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显示找到的1090个结果中的1-10个。 第页12 4 5 6 7 8 9 10...109
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A179407号 值x表示正整数x的五次幂和整数y的平方之间的正距离d的最小值记录,例如d=x^5-y^2(x!=k^2和y!=k*5)。 +0个
24
8, 55, 76, 377, 430, 499, 655, 804, 1827, 5350, 10805, 15433, 22108, 44729, 44817, 96001, 747343, 748635, 952463, 7626590, 10741787, 12798893, 14957531, 15873532 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
当x=k^2和y=k^5时,距离d等于0。
有关d值,请参见A179406号.
有关y值,请参见A179408号.
推测(来自阿图尔·贾辛斯基):
对于任何正数x>=A179407号(n) ,x的五次幂与任意y的平方之间的距离d不能小于A179406号(n) ●●●●。
链接
J.Blass,丢番图方程Y^2+k=X^5的一个注记,数学。公司。1976年,第30卷,第135号,第638-640页。
A.Bremner,关于方程Y^2=X^5+k《实验数学》2008年第17卷,第3期,第371-374页。
配方奶粉
a(n)^5-A179408号(n) ^2个=A179406号(n) ●●●●。
数学
最大值=1000;vecd=表[10^100,{n,1,max}];vecx=表格[10^100,{n,1,max}];vecy=表格[10^100,{n,1,max}];len=1;Do[m=地板[(n^5)^(1/2)];k=n^5-m^2;如果[k!=0,ile=0;做[If[vecd[[z]]<k,ile=ile+1],{z,1,len}];len=ile+1;vecd[[len]]=k;vecx[[len]]=n;vecy[[len]]=m],{n,1,96001}];dd={};xx={};yy={};执行[AppendTo[dd,vecd[[n]]];附加到[xx,vecx[[n]]];附加到[yy,vecy[[n]]],{n,1,len}];xx个(*阿图尔·贾辛斯基2010年7月13日*)
交叉参考
关键词
非n,未经编辑的
作者
阿图尔·贾辛斯基2010年7月13日
状态
经核准的
A179408号 值y表示正整数x的五次幂和整数y的平方之间的正距离d的最小值记录,例如d=x^5-y^2(x!=k^2和y!=k*5)。 +0个
23
181, 22434, 50354, 2759646, 3834168, 5562261, 10980023, 18329057, 142674503, 2093555387, 12135618855, 29588700403, 72673092233, 423129175811, 425213412449, 2855547523353, 482836315990072, 484925830443335 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
当x=k^2和y=k^5时,距离d等于0。
有关d值,请参见A179406号.
有关x值,请参见A179407号.
推测(来自阿图尔·贾辛斯基):
对于任何正数x>=A179407号(n) ,x的五次幂与任意y的平方之间的距离d不能小于A179406号(n) ●●●●。
链接
J.Blass,丢番图方程Y^2+k=X^5的一个注记,数学。公司。1976年,第30卷,第135号,第638-640页。
A.Bremner,关于方程Y^2=X^5+k《实验数学》2008年第17卷,第3期,第371-374页。
配方奶粉
A179407号(n) ^5-a(n)^2=A179406号(n) ●●●●。
数学
最大值=1000;vecd=表[10^100,{n,1,max}];vecx=表格[10^100,{n,1,max}];vecy=表格[10^100,{n,1,max}];len=1;Do[m=地板[(n^5)^(1/2)];k=n^5-m^2;如果[k!=0,ile=0;做[If[vecd[[z]]<k,ile=ile+1],{z,1,len}];len=ile+1;vecd[[len]]=k;vecx[[len]]=n;vecy[[len]]=m],{n,1,96001}];dd={};xx={};yy={};执行[AppendTo[dd,vecd[[n]]];附加到[xx,vecx[[n]]];附加到[yy,vecy[[n]]],{n,1,len}];年(*阿图尔·贾辛斯基2010年7月13日*)
交叉参考
关键词
非n,未经编辑的
作者
阿图尔·贾辛斯基2010年7月13日
状态
经核准的
160464年 Eta三角形。 +0个
22
-1, -11, 2, -114, 29, -2, -3963, 1156, -122, 4, -104745, 32863, -4206, 222, -4, -3926745, 1287813, -184279, 12198, -366, 4, -198491580, 67029582, -10317484, 781981, -30132, 562, -4 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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2,2
评论
ES1矩阵系数由ES1[2*m-1,n]=2^(2*m-1)*int(y^(2%m-1)/(cosh(y))^(2*n),y=0..无穷大)/(2*m-1)定义!对于m=1、2、3。。n=1,2,3。
这个定义导致ES1[2*m-1,n=1]=2*eta(2*m-1)和递归关系ES1[2*1,n]=((2*n-2)/(2*n-1))*(ES1[2*.m-1,n-1]-ES1[2*m-3,n-1]/(n-1)^2),我们用它将ES1矩阵系数的定义扩展到m=0,-1,-2。我们发现,对于n=1,2,…,ES1[-1,n]=0.5。通常,eta(m)=(1-2^(1-m))*zeta(m)与eta(米)是Dirichlet eta函数,zeta(米)则是Riemann zeta函数。
当m=1,2,3,..时,ES1矩阵列中的系数,n=2,3,4,可以用多项式GF(z,n)生成,对于该多项式,我们发现了以下一般表达式GF(z;n)=((-1)^(n-1)*r(n)*CFN1(z,n)*GF(x;n=1)+ETA(z,m))/p(n)。
CFN1(z,n)多项式取决于中心阶乘数A008955号.
ETA(z,n)是导致ETA三角形的ETA多项式。
埃塔多项式的零模式类似于不明飞行物。这些模式类似于Zeta、Beta和Lambda多项式的模式,参见A160474号,A160480型A160487号.
