搜索： jason kimberley-关键词：allocated
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A001222号
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| 用多重数计算的n的素因子数（也称为n的大ω、大ω（n）或ω（n））。
（原名M0094 N0031）
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0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 5, 2, 3, 2, 3, 1, 4, 2, 4, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 3, 6, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 5, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 1, 5, 4, 2, 1, 4, 2, 2, 2, 4, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 6, 1, 3, 3, 4, 1, 3, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 1, 3, 2
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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n的任何因式分解中的最大项数。
除以n的素数幂（不包括1）。
猜想：设f（n）=（x+y）^a（n），g（n）=x^a（n），h（n）＝（x+y）^A046660号（n） *年^A001221号（n） x，y复数，0^0=1。则f（n）=和{d|n}g（d）*h（n/d）。这在x=1-y时得到了证明（见Dressler和van de Lune链接）-沃纳·舒尔特2018年2月10日
设r，s是一些固定整数。然后我们有：
（1） 对于素数p和e>=0，r^bigomega（n）和s^bigome（n）的序列b（n）=Dirichlet卷积与b（p^e）=（r^（e+1）-s^（e+1））/（r-s）相乘。情况r=s导致b（p^e）=（e+1）*r^e。
（2） r^bigomega（n）和mu（n）*s^bigome（n）的序列c（n）=Dirichlet卷积与素数p和e>0的c（p^e）=（r-s）*r^（e-1）和c（1）=1相乘，其中mu（n）=A008683号（n） -沃纳·舒尔特2019年2月20日
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参考文献
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第119页，#12，ω（n）。
M.Kac，概率、分析和数论中的统计独立性，Carus专题论文12，数学。美国协会。，1959年，见第64页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[替代扫描件]，第844页。
贝诺伊特·克洛伊特，RH的牛头座方法，arXiv:1107.0812[math.NT]，2011年。
Robert E.Dressler和Jan van de Lune，关于数论函数ω和ω的几点注记，程序。阿默尔。数学。Soc.41（1973），403-406。
G.H.Hardy和S.Ramanujan，一个数的素因子的正规数，夸脱。数学杂志。48 (1917), 76-92. 还收集了Srinivasa Ramanujan的论文，AMS Chelsea Publ。，普罗维登斯，RI（2000）：262-275。
道格拉斯·伊恩努奇（Douglas E.Iannucci）和厄本·拉尔森（Urban Larsson），算术函数的博弈值，arXiv:2101.07608[math.NT]，2021。第1.1.1条。第4-5页。
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配方奶粉
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n=产品（p_j^k_j）->a（n）=总和。
狄利克雷g.f.：ppzeta（s）*ζ（s）。这里，ppzeta（s）=和{p素数}和{k>=1}1/（p^k）^s。注意，ppzeta=和{p素}1/-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月11日
a（p）=1的全加性。
G.f.：和{p素数，k>=1}x^（p^k）/（1-x^-伊利亚·古特科夫斯基2017年1月25日
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例子
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16=2^4，所以a（16）=4；18=2*3^2，所以a（18）=3。
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MAPLE公司
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（数量理论）：seq（bigomega（n），n=1..111）；
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数学
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数组[Plus@@Last/@FactorInteger[#]&，105]
PrimeOmega[范围[120]](*哈维·P·戴尔2011年4月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）矢量（100，n，bigomega（n））
（Magma）[n eq 1 select 0 else&+[p[2]：p in Factorization（n）]：n in[1..120]]//布鲁诺·贝塞利2013年11月27日
（哈斯克尔）
导入数学。数字理论。底漆。分解（factorise）
a001222=总和。snd公司。解压缩。因子分解酶
（方案）
（GAP）级联（[0]，列表（[2..150]，n->长度（因子（n）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月21日
（Python）
来自sympy import primeomega
定义a（n）：返回素数（n）
打印（[a（n）代表范围（1112）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年4月30日
（朱莉娅）
使用尼莫
函数NumberOfPrimeFactors（n；distinct=true）
不同返回长度（系数（ZZ（n））
因子（ZZ（n））中（p，e）的总和（e）；初始化=0）
结束
println（[NumberOfPrimeFactors（n，distinct=false）for n in 1:60]）#彼得·卢什尼2024年1月2日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A079149号（素数可调整为最多有2个素数因子的整数，a（n）<=2）。
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000012号
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| 最简单的正数序列：全1序列。
（原名M0003）
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表；桌子；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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将n写成素数乘积的方法的数量。
将n写成2的不同幂之和的方式。
一个正整数无限序列的例子，其不同的两两串联都是素数-唐·雷布尔，2005年4月17日
对于n>=0，设M（n）是第一行=（n n+1），第二行=（n+1 n+2）的矩阵。则a（n）=det的绝对值（M（n））-K.V.Iyer公司2009年4月11日
a（n）是一个完全乘法的算术函数。
a（n）也是n个节点上的完整图的数量巴勃罗·查韦斯，2009年9月15日
第n素数减去φ（素数（n））；第n个素数的除数减去第n个素的完美分割数；第n素数的完美分割数；第n个非命题数的完美分割数-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2009年10月26日
对于所有n>0，a（n）=n的极限值序列*和{k>=n}k/（k+1）！。此外，a（n）=n^0-哈兰·J·兄弟，2009年11月1日
a（n）也是n个顶点上的0-正则图的个数_杰森 金伯利_2009年11月7日
1） 当序列被读取为规则三角形数组时，T（n，k）是（x^（n+1）-1）/（x-1）展开式中的k次幂系数。
2） 序列也可以被读取为一个长度为1的行的二项式数组，类似于二项式、三项式等系数的数组。在q项数组中，T（n，k）是（（x^q-1）/（x-1））^n展开式中的k次幂系数，行n的和为q^n，长度为（q-1）*n+1。（结束）
从2Xn栅格的西北角到西南角的最大自空行走次数。
作为下三角数组，T是A133314号.将每个第n对角线乘以t^n得到M（t）=I/（I-t*S）=I+t*S+（t*S。。。其中S是轮班操作员A129184号，且T=M（1）。M（t）的逆矩阵是将t的第一个子对角乘以-t，其他子对角乘以零，因此A167374号是T的逆函数。乘以T^n/n！给出了带有逆exp（-t*S）的exp（t*S）-汤姆·科普兰2012年11月10日
考虑n>=1个互不相交的球面，每个球面都有表面积S。当且仅当球面S_j上存在点q时，将球面S_i上的点p定义为“公共点”，j！=i、 这样线段pq INTERSECT S_i={p}和pq INTER S_j={q}；否则，p是“私有点”。完全由所有n个球体上的所有私有点组成的总表面积是a（n）*S=S（Zeitz中的“私有行星问题”）-里克·L·谢泼德2014年5月29日
a（n）也是由M（i，j）=二项式（i，j=0≤i，j<=n）定义的（n+1）X（n+1”）矩阵M的行列式，因为M是主对角线都为1的下三角矩阵-宋嘉宁，2018年7月17日
