搜索： 编号：a048854
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A048854号
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| 按行读取三角形。无符号Lah数的推广，称为L[4,1]。 |
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1, 2, 1, 12, 12, 1, 120, 180, 30, 1, 1680, 3360, 840, 56, 1, 30240, 75600, 25200, 2520, 90, 1, 665280, 1995840, 831600, 110880, 5940, 132, 1, 17297280, 60540480, 30270240, 5045040, 360360, 12012, 182, 1, 518918400, 2075673600, 1210809600, 242161920, 21621600, 960960, 21840, 240, 1, 17643225600, 79394515200, 52929676800, 12350257920, 1323241920, 73513440, 2227680, 36720, 306, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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s（n，x）：=和{m=0..n}T（n，m）*x^m是满足s（n、x+y）=和{k=0..n}二项式（n，k）*s（k，x）*p（n-k，y）的一元多项式，多项式p（n，x）=和}m=1..n}A048786号（n，m）*x^m（三角形的行多项式A048786号)p（0，x）=1。
在本影演算（见罗马参考文献，第21页）中，s（n，x）被称为Sheffer多项式（1/sqrt（1+4*t），t/（1+4*t））。这里Sheffer符号不同。请参阅下面的W.Lang链接A006232号.
这是广义无符号Lah数三角形L[4,1]，Sheffer三角形（（1-4*t）^（-1/2），t/（1-4*t））。它被定义为转移矩阵
risefac[4,1]（x，n）=求和{m=0..n}L[4,1]（n，m）*fallfac[4,1]（x，m），其中，对于n>=1，risefac[4,1'（x，n）：=产品{0..n-1}（x+（1+4*j））；对于n>=1，risefach[4,1]4，1]（x，0）：=1。
在矩阵表示法中：L[4,1]=S1phat[4,1]*S2hat[4,1]，带有无符号标度Stirling1和标度Stiling2推广A290319型和A111578号（但此处偏移量为0）。
该Sheffer矩阵的a序列和z序列分别具有f.s Ea（t）=1+4*t和Ez（t）=（1+4*t）*（1-（1+4*t）^（-1/2））/t。也就是说，a＝{1，4，repeat（0）}并且z（n）＝2*A292220型（n） 。请参阅此处a和z序列上的W.Lang链接。
逆矩阵T^（-1）=L^（-1-）[4,1]是Sheffer（（1+4*T）^（-1/2），T/（1+4*T））。这意味着T^（-1）（n，m）=（-1）^（n-m）*T（n，m）。
fallfac[4,1]（x，n）=和{m=0..n}（-1）^（n-m）*T（n，m）*risefac[4,1][x，m），n>=0。
对角线序列具有o.g.f.g（d，x）=A001813号（d） *和{m=0..d}A091042号（d，m）*x^m/（1-x）^{2*d+1}，对于d>=0（d=0主对角线）。G（d，x）生成{A001813号（d） *二项式（2*（n+d），2*d）}{n>=0}。请参阅第二个W.Lang链接，了解如何计算一般Sheffer三角形对角序列的o.g.f.s-沃尔夫迪特·朗2017年10月12日
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参考文献
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S.Roman，《数学微积分》，学术出版社，纽约，1984年。
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链接
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配方奶粉
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T（n，m）=（n！/m！）*A046521号（n，m）=（n！/m！）*二项式。
和{n>=0，k>=0}T（n，k）*x^n*y^k/（2*n）！=exp（x）*cosh（平方码（x*y））-弗拉德塔·乔沃维奇2003年2月21日
行多项式R（n，x）的E.g.f.：=Sum_{m=0..n}T（n，m）*x^m：
（1-4*t）^（-1/2）*exp（x*t/（1-4*t））（这是三角形的示例f）。
m列的示例：（1-4*t）^（-1/2）*（t/（1-4*t））^m/m！，m>=0。
列条目m>=1:T（n，m）=（n/m）*T（n-1，m-1）+4*n*T（n-1，m）的三项递归*A292220型（j） （见上文）。
四项递推：T（n，m）=T（n-1，m-1）+2*（4*n-3）*T（n-1,m）-8*（n-1）*（2*n-3。
（一元）行多项式的Meixner型恒等式：（D_x/（1+4*D_x））*R（n，x）=n*R（n-1，x），n>=1，其中R（0，x）=1，D_x=D/dx。也就是说，和{k=0..n-1}（-4）^k*（D_x）^（k+1）*R（n，x）=n*R（n-1，x），n>=1。
Sheffer行多项式的一般重现性（见罗马参考文献，第50页，推论3.7.2，改写为当前Shefffer符号）：
R（n，x）=[（2+x）*1+8*（1+x）*D_x+16*x*（D_x）^2]*R（n-1，x），n>=1，其中R（0，x）=1。
m列的Boas-Buck重现性（见A286724型带参考）：T（n，m）=（n！/（n-m））*（2+4*m）*和{p=0...n-1-m}4^p*T（n-1-p，m）/（n-1-p）！，对于n>m>=0，输入T（m，m）=1。
显式形式（来自对角线序列的o.g.f.s）：（（2*（n-m））/（n-m）！）*二项式（2*n，2*（n-m）），n>=m>=0，n<m时消失-沃尔夫迪特·朗2017年10月12日
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例子
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三角形T（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8。。。
0: 1
1: 2 1
2: 12 12 1
3: 120 180 30 1
4：1680 3360 840 56 1
5: 30240 75600 25200 2520 90 1
6: 665280 1995840 831600 110880 5940 132 1
7: 17297280 60540480 30270240 5045040 360360 12012 182 1
8: 518918400 2075673600 1210809600 242161920 21621600 960960 21840 240 1
...
n=9:17643225600 79394515200 52929676800 12350257920 1323241920 73513440 2227680 36720 306 1，
电话号码：670442572800 3352212864000 2514159648000 67044258800 83805321600 5587021440 211629600 4651200 58140 380 1。
...
a序列的递归：T（4，2）=2*T（3，1）+4*4*T（3,2）=2*180+16*30=840。
z序列的递归：T（4,0）=4*（z（0）*T（3,0）+z（1）*T。
四项复发：T（4,2）=T（3,1）+2*13*T（3,2）-8*3*5*T（2,2）=180+26*30-120*1=840。
n=2的梅克斯纳类型恒等式：（D_x-4*（D_x）^2）*（12+12*x+1*x^2）=（12+2*x）-4*2=2*（2+x）。
R（3，x）的Sheffer递归：[（2+x）+8*（1+x）*D_x+16*x*（D_x）^2]。
列m=2，n=4:T（4，2）=（4！*10/2）*（1*30/3！+4*1/2！）=840的Boas-Buck递推。
对角线序列d=2：｛12，180，840…｝具有o.g.f.12*（1+10*x+5*x^2）/（1-x）^5（参见A001813号（2） 第n行=第2行，共A091042号)生成
{12*二项式（2*（n+2），4）}{n>=0}-沃尔夫迪特·朗2017年10月12日
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MAPLE公司
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数学
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T[0,0]=1；T[-1，_]=T[_，-1]=0；温度[n_，m_]/；n<m=0；T[n_，m]：=T[n，m]=T[n-1，m-1]+2*（4*n-3）*T[n-1，m]-8*（n-1）*（2*n-3；表[T[n，m]，{n，0，9}，{m，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2017年9月23日*）
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交叉参考
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