搜索: 编号:a005117
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A005117号
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| 无平方数:不能被大于1的平方整除的数字。 (原名M0617)
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1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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1和不同素数的乘积。
也是最小的序列,其性质是a(m)*a(k)对于k永远不是平方!=m.-Ulrich Schimke(ulrschimke(AT)aol.com),2001年12月12日
数k使得只有一个具有k个元素的阿贝尔群,即阶为k的循环群(这样的数A000688号(k) =1).-艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my-deja.com),2001年4月25日
a(n)是最小的m,正好有n个方折射数<=m-阿玛纳斯·穆尔西2002年5月21日
k是无平方的<=>k除以素数(k)#其中素数(k)#=前k个素数的乘积Mohammed Bouayoun(bouyao(AT)wanadoo.fr),2004年3月30日
数字k使得sqrt(k)无法简化-肖恩·洛夫兰2011年9月4日
指数m,其中A057918号(m) =0,即{1,2,…,m-1}中没有整数k的正整数m,使得k*m是一个正方形-约翰·莱曼,2011年9月8日
看起来这些数字j使得Product_{k=1..j}(prime(k)mod j)=0(参见Maple代码)-加里·德特利夫斯2011年12月7日。-这与Mohammed Bouayoun于2004年3月30日发表的上述评论相同。要了解它为什么成立:Primorial numbers,A002110号,该序列的一个子序列,决不能被任何非方数整除,A013929号另一方面,最大素数除以任意n的指数小于n。A243291型. -安蒂·卡图恩2014年6月3日
推测:对于每个n=2,3,。。。有无穷多个整数b>a(n),使得和{k=1..n}a(k)*b^(k-1)是素数,最小的整数b不超过(n+3)*(n+4)-孙志伟2013年3月26日
Booker、Hiary和Keating给出了一个次指数算法,用于在不进行因子分解的情况下测试序列中的成员关系-查尔斯·格里特豪斯四世2014年1月29日
因为在分解成素数的过程中,a(n)(n>=2)的指数要么是0,要么是1,我们可以称之为“带费米子质数分解的数”。级别是质数prime(j),j>=1,占领数(指数)e(j)是0或1(就像泡利的不相容原理)。然后,“费米子态”由条目为0或1的序列表示,其中,除零序外,后面的零被省略。零序表示a(1)=1。例如,a(5)=6=2^1*3^1用“费米子态”[1,1]表示,a(7)=10用[1,0,1]表示。与计算中的“费米子分区”相比A000009号. -沃尔夫迪特·朗2014年5月14日
以下是Eratosthenes型无平方数筛。对于大于1的整数:
1) 删除偶数,2除外;最小未删除数为3。
2) 替换步骤1中删除的3的倍数,并删除3的倍数(3本身除外);最小未移除数量为5。
3) 替换步骤1和2中删除的5的倍数,并删除5的倍数(5本身除外);最小未删除数是6。
4) 替换步骤1、2和3中删除的6的倍数,并删除6的倍数(6本身除外);最小未删除数是7。
5) 重复使用最后一个最小未移除数量,从之前步骤的恢复倍数中筛选。
证明。我们使用归纳法。假设作为算法的结果,我们找到了所有小于n的无平方数,而没有其他数。如果n是平方自由的,那么它的真除数d>1是偶数(它是2^k-2,其中k是它的素数除数),并且通过算法,它仍然在序列中。否则,n被删除,因为它的无平方因子>1的数量是奇数(它是2^k-1)。
(结束)
