搜索： 编号：a282628
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A282628型
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| 行读取的三角形T（n，k）：行n为n>=0给出了用于{和{j=1..m}（1+2*j）^n}_{m>=0}的指数母函数的指数分子多项式的系数。 |
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+0
1
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 9, 16, 8, 1, 27, 98, 120, 48, 1, 81, 544, 1232, 1152, 384, 1, 243, 2882, 10800, 17760, 13440, 3840, 1, 729, 14896, 87128, 224640, 289920, 184320, 46080, 1, 2187, 75938, 669480, 2544528, 4986240, 5295360, 2903040, 645120, 1, 6561, 384064, 4990112, 26917632, 75204864, 118702080, 107089920, 51609600, 10321920
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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-1,5
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评论
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添加了n=-1行（T（-1，0）=1）以形成三角形，但未使用。
对于n>=0，指数行多项式是R（n，t）=Sum_{k=0..n+1}t（n，k）*t^k/k！。
例如，Eodd（n，t）=和{m>=0}草皮（n，m）*t^m/m！其中Sodd（n，m）=Sum_{j=0..m}（1+2*j）^n是R（n，t）*exp（t），对于n>=0。
这个三角形是A060187号它给出了{Sodd（n，m）}_{m>=0}的o.g.f.s的行多项式的系数，它们是
G（n，x）=和{k=0..n}A060187号（n+1，k+1）*x^k/（1-x）^（n+2），对于n>=0。
拉普拉斯逆变换L^[-1]用于从A060187号为了实现这一点，使用了以下重新排序标识：
（和{j=0..n}a（n，j）*x^j）/（1-x）^。这可以通过与（1-x）^（n+1）相乘并使用二项式定理找到第一个a（n，j）=Sum_{i=0..min（n，j）}（-1）^[j-i]*二项式（n-i，j-i）*b（n，i）来证明。然后，使用Graham等人（第169页）的二项式恒等式（5.24），根据a求出b，从而将其颠倒过来。
这最终导致拉普拉斯逆变换公式L^[-1]{（Sum_{j=0..n}a（n，j）*x^j）/（1-x）^（n+1）}=exp（t）*Sum__{k=0..n{b（n，k）*t^k/k！，对于n>=0，使用b（n，k）的给定表达式。然后将其应用于上述o.g.f.g（n，x）。
On可以从S（n，m）=Sum_{j=1..n}j^n通过j和的二分得到Sodd（n，m）=S（n、2*（m+1））-2^n*S（n和m+1）=S。
（具有不同的偏移）。
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参考文献
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罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《混凝土数学》。，第二版。；Addison-Wesley，1994年，第169页，等式（5.24）。
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链接
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配方奶粉
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对于k>n+1，T（n，k）=0，T（-1，0）=1，以及
T（n，k）=和{j=0..min（n+1，k）}二项式（n+1-j，k-j）*A060187号（n+1，j+1），对于n>=0和k=0…n+1。
T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（k-1，j-1）*。
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例子
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三角形T（n，k）开始（第n行=-1未使用）：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1: 1
+0: 1 1
+1: 1 3 2
+2: 1 9 16 8
+3: 1 27 98 120 48
+4: 1 81 544 1232 1152 384
+5: 1 243 2882 10800 17760 13440 3840
+6: 1 729 14896 87128 224640 289920 184320 46080
+7:1 2187 75938 669480 2544528 4986240 5295360 2903040 645120
...
第8行：1 6561 384064 4990112 26917632 75204864 118702080 107089920 51609600 10321920，
行n=9:1 19683 1933442 36467040 272199360 1042594560 2295175680 3030773760 2376622080 1021870080 185794560。。。
n=0：奇数（0，t）=R（0，t）*exp（t）=（1+1*t）*exp（t）。G（0，x）=1/（1-x）^2。
n=2:奇数（3，t）=（1+9*t+16*t^2/2！+8*t^3/3！）*exp（t），G（2，x）=（1+6*x+x^2）/（1-x）^4。
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数学
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表[和[（-1）^（k-j）二项式[k-1，j-1]（2j+1）^n，{j，0，k}]，{n，-1，8}，{k，0，n+1}]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年3月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{对于（n=-1，8，对于（k=0，n+1，print1）（如果（k==0，1，sum（j=0，k，（-1）^（k-j）*二项式（k-1，j-1）*（2*j+1）^n）），“，”）；）；print（）；）\\因德拉尼尔·戈什2017年3月18日
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交叉参考
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关键词
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