a（n）也是对称n×n矩阵M的行列式，M（i，j）=min（i，j）定义为1<=i，j<=n（见Xavier-Merlin参考文献）-伯纳德·肖特，2018年12月5日
a（n）也是对称n X n矩阵M的行列式，由M（i，j）=τ（gcd（i，j））定义为1≤i，j≤n（参见De Koninck&Mercier参考）-伯纳德·肖特2020年12月8日
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参考文献
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J.-M.De Koninck和A.Mercier，1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres，Probléme 692第90和297页，Ellipses，巴黎，2004年。
泽维尔·梅林（Xavier Merlin），《阿尔盖布雷·梅瑟迪克斯》（Méthodix Algèbre，Execice 1-a），第153页，《椭圆》，巴黎，1995年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。
Paul Zeitz，《数学问题解决的艺术和工艺》，The Great Courses，The Teaching Company，2010年（DVD和课程指南，第6讲：“图片、重播和观点”，第32-34页）。
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链接
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杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。参见第172页。图书网站
L.B.W.Jolley，级数求和1961年，多佛
杰里·梅茨格和托马斯·理查兹，囚犯问题变体《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.2.7条。
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil，k二项式变换和Hankel变换《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.1.1条。
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配方奶粉
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a（n）=1。
G.f.：1/（1-x）。
例如：exp（x）。
G.f.：产品{k>=0}（1+x^（2^k））-扎克·塞多夫2007年4月6日
a（p^e）=1的完全乘法。
被反对偶视为正方形数组，g.f.1/（（1-x）（1-y）），例如f.总和T（n，m）x^n/n！y^m/m！=e^{x+y}，例如f.总和T（n，m）x^ny^m/m！=e^y/（1-x）。视为三角形数组，g.f.1/（（1-x）（1-xy）），例如f.总和T（n，m）x^ny^m/m！=e^｛xy｝/（1-x）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年2月6日
a（n）=Sum_{l=1..n}（-1）^（l+1）*2*cos（Pi*l/（2*n+1））=1在n>=1中相同（对于n=0，从未定义的和中取0）。来自Jolley参考文献，（429）第80页。解释：考虑切比雪夫多项式S（2*n，x）的x=0和n个正零点之间的n段（参见A049310型). 然后，从以最大零结尾的线段开始（从右到左）的其他线段的长度之和为1-沃尔夫迪特·朗2016年9月1日
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例子
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1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)))) =A001622号.
1/9 = 0.11111111111111...
不可被3整除的非负奇数的Modd 7：
A007310号: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, ...
模式3:1、1、1。。。
（结束）
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MAPLE公司
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seq（1，i=0..150）；
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数学
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阵列[1&，50]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1:n in[0..100]]；
（PARI）{a（n）=1}；
（哈斯克尔）
a000012=常数1
（Maxima）临时名单（1，n，1，30）/*马丁·埃特尔2012年11月7日*/
（Python）打印（[1代表范围（90）内的n）]#迈克尔·布拉尼基2022年4月4日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000004号,A007395号,A010701号,A000027号,A027641号,A014410号,A211216型,A212393型,A060544号,A051801号,A104684号.
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关键词
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非n,核心,容易的,多重,cofr公司,欺骗,表,改变
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作者
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状态
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经核准的
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A001358号
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| 半素数（或双素数）：两个素数的乘积。
（原名M3274 N1323）
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+20
1716
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4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 121, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 169, 177, 178, 183, 185, 187
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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形式为p*q的数，其中p和q是素数，不一定是不同的。
这些数字有时被称为半素数或2-几乎素数。在这个数据库中，官方拼写是“semiprime”，而不是“semiprime”。
数字n使Omega（n）=2，其中Omega=A001222号（n） 是n的素分解的指数之和。
该序列的图形似乎是一条斜率为4的直线。然而，渐近公式表明，线性是一种错觉，实际上a（n）/n~log（n）/log（n（n））趋于无穷大。另请参见图A066265号=半素数<10^n。
对于33到15495之间的数字，半素数比任何其他k-几乎素数都要丰富。请参见A125149号.
可以被2次幂整除的数字（不包括1）。-_杰森 金伯利_2011年10月2日
这个序列的等价定义是a'（n）=最小合成数，它不除以任何较小的合成数a'（1），。。。，a'（n-1）-Meir-Simchah装甲车2016年6月22日
上述特征可以简化为“不能被更小的项整除的复合数”。这表明，这与通过埃拉托斯特尼筛计算的素数等价，但从复合数集（即1个并素数的补码）开始，而不是所有大于1的正整数。很容易看出，迭代该方法（每次对剩余的数字使用埃拉托斯特尼的筛子，对之前计算的集合进行补码）会得到k=0，1，2，3，…，的bigomega=k的数字。。。，即{1}，A000040美元，这个，A014612号等-M.F.哈斯勒2019年4月24日
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参考文献
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《阿基米德问题驱动》，尤里卡，17（1954），8。
雷蒙德·阿尤布（Raymond Ayoub），《数字分析理论导论》（Introduction to the Analytic Theory of Numbers），美国。数学。Soc.，1963年；第二章，问题60。
Edmund Landau，Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen，第1卷，莱比锡Teubner；第三版：切尔西，纽约（1974年）。见第211页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Daniel A.Goldston、Sidney W.Graham、János Pintz和Cem Y.Yildirim，素数或几乎素数之间的小间隙《美国数学学会学报》，第361卷，第10期（2009年），第5285-5330页，arXiv预印本，arXiv:math/0506067[math.NT]，2005年。
Sh.T.Ishmukhametov和F.F.Sharifullina，关于半素数的分布Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii。马特马提卡，2014年，第8期，第53-59页。英语翻译《俄罗斯数学》，第58卷，第8期（2014年），第43-48页，备用链路.