第一个Maple算法生成Eta三角形的系数。第二个Maple算法生成m=0,-1,-2,-3,…的ES1[2*m-1,n]系数。
M(n)序列,见第二个Maple算法,导致Gould序列A001316号和一个类似Taylor级数tan(x)分母的序列,A156769号(n) ●●●●。
我们的一些结果是基于数值证据的推测,特别是A160466号.
参考文献
Mohammad K.Azarian,问题1218,《Pi Mu Epsilon杂志》,第13卷,第2期,2010年春季,第116页。解决方案发表于2010年秋季第13卷第3期,第183-185页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年,第23章,第811-812页。
Johannes W.Meijer,Eta、Zeta、Beta和Lambda多项式的零点,jpg格式pdf格式2013年3月3日。
J.W.Meijer和N.H.G.Baken,指数积分分布《统计与概率快报》,第5卷,第3期,1987年4月。第209-211页。
埃里克。W.Weisstein,Dirichlet Eta函数,Wolfram MathWorld。
配方奶粉
我们发现了Eta三角形系数Eta(n,m)=q(n)*(-1)*Eta(n-1,m-1)+(n-1)^2*Eta。。。m=2,3,具有
q(n)=1+(-1)^(n-3)*(楼层(log(n-1)/log(2))-楼层(log(n-2)/log(2)),对于n=3,4。。。。
请参见A160465型对于ETA(n,m=1),进一步,对于n=2,3,…,ETA(n,n)=0。。。。
矩阵列中系数的生成函数GF(z;n)定义为
GF(z;n)=sum_{m>=1}ES1[2*m-1,n]*z^(2*m-2),其中n=1,2,3。。。。这导致
GF(z;n=1)=(2*log(2)-Psi(z)-Psi(-z)+Psi(1/2*z)+Psi(-1/2*z));Psi(z)是指地黄功能。
GF(z;n)=((2*n-2)/(2*n-1)-2*z^2/((n-1)*。
我们发现GF(z;n),n=2,3。。。,以下通用表达式:
GF(z;n)=((-1)^(n-1)*r(n)*CFN1(z,n)*GF(z;n=1)+ETA(z,n))/p(n)
r(n)=2^楼层(log(n-1)/log(2)+1)和
p(n)=2^(-GCS(n))*(2*n-1)!具有
GCS(n)=log(1/(2^(-(2*(n-1)-1-层(log(n-1)/log(2))))))/log(2)。
例子
n=2,3,..三角形ETA(n,m)的前几行,。。m=1,2,。。。
[ -1]
[ -11, 2]
[ -114, 29, -2]
[ -3963, 1156, -122, 4].
前几个ETA(z,n)多项式是
预计到达时间(z,n=2)=-1;
预计到达时间(z,n=3)=-11+2*z^2;
预计到达时间(z,n=4)=-114+29*z^2-2*z^4。
前几个CFN1(z,n)多项式是
CFN1(z,n=2)=(z^2-1);
CFN1(z,n=3)=(z^4-5*z^2+4);
CFN1(z,n=4)=(z^6-14*z^4+49*z^2-36)。
前几个生成函数GF(z;n)是:
GF(z;n=2)=((-1)*2*(z^2-1)*GF(z;n=1)+(-1))/3;
GF(z;n=3)=(4*(z^4-5*z^2+4)*GF(z;n=1)+(-11+2*z^2))/30;
GF(z;n=4)=((-1)*4*(z^6-14*z^4+49*z^2-36)*GF(z;n=1)+(-114+29*z*2-2*z^4))/315。
MAPLE公司
nmax:=8;c(2):=-1/3:对于n从3到nmax do c(n):=(2*n-2)*c(n-1)/;p(n):=2^(-GCS(n-1))*(2*n-1)!;预计到达时间(n,1):=p(n)*c(n);ETA(n,n):=0 end do:mmax:=nmax:对于m从2到mmax do,对于n从m+1到nmax do q(n):=(1+(-1)^,m),m=1..n-1),n=2..nmax);
#结束第一个程序。
nmax1:=20;m: =1;ES1行:=1-2*m;使用(组合):cfn1:=过程(n,k):和((-1)^j*stirling1(n+1,n+1-k+j)*stirling 1(n+1,n+1-k-j),j=-k.k)结束过程:mmax1:=nmax1:对于m1从1到mmax1的m1,做M(m1-1):=2^(2*m1-2)/((2*m2-1)!);ES1[-2*m1+1,1]:=2*(1-2^(1-(1-2*m1)))*(-bernoulli(2*m1/(2*m2))od:对于从2到nmax1的n,对于从1到mmax1-n+1的m1,do执行ES1[1-2*m1,n]:=(-1)^(n-1)*M(n-1..n)od:od:seq(ES1[1-2*M,n],n=1.nmax1-M+1);
#结束第二个程序。
交叉参考
r(n)序列等于A062383号(n>=1)。
p(n)序列等于A160473型(n) (n>=2)。
GCS(n)序列等于Geometric Connell序列A049039号(n) ●●●●。
M(n-1)序列等于A001316号(n-1)/A156769号(n) (n>=1)。
q(n)序列导致A081729号和“八卦系列”A007456号.
右第一列等于A053644美元(n>=1)。
左第一列等于A160465型.
行总和相等A160466号.
CFN1(z,n)和CFN1(n,k)导致A008955号.
囊性纤维变性。A094665号160468英镑.
参考Zeta、Beta和Lambda三角形A160474号,A160480型160487英镑.
