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问候整数序列的在线百科全书!)
搜索 关键词:TABF
显示1-10的5839个结果。 第1页 五百八十四
     排序:相关关系推荐信γγ被改进的γ创建      格式:〈隆〉〉γ数据
A112798 其中n行是n的因式分解,每个素数Pi i替换为I。 + 0
五百五十一
1, 2, 1、1, 3, 1、2, 4, 1、1, 1, 2、2, 1, 3、5, 1, 1、2, 6, 1、4, 2, 3、1, 1, 1、1, 7, 1、2, 2, 8、1, 1, 3、2, 2, 8、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

2,2

评论

这是对所有分区的枚举。

从技术上讲,这是一个枚举的所有多集(有限弱增长的正整数序列),而不是整数分区。-格斯威斯曼12月12日2016

A000 000(a(n))是A08228(n)。-莱因哈德祖姆勒,03月2日2008

行n是具有海因茨数n的分区。我们定义一个分区的海因茨数=[Py1,Py2,…,Pyr]作为乘积(pJ-Th Prime,j=1…r)(由阿洛伊斯·P·海因茨进入A215366作为分区的“编码”。例如,对于分区〔1, 1, 2,4, 10〕,我们得到2×2×3×7×29=2436。对于给定的n,第二Maple程序产生行n;例如,我们同时获得B(2436)=[1,1,2,4],10]。-埃米里埃德奇,军04 2015

埃米里埃德奇,五月05日2015:(开始)

行n中的条目的数目是双ω(n)(即n的素因子数,包括多个数)。

行n项的乘积A000 39 63(n)。

行n包含从有根数n的有根树中得到的有根树的马氏数,通过删除从根发出的边。例:行8是1,1;确实,有马特拉数8的根树是\ /和删除从根发出的边,我们得到一个顶点树…,具有Matlab数1, 1, 1。例子:行7是4;事实上,有马太数7的根树是Y,并且删除从根发出的边,我们得到根树V,具有Matlab数4。

根树的Mutula(或MatLa戈贝尔)数可以用以下递归的方式定义:一个顶点树对应于1号;对于一个具有根度1的树T,对应于第t素数,其中T是通过从根中导出的边从T中获得的树的Matlab戈贝尔数;对于具有根度m>2的树T,它对应于T的M分支的Matlab戈贝尔数的乘积(结束)。

链接

Alois P. Heinz行n=2…3275,扁平化

E. Deutsch基于Matula数的有根树统计,阿西夫:1111.4288(数学,Co),2011。

E. Deutsch基于Matula数的有根树统计,离散APPL。数学,160, 2012,314-2222。

F. Goebel有根树与自然数的1-1-对应J. Combin。理论,B 29(1980),141-143。

I. Gutman和A. Ivic关于Matula数,离散数学,150, 1996,131-142。

I. Gutman和Yeong Nan Yeh从Matula数推断树木的性质Publ。数学,53(67),1993,17-22。

D. W. Matula素数分解的自然根树计数,暹罗牧师。10(1968)273。

与Mutula戈贝尔数相关的序列索引条目

素数分解中指数序列的索引条目

公式

t(n,k)=A000 0720A027 76(n,k);A027 76(n,k)=A000 000(t(n,k))。

也t(n,k)=A049084AA027 76(n,k)。-莱因哈德祖姆勒,八月04日2014

例子

行20是1,1,3,因为20的素因子,即2,2,5是第一,第一,第三素数。

表开始:

1;

2;

1, 1;

三;

1, 2;

4;

1, 1, 1;

正整数的所有有限多个集合的序列开始:(),(1),(3),(12),(111),(22),(13),(5),(112),(6),((2)),(()),(()),(()),((),(()),(()),(()),((),(()),(()),(())(())。-格斯威斯曼12月12日2016

枫树

T=:N->排序([Seq(NothMe[Pi](i〔1〕)$ i〔2〕,i=IFMASTER(n)〔2〕〕)]:

Seq(t(n),n=2…50);阿洛伊斯·P·海因茨,八月09日2012

(NUM):B:= PROC(n)局部NN,j,m:NN:=OP(2,IFActuple(n));对于j to NOPS(NN)doM[j]:= OP(j,NN)结束DO:[SEQ(SEI(PI(OP(1,M[i])),q=1)。OP(2,M[i]),i=1。NOP(NN))结束过程:埃米里埃德奇,军04 2015。(这相当于第一个枫叶计划。)

Mathematica

PrimePi/@平坦[表[1,1,{ 2 } ]和@ @ @因子整数@α] //@范围@ 60 / /平坦/ /REST(*)米迦勒·德利格勒,五月09日2015 *)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

A112798 N K= A112798A TABF!!(N-2)!(N-1)

A112798A行N=A112798A TABF!(N-2)

A112798IOTABF= MAP(MAP A049084)$尾部A027 766TABF

——莱因哈德祖姆勒,八月04日2014

交叉裁判

行长度为A000 1222. 囊性纤维变性。A000 000A027 76A000 0720A036036.

囊性纤维变性。A05623(行和)。

囊性纤维变性。A000 39 63(行产品)。

囊性纤维变性。A049084AA215366A241918A265146A75024.

关键词

诺恩塔布

作者

富兰克林·T·亚当斯·沃特斯1月22日2006

地位

经核准的

A07750 行读取的行,其中行n列出n的除数。 + 0
三百四十七
1, 1, 2、1, 3, 1、2, 4, 1、5, 1, 2、3, 6, 1、7, 1, 2、4, 8, 1、3, 9, 1、2, 5, 10、1, 11, 1、2, 3, 4、6, 12, 1、2, 3, 4、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,3

评论

或者,在自然数的列表中(A000 00 27)用其除数替换n。

这给出了有序对(A,B)A*=1,B>1的第一个元素,由它们的乘积AB排序。

此外,行N列出了N部分的最大部分,其部分不明显。-奥玛尔·E·波尔9月17日2008

第n行级联A037(n)。-莱因哈德祖姆勒,八月07日2011

{A210208(n,k):k=1。A073093A(n){t(n,k):k=1的子集…A000 00 05(n)}所有n莱因哈德祖姆勒3月18日2012

行和给出A000 0203. 右边界给出A000 00 27. -奥玛尔·E·波尔7月29日2012

记录的索引在A000 6218. -伊琳娜·杰拉西莫娃2月27日2013

第n行中的素数是Ω(n)=A000 1221(n)。-米歇尔马库斯10月21日2015

行多项式p(n,x)=SuMu{{k=1…A000 00 05(n)}(n,k)*x^ k在整数上是不可约的。A222226. -狼人郎09月11日2017

链接

富兰克林·T·亚当斯·沃特斯行1…1000,扁平化

富兰克林·T·亚当斯·沃特斯行1…10000

Omar E. Pol初始条款说明,(2009)。

Eric Weisstein的数学世界,除数

维基百科除数表

与数除数有关的序列的索引条目

公式

A(A000 6218(n-1)+k)=n的k-因子,1 <=k<=A000 00 05(n)。-莱因哈德祖姆勒5月10日2006

t(n,k)=n/A056538(n,k)=A056538(n,n+k+ 1),1 <= k<=A000 00 05(n)。-莱因哈德祖姆勒9月28日2014

例子

三角形开始:

1;

1, 2;

1, 3;

1, 2, 4;

1, 5;

1, 2, 3、6;

1, 7;

1, 2, 4、8;

1, 3, 9;

1, 2, 5、10;

1, 11;

1, 2, 3、4, 6, 12;

枫树

SEQ(OnPosith:De除器(A)),A=1。20)马特·C·安德森5月15日2017

Mathematica

[表[扁平[除数[n] ],{n,1, 30 }] ]

黄体脂酮素

(岩浆)[因子(n):n(1…20)];

(哈斯克尔)

A027 750 N K= A027 750A行n!(K-1)

A07750ION n=滤波器((=0))。(mod n))〔1…n〕

A0275050TABF=图A027 750YROW [ 1…]

——莱因哈德祖姆勒,1月15日2011,10月21日2010

(PARI)V= Listar();(n=1, 20,FordIV(n,d,ListPad(V,D)));Vec(V)\查尔斯4月28日2011

(蟒蛇)

从症状导入因子

对于n在XRead(1, 16)中:

…打印[我为我除数(n)]英德拉尼尔-豪什3月30日2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 00 05(行长度)A000 1221A027 79A027 751A056534A056538A127096A135010A161700A1632 80A240698(行的部分和)A240694A(行的部分乘积)A24795(平价)A222226.

关键词

诺恩容易塔布

作者

斯隆

扩展

来自Scott Lindhurst(ScottL(AT)校友,普林斯顿,EDU)的更多条款。

地位

经核准的

A3575 行行读取的三角形,其中行n列出第n行的元素。A3575 91然后是同一行的元素,但顺序相反。 + 0
二百八十四
1, 1, 2、2, 2, 1、1, 2, 3、1, 1, 3、3, 2, 2、3, 4, 1、1, 1, 1、4, 4, 2、1, 1, 2、4, 5, 2、1, 1, 2、5, 5, 2、5, 5, 2、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,3

评论

行n是2×N的回文成分。

T(n,k)也是正方形网格的第一象限上的Dyk路径上的第k个段的长度,将x轴与y轴连接起来,从(n,0)到(0,n),从垂直方向上的段开始,见例子。

猜想1:n次Dyk路径下的面积等于A024916(n)所有正整数除数的除数之和<

如果猜想是真的,那么第n个Dyk路径代表第n行元素的交替和之后的边界段。A246104.

猜想2:两个相邻的Dyk路径从不交叉(由手向上检查到n=128),因此第n个Dyk路径与(N-1)-ST-Dyk路径之间的总面积等于σ(n)=A000 0203(n)n的除数之和。

之间的联系A196020A23 727 1如下:A196020-->A246104-->A35791-->A3575 91>这个序列>A249660-->A27270-->A23 727 1.

PARI脚本区域(n)和ChCh十字路口(n)已被写入以检查2个属性,并且已经运行到n=10000。-米歇尔马库斯3月27日2014

评论富兰克林·T·亚当斯·沃特斯关于“σ对称表示”的序列A35791和相关序列,3月31日2014:(开始)

开始的地方是A35791这很简单。然后去A3575 91,也很简单,A3575还是很简单的。

然后你需要解释这些行A3575作为Dyk路径。这种解释是在运行长度方面,因此,2,1,2意味着上升两次,下降一次,上升一次,下降两次。因为那排A3575是对称的,甚至是长度,这个路径总是对称的。

现在令人惊讶的事实是,由Dyk路径N所包围的区域(放置在其侧)总是包括为N-1所包围的区域;并且所添加的正方形的数目是σ(n)。

最后,看看由N所包围的连通区域,而不是N-1;这些区域的大小是Sigma的对称表示。(结束)

已经编写了Mathematica函数,通过N=30000验证了2个性质。-哈特穆特·霍夫特,APR 07 2014

A000 3056(n)也是与第n行三角形有关的Dyk路径的峰值数。-奥玛尔·E·波尔03月11日2015

与行关联的Dyk路径的峰值数目A000 039这个三角形的(n)等于第n个梅森素数。A000 0668(n),因此Melxne素数在金字塔中的两种方式可见。A245092. -奥玛尔·E·波尔12月19日2016

链接

Robert Pricen,a(n)n=1…15008的表(行n=1…412,平坦)

Omar E. Pol无限阶梯金字塔

Omar E. Pol作为等腰三角形的初始项的图示(行:1…28)

Omar E. Pol金字塔透视图(前16层)

公式

设j(n)=Lead((qRT(8n+1)- 1)/2),然后t(n,k)=1A3575 91(n,k),如果k<=j(n);否则t(n,k)=A3575 91(n,2×j(n)+1-k)。-哈特穆特·霍夫特,APR 07 2014(经修正)奥玛尔·E·波尔5月31日2015)

例子

三角形开始:

1, 1;

2, 2;

2, 1, 1、2;

3, 1, 1、3;

3, 2, 2、3;

4, 1, 1、1, 1, 4;

4, 2, 1、1, 2, 4;

5, 2, 1、1, 2, 5;

5, 2, 2、2, 2, 5;

6, 2, 1、1, 1, 1、2, 6;

6, 3, 1、1, 1, 1、3, 6;

7, 2, 2、1, 1, 2、2, 7;

7, 3, 2、1, 1, 2、3, 7;

8, 3, 1、2, 2, 1、3, 8;

8, 3, 2、1, 1, 1、1, 2, 3、8;

9, 3, 2、1, 1, 1、1, 2, 3、9;

9, 4, 2、1, 1, 1、1, 2, 4、9;

10, 3, 2、2, 1, 1、2, 2, 3、10;

10, 4, 2、2, 1, 1、2, 2, 4、10;

11, 4, 2、1, 2, 2、1, 2, 4、11;

11, 4, 3、1, 1, 1、1, 1, 1、3, 4, 11;

作为无限DyCK路径(行n=1…7)的初始项的说明:

.

. /\/\/\/\\

. /\/\/\/\/\/\\

. /\/\/\/\/\/\\

. /\/\/\/\/\/\\

.

行8和9的图解被解释为第一象限中的Dyk路径,以及Sigma(9)=5+3+5=13的对称表示的图解,见下文:

.

Y

. .

. γ5

γi

. γ3

. β

. γ5

. γ

. 面积=56。面积=69

. γ

. γ

. X。X*

.

. 图1图2图3

.

图1。对于n=8,第八行三角形是[5, 2, 1,1, 2, 5 ],对称Dyk路径下的面积等于A024916(8)=56。

图2。对于n=9,第九行三角形是[5, 2, 2,2, 2, 5 ],对称Dyk路径下的面积等于A024916(9)=69。

图3。Sigma(9)对称表示:对称Dyk路径之间有三个区域(或部分)大小[5, 3, 5 ]。

9的除数之和是1+3+9=9。A000 0203(9)=13。另一方面,在Dyk路径下的区域之间的差值等于Sigma(9)=69—56=5+3+5=13的对称表示的部分之和,等于9的除数之和。

.

在第一象限中作为Dyk路径的初始项的说明:

(行n=1…28)

α。

α(Ⅱ)

α(Ⅱ)

α(Ⅱ)

α(Ⅱ)

α(Ⅱ)

α(Ⅱ)

α(Ⅱ)

α(Ⅱ)

α(Ⅱ)

第二定律

α(Ⅱ)

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

第二定律

〔第二〕〔第二〕

.

n:1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16,…

.