Donovan Johnson、Jonathan Vos Post和Robert G.Wilson v，选定n和a（n）.（2.5 MB）
狄克逊·琼斯，快593《数学杂志》，第47卷，第3期，1974年5月，第167页。
Edmund Landau，Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen，第一卷和第2卷柏林莱比锡，B.G.Teubner，1909年。见第一卷，第211页。
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配方奶粉
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a（n）~n*log（n）/log（n（n））作为n->无穷大[Landau，p.211]，[Ayoub]。
重复：a（1）=4；对于n>1，a（n）=不是前面任何项的倍数的最小复合数-阿玛纳斯·穆尔西2002年11月10日
和{n>=1}1/a（n）^s=（1/2）*（P（s）^2+P（2*s）），其中P是素数zeta函数-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2012年6月24日
σ（a（n））+φ（a（n））-μ。mu（a（n））=天花板（sqrt（a（n）））-地板（sqrt（a（m）））-韦斯利·伊万·赫特2013年5月21日
mu（a（n））=-Omega（a（n））+Omega（a(A008683号)，欧米茄是具有重复的素因子的计数，而欧米茄则是不同素因子的数-阿隆索·德尔·阿特2014年5月9日
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例子
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术语序列及其主要因素开始于：
4 = 2*2 46 = 2*23 91 = 7*13 141 = 3*47
6 = 2*3 49 = 7*7 93 = 3*31 142 = 2*71
9 = 3*3 51 = 3*17 94 = 2*47 143 = 11*13
10 = 2*5 55 = 5*11 95 = 5*19 145 = 5*29
14 = 2*7 57 = 3*19 106 = 2*53 146 = 2*73
15 = 3*5 58 = 2*29 111 = 3*37 155 = 5*31
21 = 3*7 62 = 2*31 115 = 5*23 158 = 2*79
22 = 2*11 65 = 5*13 118 = 2*59 159 = 3*53
25 = 5*5 69 = 3*23 119 = 7*17 161 = 7*23
26=2*13 74=2*37 121=11*11 166=2*83
33 = 3*11 77 = 7*11 122 = 2*61 169 = 13*13
34 = 2*17 82 = 2*41 123 = 3*41 177 = 3*59
35 = 5*7 85 = 5*17 129 = 3*43 178 = 2*89
38 = 2*19 86 = 2*43 133 = 7*19 183 = 3*61
39 = 3*13 87 = 3*29 134 = 2*67 185 = 5*37
（结束）
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MAPLE公司
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A001358号：=proc（n）选项记忆；局部a；如果n=1，则为4；如果numtheory[bigomega]（a）=2，则返回a；结束条件：；end do：结束if；结束进程：
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数学
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选择[范围[200]，加上@@Last/@FactorInteger[#]==2&](*扎克·塞多夫2005年6月14日*）
选择[Range[200]，PrimeOmega[#]==2&](*哈维·P·戴尔2011年7月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）选择（isA001358（n）={bigomega（n）==2}，[1..199]）\\M.F.哈斯勒2008年4月9日；新增select（）2019年4月24日
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），t）；对于素数（p=2，sqrt（lim），t=p；forprime（q=p，lim\t，listput（v，t*q））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年9月11日
（PARI）A1358=列表（4）；A001358号（n） ={while（#A1358<n，my（t=A1358[#A1358]）；until（bigomega（t++）==2，）；listput（A1358，t））；A1358[n]}\\M.F.哈斯勒2019年4月24日
（哈斯克尔）
a001358 n=a001358_列表！！（n-1）
a001358_list=过滤器（（==2）。a001222）[1..]
（岩浆）[2..200]中的n：n |分解（n）中的&+[d[2]：d eq 2]//布鲁诺·贝塞利2015年9月9日
（Python）
来自sympy导入因子
def-ok（n）：返回和（factorint（n）.values（））==2
打印（[k代表范围（1190）中的k，如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基2022年4月30日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A077554号,A077555号,A002024号,A072966号,A100592号,A014673号,A068318号,A061299型,A087718号,A089994号,A089995美元,A096916号,A096932号,A106550型,A106554号,A108541号,A108542号,A126663号,A131284号,A138510号,A138511号,A072931号,A088183号,A171963号,A237040型（形式为n^3+1的半素数）。
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005117号
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| 无平方数：不能被大于1的平方整除的数字。
（原名M0617）
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+20
1609
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1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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1和不同素数的乘积。
