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A000111号

Euler或上/下数字：例如f.秒（x）+tan（x）。同样对于n>=2，n个字母上交替排列数的一半(A001250号).
（原名M1492 N0587）

+0
327

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, 370371188237525, 4951498053124096, 69348874393137901, 1015423886506852352, 15514534163557086905, 246921480190207983616, 4087072509293123892361 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,4`
	评论	`“之字形”偏序集的线性扩展数。参见第3章，问题。斯坦利23岁-米奇·哈里斯2005年12月27日` `n个顶点上增加0-1-2棵树的数量-大卫·卡兰2006年12月22日` `还有分区细化的数量Heinz-Richard Halder（Halder.bichl（AT）t-online.de），2008年3月7日` `比率a（n）/n！也是n个数x1，x2，…的概率，。。。，在[0,1]中均匀独立随机选择的xn满足x1>x2<x3>x4<。。。x个-彼得罗·马杰2009年7月13日` `对于n>=2，a（n-2）=具有以下性质的有序n集{x_1<…x_n}的置换数w：w（1）=x_n，w（n）=x_{n-1}，w。如果将第三个条件替换为w（2）<w（n-1），则计数不变-杰里米·马丁2010年3月26日` `n+1级之字形排列被最小的或最大的（以后面的为准）分割。该划分与增加1-2棵n阶树具有相同的递归关系，通过归纳，双射如下-文锦Woan2011年5月6日` `从公式部分给出的渐近性可以看出，有lim_{n->oo}2na（n-1）/a（n）=Pi；看见A132049号/A132050型对于简化分数-M.F.哈斯勒2013年4月3日` `a（n+1）是三角形中第n行的和A008280美元. -莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月5日` `M.Josuat-Verges、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon（2011）对欧拉数和交替排列之间的双射进行了深远的推广-N.J.A.斯隆2015年7月9日` `避开模式T321的树架数量。树架是有序的二进制（0-1-2）递增树，其中每个子级都通过左链接或右链接连接到其父级，请参见A278678型更多定义和示例-谢尔盖·柯尔吉佐夫2016年12月24日` `序列数（e（1）。。。，e（n-1）），0<=e（i）<i，这样三项都不相等。[Corteel、Martinez、Savage和Weselcouch]的定理7-埃里克·施密特2017年7月17日` `“心身”二象性下具有n个顶点的自对偶边标记树的数目。还有具有n个顶点的自对偶根边标记树的数量。请参阅下面链接的我的论文-尼科斯·阿波斯托拉基斯，2018年8月1日` `比率a（n）/n！是定义为[0,1]^n中的（x_1，…，x_n）集的凸多面体的体积，使得x_i+x_{i+1}<=1，对于每1<=i<=n-1；查看麦克唐纳和内尔森对艾默尔的解决方案。数学。以下提到的每月问题-桑杰·拉马萨米2018年11月2日` `{0,1，…，n}上的总循环次数，使得三元组（i-1，i，i+1）每1<=i<=n-1为正方向；请参阅下面链接的我关于循环订单的论文-桑杰·拉马萨米2018年11月2日` `具有n+1叶的二进制、根、未标记历史的数量（遵循Rosenberg 2006的定义）。也被称为Tajima树、Tajima系谱，或二元、有根、未标记排名树（Palacios等人，2015年）。有关证据，请参见Disanto&Wiehe（2013）-诺亚·A·罗森博格2019年3月10日` `发件人古斯·怀斯曼2019年12月31日：（开始）` `此外，具有n+1个不同原子和最大深度的非同构平衡约化多系统的数量。平衡约化多系统或者是有限多集，或者是具有平衡约化多重系统的至少两个部分（并非所有部分都是单子）的多集划分。标记的版本为A006472号例如，a（0）=1到a（4）=5多系统的非同构表示为（逗号省略）：` `{1} ｛12｝｛1｝｛23｝｝｛1｝｝｛2｝｛34｝｝｝｛1｝｝｝｛2｝｝｛3｝｛45｝｝｝｝｝` `{{{12}}{{3}{4}}} {{{{1}}}{{{23}}{{4}{5}}}}` `{{{{1}{2}}}{{{3}}{{45}}}}` `{{{{1}{23}}}{{{4}}{{5}}}}` `{{{{12}}}{{{3}}{{4}{5}}}}` `同时，还计算了具有n+1等原子和最大深度的平衡约化多系统的数量。这可能是海因茨·里查德·哈尔德评论的意思（另请参阅A002846号,A213427号,A265947型). 非最大深度版本为A318813型例如，a（0）=1到a（4）=5多系统是（逗号省略）：` `{1} {11} {{1}{11}} {{{1}}{{1}{11}}} {{{{1}}}{{{1}}{{1}{11}}}}` `{{{11}}{{1}{1}}} {{{{1}}}{{{11}}{{1}{1}}}}` `{{{{1}{1}}}{{{1}}{{11}}}}` `{{{{1}{11}}}{{{1}}{{1}}}}` `{{{{11}}}{{{1}}{{1}{1}}}}` `（结束）`
