXP(x*t))/(EXP(x*t)-t*EXP(x))=x+(1+t)*x^ 2/2的成分逆;+(1 + 4×t+t ^ 2)*x^ 3/3!+…满足自治微分方程dB/dx=(1+b)*(1+t*b)=1+(1+t)*b+t*b^ 2。

应用[BelGron等人,定理1 ]给出了欧拉多项式的组合解释:A(n,t)计数平面在n个顶点上增加树,其中每个顶点具有出度<=2,出度1的顶点以1 +T颜色出现,并且出度2的顶点以T颜色出现。下面给出一个例子。囊性纤维变性。A000 85 17. 应用[多米尼克,定理4.1 ]给出了计算欧拉多项式的方法:设F(x,t)=(1+x)*(1+t*x),并设D为算子f(x,t)*d/dx。然后在x=0时计算(n+1,t)=d^ n(f(x,t))。

(结束)

在Copfield 2008评论中,用E.F.A(x,t)=g[x,(t-1)] - 1,成分逆是Ainv(x,t)=log(t-(t-1)/(1 +x))/(t-1)。-汤姆·科普兰10月11日2011

t(2×n+1,n+ 1)=(2×n+2)*t(2×n,n)。(例如,66=6×11, 2416=8×302,…)加里德莱夫斯11月11日2011

E.g.f.:(1-y)/(1 -y*EXP((1-y)*x))。-杰弗里·克里茨11月10日2012

彼得巴拉,3月12日2013:(开始)

设{a(n,x)} n=1表示从[1, 1+x,1+4×x+x^ 2,…]开始的欧拉多项式序列。给定两个复数A和B,由R(n,x)=(x+b)^ n*a(n+1,(x+a)/(x+b)),n>=0定义的多项式序列满足递推方程r(n+1,x)=d/dx((x+a)*(x+b)*r(n,x))。这些多项式给出了数据库中几个三角形的行生成多项式。A019538(a=0,b=1);A15692(a=1,b=1);A1854(a=(1+i)/ 2,b=(1-i)/ 2);A18523(A=EXP(I*PI/3),B=EXP(-I*PI/3))A185896(a= i,b= -i)。

(结束)

E.g.f.:1±x/(t(0)-x*y),其中t(k)=1 +x*(y-1)/(1 +(k+1)/t(k+1));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克07月11日2013

汤姆·科普兰,9月18日2014:(开始)

a)双变量例如f a(x,a,b)=(e^(ax)-e^(bx))/(a*e^(bx)-b*e^(ax))=x+(a+b)*x^ 2/2!+(a^ 2 +4ab+b^ 2)*x^ 3/3!+(a^ 3 +11a^ 2b+11ab^ 2 +b^ 3)x^ 4/4!+…

b)b(x,a,b)=log((1+ax)/(1+bx))/(a b)=x-(a+b)x^ 2/2 +(a^ 2 +ab+b^ 2)x^ 3/3 -(a^ 3 +a^ 2b+ab^ 2 +b^ 3)x^ 4/4+…=log(1+u×x),具有(u)^ n=uyn=Hi1(n-1)(a,b)的完全齐次多项式,是X(a,x,a,b)中x(a,b)的成分倒数(见德雷克,p 56)。

c)a(x)满足dA/dx=(1 +a*a)(1 +b*a),并且可以用维尔斯特拉斯椭圆函数来描述(见BuChester-BunkoVa)。

d)二元欧拉行多项式由迭代导数((1 +ax)(1 +bx)d/dx)^ n x生成,在x=0时被计算(参见)A14527

e)a(x,a,b)=-(e^(-ax)-e^(-bx))/(a*e^(-ax)-b*e^(-bx)),a(x,- 1,- 1)=x/(1+x),和b(x,-1,-1)=x/(1-x)。

f)FGL(x,y)=a(b(x,a,b)+b(y,a,b),a,b)=(x+y+(a+b)xy)/(1-ab**y)称为双曲形式群律,并与LeARTARE和Zeululin的广义上同调理论有关。(结束)

对于x>1,第n欧拉多项式A(n,x)=(x - 1)^ n* log(x)*整合式{u>=0 }(天花板(u))^ n*x^(-u)DU。-彼得巴拉,06月2日2015

SuMu{{j>=0 } j^ n/e^ j,对于n>=0,等于Suv{{=1…n} t(n,k)e^ k/(e-1)^(n+1),在变量“e”中的有理函数,其近似地计算为n!当e=A111113= 2.71828…-李察·R·福尔伯格2月15日2015