也是最小的序列，其性质是a（m）*a（k）对于k永远不是平方！=m.-Ulrich Schimke（ulrschimke（AT）aol.com），2001年12月12日
数k使得只有一个具有k个元素的阿贝尔群，即阶为k的循环群（这样的数A000688美元（k） =1）.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年4月25日
a（n）是最小的m，正好有n个无平方数<=m-阿玛纳斯·穆尔西，2002年5月21日
k是无平方的<=>k除以素数（k）#其中素数（k）#=前k个素数的乘积Mohammed Bouayoun（bouyao（AT）wanadoo.fr），2004年3月30日
这个序列和Beatty Pi^2/6序列(A059535号)是“乱伦”：前20000个术语的范围在（-9，14）之内-小埃德·佩格2008年7月22日
数字k使得sqrt（k）无法简化-肖恩·洛夫兰2011年9月4日
指数m，其中A057918号（m） =0，即{1,2，…，m-1}中没有整数k的正整数m，使得k*m是一个正方形-约翰·莱曼2011年9月8日
看起来这些数字j使得Product_{k=1..j}（prime（k）mod j）=0（参见Maple代码）-加里·德特利夫斯2011年12月7日。-这与Mohammed Bouayoun于2004年3月30日发表的上述评论相同。要了解它为什么成立：Primorial numbers，A002110号，该序列的一个子序列，决不能被任何非方数整除，A013929号另一方面，最大素数除以任意n的指数小于n。A243291型. -安蒂·卡图恩2014年6月3日
推测：对于每个n=2,3，。。。有无穷多个整数b>a（n），使得和{k=1..n}a（k）*b^（k-1）是素数，最小的整数b不超过（n+3）*（n+4）-孙志伟2013年3月26日
Booker、Hiary和Keating给出了一个次指数算法，用于在不进行因子分解的情况下测试序列中的成员关系-查尔斯·格里特豪斯四世2014年1月29日
因为在分解成素数的过程中，a（n）（n>=2）的指数要么是0，要么是1，我们可以称之为“带费米子质数分解的数”。级别是质数prime（j），j>=1，占领数（指数）e（j）是0或1（就像泡利的不相容原理）。然后，“费米子态”由条目为0或1的序列表示，其中，除零序外，后面的零被省略。零序表示a（1）=1。例如，a（5）=6=2^1*3^1用“费米子态”[1,1]表示，a（7）=10用[1,0,1]表示。与计算中的“费米子分区”相比A000009号. -沃尔夫迪特·朗2014年5月14日
下面是一个Eratosthenes类型的方形数筛。对于大于1的整数：
1） 删除偶数，2除外；最小未删除数为3。
2） 替换步骤1中删除的3的倍数，并删除3的倍数（3本身除外）；最小未删除数为5。
3） 替换步骤1和2中删除的5的倍数，并删除5的倍数（5本身除外）；最小未删除数是6。
4） 替换步骤1、2和3中删除的6的倍数，并删除6的倍数（6本身除外）；最小未删除数是7。
5） 重复使用最后一个最小未移除数量，从之前步骤的恢复倍数中筛选。
证明。我们使用归纳法。假设作为算法的结果，我们找到了所有小于n的无平方数，而没有其他数。如果n是平方自由的，那么它的真除数d>1是偶数（它是2^k-2，其中k是它的素数除数），并且通过算法，它仍然在序列中。否则，n被删除，因为它的无平方因子>1的数量是奇数（它是2^k-1）。
（结束）
整数>1的字典最小序列，这样每个条目都有偶数个合适的除数出现在序列中（这就是重新设置的筛选）-格伦·惠特尼2015年8月30日
具有不同部分的分区的Heinz数。我们将分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz数定义为Product_{j=1..r}质数（j）（阿洛伊斯·海因茨在里面A215366型作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，Heinz数是2*2*3*7*29=2436。数字30（=2*3*5）在序列中，因为它是分区[1,2,3]的Heinz数-Emeric Deutsch公司2015年5月21日
对k进行编号，使每个整数b的b^（phi（k）+1）==b（mod k）-托马斯·奥多夫斯基2016年10月9日
Boreico表明，该序列项的平方根集与有理数线性无关_杰森 金伯利_2016年11月25日（参考文献由Michael Coons提供）。
素数zeta函数P（s）“在s=1/k的实轴上有奇点，其中k在没有平方因子的情况下遍历所有正整数”。请参阅Wolfram链接-马利瓦尔·弗朗西斯，2018年6月23日
无平方数的Schnirelmann密度是53/88（Rogers，1964）-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月12日
对k进行编号，使k阶的所有群都有一个平凡的Frattini子群[Dummit and Foote]。
设群G具有n阶。如果n是平方自由的且n>1，则G是可解的，因此根据霍尔定理，对于所有p|n，都包含指数为p的子群H_p。每个H_p在G中按阶考虑是最大的，所有H_p的交集是平凡的。因此G的Frattini子群Phi（G）是G的极大子群的交集，必须是平凡的。如果n不是平方自由的，则n阶循环群具有非平凡的Frattini子群。（结束）
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参考文献
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Jean-Marie De Konink，《法定法西斯主义》，条目165，第53页，Ellipses，巴黎，2008年。
Dummit、David S.和Richard M.Foote。抽象代数。第1999卷。新泽西州恩格尔伍德克利夫斯：普伦蒂斯·霍尔，1991年。
Ivan M.Niven和Herbert S.Zuckerman，《数论导论》。第二版，纽约州威利，1966年，第251页。
Michael Pohst和Hans J.Zassenhaus，《算法代数数论》，剑桥大学出版社，第432页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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埃内斯托·塞萨罗，辅助算术中的La serie di Lambert《那不勒斯科学研究院Rendiconto della Reale Accademia delle Scientize di Napoli》，第二辑，第7卷（1893年），第197-204页。
Pentti Haukkanen、Mika Mattila、Jorma K.Merikoski和Timo Tossavainen，算术导数可以在非唯一分解域上定义吗？，《整数序列杂志》，第16卷（2013年），第13.1.2条。
Aaron Krowne，无平方数，PlanetMath.org。
斯里尼瓦萨·拉马努扬，不规则数字，印度数学杂志。Soc.，第5卷（1913年），第105-106页。
J.A.Scott，重新审视广场自由《数学公报》，第90卷，第517号（2006年），第112-113页。
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O.Trifonov，关于无平方问题II，数学。Balkanica，第3卷（1989年），Fasc。3-4.