	参考文献	`M.D.Atkinson：部分序和比较问题，第十六届东南组合数学、图论和计算会议，（博卡拉顿，1985年2月），国会数值47，77-88。` `Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第34932页。` `L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第258-260页，第11节。` `F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第262页。` `Bishal Deb和Alan D.Sokal，推广Genocchi数和Genocchi-数中值的一些多元多项式的经典连分式，arXiv:2212.072322022年12月14日。` `H.Doeriry，《初等数学100大问题》，纽约州多佛，1965年，第66页。` `O.Heimo和A.Karttunen，《8、9和10步中的系列帮助伙伴》（问题2901、2974-2976），《芬兰国际象棋问题学会会议录》第60卷，第2/2006号，第75、77页。` `S.K.Jha，交替排列数的同余，密苏里数学杂志。科学。，33（2021年第1号），99-104` `L.B.W.Jolley，《级数求和》。第二版，纽约州多佛，1961年，第238页。` `S.Mukai，不变量和模简介，剑桥，2003；见第444页。` `E.Netto，Lehrbuch der Combinatorik。第二版，Teubner，Leipzig，1927年，第110页。` `C.A.Pickover，《数学书》，斯特林，纽约，2009年；见第184页。` `N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。` `N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。` `R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，1997年第1卷和1999年第2卷；参见问题5.7。`
	链接	`Seiichi Manyama，n=0..485的n，a（n）表（N.J.A.Sloane的术语0..199）` `安德烈爵士，交替排列的梅云纹，J.数学。采购。申请。，7 (1881), 167-184.` `尼科斯·阿波斯托拉基斯，标记图和因子分解的对偶性及其在图嵌入和Hurwitz枚举中的应用，arXiv:1804.01214[math.CO]，2018年。` `Joerg Arndt，计算问题（Fxtbook）第281-282页。` `V.I.阿诺德，与函数奇点相关的伯努利-埃勒上下数及其组合和算术杜克大学数学系。J.63（1991），537-555。` `J.L.Arregui，通过数字三角形与Motzkin和Catalan数相关的正切数和Bernoulli数，arXiv:math/0109108[math.NT]，2001年。` `M.D.Atkinson，锯齿排列和相邻元素的比较《信息处理快报》21（1985），187-189。` `斯特凡诺·巴贝罗（Stefano Barbero）、翁贝托·塞鲁蒂（Umberto Cerruti）和纳迪尔·穆鲁（Nadir Murru），Hurwitz级数环的一些组合性质arXiv:1710.05665[math.NT]，2017年。` `Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki，树丛中的图案，arXiv:1611.07793[cs.DM]，2016年。` `保罗·巴里，关于圆函数定义的三类正交多项式及其矩序列的注记《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.7.2号。` `B.Bauslaugh和F.Ruskey，按字典顺序生成交替排列，Nordisk Tidskr。信息行为（BIT）30 16-26 1990。` `F.Bergeron、M.Bousquet-Mélou和S.Dulucq，合成偏序集中的标准路径，《科学年鉴》。数学。魁北克，19（1995），第2期，139-151。` `O.Bodini、M.Dien、X.Fontaine、A.Genitrini和H.K.Hwang，增加钻石2016年4月11日至15日，第12届拉丁美洲研讨会，墨西哥恩塞纳达，2016年拉丁美洲，会议记录第207-219页，DOI 10.1007/978-3662-49529-2-16；计算机科学系列讲座笔记第9644卷。` `J.M.Borwein和S.T.Chapman，我更喜欢皮：美国数学月刊简史和文章选集阿默尔。数学。月刊，122（2015），195-216。` `格雷厄姆·布莱维尔、杰拉德·科恩、伊曼纽拉·法希尼、玛丽安·费尔索恩、János Körner、加博尔·西蒙尼和阿尔格内斯·托斯，有向无限路族的置换容量，SIAM J.离散数学。24（2010），第2期，441-456。` `David Callan，关于倒排和增0-1-2树的注记.` `Peter J.Cameron和Liam Stott，树木和周期，arXiv:2010.14902[数学.CO]，2020年。见第12页。` `Lorenzo Cappello和Julia A.Palacios，多分辨率Kingman Tajima合并计数的序贯重要性抽样，arXiv:1902.05527[stat.AP]，2019年。