看来,在图的对称区域的第一n个集合中的总面积(也就是细胞总数)等于A024916(n)所有正整数除数的除数之和<

在图的对称区域的第n组中,总面积(也就是细胞总数)等于σ(n)=σ(n)=σ(n)=σ(n)=σ(n)=A000 0203(n)(用手向上检查n=128)。

似乎,对于第n集合,位于第一对角线上的单元的数目等于A067072(n)n的中间因子的个数。米歇尔马库斯,6月21日2014。用两个Mathematica函数检查n=100000,以查看更多信息A240562. -哈特穆特·霍夫特7月17日2014

奥玛尔·E·波尔,8月18日2015:(开始)

上面的图也是描述的阶梯金字塔的顶视图。A245092它也是楼梯的顶视图。A2445在这两种情况下,图代表结构的前28个层次。请注意,该图包含(并产生)隐藏模式,如下所示。

.

作为等腰三角形的初始项的说明:

一行

(1×1×1)

(2×2×2)

(3)2(1)1(2)

(4)3(1)1(3)

(5)3(2)2(3)

(6)4,1,1,1,1,4

(7)4,2,1,1,2,4

(8)5,2,1,1,2,5

(9)5(2)2(2)2(5)

10,6,2,1,1,1,1,2,6

11,6,3,1,1,1,1,3,6

12,7,2,2,1,1,2,2,7

13,7,3,2,1,1,2,3,7

14,8,3,1,2,2,1,3,8

15,8,3,2,1,1,1,1,2,3,8

16,9,3,2,1,1,1,1,2,3,9

这个图是序列的更简单的表示。

图的每一边的第n层中的水平线段数相等。A000 1227(n)n的奇因子的个数。

图的左侧水平线段的数目加上右侧的水平线段的数目相等。A05844(n)。

图的第n层中的垂直线段的总数等于A13150(n)。

请注意,这种对称模式也出现在前面描述的阶梯金字塔中。A245092,这与西格玛有关A000 0203除数函数和其他相关序列的和。该图代表金字塔的前16个层次。(结束)

Mathematica

行[n]:=楼层[(SqRT[8N+ 1 ] - 1)/ 2 ]

S[N],KY]:=上限[(n+1)/k-(k+ 1)/ 2 ] -上限[(n+1)//(k+1)-(k+2)/2 ]

f [n],k]:=如果[k<=行[n],s[n,k],s[n,2行[n++1-k] ]

表[F[n,k],{n,1, 50 },{k,1, 2行[n] }] ](*)哈特穆特·霍夫特,APR 08 2014*)

黄体脂酮素

(PARI)行(n)={My(OROW= ROW3575 91(n));向量(2×α,ORW,I,IF(i < = OrthORO,OROW[i],OROW [ 2×α] ORIO-I+1));

面积(n)={My(RONN=行(n));Surf=0;H=n;奇数=1;(i=1,α行),如果(奇,Surf+= H*Runn[i],H-=Runn[i];);奇数=!奇数;冲浪;

高度(v,n)={vh=矢量(n);IVH=1;h=n;奇数=1;(i=1,αv),如果(奇,为(j=1,v[i],vH[IvH]=h;IVH++),H-=V[i];);奇数=!奇;;vh;;}

In(Hb,HA)=(i=1,α-Hb,IF(Hb[i]<hA[i],返回(0));)返回(1);}

CHKCROSS(NN)={HGA=CONAT(高度(行(1),1),0);(n=2,NN,HGB=Head(行(n),n));高于(HGB,HGA),打印(“PB交叉在n=”,n);HGA=CONAT(HGB,0););米歇尔马库斯3月27日2014

(蟒蛇)

从症状导入

导入数学

DEF行(n):返回int(数学.Load((SqRT(8×N+ 1)-1)/2))

DEF S(n,k):返回int(数学.CEIL((n+1)/k-(k+ 1)/2))-int(数学.CEIL((n+1)/(k+1)-(k+2)/2))

DEF(n,k):返回k(n,k),如果k<=行(n)否则S(n,2×行(n)+ 1 -k)

对于n在xLead(1, 11)中:在xLead(1, 2×行(n)+ 1)中的k的t [(n,k)]英德拉尼尔-豪什4月21日2017

交叉裁判

行n的长度为2 *A000 3056(n)。

行和给出A000 5843,n>=1。

列k行开始A000 8805(K-1)。

第1栏=右边框=A000 8619,n>=1。

平分在A259176A259177.

囊性纤维变性。A000 0203A000 0217A000 1227A024916A05844A067072A13150A196020A35791A246104A37048A27270A23 727 1A3575A3575 91A249660A24931-A24934A244050A2445A245092A249351A261350A261699A262611A262612A262626A280850A266000A26600A96508.

关键词

诺恩塔布

作者

奥玛尔·E·波尔2月22日2014

地位

经核准的

A135010 行中N行列表读取的三角形A000 000 41(N-1)1的后面是并列的字典序分区的列表,N不包含1作为部分。 + 0
二百六十八
1, 1, 2、1, 1, 3、1, 1, 1、2, 2, 4、1, 1, 1、1, 1, 2、3, 5, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、2, 2, 2、2, 4, 3、3, 6, 1、2, 4, 3、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,3

评论

这是与分区的分段模型连接的大量序列的原始序列。

这里,“n大于等于n的任何整数的分区集合的第n部分”(“n”的分区集合的最后一部分)被定义为由取N的所有分区而导致的所有部分所形成的集合,然后移除n-1的分区的所有部分。对于大于1的整数,截面的结构有两个主要区域:头部和尾部。头部由不包含1作为部分的n的分区形成。尾巴是由A000 000 41(n-1)1的分区。N的分区集合包含先前数字的分区集合。分区的节模型有几个版本,根据分区的顺序或部分的表示。在这个序列中,我们使用A026791.

分区的节模型可以被解释为分区表。也见A138121. -奥玛尔·E·波尔11月18日2009

似乎模型的版本显示了与K mod M一致的数字的部分和子部分的重叠,例如:

第一代(主台):

表1:整数与0模1的整数分割成部分>=1。

第二代:

表2:整数与0模2的整数分割成部分>=2。

表2.1:整数与1模2的整数分割成部分>=2。

第三代:

表3:整数与0模3的整数分割成部分>=3。

表3.1:整数与1模3的整数分割成部分>=3。

表3.2:整数与2模3的整数分割成部分>=3。

等等。

猜想:

设j和n为k mod m的整数,使得0 <=k< m <=j<n=h=j(n j)/m。只考虑n的所有分区为部分> m。然后删除每个m的部分出现次数h的每个分区,然后在每个分区中删除h的m个部分。其余的是j的分割成部分> m(注意,在节模型中,H是被删除的部分或子段的数目),奥玛尔·E·波尔,DEC 05 2010,12月06日2010)。

从第一行三角形开始,k个连续行中的大小k部分的总数给出序列。A000 000 41(见A1827- Omar E. Pol,2月22日2012

N的最后一部分包含A187219(n)区域(见)A2064-奥玛尔·E·波尔04月11日2012

链接

Alois P. Heinz行n=1…23,扁平化

Omar E. Pol剖分截面模型的说明

Omar E. Pol分块截面模型的说明(2D视图)

Omar E. Pol分区视图模型(3D视图)的说明

例子

三角形开始:

〔1〕;

〔1〕,〔2〕;

〔1〕、〔1〕、〔3〕;

〔1〕、〔1〕、〔1〕、〔2〕2〕、〔4〕;

〔1〕、〔1〕、〔1〕、〔1〕、〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔5〕〕;

〔1〕、〔1〕、〔1〕、〔1〕、〔1〕、〔1〕、〔1〕、〔2、2〕、〔2〕、〔2〕、〔3〕、〔3〕、〔6〕〕

.