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配方奶粉
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|a（n）-n*Pi^2/6|<0.058377*sqrt（n）对于n>=268293；这个结果可以从Cohen、Dress和El Marraki得到，请参阅链接-查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月18日
和{n>=1}（-1）^（a（n）+1）/a（n）^2=9/Pi^2。
求和{k=1..n}1/a（k）~（6/Pi^2）*log（n）。
求和{k=1..n}（-1）^（a（k）+1）/a（k）~（2/Pi^2）*log（n）。
（全部摘自Scott，2006）（完）
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；a:=[]；对于从1到200的n，如果issqrfree（n），则a：=[op（a），n]；fi；日期：
t： =n->乘积（ithprime（k），k=1..n）：对于从1到113的n，如果（t（n）mod n=0），则打印（n）fiod#加里·德特利夫斯2011年12月7日
A005117号：=proc（n）选项记忆；如果n=1，则为1；如果numtheory[issqrfree]（a）返回a，则从procname（n-1）+1 do返回a；结束条件：；end do：结束if；结束进程：#R.J.马塔尔2013年1月9日
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数学
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选择[Range[113]，SquareFreeQ](*罗伯特·威尔逊v2005年1月31日*）
选择[Range[150]，Max[Last/@FactorInteger[#]]<2&]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
NextSquareFree[n_，k_：1]：=块[{c=0，sgn=Sign[k]}，sf=n+sgn；While[c<Abs[k]，While[！SquareFreeQ@sf，If[sgn<0，sf--，sf++]]；如果[sgn＜0，sf-，sf++]；c++]；sf+如果[sgn<0，1，-1]]；嵌套列表[NextSquareFree，1，70](*罗伯特·威尔逊v2014年4月18日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..1000]|IsSquarefree（n）]中的n:n；
（PARI）bnd=1000；L=矢量（bnd）；j=1；对于（i=1，bnd，如果（i），L[j]=i；j=j+1））；L（左）
（PARI）{a（n）=局部（m，c）；如果（n<=1，n==1，c=1；m=1；while（c<n，m++；if（issquarefere（m），c++））；m）}/*迈克尔·索莫斯2005年4月29日*/
（PARI）列表（n）=我的（v=向量小（n，i，1），u，j）；forprime（p=2，sqrtint（n），forstep（i=p^2，n，p^2，v[i]=0）；u=矢量（总和（i=1，n，v[i]））；对于（i=1，n，如果（v[i]，u[j++]=i））；u个\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月8日
（PARI）
S（n）=本人；forsquarefree（k=1，平方（n），s+=n\k[1]^2*moebius（k））；s；
a（n）=我的（最小值=1，最大值=231，k=0，sc=0）；如果（n>=144，min=楼层（zeta（2）*n-5*sqrt（n））；最大值=天花板（zeta（2）*n+5*sqrt（n））；而（min<=max，k=（min+max）\2；sc=S（k）；如果（abs（sc-n）<=平方（n），中断）；如果（sc>n，max=k-1，if（sc<n，min=k+1，break））；而（！issquarefree（k），k-=1）；而（sc！=n，my（j=1）；如果（sc>n，j=-1）；k+=j；sc+=j；而（！issquarefree（k），k+=j））；k\\丹尼尔·苏图2022年7月7日
（PARI）第一（n）=我的（v=向量（n），i）；对于无平方（k=1，如果（n<268293，（33*n+30）\20，（n*Pi^2/6+0.058377*sqrt（n））\1），如果（i++>n，返回（v））；v[i]=k[1]）；v（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2023年1月10日
（哈斯克尔）
a005117 n=a005117_列表！！（n-1）
a005117_list=过滤器（（==1）。a008966）[1..]
（Python）
从sympy.theory.factor导入核心
def ok（n）：返回核心（n，2）==n
打印（列表（过滤器（正常，范围（114）））#迈克尔·布拉尼基2021年7月31日
（Python）
从itertools导入计数，islice
来自sympy导入因子
定义A005117号_gen（startvalue=1）：#术语生成器>=startvalue
返回过滤器（lambda n：all（x==1 for x in factorint（n）.values（）），count（max（startvalue，1））
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交叉参考
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囊性纤维变性。A076259号（第一个差异），A173143号（部分金额），A000688美元,A003277号,A013928号,A020753号,A020754号,A020755号,A030059型,A030229号,A033197号,A034444号,A039956号,A048672号,A053797号,A057918号,A059956号,A071403号,A072284号,A120992年,A133466号,136742英镑,A136743号,A160764型,A243289号,243347英镑,A243348号,A243351型,A215366型,A046660号,A265668型,A265675型.
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关键词
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非n,容易的,美好的,核心
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作者
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状态
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经核准的
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A000796号
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| Pi（或Pi的数字）的十进制展开式。
（原名M2218 N0880）
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+20
1006
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3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1, 0, 5, 8, 2, 0, 9, 7, 4, 9, 4, 4, 5, 9, 2, 3, 0, 7, 8, 1, 6, 4, 0, 6, 2, 8, 6, 2, 0, 8, 9, 9, 8, 6, 2, 8, 0, 3, 4, 8, 2, 5, 3, 4, 2, 1, 1, 7, 0, 6, 7, 9, 8, 2, 1, 4
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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有时称为阿基米德常数。
圆的周长与直径的比值。
也是半径为1的圆的面积。
也是直径为1的球体的表面积。
记住前几个词的一个有用的记忆法：在涉及量子力学的沉重讲座之后，我想喝点什么，当然是酒精饮料。。。
此外，球体的表面积与外切立方体的一个面之比。球体的体积与外切立方体中六个内切金字塔之一的体积之比-奥马尔·波尔2012年8月9日
也是半径为1的球体的四分之一的表面积-奥马尔·波尔2013年10月3日