` `Swee Hong Chan和Igor Pak，计数巧合的计算复杂性，arXiv:2308.10214[math.CO]，2023年。见第16页。` `陈晓敏、张晓凯、孙建清、胡晓波和叶延宁，三个与正交多项式有关的半离散可积系统及其广义行列式解《非线性》，第28卷第7期，2015年6月8日。` `Suyoung Choi、B.Park和H.Park，与B型Weyl腔相关的实复曲面品种的Betti数，arXiv预印本arXiv:1602.05406[math.AT]，2016。` `Choi Suyoung和Yoon Younghan，实置换面簇的上同调环，arXiv:2308.12693[math.AT]，2023年。` `肖恩·克利里（Sean Cleary）、马雷克·菲舍尔（Mareike Fischer）、罗伯特·格里菲斯（Robert C.Griffiths）和拉泽什·赛努丁（Raazesh Sainudiin），有限根二叉树上的一些分布，UCDMS研究报告编号：UCDMS2015/2，坎特伯雷大学数学与统计学院，新西兰基督城，2015年。` `C.K.Cook、M.R.Bacon和R.A.Hillman，某些已知序列的高阶Boutrophedon变换，光纤。Q.，55（3）（2017），201-208。` `简·艾维·库恩斯（Jane Ivy Coons）和赛斯·沙利文（Seth Sullivant），带分子钟的Cavender-Farris-Neyman模型，arXiv:1805.04175[math.AG]，2018年。` `简·艾维·库恩斯（Jane Ivy Coons）和赛斯·沙利文（Seth Sullivant），锯齿偏序集的阶多面体的h*-多项式，arXiv:1901.07443[math.CO]，2019年。` `Sylvie Corteel、Megan A.Martinez、Carla D.Savage和Michael Weselcouch，反转序列中的模式I，arXiv:1510.05434[math.CO]，2015年` `钱德勒·戴维斯，问题4755阿默尔。数学。月刊，64（1957）596；解决方案作者W.J.Blundon，65（1958），533-534。[由溶液中的P_n表示。]` `钱德勒·戴维斯，问题4755：排列问题阿默尔。数学。月刊，64（1957）596；W.J.Blundon的解决方案，65（1958），533-534。[由解决方案中的P_n表示。][带注释的扫描副本]` `Colin Defant和James Propp，离散动力系统中不可逆性的量化，arXiv:2002.07144[math.CO]，2020年。` `Karel Devriendt、Renaud Lambiotte和Piet Van Mieghem，用Soules向量构造拉普拉斯矩阵：特征值反问题及其应用，arXiv:1909.11282[physics.soc-ph]，2019年。` `Filippo Disanto和Thomas Wiehe，种群遗传学中二叉根树的若干组合问题，arXiv预印本arXiv:1112.1295[math.CO]，2011。` `菲利波失望，第二类André置换与严格二叉增树及其子置换中的从左到右极小相关，arXiv预印本arXiv:1202.1139[math.CO]，2012。` `Filippo Disanto和Thomas Wiehe，合并模型下等级树中樱桃和干草叉的精确计数，数学。Biosci公司。242 (2013), 195-200.` `R.Donaghey，交替排列和二叉递增树，J.组合理论。A 18（1975），141-148.MR0360299（50#12749）` `O.Dovgoshey、E.Petrov和H.-M.Teichert，关于Gomory-Hu不等式的空间极值，arXiv预印本arXiv:1412.1979[math.AG]，2014。` `D.Dumont和G.Viennot，Genocchi数Seidel生成的组合解释、预打印、带注释的扫描副本。` `理查德·埃伦伯格和N.布拉德利·福克斯，再论下降集多项式，arXiv:1408.6858[math.CO]，2014年。见表4。` `N.D.埃尔基斯，关于总和Sum（（4k+1）^（-n），k，-inf，+inf），arXiv:math/0101168[math.CA]，2001-2003年。` `N.D.埃尔基斯，关于和{k=-无穷大..无穷大}（4k+1）^（-n）阿默尔。数学。月刊，110（2003年第7期），561-573。` `N.D.埃尔基斯，数列国际象棋问题的新方向《组合数学电子杂志》，第11卷（2），2004年。` `爱沙那州，唐克斯、塞克斯和奥特尔函数的发展系数。独特的Leur表达方式《法国社会数学公报》，《汤姆31》（1903年），第203-208页。` `P.Flajolet、S.Gerhold和B.Salvy，关于对数、幂和n阶素函数的非完整性，arXiv:math/0501379[math.CO]，2005年。` `P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009.` `D.Foata和M.-P.Schutzenberger，Nombres d'Euler et交替排列，J.N.Srivastava等人编辑，《组合理论综述》（North Holland Publishing Company，Amsterdam，1973），第173-187页。` `Dominique Foata和Guo Niu Han，塞德尔三角序列与双入口数2013年11月20日。