奥玛尔·E·波尔,SEP 03 2013

初始项的说明(n=1…6)。表以三种方式显示6个分区的集合的六个部分。请注意,在剖析之前,分区集合是按A026791. 更一般地说,6个分区集合的六个部分也可以被解释为任何整数>=6的分区集合的前六个部分。

------------------------------------------

零件图

------------------------------------------

. γ

1 1×1;1;

. γ

2 1×1, 1

2 2×2;2;

. γ

3 1×1, 1

3 2×1, 1

3 3×3;3;

. γ

4 1×1, 1

4 2×1, 1

4 3×1, 1

4 4×2,2,2,2,

4 5×4;4;

. γ

5 1×1, 1

5 2×1, 1

5 3×1, 1

5 4×1, 1

5 5×1, 1

5、6、2、3、2、3

5 7×5;5;

. γ

6 1×1, 1

6 2×1, 1

6 3×1, 1

6 4×1, 1

6 5×1, 1

6 6×1, 1

6 7×1, 1

6、8、2、2、2、2、2

6、9、2、4、2、4

6、10、3、3、3、3

6 11×6;6;

(结束)

枫树

用(组合):

T=(m)局部B,LL;

B= = PROC(n,i,l)

如果n=0,则LL:=LL,L[]

否则SEQ(B(N-J,J,[L][j]),j=I.n)

FI

结束;

LL:= NULL;B(m,2,[]);[ 1 $ NUBPUTHEL(M-1)][],LL

结束:

Seq(t(n),n=1…10);阿洛伊斯·P·海因茨2月19日2012

Mathematica

少[Run1],Run2}] =(LG1= Run1//长度;LG2= Run2//长度;LG= max [LG1,LG2]);R1=如果[LG1= LG,Run1,pAdTal[Run1,Lg,0 ] ];R2=如果[LG2==LG,Run2,pAdTal[Run2,Lg,0 ] ];顺序[R1,R2]!= [-1);行[n]:=联接[数组[1,{StutsPs[n=1 ] }],排序[反向/@选择[整数分割[n],Friq[a,1 ] ],/平坦,表[行[n],{n,1, 9 }] / /平坦(*)让弗兰1月14日2013*)

交叉裁判

行n有长度A138137(n)。

行和给出A1388 79.

右边界给出A000 00 27.

囊性纤维变性。A000 000 41A026791A138121A141285A1827A187219A1938A19444A2064A207031A20738A207399A211009.

关键词

诺恩塔布

作者

奥玛尔·E·波尔,11月17日2007,3月21日2008

地位

经核准的

A139251 牙签号码的第一个差异A139250. + 0
二百二十九
0, 1, 2、4, 4, 4、8, 12, 8、4, 8, 12、12, 16, 28、32, 16, 4、8, 12, 12、16, 28, 32、20, 16, 28、36, 40, 60、88, 80, 32、4, 8, 12、4, 8, 12、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

在第n步添加到牙签结构中的牙签数量A139250

如果n等于1,加上具有正指数的2的幂,则A(n)=4。(用于查看第二个Apple)链接。

似乎这个序列,甚至超完美数,梅森素数,甚至完美数都有关系。猜想:牙签在牙签结构之间的总和。A061652(k)和阶段A000 0668(k)等于k次偶完全数,对于k>=1。例如:A000 039(1)=2+4=6。A000 039(2)=4+4+8+12=28。A000 039(3)=16+4+8+12+12+16+28+32+20+16+++++++++++=〉。-奥玛尔·E·波尔04五月2009

关于这个猜想,请参见戴维阿普盖特关于猜想的评论A15300. -斯隆5月14日2009

在三角形中(参见示例行),行k的和等于A000 616(k),k>=1。-奥玛尔·E·波尔5月15日2009

等于(1, 2, 2,2,…)卷积A160762(1, 0, 2,-2, 2, 2,2,-6,…)。-加里·W·亚当森5月25日2009

用雅各布斯塔序列卷积A000 1045=A160704(1, 3, 9,19, 41,…)。-加里·W·亚当森5月24日2009

似乎是两个连续项的和。A16055给出这个序列的正项。-奥玛尔·E·波尔2月19日2015

奥玛尔·E·波尔,2月28日2019:(开始)

三角网格上牙签自动机的研究A961510和同一个家族的其他C.A,揭示了一些具有周期性的元胞自动机一般可以用不规则三角形(第一个差异)来表示,它们的行长度是A011782A乘以k,其中k>=1,是一个内部循环的长度。这个内部循环被称为元胞自动机的“字”。例如:A160121有单词“A”,所以K=1。这个序列有单词“ab”,所以k=2。A961511有单词“abc”,所以k=3。A29 947有单词“ABCB”,所以K=4。A29 947有单词“ABCBC”,所以K=5。

非零项的三角形(带单词“ab”和k=2)的结构如下:

甲、乙;

甲、乙;

A、B、A、B;

A、B、A、B、A、B、A、B;

A、B、A、B、A、B、A、B、A、B、A、B、A、B、A、B;

行长度是术语。A011782A乘以2,等于方阵的列2A9612122, 2, 4,8, 16,…

这种布置具有奇数索引列(a)包含平行于初始牙签的牙签的数量的特性,并且偶数索引列(b)包含与初始牙签正交的牙签的数量(参见示例部分中的第三个三角形)。

与动画相关的声音可以是(嘀嗒声,TKOK),(滴答声,TKOK)……,和滴答声一样。

有关细胞自动机“Word”的进一步信息,请参见A961212. (结束)

链接

斯隆,n,a(n)n=0…65535的表

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。],国会议员,第206卷(2010),157—191。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

David Applegate电影版

Omar E. PolA139251、A160121、A14792(重叠图形)的初始术语说明[来自奥玛尔·E·波尔,11月02日2009日

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

公式

复发斯隆,7月20日2009:a(0)=0;a(2 ^ i)=2 ^ i对于所有i;否则写n=2 ^ i+j,0<j<2 ^ i,然后a(n)=2a(j)+a(j+1)。证明:这是对以下递归的简化戴维阿普盖特. QED

复发戴维阿普盖特,4月29日2009:(开始)

写出n=2 ^(i+1)+j,其中0<j<2 ^(i+1)。然后,对于n>3:

对于j=0,A(n)=2*a(n-2 ^ i)(=n=2 ^(i+1))

对于1 <=j <=2 ^ I—1,A(n)=A(n-2 ^ i)

对于j=2 ^ i,A(n)=a(n-2 ^ i)+4(=2 ^(i+1)+4)