此外，峰值偶函数f（x）=1/cosh（x）下的面积。证明：对于积分的上半部分，写f（x）=（2*exp（-x））/（1+exp（-2x））=2*Sum_{k>=0}（-1）^k*exp。结果是Pi/4的格雷戈里级数的两倍-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年10月31日
好奇心：白川东彦最近建造了一个由七方组成的144X144魔法广场。魔和=3141592653589793238462643383279502884197169399375105，这是Pi的前52位的串联。有关详细信息，请参阅MultiMagic Squares链接Christian Boyer，2013年12月13日[评论由修订N.J.A.斯隆2014年8月27日]
x*Pi也是直径等于x平方根的球体的表面积-奥马尔·波尔2013年12月25日
也指表面积等于外切立方体体积的球体的直径-奥马尔·波尔2014年1月13日
关于以10为基数表示Pi的有趣轶事，其中3（整数部分）是第一位（索引1）：
358 0
359 3
360 6
361 0
362 0
圆通常被细分为360度（尽管圆周率弧度产生了圆的一半）。。。
（结束）
有时被称为阿基米德常数，因为希腊数学家通过绘制圆内外的规则多边形来计算圆周率的上下界。在德国，它一直被称为卢多尔菲数，直到20世纪初，荷兰数学家卢多尔夫·范·塞伦（1540-1610）在16世纪末计算出了高达35位的圆周率-马丁·瑞诺2016年9月7日
截至2019年初，已知的Pi小数位数超过22万亿。请参阅维基百科文章“圆周率计算年表”-哈维·P·戴尔2019年1月23日
2019年3月14日，Emma Haruka Iwao宣布使用谷歌云的基础设施计算31.4万亿位数的圆周率-大卫·拉德克利夫2019年4月10日
半径为1的球体的四分之三的体积-奥马尔·波尔2019年8月16日
2021年8月5日，瑞士格里森应用科学大学的研究人员宣布，他们已经计算出62.8万亿位数。吉尼斯世界纪录尚未证实这一点-阿隆索·德尔·阿特2021年8月23日
Hermite-Lindemann（1882）定理指出，如果z是非零代数数，那么e^z是超越数。Pi的超越性来自于欧拉的关系：e^（i*Pi）=-1-彼得·卢什尼2023年7月21日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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Pi=4*Sum_{k>=0}（-1）^k/（2k+1）[Madhava-Gregory-Leibniz，1450-1671]-N.J.A.斯隆2013年2月27日
2/Pi=（平方（2）/2）*（平方（2+sqrt（2））/2）x（平方（2+平方（2+2））/2）*。。。[维也纳，1593]
2/Pi=Product_{k>=1}（4*k^2-1）/（4*k^2）。[瓦利斯，1655]
Pi=3*sqrt（3）/4+24*（1/12-Sum_{n>=2}（2*n-2）/（n-1）^（2*n-3）*（2*n+1）*2^（4*n-2）））。[牛顿，1666年]
Pi/4=4*弧度（1/5）-弧度（1/239）。[Machin，1706]
Pi^2/6=3*Sum_{n>=1}1/（n^2*二项式（2*n，n））。[欧拉，1748年]
1/Pi=（2*sqrt（2）/9801）*Sum_{n>=0}（4*n）*（1103+26390*n）/（（n！）^4*396^（4*n））。[拉马努扬，1914]
1/Pi=12*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n）*（13591409+545140134*n）/（（3*n）*（n！）^3*（640320^3）^（n+1/2））。【大卫和格雷戈里·丘德诺夫斯基，1989年】
Pi=Sum_{n>=0}（1/16^n）*（4/（8*n+1）-2/（8*n+4）-1/（8*n+5）-1-（8*n+6））。【Bailey-Borwein-Plouffe，1989年】（结束）
Pi=4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1）-1/（4*k+3）-亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日
Pi=4*sqrt（-1*（和{n>=0}（i^（2*n+1））/（2*n+1））^2）-亚历山大·波沃洛茨基2009年1月25日
Pi-2=1/1+1/3-1/6-1/10+1/15+1/21-1/28-1/36+1/45+。。。[Jonas Castillo Toloza，2007年]，即Pi-2=Sum_{n>=1}（1/（（-1）^floor（（n-1）/2）*（n^2+n）/2））-何塞·德·杰苏斯·卡马乔·麦地那2014年1月20日
Pi=3*Product_{t=img（r），r=（1/2+i*t）zeta函数}的根}（9+4*t^2）/（1+4*t*2）<=>RH为真-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2016年5月5日
Pi=Sum_{k>=1}（3^k-1）*zeta（k+1）/4^k。
Pi=2*Product_{k>=2}秒（Pi/2^k）。
Pi=2*Integral_{x>=0}sin（x）/xdx。（结束）
当k>=2时，Pi=2^{k+1}*arctan（sqrt（2-a_{k-1}）/a_k），其中a_k=sqrt-桑贾·阿布拉罗夫2017年2月7日
Pi=lim_{n->infinidy}2/n*和{m=1，n}（sqrt（（n+1）^2-m^2）-sqrt（n^2-m*2））-迪米特里·帕帕佐普洛斯2019年5月31日
发件人彼得·巴拉，2019年10月29日：（开始）
Pi=Sum_{n>=0}2^（n+1）/（二项式（2*n，n）*（2*n+1））-欧拉。
一般来说，Pi=（4^x）*x/（2*x）！*Sum_｛n>=0｝2^（n+1）*（n+x）*（n+2*x）/（2*n+2*x+1）！=2*4^x*x^2/（2*x+1）！*超几何（[2*x+1,1]，[x+3/2]，1/2），对不在{-1，-3/2，-2，-5/2，…}中的复数x有效。给，x！是函数Gamma（x+1）的简写符号。这个恒等式可以用高斯第二求和定理来证明。
Pi=Im（log（-i^i））=log（i^i）*（-2）-彼得·卢什尼2019年10月29日
等于2+Integral_{x=0..1}arccos（x）^2 dx。
等于Integral_{x=0..oo}log（1+1/x^2）dx。
等于Integral_{x=0..oo}log（1+x^2）/x^2 dx。
等于Integral_{x=-oo..oo}exp（x/2）/（exp（x）+1）dx。（结束）
等于4*（1/2）^2=4*伽马（3/2）^2-加里·亚当森2021年8月23日
Pi=32*Sum_{n>=1}（-1）^n*n^2/（（4*n^2-1）*。
更一般地说，对于k=1,2,3，。。。，Pi=16*（2*k）*和{n>=1}（-1）^（n+k+1）*n^2/（（4*n^2-1）**（4*n^2-（2*k+1）^2））。
Pi=32*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^2=768*Sum_{n>=1}（-1）^。
更一般地说，对于k=0,1,2，。。。，Pi=16*加泰罗尼亚语（k）*（2*k）*（2*k+2）*和{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^2**（4*n^2-（2*k+1）^2）^2。
Pi=（2^8）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*n^2/（4*n^2-1）^4=n ^2*（n ^2-1）*（n*2-4）/（（4*n ^2-1）^4*（4*n^2-9）^4*（4*n^2-25）^4）。（结束）
Pi=4/φ+Sum_{n>=0}（1/φ^（12*n））*-奇塔兰詹·帕德西2022年5月16日
等于Integral_{x=0..1}1/sqrt（x-x^2）dx-米查尔·保罗维奇2023年9月24日
发件人彼得·巴拉，2023年10月28日：（开始）
Pi=48*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5））。
更一般地说，对于k>=0，我们有Pi=A（k）+B（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n/（（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+6*k+5）），其中A（k）是Pi的有理逼近，B（k）=（3*2^（3*k+3）*（3*k+2）！）/（2^（3*k+1）-（-1）^k）。对于k>=0，A（k）的前几个值为[0，256/85，65536/20955，821559296/261636375，6308233216/2008080987，9082094864/2890938208075，…]。