` `Jithin D.George、David I.Ketcheson和Randall J.LeVeque，基于特征的一维任意障碍物波浪散射近似，arXiv:1901.04158[math.AP]，2019年。` `S.N.格拉德科夫斯基，函数1/sin（x）+cot（x）和sec（x，arXiv:1208.2243[math.HO]，2012年。` `克劳德·戈德雷（Claude Godrèche）和珍妮·马尔克·勒克（Jean-Marc Luck），时间序列移动平均值的记录，arXiv:1907.07598【第二次统计】，2019年。` `W.S.Gray和M.Thitsa，系统互连与组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日` `亨兹·里查德·哈尔德，UE ber Verfeinerungen von分区，匈牙利数学期刊第12卷（3），（1981年），第217-220页。` `郭乃涵，欧拉数的Hankel连分式和Hankel行列式，arXiv:1906.00103[math.CO]，2019年。` `F.Heneghan和T.K.Petersen，上下最小最大排列的幂级数, 2013.` `Aoife轩尼诗，Riordan阵列的研究及其在连分式、正交多项式和格路中的应用2011年10月，沃特福德理工学院博士论文。` `B.R.Jones，树钩长度公式、费曼规则和B级数，西蒙·弗雷泽大学硕士论文，2014年。` `M.Josiat-Verges，蛇的计数和循环交替排列，arXiv:1011.0929[math.CO]，2010年。` `M.Josuat-Verges、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon，蛇的代数组合学，arXiv预印本arXiv:1110.5272[math.CO]，2011。` `A.A.Kirillov，三角形主题变奏曲阿默尔。数学。社会事务。，（2） 1995年第169卷，第43-73页，见第52页。` `小林正人，欧拉数在交替排列计数中的一种新的精化，arXiv:1908.00701[math.CO]，2019年。` `G.Kreweras，与托托相容的地方，数学。科学。Humaines第53号（1976），5-30。` `G.Kreweras，与托托相容的地方，数学。科学。Humaines第53号（1976），5-30。（带注释的扫描副本）` `德米特里·克鲁奇宁，指数生成函数组合的整数性质，arXiv:121212100【数学新台币】，2012年。` `弗拉基米尔·维克托维奇·克鲁奇宁，普通生成函数的组成，arXiv:1009.2565[math.CO]，2010年。` `Daeseok Lee和H.K.Ju，Hibi回文定理的推广，arXiv预印本arXiv:1503.05658[math.CO]，2015。` `塔马斯·伦格尔，关于一个置换统计量的注记，J.国际顺序。，第22卷（2019年），第19.5.1条。` `F.Luca和P.Stanica，关于数列单调性的几个猜想，J.Combin，《数论4》（2012）1-10。` `J.M.Luck，关于升降模式的频率，arXiv预印本arXiv:1309.7764[第二部分统计信息]，2013年。` `彼得·卢什尼，欧拉数的逼近、包含和渐近性。` `彼得·卢什尼，序列上的一种旧操作：塞德尔变换` `彼得·卢什尼，插图：插入欧拉-安德烈数。` `彼得·卢什尼，伯努利函数简介，arXiv:2009.06743[math.HO]，2020年。` `I.G.Macdonald和R.B.Nelsen（独立），E2701解决方案阿默尔。数学。月刊，86（1979），396。` `C.L.Mallows，致N.J.A.Sloane的信，无日期` `Toufik Mansour、Howard Skogman和Rebecca Smith，通过堆栈k次反转，arXiv:1808.04199[math.CO]，2018年。` `J.L.Martin和J.D.Wagner，斜率变化的上下数和初始单项式《电子杂志》第16卷第1期（2009年），研究论文R82。[来自杰里米·马丁2010年3月26日]` `梅根·A·马丁内斯和卡拉·D·萨维奇，反转序列中的模式II：反转序列避免三重关系，arXiv:1609.08106[math.CO]，2016年。` `A.门德斯，关于交替排列的一个注记阿默尔。数学。月刊，114（2007），437-440。` `J.Millar、N.J.A.Sloane和N.E.Young，《序列的新操作：Boutrophedon变换》，J.Combina.理论，17A 44-54 1996(摘要,pdf格式,秒).` `A.Morales、I.Pak和G.Panova，斜交形状的钩公式I.q-类比和双射，arXiv预印本arXiv:1512.08348[math.CO]，2015。` `Alejandro H.Morales、I.Pak和G.Panova，为什么pi<2 phi？，预印本，2016年。` `F.Murtagh，树状图计数：综述《离散应用数学》，7（1984），191-199。` `D.J.Newman、W.Weissblum等人，问题67-5：“上下”排列《SIAM评论》，第9卷，第1期（1967年1月），第121页，第1卷。第11卷第1期（1969年1月），第75页，第10卷第2期（1968年4月），225-226页。[带注释的扫描副本]` `A.Niedermaier和J.Remmel，彩色排列的上下排列的类比，J.国际顺序。13（2010），10.5.6.