搜索： 编号：a000069
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A000069号
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| 奇数：二进制展开中奇数为1的数字。
（原名M1031 N0388）
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+0个
300
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1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 38, 41, 42, 44, 47, 49, 50, 52, 55, 56, 59, 61, 62, 64, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 79, 81, 82, 84, 87, 88, 91, 93, 94, 97, 98, 100, 103, 104, 107, 109, 110, 112, 115, 117, 118, 121, 122, 124, 127, 128
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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法语：les nombres impies。
具有渐近密度1/2，因为4个数字4k、4k+1、4k+2、4k+3中正好有2个具有比特的偶数和，而其他2个具有奇数和-杰弗里·沙利特2002年6月4日
用n个硬币玩的模拟乌龟游戏的Nim-values。
对于任何正整数m，将前2^m个正整数集划分为坏整数E和坏整数O是对任何次数小于m的多项式序列p（k）的一个公平除法，也就是说，E}中的和（k）=O中的和-彼得罗·马杰2009年3月15日
对于n>1，设b（n）=a（n-1）。则b（b（n））=2b（n-贝诺伊特·克洛伊特2010年10月7日
对于某些m>=0的情况，形式为mXOR（2*m+1）的数字-雷米·西格里斯特2022年4月14日
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参考文献
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E.R.Berlekamp、J.H.Conway和R.K.Guy，《胜利之道》，纽约学术出版社，第2卷。，1982年，见第433页。
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，理论。计算机科学。，307 (2003), 3-29.
J.-P.Allouche、J.Shallit和G.Skordev，自生成集、缺失块的整数和替换，离散数学。292 (2005) 1-15.
J.-P.Allouche、B.Cloitre和V.Shevelev，超越可憎和邪恶，arXiv预印本arXiv:1405.6214[math.NT]，2014。
J.-P.Allouche、B.Cloitre和V.Shevelev，超越可憎和邪恶《Aequationes mathematicae》，2015年3月，第1-13页。
R.K.盖伊，组合学的统一性，程序。第25届伊朗数学。Conf，德黑兰，（1994），数学。应用329 129-159，Kluwer Dordrecht 1995，数学。版本96k:05001。
R.K.盖伊，公平的游戏《组合游戏》第35-55页，R.K.Guy编辑，Proc。交响乐。申请。数学。，43岁，美国。数学。Soc.，1991年。
萨杰德·哈克和杰弗里·沙利特，鉴别器和k-正则序列，arXiv:1605.00092[cs.DM]，2016年。
Tanya Khovanova，没有巧合，arXiv:11410.2193[数学.CO]，2014年。
J.Lambek和L.Moser，关于整数的一些双向分类、加拿大。数学。牛市。2 (1959), 85-89.
D.J.Newman，问题研讨会问题15，第5页；纽约州施普林格-弗拉格市15号，1982年。
Aayush Rajasekaran、Jeffrey Shallit和Tim Smith，基于自动机理论的加法数理论《计算系统理论》（2019）1-26。
弗拉基米尔·舍维列夫（Vladimir Shevelev）和彼得·J·C·摩西（Peter J.C.Moses），切线幂和及其应用，arXiv:1207.0404[math.NT]，2012-2014年发件人N.J.A.斯隆2012年12月17日
弗拉基米尔·舍维列夫（Vladimir Shevelev）和彼得·J·C·摩西（Peter J.C.Moses），切线幂和及其应用，INTEGERS，14（2014）#64。
弗拉基米尔·舍维列夫（Vladimir Shevelev）和彼得·J·C·摩西（Peter J.C.Moses），大周期数字函数族，arXiv:1209.5705[math.NT]，2012年。
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配方奶粉
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通用公式：1+Sum_{k>=0}（t*（2+2t+5t^2-t^4）/（1-t^2）^2）*乘积{j=0..k-1}（1-x^（2^j）），t=x^2^k-拉尔夫·斯蒂芬2004年3月25日
a（2*n+1）+a（2*n）=A017101号（n） =8*n+3。a（2*n+1）-a（2*n）给出了Thue-Morse序列（1,3版本）：1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,1。。。A001969号（n）+A000069（n）=A016813号（n） =4*n+1-菲利普·德莱厄姆2004年2月4日
a（1）=1；对于n>1：a（2*n）=6*n-3-a（n），a（2*1）=a（n+1）+2*n弗拉基米尔·舍维列夫2011年9月25日
对于k>=1和每个实（或复）x，我们有Sum_{i=1..2^k}（a（i）+x）^s=Sum_}i=1..2(A001969号（i） +x）^s，s=0..k。
对于x=0，s<=k-1，这被称为Prouhet定理（见J.-P.Allouche和Jeffrey Shallit，《无处不在的Prouhet-Thue-Morse序列》）-弗拉基米尔·舍维列夫2012年1月16日
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例子
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对于k=2，x=0和x=0.2，我们分别有1^2+2^2+4^2+7^2=0^2+3^2+5^2+6^2=70；
(1.2)^2 + (2.2)^2 + (4.2)^2 + (7.2)^2 = (0.2)^2 + (3.2)^2 + (5.2)^2 + (6.2)^2 = 75.76;
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MAPLE公司
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s：=proc（n）局部i，j，k，b，sum，ans；ans:=[]；j:=0；对于i，而j<n求和：=0；b:=换算（i，基数，2）；对于k到nops（b），求和：=和+b[k]；od；如果和mod 2=1，则ans：=[op（ans），i]；j:=j+1；fi；od；返回（ans）；结束；t1:=s（100）；A000069号：=n->t1[n]；#s（k）给出了前k项。
是_A000069号：=n->类型（添加（i，i=转换（n，基数，2）），奇数）：
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数学
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选择[Range[300]，OddQ[DigitCount[#，2][[1]]&](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月31日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，2 n-1-Mod[Total@IntegerDigits[n-1，2]，2]]；(*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，2*n-1-子集（Pol（二进制（n-1）），x，1）%2）}/*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<2，n==1，如果（n%2，a（（n+1）/2）+n-1，-a（n/2）+3*（n-1））}/*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*/
（岩浆）[1..130]|IsOdd（&+Intseq（n，2））中的n:n//克劳斯·布罗克豪斯2010年10月7日
（哈斯克尔）
a000069 n=a000069_列表！！（n-1）
a000069_list=[x|x<-[0..]，奇数$a000120 x]
（Python）
[n代表范围（1201）内的n，如果bin（n）[2:].count（“1”）%2]#因德拉尼尔·戈什2017年5月3日
（Python）
定义A000069号（n） ：返回（（m:=n-1）<<1）+（m.bit_count（）&1^1）#柴华武2023年3月3日
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交叉参考
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关键词
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容易的,核心,非n,美好的,基础
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作者
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经核准的
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