囊性纤维变性。A162440型(EG1矩阵)。
关键词
容易的,签名,表格,未经编辑的
作者
状态
经核准的
A156925号 与左列生成函数相关的FP2多项式A156920号三角形。 +0个
19
1, 1, 1, 1, 8, -11, -6, 1, 38, -108, -242, 839, -444, -180, 1, 144, -425, -7382, 48451, -96764, -2559, 257002, -312444, 88344, 30240, 1, 487, 720, -130472, 1277794, -4193514, -6504496 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,5
评论
FP2多项式出现在A156920号FP2可以用LHC序列的公式计算,参见156920英镑,以及生成函数GF2的一般结构公式,见下文。
FP2多项式的适当名称似乎是第二类花多项式,因为这些多项式的零模式看起来像花。FP2和FP1的零点模式,请参见A156921号,彼此非常相似。
可以在下面找到一个Maple程序,该程序为具有特定LHCnr的左手列生成GF2和FP2。LHCnr代表左侧列编号,从1开始。
链接
配方奶粉
G.f.:GF2(z;LHCnr)=FP2(z,LHCnr)/产品{m=1..LHCnr}(1-m*z)^(LHCnr-m+1)。
行和(n+1)=(-1)^(n)*2*(n+1”)*行总和(n);行总和(n=0)=1。
例子
FP2多项式系数的“三角形”的前几行。
在列中,z^m的幂系数,m=0,1,2,。。。,出现。
[1]
[1, 1]
[1, 8, -11, -6]
[1,38,-108,-242,839,-444,-180]
[1, 144, -425, -7382, 48451, -96764, -2559, 257002, -312444, 88344, 30240]
FP2多项式的系数矩阵。该矩阵列中的系数是z^m的幂,m=0,1,2,。。。
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 8 , -11, -6, 0, 0, 0]
[1,38,-108,-242,839,-444,-180]
前几个FP2多项式是:
FP2(z;LHCnr=1)=1
FP2(z;LHCnr=2)=(1+z)
FP2(z;LHCnr=3)=1+8*z-11*z^2-6*z^3
一些GF2(z;LHCnr)为:
GF2(z;LHCnr=3)=(1+8*z-11*z^2-6*z^3)/((1-z)^3*(1-2*z)^2*(1-3*z))
GF2(z;LHCnr=4)=(1+38*z-108*z^2-242*z^3+839*z^4-444*z^5-180*z^6)/(1-z)^4*(1-2*z)^3*(1-3*z)
MAPLE公司
LHCnr:=5;LHCmax:=(LHCnr)*(LHCn r-1)/2:RHCend:=LHCnr+LHCmax:对于从LHCn到RHCend的k,do对于从0到k的n,do S2[k,n]:=总和((-1)^(n+i)*二项式(n,i)*i^k/n!,i=0..n)结束do:G(k,x):=和(S2[k,p]*((2*p)/p!)*x^p/(1-4*x)^(p+1),p=0..k)/((-1)^;对于从0到nmax的n,do[n]:=系数(fx,x,n)/2^n结束do:LHC[n];=d[LHCnr-1]结束do:a:=n->LHC[n]:seq(a(n),n=LHCnr。。RHCend);对于从0到LHCmax的nx,do num:=排序(总和(A[t]*z^t,t=0..LHCmax)):nom:=乘积((1-u*z)^(LHCnr-u+1),u=1.LHCnr);LHCb:=系列(数量/名称,z,nx+1);y: =系数(LHCb,z,nx)-A[nx];x: =LHC[LHCnr+nx];A[nx]:=x-y;end-do:FP2[LHCnr]:=排序(num,z,升序);GenFun[LHCnr]:=FP2[LHCnr]/产品((1-m*z)^(LHCnr-m+1),m=1..LHCnr);
交叉参考
对于前几个GF2,请参见A050488号,A142965号,A142966号A142968号.
行和(n)=A156926号(n) ●●●●。
FP2术语的数量遵循“懒散餐饮者的顺序”A000124号.
关于GF2(z;LHCnr)分母中的多项式,请参见A157703型.
关键词
签名,标签,更多,未经编辑的
作者
状态
经核准的
A160487型 Lambda三角形 +0个
16
1, -107, 10, 59845, -7497, 210, -6059823, 854396, -35574, 420, 5508149745, -827924889, 41094790, -765534, 4620, -8781562891079, 1373931797082, -75405128227, 1738417252, -17219202, 60060 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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2,2
评论
LS1矩阵的系数由LS1[2*m,n]=int(y^(2*m)/(sinh(y))^(2*n-1),y=0..无穷大)/阶乘(2*m)定义,其中m=1,2,3。。n=1、2、3。。在n≤m的条件下。
这个定义导致LS1[2*m,n=1]=2*lambda(2*m+1),对于m=1,2,递推关系LS1[2*m,n]=((2*n-3)/(2*n-2))*(LS1[2xm-2,n-1]/(2xn-3)^2-LS1[2*.m,n-1])。通常lambda(m)=(1-2^(-m))*zeta(m)和zeta(m)是黎曼zeta函数。
这两个公式使我们能够确定所有整数m和所有正整数n的LS1[2*m,n]系数的值,但不是所有n的。如果我们选择LS1[m=0,n=1]=gamma,而gamma是Euler-Marcheroni常数,我们可以确定所有这些值。
对于m=0,1,2,..,LS1矩阵列中的系数,n=2,3,4,可以用GL(z;n)多项式生成,对于该多项式,我们发现了以下一般表达式GL(z;n)=(h(n)*CFN2(z);n)*GL(x;n=1)+LAMBDA(z;n))/p(n)。
CFN2(z;n)多项式取决于中心阶乘数A008956号.
LAMBDA(z;n)是导致LAMBDA三角形的LAMBDA多项式。
兰姆达多项式的零模式类似于不明飞行物。这些模式类似于Eta、Zeta和Beta多项式的模式,参见A160464号,A160474号A160480型.
