搜索： 编号：a084938
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A084938号
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| 行读取的三角形：T（n，k）=Sum_{j>=0}j*T（n-j-1，k-1）对于n>=0，k>=0。 |
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+0
635
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 6, 5, 3, 1, 0, 24, 16, 9, 4, 1, 0, 120, 64, 31, 14, 5, 1, 0, 720, 312, 126, 52, 20, 6, 1, 0, 5040, 1812, 606, 217, 80, 27, 7, 1, 0, 40320, 12288, 3428, 1040, 345, 116, 35, 8, 1, 0, 362880, 95616, 22572, 5768, 1661, 519, 161, 44, 9, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.8
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评论
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三角形T（n，k）是[0,1,1,2,2,3,3,4,4，…]三角形[1,0,0,,0,0，…]=A110654号三角洲A000007号.
通常，三角形[r_0，r_1，r_2，r_3，…]Δ[s_0，s_1，s_2，s_3，…]具有生成函数1/（1-（r_0*x+s_0*x*y）/（1-（r_1*x+s_1*x*y）/（1-（r_2*x+s_2*x*y）/（1-（r_3*x+s_3*x*y）/（1-…（续分数））。另请参阅下面的公式部分。
T（n，k）=[n]上的置换数，其中（i）仅包含作为4132模式的一部分的132模式，（ii）以n+1-k开头。例如，对于n>=1，T（n、1）=（n-1）！计数所有（n-1）！[n]上以n开头的排列：要么全部避免132，要么在4132模式中，初始条目充当“4”，T（4,3）=3表示2134，2314，2341-大卫·卡伦2005年7月20日
T（n，k）是[n]上的排列数，（i）包含一个（分散的）342图案，作为1342图案的一部分，（ii）在k位置包含1。例如，T（4,3）计数为3214，4213，4312。（例如，2314不算在内，因为231构成了一个冒犯性的342模式。）-大卫·卡伦2005年7月20日
Riordan数组（1，x*g（x）），其中g（x）是阶乘（n！）的g.f-保罗·巴里2008年9月25日
T（n，k）是具有k个循环的{1,2，…，n}的排列的数目，使得排列的每个循环的元素形成一个区间-冉·潘2016年11月11日
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链接
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David Callan，合成特征序列的组合解释，arXiv:math/0507169[math.CO]，2005年。
谢尔盖·基塔耶夫（Sergey Kitaev）和菲利普·张（Philip B.Zhang），短长网格图案的分布，arXiv:1811.07679[math.CO]，2018年。
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配方奶粉
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算子DELTA取两个序列r=（r_0，r_1，…），s=（s_0，s_1，..），并生成三角形T（n，k），0<=k<=n，如下所示：
设q（k）=x*r_k+y*s_k，k>=0；设P（n，k）（n>=0，k>=-1）被P（0，k）=1递归定义为k>=0；当n>=1时，P（n，-1）=0；当n>=1，k>=0时，P（n，k）=P（n、k-1）+q（k）*P（n-1，k+1）。那么P（n，k）是x和y中n次的齐次多项式，T（n，k）=P（n、0）中x^（n-k）*y^k的系数。
T（n，n）=1。
T（m+n，m）=和{k=0..n}A090238号（n，k）*二项式（m，k）。
列k的G.f:求和{n>=0}T（k+n，k）*x^n=（求和{n>=0{n！*x^n）^k。
对于k>0，T（n+k，k）=Sum_{a_1+a_2+..+a_k=n}（a_1）*（a_2）！**（a_k）！；a_i>=0，n>=0。
T（n，k）=和{j>=0}A075834号（j） *T（n-1，k+j-1）。
和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）=[n=0]-A052186号（n-1）*[n>0]。（结束）
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例子
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三角形[0,1,1,2,3,3,4,5,5，…]三角形[1,0,0,0，…]开始
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 2, 1;
