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A006934号 Pi系列。
(原名M5119)
+0
2
1, 1, 21, 671, 180323, 20898423, 7426362705, 1874409467055, 5099063967524835, 2246777786836681835, 2490122296790918386363, 1694873049836486741425113, 5559749161756484280905626951, 5406810236613380495234085140851, 12304442295910538475633061651918089 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
卢克公式(21)(见参考文献):设y=4*n+1。那么对于n->oo
Pi~4*(n!)^4*2^(4*n)/(y*(2*n)!)^2) *(总和{k>=0}((-1)^k*y^(-2*k)*A006934号(k)/A123854号(k) )^2。(卢克没有引用这种形式的序列。)-彼得·卢什尼2014年3月23日
这可能与N.Elezovic“中心二项式的渐近展开…”,J.Int.Seq中等式(18)的分子有关。17 (2014) # 14.2.1. -R.J.马塔尔2014年3月23日
一些参考文献给出了错误的值1874409465055,而不是π公式中的a(7)-M.F.哈斯勒2014年3月23日
参考文献
Y.L.Luke,《特殊函数及其近似》,第1卷,纽约学术出版社,1969年,见第36页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
J.L.Fields,关于伽马函数比值渐近展开的注记,程序。爱丁堡数学。Soc.(15),43-451966年。
A.Gil、J.Segura、N.M.Temme、,Weber抛物柱面函数W(a,x)的快速精确计算IMA J.数字分析。31(2011),1194-1216,等式(3.8)。
A.卢帕斯,回复:Pi计算?,网址:mathforum.org,2003年2月15日。
C.莫蒂奇,关于pi的一些精确估计,公牛。数学。分析。申请。2(4) (2010) 137-139. (公式(1.5),与卢克中的相同拼写错误)
公式
设p(n,x)=和(k=0..n,x^k*A220412型(n,k)/A220411型(n) 则a(n)=(-1)^n*p(n,1/4)*A123854号(n)*A001448号(n) ●●●●-彼得·卢什尼2014年3月23日
Pi=lim_{n->oo}2^{4n+2}/((4n+1)*C(2n,n)^2)*(sum_{k=0..oo}(-1)^k*a(k)/(A123854号(k) *(4n+1)^{2k}))^2-M.F.哈斯勒2014年3月23日
MAPLE公司
A006934号_列表:=proc(n)局部k,f,bp;
bp:=proc(n,x)选项记忆;局部k;如果n=0,则1 else-x*add(二项式(n-1,2*k+1)*bernoulli(2*k+2)/(k+1)*bp(n-2*k-2,x),k=0..n/2-1)fi结束:
f:=n->2^(3*n-加(i,i=转换(n,基数,2)));
加法(bp(2*k,1/4)*二项式(4*k,2*k)*x^(2*k),k=0..n-1);
seq((-1)^k*f(k)*系数(%,x,2*k),k=0..n-1)结束:
A006934号_列表(15)#彼得·卢什尼2014年3月23日
#第二种解决方案,不使用基于欧拉数的Nörlund广义伯努利多项式:
A006934号_列表:=proc(n)局部a,c,j;
c:=n->4^n/2^加法(i,i=转换(n,基数,2));
a:=[seq((-4)^j*euler(2*j)/(4*j),j=1..n)];
展开(exp(添加(a[j]*x^(-j),j=1..n));泰勒(%,x=无穷大,n+2);
sub(x=1/x,convert(%,polynom)):序列(c(iquo(j,2))*系数(%,x,j),j=0..n)结束:
A006934号_列表(14)#彼得·卢什尼2014年4月8日
数学
A006934列表[n_]:=模块[{c,a,s,sx},c[k_]:=4^k/2^Total[整数位数[k,2]];a=表[(-4)^j EulerE[2j]/(4j),{j,1,n}];s[x_]=级数[Exp[Sum[a[[j]]x^(-j),{j,1,n}]],{x,无穷大,n+2}]//正态;sx=s[1/x];表[c[商[j,2]]系数[sx,x,j],{j,0,n}]];
A006934列表[14](*Jean-François Alcover公司,2019年6月2日,第二个枫叶项目*)
黄体脂酮素
(鼠尾草)
@缓存函数
定义p(n):
如果n<2:返回1
返回-加法(二项式(n-1,k-1)*bernoulli(k)*p(n-k)/k,对于范围(2,n+1,2)中的k)/2
定义A006934号(n) :return(-1)^n*p(2*n)*二项式(4*n,2*n
[A006934号(n) 对于(0..14)中的n#彼得·卢什尼2014年3月24日
交叉参考
关键字
非n
作者
扩展
a(7)修正,a(8)-a(14)来自彼得·卢什尼2014年3月23日
状态
经核准的
第页1

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