对于2 ^ i+1

对于j=2 ^(i+1)- 1,a(n)=2*a(n-2 ^ i)+a(n-2 ^ i+1)-4。

n=1,2,3的A(n)=2 ^(n-1)。(结束)

G.f.:(x/(1+2×x))*(1+2×x*乘积{{k>=0 }(1 +x^(2 ^ k-1)+2×x^(2 ^ k)))。-斯隆5月20日2009,六月05日2009

用偏移0(这将是更自然的,但偏移1现在根深蒂固):A(0)=1,A(1)=2;对于i>1,A(2 ^ i)=4;否则写n=2 ^ i+j,0<j<2 ^ i,然后A(n)=* * SuMu{{K>=}} ^(Wt(j+k)-k)*二项式(Wt(j+k),k)。-斯隆,军03 2009

看来A(n)=A187221(n+1)/ 2。-奥玛尔·E·波尔08三月2011

看来A(n)=A16055(n-1)+A16055(n),n>=1。-奥玛尔·E·波尔2月18日2015

例子

奥玛尔·E·波尔,12月16日2008:(开始)

三角形开始:

1;

2;

4、4;

4、8、12、8;

4、8、12、12、16、28、32、16;

4、8、12、12、16、28、32、20、16、28、36、40、60、88、20、32;

(结束)

戴维阿普盖特,4月29日2009:(开始)

调整三角形的布局,以显示柱子变为常数,如下所示:

. 0;

. 1;

. 2,4;

. 4、4、8、12;

. 8、4、8、12、12、16、28、32;

16、4、8、12、12、16、28、32、20、16、28、36、40、60、88、80;

32、4、8、12、16、28、32、20、16、28、36、40、60、88、36、16、28、36、40、60、88、84、56、…

行和给出A000 616.

(结束)

奥玛尔·E·波尔,2月28日2018:(开始)

此外,非零项可以写为不规则三角形,其中行长度是术语。A011782A乘以2,如下所示:

1,2;

4、4;

4、8、12、8;

4、8、12、12、16、28、32、16;

4、8、12、12、16、28、32、20、16、28、36、40、60、88、20、32;

(结束)

枫树

g=(x/(1+2×x))*(1+2×x*MUL(1 +x^(2 ^ k-1)+2×x^(2 ^ k),k=0…20));斯隆5月20日2009,六月05日2009

γA139250是,A139251是A

A:=〔0, 1, 2,4〕;t==〔0, 1, 3,7〕;m=10;

对于k从1到m

A: = [OP(a),2 ^(k+1)];

T=:[OP(t),t[NOP[t ] ] +a[NOP[a(])];

对于j从1到2 ^(k+ 1)-1做

A:=[OP(a),2 *a[j+2] +a[j+2] ];

T=:[OP(t),t[NOP[t ] ] +a[NOP[a(])];

OD:OD:A;T;

γ斯隆12月25日2009

Mathematica

系数列表[[(x-x^ 2)/((1 -x)(1+2 x))](1 +2 x乘积[1 +x^(2 ^ k- 1)+2 x ^(2 ^ k),{k,0, 20 }]),{x,0, 20 },x](*)文森佐·利布兰迪8月22日2014*)

交叉裁判

等于2A15968和4 *A1529 78(如果我们忽略第一对术语)。

A14764对于行的限制行为。也见A000 616.

行长度A011782A.

囊性纤维变性。A139250A139252A139253A1529 80A153000A15300A000 039A000 0668A061652A15300.

囊性纤维变性。A000 616A15300A1597 90A000 1045A160704A160762A1475A961212.

囊性纤维变性。A160121(单词“A”)A961511(单词“ABC”)A29 947(单词“ABCB”)A29 947(单词“ABCBC”)。

关键词

诺恩塔布

作者

奥玛尔·E·波尔4月24日2008

扩展

部分编辑奥玛尔·E·波尔2月28日2019

地位

经核准的

A000 5940 双DNA序列:用二进制写N-1,A(n)中Pyk的幂为1,其次是K-1 0。
(原M0509)
+ 0
二百二十一
1, 2, 3,4, 5, 6,9, 8, 7,10, 15, 12,25, 18, 27,16, 11, 14,21, 20, 35,30, 45, 24,49, 50, 75,36, 125, 54,81, 32, 13,22, 33, 28,22, 33, 28,γ,y,γ,y,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

自然数的排列。-Robert G. Wilson五世2月22日2005

不动点:A029077. -莱因哈德祖姆勒8月23日2006

均分法减半后,给出序列。-安蒂卡特宁6月28日2014

安蒂卡特宁,12月21日2014:(开始)

这个不规则表可以表示为二叉树。左边的每个孩子都是通过申请获得的。AA30361父母的权利,每个孩子的权利是通过双倍的父母获得:

γ

2……

3 4

5………6…9……/……8

/\/\/\\

/\/\/\\

/\/\/\\

7 10 15 15 12 25 18 27 16

11 14 21 21 20 35 30 45 24 49 50 75 36 75

等。

序列A163511通过从右到左逐级扫描同一树级获得。也在二叉树中A253563A253565树的级别的术语是存在于该树的n级上的术语的一些排列。A252464(n)在所有这些树中给出n从1的距离。

A2527(n)给出和A25738(n)行n上的项的乘积(其中1是行1, 3上的行0, 1,行2上的4,等等)。A25745(n)给出其左子大于右子级的n级上的节点数;A25750从节点2向前的每个节点的左和右子之间的差异。

(结束)

-A000 88 36(a(1+n))给出了相应的分子A325505(n)。-安蒂卡特宁1月19日2019

推荐信

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

KTTUUNEN R.Zunkelle(前1024项)n,a(n)n=1…8192的表

R. E. Kutz两个不寻常的序列两年制《大学数学》杂志,12(1981),316-319。

自然数排列序列的索引条目

公式

A(n)=f(n-1,1, 1)与f(n,i,x)=如果n=0,则x=-For(如果n mod 2=0,则f(n/2,i+1,x)否则f((n-1)/2,i,x*Prime(i)))。-莱因哈德祖姆勒8月23日2006,马塔尔06三月2010

安蒂卡特宁,6月26日2014:(开始)

定义此序列的起始偏移0版本为:

B(0)=1,B(1)=2,[基本情况]

然后用递归计算其余部分:

B(n)=A000 000(1)A070939(n)A000 0120(n))*bA053645(n)。

B(2n)=AA30361(b(n)),b(2n+ 1)=2*b(n)。[将此与所给出的相似递归进行比较A163511]

然后定义a(n)=b(n-1),其中a(n)给出这个序列。A000 5940起始偏移量为1。

也可以定义为相关排列的组合:

A(n+1)=A243353A000 6068(n)。

A(n+1)=A163511A054029(n)。[比较这个序列的散点图和A163511对彼此]。

这个排列也在列表中列举的分区之间进行映射。A125106A112798提供身份:

A161511(n)=A05623(a(n+1))。[相应的金额]

A24399(n)=A000 39 63(a(n+1))。以及这些隔板的部分产品。

(结束)

安蒂卡特宁,12月21日2014 - 04一月2015:(开始)

A1002110(n)=a(1)A000 2450(n)。[原始序列发生在(4 ^ n - 1)/3在序列的OffSET-0版本中。

A(n)=A250246A25753(n-1)。

A(n)=A122111A253563(n-1)。

对于n>=1,A055(a(n+1))A000 1511(n)。

对于n>=2,A(n)=A24627(1 +)A253552(n)。

(结束)

