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A127671号 累积展开数:对数展开系数(1+Sum_{k>=1}x[k]*(t^k)/k!)。 +0
18
1, 1, -1, 1, -3, 2, 1, -4, -3, 12, -6, 1, -5, -10, 20, 30, -60, 24, 1, -6, -15, -10, 30, 120, 30, -120, -270, 360, -120, 1, -7, -21, -35, 42, 210, 140, 210, -210, -1260, -630, 840, 2520, -2520, 720, 1, -8, -28, -56, -35, 56, 336, 560, 420, 560, -336, -2520, -1680, -5040, -630, 1680, 13440, 10080, -6720 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,5
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从常规(断开连接的)对象连接的对象。
此数组的行长度为p(n):=A000041号(n) (分区号)。
在第n行中,n的分区按Abramowitz-Stegun顺序。
可以调用无符号数字|a(n,k)|M_5(类似于A111786号,A036038型,A036039号,A036040型A117506号,分别)。
反向关系(与连接对象断开连接)位于A036040型.
(d/da(1))p_n[a(1),a(2),…,a(n)]=n b_(n-1)[a(1),a(2),…,a(n-1)],其中p_n是累积量生成器的划分多项式A127671号和bn是A133314号. -汤姆·科普兰2012年10月13日
请参阅有关此数组不同顺序版本中Appell序列的相关注释A263634型. -汤姆·科普兰2016年9月13日
给定由例如f.exp[t*f(x)]=Sum_{n>=0}p_n(t)*x^n/n!定义的二项式Sheffer多项式序列!,由这些多项式形成的累积量是f(x)的泰勒级数系数乘以t。例如,第一类斯特林多项式的序列A008275号如果f(x)=log(1+x),则第n个累积量为(-1)^(n-1)*(n-1t-汤姆·科普兰2019年7月25日
发件人汤姆·科普兰2020年10月15日:(开始)
a_n=n!*b_n=(n-1)!*对于n>0,用f(0)=a0=b0=1表示函数
A) 指数生成函数(例如f),或形式泰勒级数:f(x)=e^{A.x}=1+Sum_{n>0}A_n*x^n/n!
B) 普通生成函数(o.g.f.),或形式幂级数:f(x)=1/(1-B.x)=1+Sum{n>0}B_n*x^n
C) 对数生成函数(l.g.f):f(x)=1-log(1-C.x)=1+Sum{n>0}C_n*x^n/n。
对数(f(x))的展开式如所示
一)A127671号A263634型对于例如f:log[e^{a.*x}]=e^{L.(a_1,a_2,…)x}=Sum_{n>0}L_n(a_1,…,a_n)*x^n/n!,对数多项式、累积展开多项式
二)A263916型对于o.g.f.:log[1/(1-b.x)]=log[1-f(b_1,b_2,…)x]=-求和{n>0}f_n(b.1,…,b_n)*x^n/n,Faber多项式。
exp(f(x)-1)的展开式如下
三)A036040型对于例如f:exp[e^{a.x}-1]=e^{BELL.(a_1,…)x},BELL/Touchard/指数配分多项式,即第二类Stirling配分多项式
四)A130561型对于o.g.f:exp[b.x/(1-b.x)]=e^{LAH.(b.,…)x},LAH配分多项式
五)A036039号对于l.g.f.:exp[-log(1-c.x)]=e^{CIP.(c1,…)x},对称群S_n的循环指数多项式,也称为第一类斯特林配分多项式。
由于exp和log是一个组合逆对,因此可以从exp集中提取分区多项式的log集的不确定性,反之亦然。有关这些多项式之间的关系以及连通和不连通图/映射的组合学的讨论,请参阅Novak和LaCroix关于经典矩和累积量的文章以及A036040型.(结束)
忽略符号,这些多项式出现在Schröder第343页的方程组(II)中,以及Stewart第31页的翻译中-汤姆·科普兰2021年8月25日
参考文献
C.Itzykson和J.-M.Drouffe,《统计场论》,第2卷,第413页,等式(13),剑桥大学出版社,(1989年)。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准应用数学局。第55辑,第十次印刷,1972年,第831-2页。
沃尔夫迪特·朗,前10行累积数和多项式
E.Schröder,Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen公司《数学年鉴》第2卷,317-3651870年。
G.Stewart,关于求解方程的无穷多算法(以上薛定谔论文的英译)。
配方奶粉
例如,对于多元行多项式A(t):=log(1+Sum_{k>=1}x[k]*(t^k)/k!)。
第n行多项式p_n(x[1],…,x[n])=[(t^n)/n!]A(t)。
a(n,m)=A264753型(n,m)*m_3(n,m)与m_3=A036040型(n,m)(Abramowitz-Stegun m_3数字)已由更正约翰内斯·梅耶尔2016年7月12日
p_n(x[1],…,x[n])=-(n-1)*F(n,x[1],x[2]/2!,..,x[n]/n!)根据A263916型. -汤姆·科普兰2015年11月17日
在D=D/dz和M(0)=1的条件下,微分算子R=z+D(log(M(D))/dD=z+D(log(1+x[1]D+x[2]D^2/2!+…))/dD=z+p.*exp(p.D)=z+Sum_{n>=0}p_(n+1)(x[1],..,x[n])D^n/n!是Appell序列A_n(z)=(z+x[.])^n=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)x[n-k]z^k的提升算子,例如f.M(t)e^(zt),即R A_n。运算符Q=z-p.*exp(p.D)生成带有例如f.e^(zt)/M(t)的Appell序列-汤姆·科普兰2015年11月19日
例子
行n=3:[1,-3,2]代表多项式1*x[3]-3*x[1]*x[2]+2*x[1]^3(n=3的p(3)=3分区的Abramowitz-Stegun阶为[3],[1,2],[1^3])。
交叉参考
囊性纤维变性。A133314号,A263916型,A263634型.
囊性纤维变性。A008275号.
囊性纤维变性。A036039号,A036040型,A130561型.
关键词
签名,容易的,标签
作者
沃尔夫迪特·朗2007年1月23日
状态
经核准的
第页1

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