第一个Maple算法生成Lambda三角形的系数。第二个Maple算法生成m=-1,-2,-3,…的LS1[2*m,n]系数。
我们的一些结果是基于数值证据的推测。
参考文献
Mohammad K.Azarian,问题1218,《Pi Mu Epsilon杂志》,第13卷,第2期,2010年春季,第116页。解决方案发表于2010年秋季第13卷第3期,第183-185页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年,第23章,第811-812页。
Johannes W.Meijer,Eta、Zeta、Beta和Lambda多项式的零点,jpg格式pdf格式2013年3月3日。
配方奶粉
我们发现n=3,4,…的Lambda三角形系数Lambda(n,m)=ZL(n)*(Lambda,n-1,m-1)-(2*n-3)^2*Lambda。。m=2,3。请参见A160488号对于LAMBDA(n,m=1),此外,对于n=2,3。
我们观察到ZL(n)=A160479号(n) 序列也统治着泽塔三角A160474号.
矩阵列中的系数的生成函数GL(z;n)由
GL(z;n)=总和(LS1[2*m-2,n]*z^(2*m-2),m=1..无穷大),其中n=1,2,3。
这个定义,以及我们选择的LS1[m=0,n=1]=gamma,导致GL(z;n=1)=-2*Psi(1-z)+Psi(1-(z/2))-(Pi/2)*tan(Pi*z/2)与Psi(z)digamma函数。此外,我们还发现GL(z;n)=GL(z;n-1)*(z^2/((2*n-2)*(2*n-3))-。LS1[-2,n]=(-1)^(n-1)*4*A058962号(n-1)*A002197号(n-1)/A002198号(n-1)对于n=1,2,具有A058962号(n-1)=2^(2*n-2)*(2*n-1)。
我们发现了GL(z;n)多项式的以下一般表达式,对于n=2,3。。
GL(z;n)=(h(n)*CFN2(z;n)*GL(z;n=1)+LAMBDA(z;n))/p(n)
h(n)=6*A160476号(n) 和p(n)=A160490型(n) ●●●●。
例子
n=2,3,..的三角形LAMBDA(n,m)的前几行,。。并且m=1,2,。。
[1]
[ -107, 10]
[59845, -7497, 210]
[ -6059823, 854396, -35574, 420]
前几个LAMBDA(z;n)多项式是
LAMBDA(z;n=2)=1
LAMBDA(z;n=3)=-107+10*z^2
兰伯达(z;n=4)=59845-7497*z^2+210*z^4
前几个CFN2(z;n)多项式是
CFN2(z;n=2)=(z^2-1)
CFN2(z;n=3)=(z^4-10*z^2+9)
CFN2(z;n=4)=(z^6-35*z^4+259*z^2-225)
前几个生成函数GL(z;n)是:
GL(z;n=2)=(6*(z^2-1)*GL(z,n=1)+(1))/12
德国劳埃德船级社(z;n=3)=(60*(z^4-10*z^2+9)*GL(z,n=1)+(-107+10*z*2))/1440
德国劳埃德船级社(z;n=4)=(1260*(z^6-35*z^4+259*z^2-225)*GL(z,n=1)+(59845-7497*z^2+210*z^4))/907200
MAPLE公司
nmax:=7;对于从0到nmax的n,do cfn2(n,0):=1:cfn2 1)/(2*k1))*(-1)^(k1+n)*cfn2(n-1,n-k1,n),k1=1..n)/(2*4^(n-1)*(2*n-1)!);LAMBDA(-2,n):=总和(2*(1-2^(2*k1-1))*(-bernoulli(2*k1)/(2*k1))*n-3):f(n):=Lcgz(n)-((2*n-3)/(2*n-2))*f(n-1)end do:对于从1到nmax的n do b(n):=denom(Lcgz(n+1))end do:对于n从1到nmax do b(n):=2*n*denom(Delta(n-1))/2^):=0 end do:对于从1到nmax的n do b(n):=(2*n)*(2*n-1)*denom(Delta(n-1)))/(2^(2*n)*(2*n-1))结束do:c(1):=b(1):对于n从1到nmax-1的do c(n+1):=lcm(c(n)*end do:对于n从1到nmax-1 do ZL(n+2):=cm(n+1)/cm(n)end do:对于m从2到mmax do,对于n从m+1到nmax do LAMBDA(n,m):=ZL(n)*(LAMBTA(n-1,m-1)-(2*n-3)^2*LAMBDA;seq(seq(LAMBDA(n,m),m=1..n-1),n=2..nmax);
#结束第一个程序。
nmax1:=10;m: =1;LS1行:=-2*m;对于从0到nmax1的n,执行cfn2(n,0):=1:cfn2))*(-伯努利(2*m1)/(2*m2))od:对于从2到nmax1的n,对于从1到mmax1-n+1的m1,执行LS1[-2*m1,n]:=总和((-1)^(k1+1)*cfn2(n-1,k1-1)*LS1[2*k1-2*n-2*m2,1],k1=1..n)/(2*n-2)!od:od:seq(LS1[-2*m,n],n=1..nmax1-m+1);
#结束第二个程序。
交叉参考
A160488号等于左第一列。
A160476号等于右边第一列和6*h(n)。
A160489号等于行和。
A160490型等于p(n)序列。
A160479号等于ZL(n)序列。
A001620号是Euler-Mascheroni常数γ。
LS1[-2,n]系数导致A002197号,A002198号A058962号.
LS1[-2*m,1]系数等于(-1)^(m+1)*A036282号/A036283号.
CFN2(z,n)和CFN2(n,k)导致A008956号.
参见Eta、Zeta和Beta三角形A160464号,A160474号160480英镑.