对于一个固定的K,T(n,k)~k^ n,通过归纳证明。-潘然10月12日2015

A14527用Gyn=(d/dx)^ n(1+a*x)*(1+b*x)在x=0,即G0=1,Gy1=(a+b),Gy2=2Ab,Gyn=0的情况下,将下三角Pascal矩阵的n次对角(n=0主对角)乘以0,得到具有Vp(n,k)=二项式(n,k)Gy(n-k)的三对角矩阵vp。然后,该项的m个二元行多项式是p(m,a,b)=(1, 0, 0,0,…)[vp*s] ^(m-1)(1,a+b,2ab,0,…)^,其中s是移位矩阵。A129185,在分立的幂基础上表示微分x^ n/n!此外,p(m,a,b)=(1, 0, 0,0,…)[VP*S] ^ m(0, 1, 0,…)^ T.汤姆·科普兰,八月02日2016

例子

三角形T(n,k)开始:

NK 1 2 3 3 4 5 6 7 7 9 10…

1:1

2:1、1

3:1、4、1

4:1、11、11、1

5:1、26、66、26、1

6:1、57、302、302、57、1

7:1、120、1191、2416、1191、120、1

8:1、247、4293、15619、15619、4293、247 1

9:1、502、14608、88234、156190、88234、14608 502 1

10:1、1013、47840、455192、1310354、1310354、455192、47840 1013 1

重新格式化。-狼人郎2月14日2015

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例如f=(y)*x^ 1/1!+(y+y^ 2)*x^ 2/2!+(y+4*y ^ 2+y ^ 3)*x ^ 3/3!+…-米迦勒索摩斯3月17日2011

设n=7。然后,下面的2×7+1=15连续项是1(mod 7):a(15+i),i=0…14。-弗拉迪米尔谢维列夫,朱尔01 2011

第3行:在3个顶点上增加0到1个树的平面(用顶点的右边显示的着色顶点的数目)

.

. 1O(1+T)1O T 1O

. “/ \ \”

. “/ \ \”

. 2O(1+T)2O 3O 3O 2O

. γ

. γ

. 3O

.

树木总数为(1±t)^ 2+t+t=1+4*t+t ^ 2。

枫树

A000 829= Pro(n,k)选项记住;如果k<1或k> n为0;ELIF k=1或k= n则为1;否则k*PROCENT(n-1,k)+(n+k+1)*PROCENT(n-1,k-1);结束IF;结束进程:

Mathematica

T[N],Ky]=和〔(1)^ j*(K-J)^ n*二项式[ n+1,j〕,{j,0,k}];

[表[t[n,k],{n,1, 10 },{k,1,n}] ](*)让弗兰5月31日2011后米迦勒索摩斯*)

[表] [系数]列表[(1-x)^(k+1)*PopLog[[-k,x]/x,x],{k,1, 10 }] ](*)瓦茨拉夫科特索维茨8月27日2015*)

黄体脂酮素

(t){t(n,k)=If(k<1)k>n,0,If(n=1, 1,k*t(n-1,k)+(n+k+1)*t(n-1,k-1))};/*;米迦勒索摩斯7月19日1999*

(PARI){t(n,k)=和(j=0,k,(- 1)^ j *(kj)^ n*二项式(n+1,j))};/*米迦勒索摩斯7月19日1999*

{A000 829(c,n)=c^(n+c-1)+和(i=1,c-1,(-1)^ i/i)!*(C-I)^(n+c-1)*PRD(j=1,i,n+c+1-j))}

(哈斯克尔)

导入数据。列表(通用长度)

A00 829 2 N K= A000 829 2Tabl!!(N-1)!(K-1)

A00 829 2n行n=A00 829 22Tabl!(N-1)

AA8829 2Tabl=迭代F(1)

f xs= ZIPOFF(+)

(ZIPOF(*)((0)++XS)(反向KS))(ZIPOF(*)(XS++[ 0)KS)

其中KS=1。1 +广义长度xs]

——莱因哈德祖姆勒07五月2013

(蟒蛇)

从症状输入二项式

DEF(n,k):返回和([-1)**j*(k-j)**n*二项式(n+ 1,j)j(范围k(1)))

对于n的范围(1, 11):打印([t,n,k)k(在范围(1,n+1)])英德拉尼尔-豪什08月11日2017

(r)

t<函数(n,k){

S<数值()

