搜索： 编号：a196837
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1, 2, -3, 3, -12, 11, 4, -30, 70, -50, 5, -60, 255, -450, 274, 6, -105, 700, -2205, 3248, -1764, 7, -168, 1610, -7840, 20307, -26264, 13068, 8, -252, 3276, -22680, 89796, -201852, 236248, -109584, 9, -360, 6090, -56700, 316365, -1077300, 2171040, -2345400, 1026576, 10, -495, 10560, -127050, 946638, -4510275, 13667720, -25228500, 25507152, -10628640
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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正整数的k次幂有部分和Sum_{j=1..n}j^k，在数组中表示为列数n>=1A103438号（不在三角形中；请参阅此处给出的示例数组；请注意，0^0已在此处设置为0）。
数组的列数n>=1的o.g.fA103438号通过拉普拉斯变换从示例f中获得，示例f如下所示
exp（x）*（exp（n*x）-1）/（exp（x）-1）=Sum_｛j=1..n｝exp（j*x）
（总和是例如f.，这是微不足道的。）。
因此，o.g.f.是Sum_{j=1..n}1/（1-j*x），它被改写为P（n，x）/Product_{j=1..n}（1-j*x）。这定义了当前三角形的行多项式P（n，x）。有关详细信息，请参阅链接。
这个三角形根据Stirling2数的第n列来组织前n个正整数的幂和A048993号（请参阅下面给出的公式和示例以及链接）。
利用下面给出的公式，可以找到n>=1，k>=0，和{j=1..n}j^k=
和{m=0..min（k，n-1）}（（n-m）*S1（n+1，n-m+1）*S2（k+n-m，n）），
对于用Stirling2数的第k行和n中的二项式表示前n个正整数的k次幂和的其他两个公式，请参阅下面给出的D.E.Knuth参考A093556号第285页。
另请参阅以下给定链接，等式（11）和（12）。（完）
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链接
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配方奶粉
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a（n，m）=[x^m]P（n，x），m=0..n-1，行多项式定义为
（总和{j=1..n}1/（1-j*x））*Product_{j=1.n}（1-j*x）（请参阅上面给出的注释）。
求和{j=1..n}j^k=求和{m=0..n-1}a（n，m）*S2（k+n-m，n），n>=1，k>=0，带Stirling2三角形A048993号.
因此，行多项式P（n，x）为
Sum_{j=1..n}（乘积_{k=1..n省略k=j}（1-k*x）），n>=1。这将导致：
a（n，m）=（n-m）*S1（n+1，n+1-m），n-1>=m>=0，带（符号）Stirling1数A048994号有关证据，请参阅链接。
（完）
类似的多项式出现在1/（n+x）^2的展开中，作为分母中有阶乘的级数：1/（n+x）^2=-Sum_{k>=1}n/（n+k+1）！*P（k，1/x）x^（k-1）-马特·马吉奇2019年11月1日
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例子
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n\m 0 1 2 3 4 5。。。
1 1
2 2 -3
3 3 -12 11
4 4 -30 70 -50
5 5 -60 255 -450 274
6 6 -105 700 -2205 3248 -1764
...
n=5:1^k+2^k+3^k+4^k+5^k，k>=0(2015年5月52日)如f.Sum_{j=1..5}exp（j*x）。o.g.f.是
求和{j=1..5}1/（1-j*x），这是
（5-60*x+255*x^2-450*x^3+274*x^4）/产品{j=1..5}（1-j*x）。
（2-7*x）*（3-42*x+203*x ^2-392*x ^3+252*x*4）。
关于S2的前n个正整数的幂和：
n=4：A001551号（k） =4*S2（k+4,4）-30*S2。例如，k=3:4*350-30*65+70*10-50*1=100=2015年5月(3).
n=3的行多项式：P（3，x）=（1-2*x）*（1-3*x）+（1-1*x）x（1-3**）+（1-1*x）x（1-2**）=3-12*x+11*x^2。
a（3,2）=+（σ2（2,3）+σ2=
2*3+1*3+1*2=1=1=+1*sigma_2（1,2,3）=+1*|S1（4,4-2）|。
S1，S2，n=4，k=3的幂和公式：
A001551号（3） =总和{j=1..n}j^3=1*4*350-3*10*65+2*35*10-1*50*100。（完）
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数学
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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