，C（t），D（t）。` `E.诺顿，正特征辛反射代数作为矿石扩张，arXiv预印本arXiv:1302.5411[math.RA]，2013。` `I.Pak和A.Soffer，关于Higman的k（U_n（F_q））猜想</>，arXiv预印本arXiv:1507.00411[math.CO]，2015。` `J.Palacios、J.Wakeley和S.Ramachandran，序列系谱中种群规模变化的贝叶斯非参数推断，遗传学201（2015），281-304。` `潘琼琼、曾江，Branden（p，q）-Euler多项式和André置换的gamma-有效性，arXiv:1910.01747[math.CO]，2019年。` `S.Ramassamy，欧拉数和Arnold序列的模周期性，arXiv:1712.08666[math.CO]，2017年。` `S.Ramassamy，部分循环阶、欧拉数和多维突变子的推广，电子。J.Combina.，25（2018），#P1.66。` `A.Randrianarivony和J.Zeng，名称欧拉和交替排列记录的Surune扩展J.Combina.理论系列。A 68（1994），68-99。` `A.Randrianarivony和J.Zeng，Une famille de polynomes qui interpole plusieurs套房。。。，高级应用程序。数学。17 (1996), 1-26.` `杰弗里·伦梅尔，交替下降和交替主索引的生成函数安·库姆。16（2012），第3期，625-650。MR2960023。` `N.A.Rosenberg，Yule世代谱系树中r-叉节点数和r-毛虫数的均值和方差，Ann.组合器。，10 (2006), 129-146.` `Y.Sano，A_l、D_l和E_l类型的K.Saito主数，离散。数学。，307 (2007), 2636-2642.` `L.塞德尔，在伯努利的谢恩·扎伦和埃尼格尔与赖亨之间《Sitzungberichte der mathematisch-physikalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München》，第7卷（1877年），第157-187页。` `B.Shapiro和A.Vainshtein，双曲函数M-多项式空间中连通分量的个数四月预付款。数学。，第30卷，第1-2期，2003年2月，第273-282页（由增补汤姆·科普兰2015年10月4日）` `许欣（Heesung Shin）和姜增（Jiang Zeng），Entringer和Arnold家族的更多猜测，arXiv:2006.00507【math.CO】，2020年。` `N.J.A.斯隆，我最喜欢的整数序列《序列及其应用》（1998年SETA会议记录）。` `Alan D.Sokal，欧拉数和斯普林格数作为矩序列，arXiv:1804.04498[math.CO]，2018年。` `J.斯塔布，三角幂级数，数学。Mag.，49（1976），147-148。` `R.P.斯坦利，重新访问队列问题《芬兰国际象棋问题学会会议录》，第59卷，第4期（2005年），193-203年。` `R.P.斯坦利，排列` `孙一东和翟立亭，一类精化欧拉多项式的一些性质，arXiv:1810.07956[math.CO]，2018年。` `孙志宏，涉及伯努利多项式的同余，离散。数学。，308 (2007), 71-112.` `Ross Tang，幂级数欧拉之字形数（上/下数）的一个显式公式[来自Ross Tang（电话：gmail.com），2010年7月28日。网页不再可访问，由上传的archive.org版本的pdf拉尔夫·斯蒂芬2013年12月28日]` `S.T.Thompson，问题E754：顺序偏斜阿默尔。数学。月刊，54（1947），416-417。[带注释的扫描副本]` `A.维埃鲁，Agoh猜想：证明、推广、类比，arXiv预印本arXiv:1107.2938[math.NT]，2011。` `埃里克·魏斯坦的数学世界，Euler Zigzag编号.` `埃里克·魏斯坦的数学世界，交替排列.` `埃里克·魏斯坦的数学世界，Entringer编号.` `“核心”序列的索引项` `与boutrophedon变换相关的序列的索引项`
	配方奶粉	`例如：（1+正弦（x））/余弦（x）=tan（x）+秒（x）。` `例如，对于a（n+1），是1/（cos（x/2）-sin（x/2。` `例如，对于A（n+1），A（x）=-log（1-sin（x））-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月9日` `O.g.f.：A（x）=1+x/（1-x-x^2/（1-2x-3x^2/（1-3x-6x^3/（1-4x-10x^2/（1-…-nx-（n（n+1）/2））））（续分数）-保罗·D·汉纳2006年1月17日` `例如，A（x）=y满足2y'=1+y^2-迈克尔·索莫斯2004年2月3日` `a（n）=P_n（0）+Q_n（O）（参见A155100个和2014年10月35日)，定义Q_{-1}=0。囊性纤维变性。A156142号.` `2a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n，k）a（k）a（n-k）。` `渐近：a（n）~2^（n+2）n/Pi^（n+1）。有关证明，请参见示例Flajolet和Sedgewick。