对于(j在0:k)s <-c(s,(- 1)^ j *(kj)^ n*选择(n+1,j))

返回(和(s))

}

(n在1:10){

对于(k在1:n)打印(t(n,k))

}英德拉尼尔-豪什08月11日2017

(GAP)平坦(列表(1…10),n->列表([ 1…n]),k->和([0…k],j->(-1)^ j *(kj)^ n*二项式(n+1,j*ij);阿尼鲁6月29日2018

(SAGE)[〔(1)^ j*二项(n+1,j)*(k j)^ n,j(0…k)〕中的k为(1…n),n为(1…12)格鲁贝尔2月23日2019

(岩浆)欧拉:= Func<n,k((+(1)^ j*二项式(n+1,j)*(k j+1)^ n:j在[0…k+1 ] ]);[[欧拉(n,k):k在[0…n-1 ] ]中:n在[1…10 ] ];格鲁贝尔4月15日2019

关键词

诺恩塔布本征核心改变

作者

斯隆3月15日1996

扩展

多亏了米迦勒索摩斯征求意见。

进一步评论克里斯蒂安·鲍尔5月12日2000

地位

经核准的

A151519 a(n)=3*a(n-1)-a(n-2),具有a(0)=a(1)=1。
(原M1439 N0569)
+ 0
三百一十一
1, 1, 2、5, 13, 34、89, 233, 610、1597, 4181, 10946、28657, 75025, 196418、514229, 1346269, 3524578、9227465, 24157817, 63245986、165580141, 433494437, 1134903170、2971215073, 7778742049, 20365011074、53316291173, 139583862445, 365435296162、956722026041 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

这是斐波那契数列的二分之一。A000 00 45. A(n)=f(2×n-1),具有f(n)=A000 00 45(n)。

具有n + 1个边和高度最多3的有序树的数目(高度=从根开始的最大路径上的边数)。区域n + 1的有向列凸多面体的数目。长度为2n+2的非减Dyk路径数。-埃米里埃德奇7月11日2001

n>1的条件是:5x^ 2-4是正方形。-班诺特回旋曲,APR 07 2002

A(0)=A(1)=1,A(n+1)=大于第n部分和的最小斐波那契数。-阿马纳思穆西10月21日2002

τ*a(n)的小数部分单调递减到零。-班诺特回旋曲,01月2日2003

n层(φ^ 2×n ^ 2)-底(φn)^=2=1,其中φ=(1+qRT(5))/2。-班诺特回旋曲3月16日2003

左侧面积为1的水平凸多面体的数目。

字母{1,2,3}的长度为31的避免词的数目不在3结束。(例如,在n=3时,我们有11111个2121122132121222222223 2131322和332)。A028 85. -乔恩佩里,八月04日2003

给出所有解>1的方程:x^ 2=天花板(x*r*楼层(x/r)),其中r=φ=(1 +qRT(5))/2。-班诺特回旋曲2月24日2004

A(1)=1,A(2)=2,那么最小数目使得任何项的平方小于其邻接的几何平均值。a(n+1)*a(n-1)>a(n)^ 2。-阿马纳思穆西,APR 06 2004

PB方程B(n)^ 2 - 5*a(n+1)^ 2=-4与B(n)==4的所有正整数解A000 28 78(n),n>=0。-狼人郎8月31日2004

A(n)=L(n,3),其中L定义为A10829也见A000 28 78对于L(n,3)。-莱因哈德祖姆勒,军01 2005

与PISOT序列E(2,5)基本相同。

(n+1)的排列数避免了321和3412。例如,A(3)=13,因为避免(321)和3412的[4 ]的排列是1234, 2134, 1324、1243, 3124, 2314、2143, 1423, 1342、4123, 3142, 2413、2341。-布丽姬·特纳8月15日2005

在[n+3]上避免循环排列的1324个数。

Markoff数的一个子集A00 2559-Robert G. Wilson五世,10月05日2005

(x,y)=(a(n),a(n+1))是x/(yz)+y/(xz)+z/(y)=3的z=1的解。-楼层货车拉莫恩11月29日2001

(S(0),S(1),…,S(2n))的数目,使得0×S(I)<5,以及S(I)-S(I-1)=1,对于i= 1,2,…,2n,S(0)=1,S(2n)=1。-赫伯特科西姆巴6月10日2004