按字典顺序排列的整数的最小序列>1,这样每个条目在序列中都有偶数个适当的除数(这是筛重)-格伦·惠特尼2015年8月30日
具有不同部分的分区的Heinz数。我们将分区p=[p_1,p_2,…,p_r]的Heinz数定义为Product_{j=1..r}质数(j)(阿洛伊斯·海因茨在里面A215366型作为分区的“编码”)。例如,对于分区[1,1,2,4,10],Heinz数是2*2*3*7*29=2436。数字30(=2*3*5)在序列中,因为它是分区[1,2,3]的Heinz数-Emeric Deutsch公司2015年5月21日
对k进行编号,使每个整数b的b^(phi(k)+1)==b(mod k)-托马斯·奥多夫斯基2016年10月9日
Boreico表明,该序列项的平方根集与有理数线性无关-杰森·金伯利2016年11月25日(参考文献由Michael Coons提供)。
素数zeta函数P(s)“在s=1/k的实轴上有奇点,其中k在没有平方因子的情况下遍历所有正整数”。请参阅Wolfram链接-马利瓦尔·弗朗西斯,2018年6月23日
无平方数的Schnirelmann密度是53/88(Rogers,1964)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月12日
对k进行编号,使k阶的所有群都有一个平凡的Frattini子群[Dummit and Foote]。
设群G具有n阶。如果n是平方自由的且n>1,则G是可解的,因此根据霍尔定理,对于所有p|n,都包含指数为p的子群H_p。每个H_p在G中按阶考虑是最大的,所有H_p的交集是平凡的。因此G的Frattini子群Phi(G)是G的极大子群的交集,必须是平凡的。如果n不是平方自由的,则n阶循环群具有非平凡的Frattini子群。(结束)
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参考文献
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Jean-Marie De Konink,《法定法西斯主义》,条目165,第53页,Ellipses,巴黎,2008年。
Dummit、David S.和Richard M.Foote。抽象代数。第1999卷。新泽西州恩格尔伍德克利夫斯:普伦蒂斯·霍尔,1991年。
伊万·M·奈文和赫伯特·S·扎克曼,《数字理论导论》。第2版,纽约州威利市,1966年,第251页。
Michael Pohst和Hans J.Zassenhaus,《算法代数数论》,剑桥大学出版社,第432页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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尤里·博雷科,自由基的线性无关性,《哈佛大学数学评论2(1)》,87-92,2008年春季。
埃内斯托·塞萨罗,辅助算术中的La serie di Lambert《那不勒斯科学研究院Rendiconto della Reale Accademia delle Scientize di Napoli》,第二辑,第7卷(1893年),第197-204页。
Pentti Haukkanen、Mika Mattila、Jorma K.Merikoski和Timo Tossavainen,算术导数可以在非唯一分解域上定义吗?《整数序列杂志》,第16卷(2013年),第13.1.2条。
Aaron Krowne,无平方数,PlanetMath.org。
斯里尼瓦萨·拉马努扬,不规则数字,J.印度数学。Soc.,第5卷(1913年),第105-106页。
J.A.Scott,重新审视广场自由《数学公报》,第90卷,第517号(2006年),第112-113页。
弗拉基米尔·舍维列夫,指数S-数的所有密度集,arXiv预印本arXiv:1511.03860[math.NT],2015。
O.Trifonov,关于无平方问题II,数学。巴尔干半岛,第3卷(1989年),法西斯。3-4.