囊性纤维变性。A162448号(LG1矩阵)
关键词
未经编辑的,容易的,签名,表格
作者
约翰内斯·W·梅耶尔2009年5月24日,2012年9月18日
状态
经核准的
A156921号 与右列生成函数相关的FP1多项式A156920号三角形。 +0个
14
1, 1, 1, 1, -6, 1, 7, -79, 119, 126, -270, 1, 28, -515, 1654, 8689, -65864, 142371, -82242, -99090, 113400, 1, 86, -2255, 5784, 300930, -3904584, 20663714, -41517272, -80232259, 657717054 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,5
评论
FP1多项式出现在A156920号FP1可通过RHC序列的公式计算,参见A156920号,以及生成函数GF1的一般结构公式,见下文。
FP1多项式的适当名称似乎是第一类花多项式,因为这些多项式的零模式看起来像花。FP2的零点模式,请参见A156925号,和FP1彼此非常相似。
下面可以找到一个Maple程序,该程序为右列生成特定RHCnr的GF1和FP1。RHCnr代表右侧列编号,从1开始。
链接
配方奶粉
G.f.:GF1(z;RHCnr):=FP1(z,RHCnr)/产品((1-(2*m-1)*z)^(RHCnr+1-m),m=1..RHCnr.)
行总和(n)=(-1)^(1+(n+1)*(n+2)/2)*A098695号(n) ●●●●。
例子
FP1多项式系数的“三角形”的前几行。
在列中,z^m的幂系数,m=0,1,2,出现。
[1]
[1]
[1, 1, -6]
[1, 7, -79, 119, 126, -270]
[1, 28, -515, 1654, 8689, -65864, 142371, -82242, -99090, 113400]
FP1多项式的系数矩阵。该矩阵列中的系数是z^m的幂,m=0,1,2。
[1, 0 ,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0 ,0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 1, -6, 0 ,0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1,7,-79,119,126,-270,0,0,0]
[1, 28, -515, 1654, 8689, -65864, 142371, -82242, -99090, 113400]
前几个FP1多项式是:
FP1(z;RHCnr=1)=1
FP1(z;RHCnr=2)=1
FP1(z;RHCnr=3)=1+z-6*z^2
一些GF1(z;RHCnr)是:
GF1(z;RHCnr=3)=(1+z-6*z^2)/((1-5*z)*(1-3*z)^2*(1-z)^3)
GF1(z;RHCnr=4)=(1+7*z-79*z^2+119*z^3+126*z^4-270*z^5)/((1-7*z)*(1-5*z)^2*(1-3*z)|3*(1-z)^4)
MAPLE公司
RHCnr:=4:如果RHCnr=1,则RHCmax:=1;否则,RHCmax:=(RHCnr-1)*(RHCn)/2 end if:RHCend:=RHCnr+RHCmax:对于从RHCnr到RHCend的k,do对于从0到k的n,do S2[k,n]:=总和((-1)^(n+i)*二项式(n,i)*i^k/n!,i=0..n)结束do:G(k,x):=和(S2[k,p]*((2*p)/p!)*x^p/(1-4*x)^(p+1),p=0..k)/((-1)^;RHC[k-RHCnr+1]:=系数(fx,x,k-RHCn)/2^(k-RHCny)end do:a:=n->RHC[n]:序列(a(n),n=1..RHCend-RHCnr+1);对于从0到RHCmax的nx,do num:=排序(总和(A[t]*z^t,t=0..RHCmax));nom:=乘积((1-(2*u-1)*z)^(RHCnr-u+1),u=1..RHCnr):RHCa:=系列(num/nom,z,nx+1);y: =系数(RHCa,z,nx)-A[nx];x: =RHC[nx+1];A[nx]:=x-y;end-do:FP1[RHCnr]:=排序(num,z,升序);GenFun[RHCnr]:=FP1[RHCnr]/产品((1-(2*m-1)*z)^(RHCnr-m+1),m=1..RHCnr);
交叉参考
对于前几个GF1,请参见A000340号,A156922号,A156923号,156924英镑.
FP1术语的数量遵循三角形数字A000217号,这里有一个异常a(0)=1。
Abs(行总和(n))=A098695号(n) ●●●●。
关于GF1(z;RHCnr)分母中的多项式,请参见A157702型.
关键词
容易的,签名,标签,未经编辑的
作者
状态
经核准的
A156927号 与列的生成函数相关的FP3多项式A156921号矩阵。 +0个
14
1, 1, 1, -6, 29, 31, -283, 245, 298, -286, -108, 119, -3106, 29469, -104585, -220481, 3601363, -15487305, 34949165, -39821950, 4356011, 46881744, -51274736, 9005908, 14663472, -5205168, -1456704, -20736 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
有关FP1多项式的矩阵,请参见A156921号此矩阵列中的系数是z^m,m=0,1,2,…的幂。列编号为1、2、3。
GF3(z;m)生成z^m系数的序列。GF3(z;m)的一般结构如下所示。
GF3(z;m)分子中的FP3(z,m)是一个一定程度的多项式,比如k3。该多项式的(k3+1)系数可以通过比较FP3(z,m)的级数展开式与列(m+1)中z^m的幂值来逐个确定。这些值可以使用GF1公式生成,请参见A156921号.
GF(3;m)分子中多项式FP3(z;m)的适当名称似乎是第三类花多项式FP3,因为这些多项式的零模式看起来像花。FP3和FP4的零点模式,请参见A156933号,彼此非常相似,看起来像FP1和FP2的零模式。
对于从0到11的m,FP3(z;m)多项式的(k3+1)项数的序列是1、2、8、17、29、45、63、84、109、137、167、200。
链接
配方奶粉
G.f.:GF3(z;m):=z^p*FP3(z,m)/产品{k=0..m}(1-(k+1)*z)^(1+3*k)。
例子
FP3(z,m)系数“三角形”的前几行是:
[1]
[1, 1]
[-6, 29, 31, -283, 245, 298, -286, -108]
前几个FP3多项式是:
FP3(z;m=0)=1
FP3(z;m=1)=(1+z)
FP3(z;m=2)=(-6+29*z+31*z^2-283*z^3+245*z^4+298*z^5-286*z^6-108*z^7)
一些GF3(z;m)是:
GF3(z;m=1)=z^2*(1+z)/((1-z)^4*(1-2*z))
GF3(z;m=2)=z^2*(-6+29*z+31*z^2-283*z^3+245*z^4+298*z^5-286*z^6-108*z^7)/(1-z)^7*(1-2*z)^4*(1-3*z))
交叉参考
对于前几个GF3,请参见A156928号,A156929号,A156930号,A156931号.