使用插值零点,在PY4的起始节点或结束节点计数长度N的封闭步长。A(n)计数P24的起始节点或结束节点的长度2n的闭合步长。序列0、1、0、2、0、5、…在PY4的起始节点和第二节点之间计数长度N。-保罗·巴里1月26日2005

A(n)是n个边上包含一个非叶顶点的有序树的数目,所有的叶子都是叶子(每个有序树必须包含至少一个这样的顶点)。例如,A(0)=1,因为没有边的树的根不被认为是叶子,并且“所有的孩子都是叶子”的条件被根满足空,并且(4)=13对4个边上的所有14个有序树计数。A000 0108除外(忽略点)

..…

它有两个这样的顶点。-戴维卡兰02三月2005

面积n的有向列凸多面体的数目。例如:A(2)=2,因为我们有1×2和2×1矩形。-埃米里埃德奇7月31日2006

与延伸的(1,1)-纳米管中六边形数相同的聚苯醚中KeKul结构的数目相同。见LkovITs和D. Janezic的第411页表1。-帕塔萨拉西纳姆8月22日2006

3-非交换变量中对称多项式n次的自由生成器数-迈克扎布罗基10月24日2006

逆:用φ=(Sqt(5)+1)/2,Log-phi((RSRT(5)A(n)+SqRT(5 A(n)^ 2~4))/2)=n=n>1。- David W. Cantrell(DWChanRell(AT)SigMax.net),2月19日2007

考虑一个教一个学生的老师,然后他发现他可以教两个学生,而原来的学生学教一个学生。因此,每一代人都可以教更多的学生,然后他可以。A(n)从A(2)开始给出新的学生/教师的总数(见程序)。-本·保罗·瑟斯顿4月11日2007

Diophantine方程A(n)=M有一个解(对于m>1)IFF上限(ARSHINH(Sqt(5)*m/2)/log(φ))!=天花板(ARCOSH(Sqt(5)*m/2)/log(φ)),其中φ是黄金比率。一个等价条件是A130255(m)=A130256(m)。-菲舍尔5月24日2007

a(n+1)=b^(n)(1),n>=0,Wythoff互补A(n)====1。A000 0201(n)和b(n)=A00 1950(n)序列。参见下面的W. Lang链接A135817对于数字的WythOf表示(A为1,B为0,参数1省略)。例如,2=“0”,5=“00”,13=“000”,……,在WythOf代码中。

Fibonacci序列对奇数索引非零项(1, 2, 5,13,…)和甚至索引项(1, 3, 8,21,…)的二等分可以表示为伴随三角形的行和。A1400 68A1400. -加里·W·亚当森04五月2008

A(n)是[n](以标准增加形式)划分的π的数目,使得平坦[Pi]是(2-1-3)-避免排列。例子:A(4)=13计数所有的15个分区[4 ],除了13/24和13/2 / 4。在这里,“标准增加形式”意味着条目在每个块中增加,并且块以其第一个条目的递增顺序排列。也避免3-1-2的数量。-戴维卡兰7月22日2008

设P为部分和算子A000 0 12(1;1,1;1,1,1;…)A15363=m,部分和移位算子。从任意随机序列S(n)开始,运算M*S(n)、-> M*ANS、-> P*AN等(或从p开始)的迭代将快速收敛于(1, 2, 5,13, 34,…)和(1, 1, 3,8, 21,…)的两个序列极限环。-加里·W·亚当森12月27日2008

4*a(n)=A153266(n)+A153267(n),除初始术语外。-克赖顿戴蒙,02月1日2009

SuMu{{N>=0 } AATN(1/A(n))=(3/4)π。-奥利弗·拉芬特2月27日2009

一次取斐波纳契数的平方和2。偏移1。A(3)=5。- Al Hakanson(HAKUU(AT)Gmail),5月27日2009

节奏音乐的音乐成分在N-1单位时间内的数量。例如:A(4)=13;事实上,由R A表示在一个1单位的时间周期内,而n(j)是在j单位的周期上的一个注记(n为[1 ]):NNN,NNR,NRN,RNN,RNR,RNR,RRN,RRR,N[4] R,RN[2 ],NN[2 ],N[2 ] N,N[3 ])(参见J.Grh参考,pp.43—48)。- Juergen K. Groh(Jurr.Grh(AT)LHStase.com),1月17日2010