枫树

F== PROC(n,i,x)选项记住;如果n=0,则x;ELIF类型(n,‘偶数’),然后PROCEND(n/2,i + 1,x);否则PRONMENT((N-1)/ 2,I,x*IthPrimy(i));结束IF;结束PROC:

A000 5940= Pro(n)f(n-1,1, 1);结束过程:马塔尔06三月2010

Mathematica

F[n]:=块[{连接[整数[ n-1, 2 ],{ 2 } ],2 ] },Time@ @平坦[表] [Q=取[p,-i];素数[平坦[ q],0 ] + 1 ] ^ [[1, 1,],{i,长度[p] }] ];表[f[n],{n,67 }](*)Robert G. Wilson五世2月22日2005*)

黄体脂酮素

(帕里)A000 5940(n)={i(p=2,t=1);n-;直到(!)n=2,n% 2 & &(t*= p)p=nExestPrimy(p+1);t}哈斯勒,MAR 07 2010;8月29日更新2014

(哈斯克尔)

A00 5940 n=f(n-1)1 1

f 0 y=y

f x y i=m=0=f x′y(i+1)

m=1=f x′(y*a00)

其中(x′,m)=DIVMOD x 2

——莱因哈德祖姆勒,10月03日2012

(方案,从Antti Karttunen的InSeq库用MaTiO化宏定义)

(定义(A000 5940n)(A00 5940OF0(-N 1));OFF=1版本,利用三种不同的OffSET-0实现中的任何一种:

(定义(A00 5940Off0 n)(COND((n 2))(+ 1 N))(否则)(*)A000 000(-)A070939n)(-)A000 0120n)1))(A00 5940OF0)A053645N-21)

(定义(A00 5940Off0n)(COND((<n=2)(+1 n)))(偶数)n)AA30361(A00 5940OF0(/N 2))(OR)(* 2(A00 5940OF0(/(-N 1))2μA)

(定义(A00 5940Off0n)(让循环(n n)(i 1)(x 1))(COND((0)?n)((?)n)(环(/n 2)(+i 1)x)(否则)(环(/(-n 1)2)i(*x)A000 000我爱你!

安蒂卡特宁6月26日2014

(蟒蛇)

从症状输入素数

导入数学

DEF A(n):返回N-***int(Madio.Load(Madio.log(n,2)))

DEF B(n):如果n<2次素数(1)(LeN(bin(n)[2:])-bin(n)[2:]:计数(“1”))*B(a(n)),则返回n+1。

[XnRead(1, 101)]中的n的B(n-1)英德拉尼尔-豪什4月10日2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A1039. 逆是A000 5941A156562

囊性纤维变性。A125106. [来自富兰克林·T·亚当斯·沃特斯,06年3月2010日

囊性纤维变性。A2527(给出行和),A25738(行产品)。

Cf.也A000 000A000 0120A000 0142A000 1511A1002110A000 2450AA30361A053645A055A070939A112798A163511A243353A000 6068A054029A244154A252463A252464A25745A25750A250246A25753A253552A253563A253565A324054A324106A325505A323 508.

囊性纤维变性。A10637A290077A323 915A324052A324054A324055A324056A324057A324058A324114A324335A324340A324338A32434对于应用于(即,置换)这个序列的不同数量的理论序列。

关键词

诺恩容易塔布

作者

斯隆康威

扩展

更多条款Robert G. Wilson五世2月22日2005

在公式转换中签名并添加枫树程序马塔尔06三月2010

二叉树插图和关键字Tabf安蒂卡特宁12月21日2014

地位

经核准的

A030308 三角形T(n,k):在基2中写出n,数字的倒序,得到第n行。 + 0
一百九十九
0, 1, 0、1, 1, 1、0, 0, 1、1, 0, 1、0, 1, 1、1, 1, 1、0, 0, 0、1, 1, 0、0, 1, 0、1, 0, 1、1, 1, 0、1, 0, 0、1, 0, 0、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0,1

评论

这是非常常见的所谓的“BITTEST”函数,参见Pari代码。-哈斯勒7月21日2013

对于给定的数字m和数字位置k,对应的序列索引n可以由n(m,k)=m*(1+层(Log2(m)))- 2 ^(1+层(Log2 2(m))+k+1)计算。例如:从右向左计数,m=13(二进制1101)的第二个数字是“0”。因此,序列指数是n=n(13,2)=39。-菲舍尔05五月2007

A070939(n)=第n行的长度;A000 0120(n)=第n行的和;A030101(n)=n行作为二进制数;A000 0 35(n)=t(n,0)。-莱因哈德祖姆勒6月17日2012

链接

Reinhard Zumkeller行n=0…1023的三角形,扁平化

与N的二进制展开相关的序列的索引条目

公式

A(n)=楼层(m/2 ^(k-1))mod 2,其中m= max(j)A00 1855(j)A00 1855(m)。-菲舍尔,五月05日2007,9月10日2007

例子

三角形开始:

0, 1

1, 1

0, 0, 1

1, 0, 1

0, 1, 1

1, 1, 1

0, 0, 0,1

1, 0, 0,1菲利普德勒姆10月12日2011

枫树

A030308YOR: = N-> OP(转换(n,基,2)):

SEQA030308α(n),n=0,23);彼得卢斯尼11月28日2017

Mathematica

[表[倒整数[ n,2 ] ],{n,0, 23 }] ](*)诺德10月12日2011*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

A030308 NK=A030308A TABF!!!K!

A030308Y行N=A030308IOTABF!n!

A030308IOTABF=迭代BSUCC〔0〕

BSUC[]=〔1〕

BSUC(0:BS)=1:BS

BSUC(1:BS)=0:BSUC-BS

——莱因哈德祖姆勒6月17日2012

(帕里)A030308(n,k)=BITTEST(n,k)\假设列以k=0开始编号,如R. Zumkeller公式所示。-哈斯勒7月21日2013

(Python)在XLead(0, 20)中的n:打印列表(map(int,STR(bin(n)[2:]):::(1)))英德拉尼尔-豪什3月31日2017

(圣人)

A030308∧行=lambda n:nBIT(),如果n>0其他〔0〕

对于n(0…23):打印(A030308γ行(n))彼得卢斯尼11月28日2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A030190.