0, 6, 5, 3, 1;
0, 24, 16, 9, 4, 1;
0, 120, 64, 31, 14, 5, 1;
0, 720, 312, 126, 52, 20, 6, 1;
0, 5040, 1812, 606, 217, 80, 27, 7, 1;
0, 40320, 12288, 3428, 1040, 345, 116, 35, 8, 1;
0, 362880, 95616, 22572, 5768, 1661, 519, 161, 44, 9, 1. （结束）
生产矩阵为
0, 1;
0, 1, 1;
0, 1, 1, 1;
0, 2, 1, 1, 1;
0, 7, 2, 1, 1, 1;
0, 34, 7, 2, 1, 1, 1;
0, 206, 34, 7, 2, 1, 1, 1;
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MAPLE公司
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DELTA:=过程（r，s，n）局部T，x，y，q，P，i，j，k，t1；T:=数组（0..n，0..n）；
对于从0到n的i，做q[i]：=x*r[i+1]+y*s[i+1]；od：对于从0到n的k do P[0]，k]：=1；od：对于从0到n的i，P[i，-1]：=0；日期：
对于i从1到n do，对于k从0到n doP[i，k]：=排序（展开（P[i，k-1]+q[k]*P[i-1，k+1））；日期：日期：
对于i从0到n做t1:=P[i，0]；对于从0到i的j，T[i，j]：=系数（系数（t1，x，i-j），y，j）；od：lprint（序列（T[i，j]，j=0..i））；od：结束；
#要生成当前三角形：s3:=n->floor（（n+1）/2）；s4:=n->如果n=0，则为1，否则为0；fi；r：=[序列（s3（i），i=0..40）]；s：=[seq（s4（i），i=0..40）]；三角洲（r，s，20）；
PMatrix（10，n->阶乘（n-1））#彼得·卢什尼2022年10月9日
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数学
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a[0,0]=1；a[n_，k_]：=a[n，k]=和[j！a[n-j-1，k-1]，{j，0，n-1}]；扁平[表[a[i，j]，{i，0，10}，{j，0，i}]](*T.D.诺伊2012年2月22日*）
Δ[r_，s_，m_]：=模块[{p，q，t，x，y}，q[k]：=x*r[[k+1]]+y*s[[k+1]]；p[0，_]=1；p[_，-1]=0；p[n_/；n>=1，k_/；k>=0]：=p[n，k]=p[n，k-1]+q[k]*p[n-1，k+1]//展开；t[n_，k_]：=系数[p[n，0]，x^（n-k）*y^k]；t[0,0]=p[0,0]；表[t[n，k]，{n，0，m}，{k，0，n}]]；DELTA[Floor[范围[10]/2]，前置[Table[0，{10}]，1]，10](*Jean-François Alcover公司2013年9月12日之后菲利普·德尔汉姆*)
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
定义delehamdelta（R，S）：
L=最小值（长度（R），长度（S））+1
环=多项式环（ZZ，'x'）
x=环.gen（）
A=[Rk+x*Sk代表Rk，Sk代表拉链（R，S）]
C=[环（0）]+[环（1），i在范围（L）内]
对于k in（1..L）：
对于范围（k-1，0，-1）中的n：
C[n]=C[n-1]+C[n+1]*A[n-1]
产量清单（C[1]）
对于delehamdelta中的行（[（i+1）//2表示（0..n）]中的i，[0^i表示（0..n）中的i）：
打印（行）
（岩浆）
如果k lt 0或k gt n，则返回0；
elif n eq 0或k eq n，然后返回1；
elif k eq 0，然后返回0；
else返回（&+[阶乘（j）*T（n-j-1，k-1）：[0..n-1]]中的j）；
结束条件：；返回T；
端函数；
[T（n，k）：[0..n]中的k，[0..12]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年11月10日
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交叉参考
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关键词
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作者
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菲利普·德尔汉姆，2003年7月16日；更正2008年12月17日、2008年12日20日、2009年2月5日
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扩展
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状态
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经核准的
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