` `a（n）=（n-1）a（n-1”）-Sum_{i=2..n-2}（i-1）E（n-2，n-1-i），其中E是Entringer数A008281号. -乔恩·佩里2003年6月9日` `a（2k）=（-1）^k欧拉（2k）和a（2k-1）=（-1）^（k-1）2^（2kC.罗纳尔多（aga_new_ac（AT）hotmail.com），2005年1月17日` `\|a（n+1）-2a（n）\|=A000708号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2007年1月13日` `a（n）=2^n\|E（n，1/2）+E（n、1）\|其中E（n和x）是欧拉多项式-彼得·卢什尼2009年1月25日` `a（n）=2^（n+2）nS（n+1）/（Pi）^（n+1），其中S（n）=Sum_{k=-inf.inf}1/（4k+1）^n（参见Elkies参考）-Emeric Deutsch公司2009年8月17日` `a（n）=i^（n+1）和{k=1..n+1}和{j=0..k}二项式（k，j）（-1）^j（k-2j）^（n+1）（2i）^Ross Tang（电话：gmail.com），2010年7月28日` `a（n）=总和（如果是evenp（n+k），则为（-1）^（（n+k）/2）总和（j！Stirling2（n，j）2^（1-j）（-1）（n+j-k）二项式（j-1，k-1），j，k，n），否则为0），k，1，n）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月19日` `如果n==1（mod 4）是素数，则a（n）==1；如果n==3（mod 4）是素数，则a（n）==-1（mod n）-弗拉基米尔·舍维列夫2010年8月31日` `对于m>=0，a（2^m）==1（mod 2^ m）；如果p是素数，那么a（2p）==1（mod 2p-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月3日` `发件人彼得·巴拉，2011年1月26日：（开始）` `a（n）=a（n，i）/（1+i）^（n-1），其中i=sqrt（-1）和{a（n、x）}n>=1=[1,1+x，1+4x+x^2,1+11x+11x2+x^3，…]表示欧拉多项式的序列。` `等价地，a（n）=i^（n+1）Sum_{k=1..n}（-1）^kk箍筋2（n，k）（（1+i）/2）^（k-1）=i^（n+1）Sum_{k=1..n}。` `a（n）的这个显式公式可用于获得同余结果。例如，对于奇素数p，a（p）=（-1）^（（p-1）/2）（mod p），如下所示弗拉基米尔·舍维列夫以上。` `有关相应的B类结果，请参见A001586号。有关平面增加0-1-2树的相应结果，请参见A080635号.` `关于与之相关的广义欧拉数、斯特林数和伯努利数，请参见A145876号,A147315号和A185424号分别是。有关计算a（n）的递归三角形，请参见A185414号.` `（结束）` `对于n>0，a（n）=I^（n+1）2Li_{-n}（-I）。Li_{s}（z）是多对数-彼得·卢什尼2011年7月29日` `a（n）=2和{m=0..（n-2）/2}4^m（和{i=m-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年8月9日` `a（n）=D^（n-1）（1/（1-x）），在x=0时计算，其中D是运算符sqrt（1-x^2）D/dx。囊性纤维变性。A006154号a（n）等于A196776号这导致了对a（n）的组合解释；例如，a（4n+2）给出了4n+1到k个奇数块的有序集分区的数量，k=1（mod 4），减去4n/1到k个奇数块的排序集分区的数目，k=3（mod 3）。囊性纤维变性A002017号. -彼得·巴拉2011年12月6日` `发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月14日至2013年12月23日：（开始）` `连续分数：` `例如：tan（x）+sec（x”）=1+x/U（0）；U（k）＝4k+1-x/（2-x/（4k+3+x/（2+x/U（k+1）））。` `例如：对于a（n+1），E（x）=1/（1-sin（x））=1+x/（1-x+x^2/g（0））；G（k）=（2k+2）（2k+3）-x^2+（2k+2）2k+3）x^2/G（k+1）。` `例如：对于a（n+1），E（x）=1/（1-sin（x））=1/1（1-x/（1+x^2/g（0）））；G（k）=8k+6-x^2/（1+（2k+2）（2k+3）/G（k+1））。` `例如：对于a（n+1），E（x）=1/（1-sin（x））=1/1（1-xg（0））；G（k）=1-x^2/（2（2k+1）（4k+3）-2x^2（2%k+1）+（4k+3）/（x^2-4（k+1）x（4k+5）/G（k+1））））。` `例如：对于a（n+1），E（x）=1/（1-sin（x））=1/1（1-xg（0）），其中g（k）=1-x^2/（（2k+1）（2k+3）-（2k+1）。` `例如：tan（x）+秒（x）=1+2x/（U（0）-x），其中U（k）=4k+2-x^2/U（k+1）。` `例如：tan（x）+秒（x）=1+2x/（2U（0）-x），其中U（k）=4k+1-x^2/（16k+12-x^2/U（k+1））。` `例如：tan（x）+秒（x）=4/（2-xg（0））-1，其中g（k）=1-x^2/（x^2-4（2k+1）（2xk+3）/g（k+1））。` `一般公式：1+x/Q（0），m=+4，u=x/2，其中Q（k）=1-2u（2k+1）-mu^2（k+1）（2xk+1）/（1-2u。