囊性纤维变性。A03034A03086A031235A030567A031007A031045A031097A031298对于BASE-3到BASE-10类似物。

关键词

诺恩基地容易塔布

作者

克拉克·金伯利

扩展

初始0和更好的名称菲利普德勒姆10月12日2011

地位

经核准的

A124010 第一行为0,第n行(n>1)的三角形列出n的(有序)素数,即n的因式分解中不同素数因子的指数。 + 0
一百八十七
0, 1, 1、2, 1, 1、1, 1, 3、2, 1, 1、1, 2, 1、1, 1, 1、1, 1, 4、1, 1, 2、1, 2, 1、1, 1, 1、1, 1, 3、1, 2, 1、1, 1, 1、1, 1, 3、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,4

评论

A000 1222(n)=和(t(n,k),1 <=k<==)A000 1221(n);A000 5361(n)=乘积(t(n,k),1 <=k<=A000 1221(n),n>1;A05803(n)=马克斯(t(n,k)):1 <=k<=A000 1221(n);A05804(n)=min(t(n,k)),1 <=k<=A000 1221(n);A067029(n)=t(n,1);A071178(n)=t(n);A000 1221(n);A06362(n)=和(A06362(t(n,k)),1 <= k<=A000 1221(n)。-莱因哈德祖姆勒8月27日2011

任何有限的自然数序列都表现为连续的项。-保罗泰克4月27日2013

对于n>1:第n行=第n行A067 255没有零点。-莱因哈德祖姆勒6月11日2013

通常,素数签名是作为非零指数的多个集合的排序表示的,或者以递增的顺序给出。A118914,或者,最常见的是递减顺序,即收益率A212171. -哈斯勒10月12日2018

链接

Reinhard Zumkeller行n=1…10000的三角形,扁平化

N分解中指数序列的索引条目

公式

产品=A027 788(n,k)^ a(n,k)。

例子

指数的初始值为:

1,〔0〕

2,〔1〕

3,〔1〕

4,〔2〕

5,〔1〕

6,〔1, 1〕

7,〔1〕

8,〔3〕

9,〔2〕

10,〔1, 1〕

11,〔1〕

12,〔2, 1〕

13,〔1〕

14,〔1, 1〕

15,〔1, 1〕

16,〔4〕

17,〔1〕

18,〔1, 2〕

19,〔1〕

20,〔2, 1〕

枫树

素数(n),然后返回((1));F1;T1:=IFNER(n);如果返回([OP(2,T1)]);Fi;T2=NoP(T1);T3:=[];Ti=Op(i,T1);如果nops(t4)=1,则t3:= [OP(t3),1 ];否则T3:= [OP(T3),OP(2,T4)];Fi;OD;返回(T3);结束;Expts:= PROC(n)局部T1,T2,T3,T4,I;如果n=1,则返回((0));FI;IF;斯隆12月20日2007

Mathematica

行[ 1 ]={ 0 };行[n]:=因子整数[n] [ [全部,2 ] ] /平坦;表[行[n],{n,1, 80 }] / /平坦(*)让弗兰8月19日2013*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

A124010 N K= A124010YTABF!!(N-1)!(K-1)

A124010X行1=〔0〕

A124010x行n=f n a00 00 40x列表

f=1=[]

f(p:ps)=H u 0

H v E=M=0=H V’(E+1)

m=0=E>0,则E:F V PS PS F V PS

其中(V′,m)=DIVMOD V p

A124010IOTABF=地图A124010YORE [ 1…]

——莱因哈德祖姆勒,6月12日2013,8月27日2011

(PARI)Primt1(0);(n=2, 50,f=因子(n)〔2〕;(i=1,αf,Prrt1(“,”f[i]))查尔斯07月11日2014

(帕里)A124010γ行(n)=(n,因子(n)〔2〕,〔0〕〕哈斯勒10月12日2018

(蟒蛇)

从SmithI导入因子

DEFA(n):

F=因子(n)

如果n=1,否则返回[0 ] [f](i)在f中i

对于n在XRead(1, 21)中:打印A(n)英德拉尼尔-豪什5月16日2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A027 788A000 1221(行长度,n>1);A000 1222(行和)A027 76A020639A06362.

排序行:A118914A212171.

关键词

容易诺恩塔布

作者

富兰克林·T·亚当斯·沃特斯01月11日2006

地位

经核准的

A196020 按行读取的三角形:t(n,k),n>=1,k>=1,其中列k列出与k-1零点交错的奇数,列k的第一元素为行k(k+ 1)/2。 + 0
一百八十五
1, 3, 5、1, 7, 0、9, 3, 11、0, 1, 13、5, 0, 15、0, 0, 17、7, 3, 19、0, 0, 1、21, 9, 0、0, 23, 0、5, 0, 25、11, 0, 0、11, 0, 0、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

给出Sigma(n)的恒等式:行n的交替和等于n的除数之和,用于证明参见阿列克谢耶夫链接

行n有长度A000 3056(n)因此列k开始行。A000 0217(k)。

行n中的正项数是A000 1227(n)n的奇因子的个数。

如果n=2 ^ j,则行n中的唯一正整数是t(n,1)=2 ^(j+1)- 1。

如果n是奇数素数,则行n中仅有的两个正整数是t(n,1)=2n- 1和t(n,2)=n- 2。

如果t(n,k)=3,则t(n+1,k+1)=1,列的第一个元素k+1。

列k的部分和给出了列kA246104.

与Sigma对称表示的连接如下:A246104-->A35791-->A3575 91-->A3575-->A249660-->A27270.

行n的交替和等于从描述的步骤金字塔的第n级突起的单位立方体的数目。A245092. -奥玛尔·E·波尔10月28日2015

猜想:T(n,k)是所有正整数的分区总数除以正k连续部分的平方,所有正整数的分割数的平方的平方n为正k连续部分。-奥玛尔·E·波尔2月14日2018

链接

G. C. Greubel表n,a(n)为前200行,扁平化

Max AlekseyevA196020交替和性质的证明,SEQFAN邮寄名单,11月17日2013。

Paul D. Hanna关于西格玛的一个恒等式,SEQFAN邮寄名单,11月18日2013。

与Sigma(n)相关的序列的索引条目

公式

A000 0203(n)=SUMU{{K=1…A000 3056(n)}(- 1)^(k-1)*t(n,k)。

t(n,k)=2A211343(n,k)- 1,如果A211343(n,k)>1,否则t(n,k)=0。

如果n=k/ 2(mod k)和n>=k(k+ 1)/2,则t(n,k)=2×n/k- k;否则t(n,k)=0。-阿列克谢耶夫11月18日2013

t(n,k)=A246104(n,k)-A246104(n-1,k),假设A246104(k*(k+ 1)/2-1,k)=0。-奥玛尔·E·波尔10月14日2018

例子

三角形开始:

1;

三;

5, 1;

7, 0;

9, 3;

11, 0, 1;

13, 5, 0;

15, 0, 0;

17, 7, 3;

19, 0, 0、1;

21, 9, 0、0;

23, 0, 5、0;

25, 11, 0、0;

27, 0, 0、3;

29, 13, 7、0, 1;

31, 0, 0、0, 0;

33, 15, 0、0, 0;

35, 0, 9、5, 0;

37, 17, 0、0, 0;

39, 0, 0、0, 3;

41, 19, 11、0, 0, 1;

43, 0, 0、7, 0, 0;

45, 21, 0、0, 0, 0;

47, 0, 13、0, 0, 0;

49, 23, 0、0, 5, 0;

51, 0, 0、9, 0, 0;

53, 25, 15、0, 0, 3;

55, 0, 0、0, 0, 0、1;

对于n=15,15的除数是1, 3, 5,15,所以15的除数之和是1+3+5+15=24。另一方面,三角形的第十五行是29, 13, 7,0, 1,所以交替行和是29 - 13 + 7 - 0 + 1=24,等于15的除数之和。

如果n是偶数,那么n行的交替总和比n的除数之和要简单得多。例如,24的除数之和是1+2+3+4+6+8+12+24=60,而第二十四行三角形的交加和是47-47+-α+-α=γ。