Pi=16/5-（288/5）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+9））。
更一般地说，对于k>=0，我们有Pi=C（k）+D（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*n+1）/（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+6*k+3）），其中C（k）和D（k）是有理数。k=0的情况是Pi的Madhava-Gregory-Leibniz级数。
Pi=168/53+（288/53）*和{n>=0}（-1）^n*（42*n^2+25*n）/（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5）*。
更一般地说，对于k>=1，我们有Pi=E（k）+F（k）*Sum_{n>=0}（-1）^n*（6*（6*k+1）*n^2+（24*k+1*（6*n+6*k+1）），其中E（k）和F（k）是有理数。（结束）
上面给出的级数表示Pi=4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1）-1/（4*k+3）由亚历山大·波沃洛茨基2008年12月25日，是更一般的结果（通过WZ方法获得）的n=0的情况：对于n>=0，存在
Pi=Sum_{j=0..n-1}2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））+8*（n+1）*和{k>=0}1/（（4*k+1）*（4*k+3）**（4*k+2*n+3））。
让n->oo得到由于Euler而快速收敛的级数Pi=Sum_{j>=0}2^（j+1）/（2*j+1）*二项式（2*j，j）。
更一般地说，对于n>=1，Pi=1/（2*n-1）^2*Sum_{j>=0}（乘积_{i=0..2*n-1}j-i）*2^（j+1）/（（2*j+1）*二项式（2*j，j））。
对于任何整数n，Pi=（-1）^n*4*Sum_{k>=0}1/（4*k+1+2*n）-1/（4*k+3-2*n）。（结束）
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例子
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3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062\
86208998862803482534211170679824086513282306647093846095505822317253594081\
284811174502841027019385211055596446229489549303819...
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MAPLE公司
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数字：=110:Pi*10^104:
ListTools：-反转（转换（底数（%），基数，10））#彼得·卢什尼2019年10月29日
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数学
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真实数字[N[Pi，105]][[1]]
表[ResourceFunction[“NthDigit”][Pi，n]，{n，1，102}](*琼·卢德维德2022年6月22日；用这个函数很容易计算a（10000000）=7；需要Mathematica 12.0+*）
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黄体脂酮素
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（Macsyma）py（x）：=如果等于（6，6+x^2），则2*x其他（py（x:x/3），3*%%-4*（%%-x）^3）；py（3.）；py（dfloat（%））；块（[bfprecision:35]，py（bfloat（%））/*高斯珀2002年9月9日*/
（PARI）{default（realprecision，20080）；x=Pi；for（n=120000，d=floor（x）；x=（x-d）*10；write（“b000796.txt”，n，“”，d）；}\\哈里·史密斯2009年4月15日
（PARI）A796=[]；A000796号（n） ={if（n>#A796，localprec（n*6\5+29）；A796=数字（Pi\.1^（精度（Pi）-3））；A696[n]}\\注意：与其他程序一样，这将返回序列的第n项，其中n=1、2、3。。。而不是n=1，0，-1，-2-M.F.哈斯勒2022年6月21日
（PARI）first（n）=默认值（realprecision，n+10）；数字（楼层（Pi*10^（n-1））\\大卫·A·科内斯2022年6月21日
（哈斯克尔）——见链接：识字程序
导入数据。字符（数字到Int）
a000796 n=a000796_列表（n+1）！！（n+1）
a000796_list len=map digitToInt$show$machin'`div`（10^10）其中
machin'=4*（4*arccot 5单位-arccot 239单位）
单位=10^（len+10）
arccot x unity=arccot'x unity 0（unity`div`x）1 1其中
arccot’x单位和xpow n符号
|项==0=总和
|否则=arccot’
x单位（总和+符号*项）（xpow`div`x^2）（n+2）（-符号）
其中term=xpow`div`n
（哈斯克尔）——参见尼梅耶链接和吉本斯链接。
a000796 n=a000796列表！！（n-1）：：整数
a000796_list=从整数$piStream映射（1，0，1）
[（n，a*d，d）|（n，d，a）<-map（\k->（k，2*k+1，2））[1..]]其中
piStream z xs'@（x:xs）
|lb/=近似z 4=piStream（多z x）xs
|否则=lb:piStream（mult（10，-10*lb，1）z）xs'
其中lb=约z 3
近似（a，b，c）n=div（a*n+b）c
多重（a，b，c）（d，e，f）=（a*d，a*e+b*f，c*f）
（岩浆）pi:=pi（RealField（110））；反向（Intseq（底线（10^105*pi））//布鲁诺·贝塞利2013年3月12日
（Python）从sympy导入pi，N；打印（N（pi，1000））#大卫·拉德克利夫2019年4月10日
（Python）
从mpmath导入mp
如果n>=长度(A000796号.str）：mp.dps=n*6//50+50；A000796号.str=字符串（mp.pi-5/mp.mpf（10）**mp.dps）
（SageMath）
m=125
x=数字_近似值（pi，数字=m+5）
a=[ZZ（i）代表x.str中的i（skip_zeroes=True），如果i.isdigit（）]
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经核准的
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A000007号
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| ｛0｝的特征函数：a（n）＝0^n。
（原名M0002）
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+20
1003
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1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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将偏移量更改为1可以得到算术函数a（1）=1，n>1时a（n）=0，以及Dirichlet乘法的单位函数（参见Aposol）-N.J.A.斯隆
将偏移量更改为1将使其成为1的十进制扩展-N.J.A.斯隆2014年11月13日
Pascal三角形第n行的交替和给出了0的特征函数，a（n）=0^n-丹尼尔·福格斯2010年5月25日
从1 X n栅格的西北角到西南角的最大自空行走次数-肖恩·欧文，2010年11月19日
历史上，对于0^0=1是否存在一些分歧。绘制x^0似乎支持这一结论，但绘制0^x表明0^0=0。Euler和Knuth支持0^0=1。对于某些计算器，0^0会触发错误，而在Mathematica中，0^ 0是不确定的-阿隆索·德尔·阿特2011年11月15日
将偏移量更改为1的另一个结果是，该序列可以描述为n的除数d的Moebius mu（d）之和-阿隆索·德尔·阿特2011年11月28日