在每个列中给定一个无限的下三角矩阵M(1, 2, 3,…),但最左边的列向上移动一行。然后(1, 2, 5,…)= Limi{{N-> INF}M^ n(参见)。A144257加里·W·亚当森2月18日2010

作为分数:8/71=0.112676或98/9701=0.010102051334…(没有初始项的序列的分数9/71或99/9701)。19/71或199/9701的顺序相反。-马克多尔斯5月18日2010

对于n>=1,A(n)是2n-1的成分(有序整数分区)的数目奇数个奇数部分。O.g.f.:(X-X^ 3)/(1-3x^ 2 +x^ 4)=a(a(x)),其中a(x)=1(/ 1-x)-1(/ 1-x^ 2)。

对于n>0,在主对角线上的(1,3,3,3……)上的n×n三对角矩阵的行列式为(1,3,3,3,…),其余零点。-加里·W·亚当森6月27日2011

GI3和,参见A180662三角形的A10829A065 941在没有A(0)的情况下,等于这个序列的条件。-约翰内斯·梅杰8月14日2011

长度等于反射长度的排列数。-布丽姬·特纳2月22日2012

具有0和1的非同构分次偏序集的数目和秩n+1的一致Hase-图,每个秩之间的精确元素2在0和1之间。(统一用于零售,塞尔科尼克和Wilson。在斯坦利的意义上说,所有的最大链都具有相同的长度。

序列的Hankel变换和省略A(0)的序列是序列。A019590(n)。这是具有该属性的唯一序列。-米迦勒索摩斯03五月2012

A(n)=2 ^ n(n;1/2),其中a(n;d)。n=0,1,…,D,表示所谓的δ-斐波那契数(见Wistula等)。论文和评论A000 00 45-罗马威特拉7月12日2012

Dyk路径的长度为2n,高度为3。-伊莎姆格塞尔,八月06日2012

皮萨诺周期长度:1, 3, 4、3, 10, 12、8, 6, 12、30, 5, 12、14, 24, 20、12, 18, 12、9, 30、…-马塔尔8月10日2012

序列中的素数分别为2, 5, 13、89, 233, 1597、28657、…(显然)A000 54 78没有3)。-马塔尔09五月2013

A(n+1)是Pascal三角形的上升对角线的总和,作为正方形。A085 812. 例如,13=1+5+6+1。-约翰莫洛卡赫9月26日2013

A(n)是3×3矩阵中任何一个(1, 1, 1;1, 1, 1;0, 1, 1)或[1, 1, 1;0, 1, 1;1, 1, 1 ]或[1, 1, 0;1, 1, 1;1, 1, 1 ]或[1, 0, 1;1, 1, 1;y]的n次幂的左上项。-马塔尔,03月2日2014

除初始项外,x(或y)的正值满足x^ 2 -3xy+y^ 2+1=0。-柯林巴克,04月2日2014

除初始项外,x(或y)的正值满足x^ 2 -18xy+y^ 2+64=0。-柯林巴克2月16日2014

x的正值,使得y满足x ^ 2 -XY-Y^ 2 - 1=0。-拉尔夫斯蒂芬6月30日2014

1 = a(n)*a(n+1)-a(n+1)*a(n+1),用于Z.中的所有n:米迦勒索摩斯,朱尔08 2014

A(n)也是在古典意义上同时避免231, 312和321的排列的数目,它可以被实现为具有2n-1个节点的日益严格的二叉树上的标签。A245904有关增加严格二叉树的更多信息。-曼达里尔,八月07日2014

(1,a(n),a(n+1)),n>=0,是Markoff三元组(参见A00 2559Robert G. Wilson五世《OCT 05》2005评论。在马尔科夫树中,它们给出一个外部分支。证明:A(n)*A(n+1)- 1=1A000(2×n)^ 2=(a(n+1)-a(n))^=a(n)^ 2 +a(n+1)^ 2 - 2*a(n)*a(n+1),因此1 ^ 2 +a(n)^ +a(n+1)^ ==**a(n)*a(n+i)。-狼人郎1月30日2015