行总和A156932号.
有关GF3(z;m)分母中的多项式,请参见A157704型.
关键词
容易的,签名,标签,未经编辑的
作者
状态
经核准的
A156933号 FP4多项式与A156925号矩阵。 +0个
14
1, 1, 1, -11, 156, -627, 736, 591, -1116, -369, -6, 106, -2772, 76070, -1087552, 8632650, -40358780, 106452214, -99774996, -284430514, 1125952500, -1581820542, 737716032, 414532350, -357790500, -81870750, -1275750 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,4
评论
关于FP2系数矩阵,请参见A156925号此矩阵列中的系数是z^m,m=0,1,2,…的幂。列编号为:1、2、3、。
GF4(z;m)生成z^m系数的序列。GF4(z;m)的一般结构如下所示。
GF4(z;m)分子中的FP4(z,m)是一个一定程度的多项式,比如k4。该多项式的(k4+1)系数可以通过比较FP4(z,m)的级数展开式与列(m+1)中z^m的幂值来逐个确定。这些值可以使用GF2公式生成,请参见156925英镑.
GF4(z;m)分子中多项式FP4(z,m)的适当名称似乎是第四类花多项式,因为这些多项式的零模式看起来像花。FP4和FP3的零点模式,请参见A156927号,彼此非常相似,看起来像FP1和FP2的零模式。
对于从0到11的m,FP4(z;m)多项式的(k4+1)项数的序列是1、2、7、17、28、44、63、83、108、136、167、199。
链接
配方奶粉
G.f.:GF4(z;m):=z^q*FP4(z,m)/Product_{k=0..m}(1-(2*m+1-(2*k))*z)^(3*k+1)。
例子
FP4(z;m)系数“三角形”的前几行是:
[1]
[1, 1]
[ -11, 156, -627, 736, 591, -1116, -369]
前几个FP4多项式是:
FP4(z;m=0)=1
FP4(z;m=1)=(1+z)
FP4(z;m=2)=(-11+156*z-627*z^2+736*z^3+591*z^4-1116*z^5-369*z^6)
一些GF4(z;m)是:
GF4(z;m=1)=z*(1+z)/((1-3*z)*(1-z)^4)
GF4(z;m=2)=z^2*(-11+156*z-627*z^2+736*z^3+591*z^4-1116*z^5-369*z^6)/((1-z)^7*(1-3*z)^4*(1-5*z))
交叉参考
对于前几个GF4,请参见A156934号,156935英镑,A156936号,A156937号.
行总和A156938号.
关于GF4(z;m)分母中的多项式,请参见A157705型. -约翰内斯·W·梅耶尔2009年3月7日
关键词
容易的,签名,标签,未经编辑的
作者
状态
经核准的
A160474号 泽塔三角。 +0个
13
-1, 51, -10, -10594, 2961, -210, 356487, -115940, 12642, -420, -101141295, 35804857, -4751890, 254562, -4620, 48350824787, -18071509911, 2689347661, -180909586, 5471466, -60060 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
2,2
评论
ZS1矩阵的系数由ZS1[2*m-1,n]=(2^(2*m-1))*int(y^(2*m-1。。n=1、2、3。。在n<=(m-1)的条件下。
这个定义导致ZS1[2*m-1,n=1]=2*zeta(2*m-1),对于m=2,3,和递归关系ZS1[2*m-1,n]:=(1/(2*n-1))*((2/(n-1)。一如既往,zeta(m)是黎曼zeta函数。这两个公式使我们能够确定ZS[2*m-1,n]系数的值,其中m为所有整数,n为所有正整数,但并非全部为正整数。如果我们在一定程度上但不是完全任意地选择ZS1[1,n=1]=2*gamma,其中gamma是Euler Mascheroni常数,我们可以确定所有这些。
对于m=1,2,3,…,ZS1矩阵列中的系数。。,n=2,3,4,可以用GH(z;n)多项式生成,对于该多项式,我们发现了以下一般表达式GH(z;n)=(h(n)*CFN1(z;n)*GH(x;n=1)+ZETA(z;m))/p(n)。
CFN1(z;n)多项式取决于中心阶乘数A008955号.
ZETA(z;n)是导致ZETA三角形的ZETA多项式。
Zeta多项式的零模式类似于UFO。这些模式类似于Eta、Beta和Lambda多项式的模式,参见A160464号,A160480型A160487号.
第一个Maple算法生成Zeta三角形的系数。第二个Maple算法生成m=0,-1,-2,…的ZS1[2*m-1,n]系数。
M(n)序列,见第二个Maple算法,导致Gould序列A001316号以及类似于tan(x)的泰勒级数中的分母的序列。,A156769号(n) ●●●●。
我们的一些结果是基于数值证据的推测。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年,第23章,第811-812页。
穆罕默德·阿扎里安,问题1218,Pi-Mu Epsilon期刊,第13卷,第2期,2010年春季,第116页。解决方案出版于2010年秋季第13卷第3期,第183-185页。
Johannes W.Meijer,Eta、Zeta、Beta和Lambda多项式的零点,jpg格式pdf格式2013年3月3日。
Johannes W.Meijer和N.H.G.Baken,指数积分分布《统计与概率快报》,第5卷,第3期,1987年4月。第209-211页。
配方奶粉
对于n=3,4,…,我们发现Zeta三角形系数Zeta(n,m)=ZL(n)*(Zeta,n-1,m-1)-(n-1)^2*Zeta。。。并且m=2,3。。。。请参见A160475型对于ZETA(n,m=1),进一步,对于n=2,3,…,ZETA。。。。
我们观察到ZL(n)=A160479号(n) 序列也统治着Lambda三角形A160487型.