` `G.f.：猜想：1+T（0）x/（1-x），其中T（k）=1-x^2（k+1）。` `例如：1+4x/（T（0）-2x），其中T（k）=4（2k+1）-4x^2/T（k+1）：` `例如：T（0）-1，其中T（k）=2+x/（4k+1-x/（2-x/（4k+3+x/T（k+1）））。（结束）` `例如：tan（x/2+Pi/4）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年11月8日` `渐近展开：4（2n/（Pie））^（n+1/2）exp（1/2+1/（12n）-1/（360n^3）+1/（1260n^5）-…）。（请参阅Luschny链接。）-彼得·卢什尼2015年7月14日` `发件人彼得·巴拉2015年9月10日：（开始）` `例如，f.A（x）=tan（x）+sec（x）满足A''（x）=A（x”）A'（x），因此递归A（0）=1，A（1）=1；否则A（n）=和{i=0..n-2}二项式（n-2，i）A（i）A（n-1-i）。` `注意，相同的递归，但初始条件a（0）=0和a（1）=1，产生序列[0,1,0,1,0,4,0,34,0496，…]，一个充气版本的A002105号.（结束）` `a（n）=A186365美元（n） n>=1时为/n-安东·扎哈罗夫2016年8月23日` `发件人彼得·卢什尼2017年10月27日：（开始）` `a（n）=abs（24^n（H（（-1）^n-3）/8，-n）-H（（-1。` `a（n）=（-1）^二项式（n+1，2）2^（2n+1）（zeta（-n，1+（1/8）（-7+（-1）n））-zeta。（结束）` `a（n）=i（i^nLi_{-n}（-i）-（-i-彼得·卢什尼，2020年8月28日` `和{n>=0}1/a（n）=A340315型. -阿米拉姆·埃尔达尔2021年5月29日` `a（n）=n回复（[x^n]（1+I^（n^2-n）（2-2I）/（exp（x）+I）））-彼得·卢什尼2021年8月9日`
	例子	`G.f.=1+x+x^2+2x^3+5x^4+16x^5+61x^6+272x^7+1385x^8+。。。` `序列开始于1,1,2,5,16，。。。因为可能性是{}、{A}、}AB}、[2]ACB、BCA}，{ACBD、ADBC、BCAD、BDAC、CDAB}，}ACBED、ADBEC、ADCEB、AEBDC、AECDB、BCAED、BDAEC、BDCEA、BEADC、BECDA、CDAEB、CDBEA、CEADB、CEBDA、DECB、DEBCA}，等等-亨利·博托姆利2001年1月17日`
	MAPLE公司	`A000111号：=n->n系数（级数（秒（x）+tan（x），x，n+1），x、n）；` `s：=系列（秒（x）+tan（x），x，100）：A000111号：=n->n系数（s，x，n）；` `A000111号：=n->分段（n mod 2=1，（-1）^（（n-1）/2）2^（n+1）(A000111号（n），n=0..30）；A000111号：=proc（n）local k:k:=floor（（n+1）/2）：如果n mod 2=1，则返回（（-1）^（k-1）2^（2k）（2^(A000111号（n），n=0..30）；（C·罗纳尔多）` `T:=n->2^nabs（欧拉（n，1/2）+euler（n，1））：#彼得·卢什尼2009年1月25日` S:=proc（n，k）选项记忆；如果k=0，则返回（`if`（n=0，1，0））fi；S（n，k-1）+S（n-1，n-k）端： `A000364号：=n->S（2n，2n）；` `A000182号：=n->S（2n+1，2n+1）；` `A000111号：=n->S（n，n）#彼得·卢什尼2009年7月29日` `a:=n->2^（n+2）n（总和（1/（4*k+1）^（n+1），k=-无穷大。。无穷大）/Pi^（n+1）：` `1，seq（a（n），n=1..22）#Emeric Deutsch公司2009年8月17日` `#备选Maple计划：` `b： =proc（u，o）选项记忆；` `如果`（u+o=0，1，加上（b（o-1+j，u-j），j=1..u） `结束时间：` `a： =n->b（n，0）：` `seq（a（n），n=0..30）#阿洛伊斯·海因茨2015年11月29日`
	数学	`n=22；系数列表[级数[（1+Sin[x]）/Cos[x]，{x，0，n}]，x]表[k！，{k，0，n}](Jean-François Alcover公司2011年5月18日之后迈克尔·索莫斯)` `a[n_]：=如果[EvenQ[n]，Abs[EulerE[n]；表[a[n]，{n，0，26}](Jean-François Alcover公司2012年10月9日，C·罗纳尔多之后）` `ee=表[2^nEulerE[n，1]+EulerE[n]-1，{n，0，26}]；表[差异[ee，n]//第一//Abs，{n，0，26}](Jean-François Alcover公司2013年3月21日之后保罗·柯茨)` `a[n_]：=如果[n<0，0，（2I）^n如果[EvenQ[n]，EulerE[n，1/2]，EulereE[n，0]I]]；(迈克尔·索莫斯2015年8月15日）` `a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，具有[{m=n-1}，m！级数系数[1/（1-Sin[x]），{x，0，m}]]；(迈克尔·索莫斯2015年8月15日）` `s[0]=1；s[_]=0；t[n，0]：=s[n]；t[n，k]：=t[n，k]=t[n，k-1]+t[n-1，n-k]；a[n]：=t[n，n]；数组[a，30，0](Jean-François Alcover公司2016年2月12日）` `a[n_]：=如果[n==0，1，2Abs[PolyLog[-n，I]]]；(Jean-François Alcover公司，2023年12月2日，之后M.F.哈斯勒*)`