对于n>0,A(n)是序列中没有的最小正整数,使得A(1)+A(2)+…+A(n)是斐波那契数。-德里克奥尔,军01 2015

在所有Fibonacci立方体中,n-2(n>=3)的顶点数见Klavzar、MelaLad和Pekovsk。-埃米里埃德奇6月22日2015

除了第一个术语,这个序列可以由阿扎里安的论文的推论1(II)在该序列的参考文献中生成。-穆罕默德·K·阿扎里安,朱尔02 2015

正是f(n)^ k+f(n+1)^ k也是Fibonacci数k>1,见卢卡和YoONO。-查尔斯,八月06日2015

A(n)=MA(n)- 2*(- 1)^ n,其中MA(n)正好是具有边长度的四边形的最大面积,其为L(n-2)、L(n-2)、f(n+1)、f(n+1),对于n> 1和L(n)=n(n)。A000 0 32(n)。-贝尔戈1月28日2016

A(n)是没有谷的半周长N+ 1的条形图的数目(即凸形图)。等价地,半周长N+ 1的条形图的数目正好有1个峰值。例子:A(5)=34,因为在35(=)A082582A(6)半周长6的条形图只有对应于[2,1,2]的一个有谷。-埃米里埃德奇8月12日2016

整数k,使得k*phi的小数部分小于1 /k。参见Byszewski链接P 2。-米歇尔马库斯12月10日2016

长度为n-1的字数超过{0,1,2,3},其中二进制子字出现在形式10…0中。-米兰扬吉克1月25日2017

用A(0)=0,这是带有Riordan矩阵的Riordan变换。A097 805(Fibonacci序列的相关类型)A000 00 45. 见2月17日2017评论A097 805. -狼人郎2月17日2017

序列数(E(1),…,E(n)),0 <=E(i)< i,使得E(I)<E(j)<E(k),没有三I i〔马丁内兹和萨维奇,2.12〕埃里克·M·施密特7月17日2017

避免模式321和2341的[N]排列的数目。-柯林辩护律师5月11日2018

该序列解决了以下问题:找到所有对(i,j),使i除以1 +j^ 2和j除以1 +i ^ 2。事实上,对(A(n),A(n+1)),n>0,都是解。-山田明弘12月23日2018

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与切比雪夫多项式相关的序列的索引条目。

常系数线性递归的索引项,签名(3,- 1)

“核心”序列的索引条目

公式

G.f.:(1-2-x)/(1-3*x+x^ 2)。

G.f.:1 /(1 - x/(1 - x/(1 - x)))。-米迦勒索摩斯03五月2012

a(n)=3*a(n-1)-a(n-2)=A000(n+1)- 2**A000(n)。

Z.中所有n的a(n)=a(1-n)

A(n+2)=(a(n+1)^ 2+1)/a(n),a(1)=1,a(2)=2。-班诺特回旋曲8月29日2002

A(n)=(φ^(2n-1)+φ^(1-2n))/qRT(5),其中φ=(1+qRT(5))/2。-米迦勒索摩斯10月28日2002

A(n)=A000 75 98(n-1)+A000 75 98(n)=A000 00 45(n-1)^ 2+A000 00 45(n)^ 2=f(n)^ 2+f(n+1)^ 2。-亨利·伯顿利,09月2日2001

A(n)=SuMu{{K=0…n}二项式(n+k,2k)。-伦斯迈利,十二月09日2001

A(n)~(1/5)*SqRT(5)*φ^(2×n+1)。- Joe Keane(JGK(AT)JGK.org),5月15日2002

A(n)=SuMu{{K=0…n} C(n,k)*f(k+ 1)。-班诺特回旋曲,SEP 03 2002

设q(n,x)=SuMu{{i=0…n} x^(n- i)*二项式(2×n- i,i);然后q(n,1)=a(n)(此注释与L.S笑Y基本相同)。-班诺特回旋曲11月10日2002

A(n)=(1/2)*(3×A(n-1)+qRT(5×A(n-1)^ 2-4))。-班诺特回旋曲4月12日2003

由t(i,1)=t(1,j)=1,t(i,j)=max(t(i-1,j)+t(i-1,j-1);t(i-1,j-1)+t(i,j-1)”定义的数组的主对角线。-班诺特回旋曲,八月05日2003

汉克尔变换AA222212. 例如,DET(〔1, 1, 3;1, 3, 10;3, 10, 36〕)=5。-菲利普德勒姆1月25日2004

解x>0到方程楼层(x*r*楼层(x/r))=楼层(x/r*楼层(x*r)),当r=φ时。-班诺特回旋曲2月15日2004

A(n)=SuMu{{i=0…n}二项式(n+i,n-1)。-乔恩佩里08三月2004

A(n)=S(n-1,3)-s(n-2,3)=t(2×n-1,qRT(5)/2)/(qRT(5)/2),s(n,x)=u(n,x/2),RESP。T(n,x),Chebyshev的多项式的第二,RESP。第一类。见三角形A04310,RESP。A053120. -狼人郎8月31日2004