矩阵列中系数的生成函数GH(z;n)定义为
GH(z;n)=和(ZS1[2*m-1,n]*z^(2*m-2),m=1..无穷大),其中n=1,2,3。。。。这个定义,以及我们选择的ZS1[1,1]=2*gamma,导致GH(z;n=1)=(-Psi(1-z)-Psi(1+z)),其中Psi(z)是digamma函数。此外,我们发现,对于n=2,3。。。,ZS1[-1,n]=2^(2*n-1)*A002195号(n)/A002196号(n) 对于n=1,2。。。。
对于n=2,3,…,我们发现GH(z;n)多项式的一般表达式如下:
生长激素(z;n)=(h(n)*CFN1(z;n)*GH(z;n=1)+ZETA(z;m))/p(n)
h(n)=6*A160476号(n) 和p(n)=160478年(n) ●●●●。
例子
n=2,3,…三角形ZETA(n,m)的前几行,。。。m=1,2,。。。
[ -1],
[51, -10],
[ -10594, 2961, -210],
[356487, -115940, 12642, -420].
前几个ZETA(z;n)多项式是
ZETA(z;n=2)=-1,
ZETA(z;n=3)=51-10*z^2,
ZETA(z;n=4)=-10594+2961*z^2-210*z^4。
前几个CFN1(z;n)多项式是
CFN1(z;n=2)=(z^2-1),
CFN1(z;n=3)=(z^4-5*z^2+4),
CFN1(z;n=4)=(z^6-14*z^4+49*z^2-36)。
前几个生成函数GH(z;n)是
生长激素(z;n=2)=(6*(z^2-1)*生长激素(z;n=1)+(-1))/9,
生长激素(z;n=3)=(60*(z^4-5*z^2+4)*GH(z;n=1)+(51-10*z^2))/450,
生长激素(z;n=4)=(1260*(z^6-14*z^4+49*z^2-36)*GH(z;n=1)+(-10594+2961*z^2-210*z^4))/99225。
MAPLE公司
nmax:=7;使用(组合):cfn1:=proc(n,k):总和((-1)^j*stirling1(n+1,n+1-k+j)*stirling 1(n+1,n+1-k-j),j=-k.k)结束过程:Omega(0):=1:对于n从1到nmax做Omega 1…n))/(2*n-1)!end do:对于从1到nmax的n do Zc(n):=(Omega(n)*2^(2*n-1))*2/(2*n+1)*(n))end do:c(1):=denom(Zc(1)):对于从2到nmax的n do c(n):=lcm(c(n-1)*(n)*(2*n+1)/2,denom(Zc(n)));p(n):=c(n-1)end do:y(1):=Zc(1):n从1到nmax-1 do y(n+1):=Zc(n+1)*(2*n+3)/2,b(n+1))end do:对于n从1到nmax do cm(n):=c(n)*(1/6)*4^n/(2*n+1)!end do:对于n从1到nmax-1 do ZL(n+2):=cm(n+1)/cm(n)end do:mmax:=nmax:对于n从2到nmax do ZETA(n,1):=p(n)*y(n-1):ZETA;seq(seq(ZETA(n,m),m=1..n-1),n=2..nmax);
#结束第一个程序(编辑的程序,约翰内斯·W·梅耶尔2012年9月20日)
nmax1:=10;m:=1;ZS1排:=1-2*m;与(组合):t1:=proc(n,k):sum((-1)^j*stirling1(n+1,n+1-k+j)*stirling 1(n+1,n+1-k-j),j=-k.k)结束过程:mmax1:=nmax1:对于m1从1到mmax1,做M(m1-1):=2^(2*m1-2)/((2*m2)!)end do:对于从1到mmax1的m1,执行ZS1[-2*m1+1,1]:=2*(-bernoulli(2*m1)/(2*m2))od:对于从2到nmax1的n,执行m1从1到mmax1-n+1的do,执行ZS1[-2*1+1,n]:=M(n-1)*总和((-1)^(k1+1)*t1(n-1,k1-1)*ZS1[2*k1-2*n-2*m1+1,1,1],k1=1…n)od:od:seq(ZS1[1-2*M,n],n=1..nmax1-M+1);
#结束第二个程序(编辑的程序,约翰内斯·W·梅耶尔2012年9月20日)
交叉参考
A160475型等于左第一列。
A160476号等于右边第一列和6*h(n)。
A160477号等于行和。
A160478号等于p(n)序列。
A160479号等于ZL(n)序列。
A001620号是Euler-Mascheroni常数γ。
M(n-1)序列等于A001316号(n-1)/A156769号(n) (n>=1)。
ZS1[-1,n]和Omega(n)系数导致A002195号A002196号.
CFN1(z,n)和CFN1(n,k)导致A008955号.
参见Eta、Beta和Lambda三角形A160464号,A160480型A160487号.