枫树

TYROW:= PROC(n)局部T;

t=:(n,k)->如果MODP(nk/2,k)=0,n>=k*(k+ 1)/2,则2×n/kk,否则0 Fi;

SEQ(t(n,k),k=1)楼层((qRT(8×n+1)-1)/2)结束:

SEQ(打印(TyLo(n)),n=1…24);彼得卢斯尼10月27日2015

Mathematica

T[N],KY]:=如果[MOD[N-k*(k+ 1)/ 2,k]=0, 2×n/k-k,0 ]

行[n]:=楼层[(SqRT[8N+ 1 ] - 1)/ 2 ]

线[n]:= MAP[t[n,y] ],范围[RO[n] ]

A196020[M],n[]:=图[线,范围[m,n] ]

扁平化[A196020[ 1, 22 ] ](*数据*)

(*)哈特穆特·霍夫特10月26日2015*)

A196020ROU=函数[n,表[I] [可分[分子[N-k/2 ],k] & & Coprimeq [分母[n- k/2 ],k],2×n/kk,0 ],{k,1,楼层[(qrt[8 n+1 ] -1)/2 ] }]

平坦[表[A196020ROW[n],{n,1, 24 }] ](*)彼得卢斯尼10月28日2015*)

黄体脂酮素

(圣人)

DEF(n,k):

q=(2×N-K)/ 2

B= K.除法(q.MultActuple())和GCD(k,q.DimoMixor())=1

返回2 *N/K-K,如果B 0

对于n(1…24):(t)(n,k)为k(1)层((qRT(8×n+1)-1)/2)]α彼得卢斯尼10月28日2015

交叉裁判

第1-2栏:A000 5408A193356.

囊性纤维变性。A000 0203A000 0217A000 1227A000 3056A211343A212119A228 813A131345A131347A35791A3557A246104A246106A36112A37048A27270A3575 91A3575A26842A2A249660A244050A245092A261699A262626A266000.

关键词

诺恩塔布

作者

奥玛尔·E·波尔,02月2日2013

地位

经核准的

A246104 按行读取的三角形:t(n,k),n>=1,k>=1,其中列k以非递减顺序列出正方形的k个拷贝,列k的第一个元素在行k(k+ 1)/2中。 + 0
一百八十四
1, 4, 9、1, 16, 1、25, 4, 36、4, 1, 49、9, 1, 64、9, 1, 81、16, 4, 100、16, 4, 1、121, 25, 4、1, 144, 25、9, 1, 169、36, 9, 1、36, 9, 1、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

给出所有正整数除数的除数和的恒等式(哪一个恒等式)?-马塔尔10月19日2018)

行n有长度A000 3056(n)因此列k的第一个元素是行的。A000 0217(k)。

列1-3是A000 0290A000 897A211547,但是没有零点。

列k列出了三角形第k列的部分和。A196020它给出了Sigma的一个恒等式。

由于这个序列的所有元素都是正方形,所以我们可以逐一绘出行n的交替和,以及对称图。A000 0203A024916A000 4125见例子。

有关图表的更多信息,请参见A3575.

猜想:T(n,k)是所有正整数的分区总数-奥玛尔·E·波尔,2月14日2018;(这是一个猜想的拷贝)。A35791. -马塔尔10月19日2018)

链接

Michael De Vliegern,a(n)n=1…10075的表(行1<n<=500)。

公式

t(n,k)=A35791(n,k)^ 2。

SUMU{{K=1…A000 3056(n)}(- 1)^(k-1)*t(n,k)=A024916(n)。(交替行和)

A000 0203(n)=SUMU{{K=1…A000 3056(n)}(- 1)^(k-1)*(t(n,k)-t(n-1,k)),假设t(k*(k+ 1)/2-1,k)=0。-奥玛尔·E·波尔10月10日2018

例子

三角形开始:

1;

4;

9, 1;

16, 1;

25, 4;

36, 4, 1;

49, 9, 1;

64, 9, 1;

81, 16, 4;

100, 16, 4、1;

121, 25, 4、1;

144, 25, 9、1;

169, 36, 9、1;

196, 36, 9、4;

225, 49, 16、4, 1;

256, 49, 16、4, 1;

289, 64, 16、4, 1;

324, 64, 25、9, 1;

361, 81, 25、9, 1;

400, 81, 25、9, 4;

441, 100, 36、9, 4, 1;

484, 100, 36、16, 4, 1;

529, 121, 36、16, 4, 1;

576, 121, 49、16, 4, 1;

对于n=6,所有正整数<除数=6的所有除数之和是[ 1 ] +[ 1+2 ] +[ 1 +3 ] +[ 1 + 2+4 ] + [1+5 ] + [另一方面,第六行三角形是36, 4, 1,因此交替行和是36—4+1=33,等于所有正整数的所有除数之和<=6。

在第四象限中逐行地说明第六行的交替和作为多边形的面积(或单元的数目):

. α(Ⅱ)

. βi

. βi

. βi

. γi

. βi

. α(Ⅱ)

.

. 36 36 - 4=32 36 - 4+1=33

.

然后使用这种方法,我们可以画一个对称图。A000 0203A024916A000 4125,如下图所示:

----------------------------------

NA000 0203  A024916图解

----------------------------------

. αi

1 1 1 1

2 3 3 4

3 4 4 8

4 7 7 15

5 6 6 21

6 12 12 33

7 8 8 41

8 15 15 56********

9 13 13 69********

10 18 18 87×*******************

11 12 99 99

12 28 127 127

.

图的对称区域的第一n个集合中的单元总数等于A024916(n)。在图的第n组对称区域中的细胞总数似乎等于σ(n)=A000 0203(n)。例:对于n=12,第十二行三角形是144, 25, 9,1,因此交替求和是144~25+9—1=127。另一方面,我们有A000 0290(12)A000 4125(12)=144—17=A024916(12)=127,在12个阶段之后,等于图中的细胞总数。图的第十二组对称区域中的单元数目是σ(12)=A000 0203(12)=28。请注意,在这种情况下,只有一个区域。最后,*的数目是A000 4125(12)=17。

请注意,该图也是所描述的阶梯金字塔的顶视图。A245092. -奥玛尔·E·波尔2月12日2018

Mathematica

表[天花板([n+1)/k-(k+ 1)/2 ] ^ 2,{n,20 },{k,楼层[(Sqt[8 n+1 ] -1)/2 ] }/ /平坦(*)米迦勒·德利格勒2月10日2018后哈特穆特·霍夫特A35791*)

黄体脂酮素

(蟒蛇)

从症状导入

导入数学

DEF(n,k):返回int(数学.CEIL((n+1)/k-(k+ 1)/ 2))

对于n在xLead(1, 21)中:在xLINK(1),int(My.Lead((SqRT(8×n+1)-1)/2)+1)]中打印k(t,n,k)** 2。英德拉尼尔-豪什4月25日2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0203A000 0217A000 0290A000 1227A000 3056A000 897A024916A000 4125A196020A211343A228 813A131345A131347A35791A3557A35799A246106A36112A35640A27270A3575 91A3575A249660A244050A245092A262626A266000.

关键词

诺恩塔布

作者

奥玛尔·E·波尔1月23日2014

地位

经核准的

第1页 五百八十四

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