A(n)=((- 1)^(n-1))*s(2*(n-1),i),具有第二类Chebyshev多项式的虚数单位I和S(n,x)=u(n,x/2);A04310. -狼人郎8月31日2004

A(n)=SuMu{{1}= Iy1<<=Iy2-班诺特回旋曲10月14日2004

a(n)=a(n-1)+和{i=0…n-1 } a(i)*a(n)=f(2×n+ 1)*SuMi{{i=0…n-1 } A(i)=f(2×n)。- Andras Erszegi(ErsZeig.安德拉斯(AT)Chel.Hu”,6月28日2005

序列的第i项是2×2矩阵M=((1, 1),(1, 2))的第i次幂的入口(1, 1)。-西蒙妮10月15日2005

a(n-1)=(1/n)*SuMu{{K=0…n} b(2k)*f(2n-2k)*二项式(2n,2k),其中b(2k)是(2k)-Th伯努利数。-班诺特回旋曲02月11日2005

A(n)=A055 105(n,1)+A055 105(n,2)+A055 105(n,3)=A055 106(n,1)+A055 106(n,2)。-迈克扎布罗基10月24日2006

A(n)=(2/平方Rt(5))*COSH((2N-1)*PSI),其中PSI=log(φ)和φ=(1 +SqRT(5))/2。-菲舍尔4月24日2007

a(n)=(φ+1)^ n-φ*A000(n)φ=(1 +SqRT(5))/ 2。-莱因哈德祖姆勒11月22日2007

a(n)=2*a(n-1)+2*a(n-2)-a(n-3);a(n)=((qRT(5)+5)/10)*(3/2 +qRT(5)/2)^(n-2)+((-qRT(5)+5)/10)*(3/2 -qRT(5)/^)^(n-2)。-安东尼奥阿尔伯托奥利维亚雷斯3月21日2008

A(n)=A147703(n,0)。-菲利普德勒姆11月29日2008

A(n)=-a(n-1)+11*a(n-2)-4*a(n-3),这个公式(这是该序列给出的两个第三阶线性递推关系之一)是生成x=1.5′i+0.i′++25(i+jj+kk+ee)和y=0.5′i+1.5 i′+25(i+jj+kk+ee)的结果。-克赖顿戴蒙,02月1日2009

用x,y定义为x=(f(n)f(n+1)),y=(f(n+1)f(n+1)),其中f(n)是第n个斐波那契数(1)A000 00 45),它遵循一个(n+1)=x.y′,其中y′是y(n>=0)的转置。-K.V.IYER4月24日2009

A(n)=斐波那契(2×n+2)mod斐波那契(2×n),n>1。-加里德莱夫斯11月22日2010

A(n)=(斐波那契(n-1)^ 2+斐波那契(n)^ 2+斐波那契(2n-1))/2。-加里德莱夫斯11月22日2010

逆变换是A000 7051. 第一个区别是A000. 部分和是A055 588. 二项式变换是A093129. 二项式变换A000 00 45(n-1)。-米迦勒索摩斯03五月2012

A(n)=(斐波那契(n+1)^ 2+斐波那契(n-3)^ 2)/5。-加里德莱夫斯12月14日2012

G.f.:1 +x/(q(0)-x),其中q(k)=1×x/(x*k+1)/q(k+1);(递归定义的连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克2月23日2013

G.f.:(1-2-x)*g(0)/(2-3×x),其中G(k)=1+1 /(1×x(5×K-9)/(x*(5×K-4)-6/g(k+1)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克7月19日2013

G.f.:1 +x*(1-x^ 2)*q(0)/2,其中q(k)=1+1 /(1×x(4×k+2+2×x -x 2)/(x*(4*k+,+ *×x -x ^)+y/q(k+x)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克9月11日2013

G.f.:q(0,u),其中u=x/(1-x),q(k,u)=1+u ^ 2+(k+2)*u-u*(k+1 +u)/q(k+1);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克,10月07日2013

SuMu{{N>=2 } 1 /(a(n)- 1 / a(n))=1。与…比较A000A000 7805A097 843. -彼得巴拉11月29日2013

设F(n)为第n个斐波那契数,A000 00 45(n),L(n)是第n个卢卡斯数,A000 0 32(n)。然后对于n>0,A(n)=f(n)*L(n-1)+(- 1)^ n。查利玛丽恩,01月1日2014