囊性纤维变性。A162446号(ZG1矩阵)
关键词
未经编辑的,容易的,签名,表格
作者
状态
经核准的
A160480型 按行读取的Beta三角形。 +0个
13
-1, -11, 1, -299, 36, -1, -15371, 2063, -85, 1, -1285371, 182474, -8948, 166, -1, -159158691, 23364725, -1265182, 29034, -287, 1, -27376820379, 4107797216, -237180483, 6171928, -77537, 456, -1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
2,2
评论
BS1矩阵的系数由BS1[2*m-1,n]=int(y^(2*m-1)/(cosh(y))^(2*n-1),y=0..无穷大)/阶乘(2*m-1。。。n=1,2。
该定义导致BS1[2*m-1,n=1]=2*beta(2*m),对于m=1,2。。。,以及递归关系BS1[2*m-1,n]=(2*n-3)/(2*n-2)*(BS1[2*.m-1,n-1]-BS1[2*m-3,n-1]/(2xn-3)^2),我们使用它将BS1矩阵系数的定义扩展到m=0,-1,-2。我们发现BS1[-1,n]=1代表n=1,2。像往常一样,贝塔(m)=和((-1)^k/(1+2*k)^m,k=0..无穷大)。
对于m=1、2、3…,BS1矩阵列中的系数。。。,n=2,3,4。。。,可以用GK(z;n)多项式生成,对于该多项式,我们发现了以下一般表达式GK(z;n)=((-1)^(n+1)*CFN2(z;n)*GK(j;n=1)+BETA(z;n=n))/p(n)。
CFN2(z;n)多项式取决于中心阶乘数A008956号.
BETA(z;n)是导致贝塔三角形的贝塔多项式。
Beta多项式的零模式类似于UFO。这些模式类似于Eta、Zeta和Lambda多项式的模式,参见A160464号,A160474号A160487号.
第一个Maple算法生成Beta三角形的系数。第二个Maple算法为m=0,-1,-2,-3,…生成BS1[2*m-1,n]系数。
我们的一些结果是基于数值证据的推测,特别是A160481号.
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年,第23章,第811-812页。
J.M.阿米戈,相互权力之和之间的关系第二部分《国际数学与数学科学杂志》,第2008卷(2008年),第1-20页。
Johannes W.Meijer,Eta、Zeta、Beta和Lambda多项式的零点,jpg格式pdf格式2013年3月3日。
配方奶粉
对于n=3,4,…,我们发现了β三角形系数Beta(n,m)=(2*n-3)^2*Beta(n-1,m)-Beta(n-1、m-1)之间的关系。。。m=2,3。。。BETA(n,m=1)=(2*n-3)^2*BETA(n-1,m=1)-(2*n-4)!对于n=2,3。。。当n=1,2,…时,BETA(n,n)=0。
矩阵列中系数的生成函数GK(z;n)定义为
GK(z;n)=和(BS1[2*m-1,n]*z^(2*m-2),m=1..无穷大),其中n=1,2。
这个定义导致GK(z;n=1)=1/(z*cos(Pi*z/2))*int(sin(z*t)/sin(t),t=0..Pi/2)。
此外,我们还发现,对于n=2,3,……,GK(z;n)=GK。
对于n=2,3,…,我们发现了GK(z;n)多项式的以下一般表达式。。。,
GK(z;n)=((-1)^(n+1)*CFN2!。
例子
n=2,3,……三角形BETA(n,m)的前几行,。。。并且m=1,2,。。。
[ -1],
[ -11, 1],
[ -299, 36, -1],
[ -15371, 2063 -85, 1].
前几个BETA(z;n)多项式是
贝塔系数(z;n=2)=-1,
BETA(z;n=3)=-11+z^2,
贝塔系数(z;n=4)=-299+36*z^2-z^4。
前几个CFN1(z;n)多项式是
CFN2(z;n=2)=(z^2-1),
CFN2(z;n=3)=(z^4-10*z^2+9),
CFN2(z;n=4)=(z^6-35*z^4+259*z^2-225)。
前几个生成函数GK(z;n)是
GK(z;n=2)=((-1)*(z^2-1)*GK(z,n=1)+(-1))/2,
GK(z;n=3)=((z^4-10*z^2+9)*GK(z,n=1)+(-11+z^2))/24,
GK(z;n=4)=((-1)*(z^6-35*z^4+259*z^2-225)*GK(z,n=1)+(-299+36*z^2-z^4))/720。
MAPLE公司
nmax:=8;mmax:=nmax:对于n从1到nmax做BETA(n,n):=0结束do:m:=1:对于n,从m+1到nmmax做BETA(n,m):=(2*n-3)^2*BETA(n-1,m)-(2*n-4)!od:对于m从2到mmax,do对于n从m+1到nmax,do BETA(n,m):=(2*n-3)^2*BETA(n-1,m)-BETA(n-1,m-1)od:od:seq(seq(BETA(n,m),m=1..n-1),n=2..nmax);
#结束第一个程序
nmax1:=25;m:=1;BS1行:=1-2*m;对于从0到nmax1的n,执行cfn2(n,0):=1:cfn2 ax1 do表示m1从1到mmax1-n+1表示BS1[1-2*m1,n]:=(-1)^(n+1)*总和((-1)*(k1+1)*cfn2(n-1,k1-1)*BS1[2*k1-2*n-2*m1+1,1],k1=1..n)/(2*n-2)!od:od:seq(BS1[1-2*m,n],n=1..nmax1-m+1);
#结束第二个程序
数学
BETA[2,1]=-1;
BETA[n_,1]:=BETA[n,1]=(2*n-3)^2*BETA[n-1,1]-(2*n-4)!;
β[n_/;n>2,m_/;m>0]/;1<=m<=n:=β[n,m]=(2*n-3)^2*β[n-1,m]-β[n-1,m-1];
BETA[_,_]=0;
表[BETA[n,m],{n,2,9},{m,1,n-1}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2017年12月13日*)
交叉参考
A160481号等于行和。
A101269号160482年等于左手第一列和第二列。
160483英镑A160484号等于右手第二列和第三列。
A160485型A160486号是两个相关的三角形。
CFN2(z,n)和CFN2(n,k)导致A008956号.
参考Eta、Zeta和Lambda三角形:A160464号,A160474号A160487号.
囊性纤维变性。162443英镑(BG1矩阵)。
关键词
未经编辑的,容易的,签名,表格
作者
约翰内斯·W·梅耶尔2009年5月24日,2012年9月19日
状态
经核准的
第页12 4 5 6 7 8 9 10...109

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