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公式
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|a(n)-n*Pi^2/6|<0.058377*sqrt(n)对于n>=268293;这个结果可以从Cohen、Dress和El Marraki得到,请参阅链接-查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月18日
Sum_{n>=1}(-1)^(a(n)+1)/a(n)^2=9/Pi^2。
求和{k=1..n}1/a(k)~(6/Pi^2)*log(n)。
求和{k=1..n}(-1)^(a(k)+1)/a(k)~(2/Pi^2)*log(n)。
(全部摘自Scott,2006)(完)
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MAPLE公司
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带有(数字理论);a:=[];对于从1到200的n,如果issqrfree(n),则a:=[op(a),n];fi;日期:
t: =n->乘积(ithprime(k),k=1..n):对于从1到113的n,如果(t(n)mod n=0),则打印(n)fiod#加里·德特利夫斯2011年12月7日
A005117号:=proc(n)选项记忆;如果n=1,则为1;如果numtheory[issqrfree](a)返回a,则从procname(n-1)+1 do返回a;结束条件:;end do:结束if;结束进程:#R.J.马塔尔2013年1月9日
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数学
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选择[Range[113],SquareFreeQ](*罗伯特·威尔逊v2005年1月31日*)
选择[Range[150],Max[Last/@FactorInteger[#]]<2&](*Joseph Biberstine(jrbibers(AT)indiana.edu),2006年12月26日*)
NextSquareFree[n_,k_:1]:=块[{c=0,sgn=Sign[k]},sf=n+sgn;While[c<Abs[k],While[!SquareFreeQ@sf,If[sgn<0,sf--,sf++]];如果[sgn<0,sf--,sf++];c++];sf+如果[sgn<0,1,-1]];嵌套列表[NextSquareFree,1,70](*罗伯特·威尔逊v2014年4月18日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[1..1000]|IsSquarefree(n)]中的n:n;
(PARI)bnd=1000;L=矢量(bnd);j=1;对于(i=1,bnd,如果(issquarefree(i),L[j]=i;j=j+1));L(左)
(PARI){a(n)=局部(m,c);如果(n<=1,n==1,c=1;m=1;while(c<n,m++;if(issquarefere(m),c++));m)}/*迈克尔·索莫斯2005年4月29日*/
(PARI)列表(n)=我的(v=向量小(n,i,1),u,j);对于素数(p=2,平方(n),对于步长(i=p^2,n,p^2、v[i]=0));u=矢量(总和(i=1,n,v[i]));对于(i=1,n,如果(v[i],u[j++]=i));单位\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月8日
(PARI)
S(n)=本人;forsquarefree(k=1,平方(n),s+=n\k[1]^2*moebius(k));s;
a(n)=我的(最小值=1,最大值=231,k=0,sc=0);如果(n>=144,min=楼层(zeta(2)*n-5*sqrt(n));max=ceil(ζ(2)*n+5*sqrt(n));而(最小值<=最大值,k=(最小值+最大值)\2;sc=S(k);如果(abs(sc-n)<=平方(n),中断);如果(sc>n,max=k-1,if(sc<n,min=k+1,break));而(!issquarefree(k),k-=1);而(sc!=n,my(j=1);如果(sc>n,j=-1);k+=j;sc+=j;while(!无平方(k),k+=j));k\\丹尼尔·苏图2022年7月7日
(PARI)第一(n)=我的(v=向量(n),i);forsquarefree(k=1,如果(n<2268293,(33*n+30)\20,(n*Pi^2/6+0.058377*sqrt(n))\1),如果(i++>n,返回(v));v[i]=k[1]);v(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2023年1月10日
(哈斯克尔)
a005117 n=a005117_列表!!(n-1)
a005117_list=过滤器((==1)。a008966)[1..]
(Python)
从sympy.theory.factor导入核心
def ok(n):返回核心(n,2)==n
打印(列表(过滤器(正常,范围(114)))#迈克尔·布拉尼基2021年7月31日
(Python)
从itertools导入计数,islice
来自症状输入因子
定义A005117号_gen(startvalue=1):#术语生成器>=startvalue
返回过滤器(lambda n:all(x==1 for x in factorint(n).values()),count(max(startvalue,1))
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交叉参考
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参见。A076259号(第一个差异),A173143号(部分金额),A000688号,A003277号,A013928号,A020753号,A020754号,A020755号,A030059型,A030229号,A033197号,A034444号,A039956号,A048672美元,A053797号,A057918号,A059956号,A071403号,A072284号,A120992年,A133466号,A136742号,A136743号,A160764型,A243289号,243347英镑,A243348号,A243351型,A215366型,A046660美元,A265668型,A265675型.
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关键字
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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状态
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经核准的
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