A(n)=A35831(n,0)。-菲利普德勒姆05三月2014

A(n)=(L(2×n+4)+L(2×N-6))/L为L(n)=25A000 0 32(n)。-贝尔戈12月30日2014

A(n)=(L(n-1)^ 2+(n)^ 2)/L=L(n)=5A000 0 32(n)。-贝尔戈12月31日2014

A(n)=(L(n-2)^ 2+L(n+1)^ 2)/l,L(n)=10A000 0 32(n)。-贝尔戈10月23日2015

a(n)=3×f(n-1)^ 2+f(n-3)*f(n)- 2*(- 1)^ n。贝尔戈2月17日2016

a(n)=(f(n-1)*l(n)+f(n)*l(n-1))/ 2。-贝尔戈3月22日2016

E.g.f.:(2×EXP(Sqt(5)*x)+ 3 +SqRT(5))*EXP(-X*(SqRT(5)-3)/2)/(5±SqRT(5))。-伊利亚古图科夫基,朱尔04 2016

例子

A(3)=13:有14个有4个边的有序树,除了4条边的路径外,所有的树最多有3个。

G.F.=1+x+2×x ^ 2+5×x ^ 3+13×x ^ 4+34×x ^ 5+89×x ^ 6+233×x ^+++…

枫树

A151519=-(- 1 +Z)/(1-3*Z+Z** 2);西蒙·普劳夫在他的1992篇论文中,给出了没有初始1的序列。

A151519记住:如果n=0,则n=1,然后1 ELIF n=1,然后1 ELIF n>=2,然后3*PROCEND(N-1)-PROCEND(N-2)FI:结束:SEQ(A151519(n),n=0…28);约翰内斯·梅杰8月14日2011

Mathematica

斐波那契/ @(2范围〔29〕- 1)(*)Robert G. Wilson五世,OCT 05 2005*)

线性递归[ { 3,- 1 },{ 1, 1 },29〕(*)Robert G. Wilson五世6月28日2012*)

A[n]:=用[{C= SqRT〔5〕/ 2 },切比雪夫[ 2 N-1,C]/C];(*)米迦勒索摩斯,JUL 08 2014*)

系数列表[[(1 -2x)/(1 -3x+x^ 2),{x,0, 30 }],x](*)Robert G. Wilson五世,FEB 01 2015*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=斐波那契(2×n-1)};米迦勒索摩斯7月19日2003*

(PARI){a(n)=真(四元(5)^(2×n))};/*米迦勒索摩斯7月19日2003*

(PARI){A(n)=SUST(PotCheBi(n)+ PotCheBi(n-1),x,3/2)* 2/5 };/*米迦勒索摩斯7月19日2003*

(SAGE)[LuxasNoMulb1(n,3, 1)-LuxasnNo.1(n-1,3, 1)n在XRead(0, 30)]中的应用零度拉霍斯4月29日2009

(哈斯克尔)

A000 1519 n=a00 1519i列表!n!

AA151519LIST=1:ZIPOP(-)(尾部AA066X列表)A00

——莱因哈德祖姆勒1月11日2012

AA151519yList= 1:F A000 90045列表,其中F(*:x:xs)=x:f xs

——莱因哈德祖姆勒,八月09日2013

(极大值)A〔0〕:1元A〔1〕:1元A[n]:=3*a[n-1 ] -a[n-2 ] $MaKelista(a[n],n,0, 30);/*马丁埃特尔11月15日2012*

(岩浆)〔1〕[〔卢卡斯(2×N)-斐波那契(2×N)〕/ 2∶N〔1〕50〕;文森佐·利布兰迪,朱尔02 2014

(GAP)

a=〔1, 1〕;对于n在[3…10 ^ 2 ]中做[n]:=3*a[n-1 ] -a[n-2 ];阿尼鲁9月27日2017

交叉裁判

斐波那契A000 00 45=这个序列的并集A000.

囊性纤维变性。A000 1653A055 105A055 106A055 107A07664A101368A12429A12429A12494A12495A1400A15363A153266A153267A144257A211216A00 2559A082582A.

A(n)=A060920(n,0)。

数组的行3A09454.

等于A000 1654(n+1)-A000 1654(n-1),n>0。

A1223 67是另一个版本。逆序列A130255A130256. 行和A1400 68