	黄体脂酮素	`（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，n---；n！polceoff（1/（1-sin（x+xO（x^n））），n））}\\迈克尔·索莫斯2004年2月3日` `（PARI）{a（n）=局部（v=[1]，t）；如果（n<0，0，for（k=2，n+2，t=0；v=向量（k，i，if（i>1，t+=v[k+1-i]））；v[2]）}\\迈克尔·索莫斯2004年2月3日` `（PARI）{a（n）=局部（an）；如果（n<1，n>=0，an=向量（n+1，m，1）；对于（m=2，n，an[m+1]=和（k=0，m-1，二项式（m-1，k）an[k+1]an[m-k]）/2）；an[n+1）}\\迈克尔·索莫斯2004年2月3日` `（PARI）z='z+O（'z^66）；egf=（1+sin（z））/cos（z）；Vec（塞拉普拉斯（egf））\\乔格·阿恩特2011年4月30日` `（PARI）A000111号（n） ={my（k）；和（m=0，n\2，（-1）^m和（j=0，k=n+1-2m，二项式（k，j）（-1）j（k-2j）^（n+1））/k>>k）}\\M.F.哈斯勒，2012年5月19日` `（PARI）A000111号（n） =如果（n，2abs（polylog（-n，I）），1）\\M.F.哈斯勒2012年5月20日` `（极大值）a（n）：=和（如果evenp（n+k），则（-1）^（（n+k）/2）和（j！stirling2（n，j）2^（1-j）（-1）（n+j-k）二项式（j-1，k-1），j，k，n），其他为0），k，1，n）/弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月19日/` `（最大值）` `a（n）：=如果n<2，则1其他2和（4^m（和（（i-（n-1）/2）^（n-1）二项式（n-2m-1，i-m）（-1）^/弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年8月9日/` `（Sage）#L.Seidel的算法（1877）` `定义A000111号_列表（n）：` `R=[]；A={-1:0，0:1}；k=0；e=1` `对于（0..n）中的i：` `Am=0；A[k+e]=0；e=-e` `对于（0..i）中的j：Am+=A[k]；A[k]=美国；k+=e` `R.append（美国）` `返回R` `A000111号_列表（22）#彼得·卢什尼2012年3月31日（2016年4月24日修订）` `（哈斯克尔）` `a000111 0=1` `a000111 n=总额$a008280_低（n-1）` `--莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月1日` `（Python）` `#需要python 3.2或更高版本` `从itertools导入累加` `A000111号_列表，整体叶栅=[1，1]，[1]` `对于范围（10*2）内的n：` `blist=列表（反向（列表（累加（反向（blist））））+[0]如果n为%2，则为[0]` `A000111号_list.append（总和（blist））#柴华武2015年1月29日` `（Python）` `从mpmath导入` `mp.dps=150` `l=斩波（泰勒（λx：秒（x）+褐色（x），0，26））` `[int（fac（i）*li）for i，li in enumerate（l）]#印地瑞尼Ghosh2017年7月6日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A000364号（正割数），A000182号（切线数）。` `相关三角形：A008280号,A008281号,A008282号,A008970型,A010094号,A059720型,A177762号.` `囊性纤维变性。A181937号对于n-交替排列。` `囊性纤维变性。A109449号对于指数Riordan数组的扩展。` `第k列=第1列，共列A010094号,A229892型,A258829型,A262124个,A275784型.` `第k列=第2列，共列A250261型.` `囊性纤维变性。A002105号,186365年.` `对于具有n个节点和k个叶子的0-1-2树，请参见A301344型.` `0-1-2棵树的Matula-Goebel数为A292050型.` `广义欧拉数概述A349264型.` `囊性纤维变性。A000258号,A000311号,A002846号,A005121号,A318813型,A320270型,A330474,A330665型,A330679型,A340315型.`
	关键字	`非n,核心,特征,美好的,容易的`
	作者	`N.J.A.斯隆`
	扩展	`编辑人M.F.哈斯勒2013年4月4日` `标题更正人杰弗里·克雷策2013年5月18日`
	状态	`经核准的`

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