按照约定0^0=1，0^n=0表示n>0，序列a（n）=0^|n-k|，当n=k时等于1，当n>=0时为0，具有g.f.x^k。A000007号是k=0的情况-乔治·约翰逊2013年3月8日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第30页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。
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链接
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Donald E.Knuth，关于符号的两个注释，arXiv:math/9205211[math.HO]，1992年。请参阅0^0上的第6页。
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配方奶粉
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a（n）=Sum_{k=0..n}exp（2*Pi*i*k/（n+1））是单位根的和-弗兰兹·弗拉贝克2012年11月9日
a（n）=（1-（-1）^（2^n））/2-卢斯·埃蒂纳2015年5月5日
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MAPLE公司
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规范：=[A，{A=Z}]：seq（组合结构[count]（规范，大小=n+1），n=0..20）；
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数学
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表[如果[n==0，1，0]，{n，0，99}]
表[Boole[n==0]，｛n，0，99｝](*迈克尔·索莫斯2012年8月25日*）
联接[{1}，LinearRecurrence[{1{，{0}，102]](*雷·钱德勒2015年7月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=！n}；
（岩浆）[1]猫[0:n in[1..100]]；//谢尔盖·哈勒，2006年12月21日
（哈斯克尔）
a000007=（0^）
a000007_list=1:重复0
（Python）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A000961号
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| 素数的幂。或者，1和素数幂（p^k，pprime，k>=1）。
（原名M0517 N0185）
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+20
943
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1、2、3、4、5、7、8、9、11、13、16、17、19、23、25、27、29、31、32、37、41、43、47、49、53、59、61、64、67、71、73、79、81、83、89、97、101、103、107、109、113、121、125、127、128、131、137、139、149、151、157、163、167、169、173、179、181、191、193、197、199、211、223、227
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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“主要力量”一词含义模糊。对于数学家来说，它意味着任何数字p^k，pprime，k>=0，包括p^0=1。
任何非零整数都是素数和单位的乘积，其中单位是+1和-1。这与算术基本定理有关，该定理证明了因式分解在阶和单位上是唯一的。（因此，由于1=p^0没有一个定义明确的素数基p，因此它有时不被视为素数幂。参见A246655型对于没有1的序列。）
其除数构成几何级数的数。p^k的除数是1，p，p^2，p^3。。。，p^k-阿玛纳斯·穆尔西2002年1月9日
这些也是目前已知存在的有限仿射平面的阶数。（有限仿射平面的阶数是该平面任意选择的直线上的点数。对于包含相同点数的所有直线，该数值是唯一的。）-Peter C.Heinig（algorithms（AT）gmx.de），2006年8月9日
这些正是lcm（1，…，m-1）<lcm（l，…，m）的数字(=A003418号（m） 对于m>0；这里，当m=1时，l.h.s.取0）。如果a（n）是梅森素数或a（n；相反，除了n=7（根据加泰罗尼亚猜想）和n=1，因为2^1-1和2^0+1分别不被视为梅森。费马素数-M.F.哈斯勒2007年1月18日，2010年4月18日
此外{A138929号（k） ；k> 1}={2*A000961号（k） ；k> 1}={4,6,8,10,14,16,18,22,26,32,34,38,46,50,54,58,62,64,74,82,86,94,98，…}正是Phi[k]（-1）为素数的指数-M.F.哈斯勒2008年4月4日
正整数n，使得具有n阶的对称群S_n的每个元素都是一个n圈-W·埃德温·克拉克2014年8月5日
除数（逐渐有序）交替为正方形和非正方形的数字-米歇尔·马库斯2019年1月16日
有限向量空间中可能的元素数-宋嘉宁2021年4月22日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第870页。
M.Koecher和A.Krieg，《Ebene Geometrie》，施普林格出版社，1993年。
R.Lidl和H.Niederreiter，《有限域及其应用导论》，剑桥1986年，定理2.5，第45页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
布雷迪·哈兰（Brady Haran）和格林特·齐格勒（Günter Ziegler），大炮和麻雀，数字视频（2018）。
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配方奶粉
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Panaitopol（2001）给出了许多性质、不等式和渐近性，包括a（n）~ prime（n）-N.J.A.斯隆，2014年10月31日，修正人M.F.哈斯勒2023年6月12日[参考文献给出了pi*（x）=pi（x）+pi（sqrt（x））+…其中pi*（x）计算x之前的项，因此它是a（n）的反函数。]
m=a（n）对于某些n（1，…，m-1）<lcm（1，..，m），其中lcm（…0）：=0包括a（1）=1。a（n+1）=a（n）+1<=>a（n/1）=A019434号（k） 或a（n）=A000668号（k） 对于某些k（根据Catalan猜想），除了n=1和n=7-M.F.哈斯勒2007年1月18日，2010年4月18日
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MAPLE公司
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readlib（ifactors）：对于从1到250的n，如果nops（ifactor（n）[2]）=1，则打印f（`%d，`，n）fi:od：
#第二个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆；局部k；对于来自的k
1+a（n-1）而nops（ifactors（k）[2]）>1做od；k个
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数学
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选择[Range[2，250]，Mod[#，#-EulerPhi[#]]==0&]
选择[Range[2250]，Length[FactorInteger[#]]==1&]
最大值=0；a={}；Do[m=系数整数[n]；w=总和[m[[k]][[1]]^m[[k]][2]]，{k，1，长度[m]}]；如果[w>max，AppendTo[a，n]；最大值=w]，{n，11000}]；一个(*阿图尔·贾辛斯基*)
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黄体脂酮素
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（Magma）[1]cat[2..250]|IsPrimePower（n）]中的n：n；//已由更正阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年7月20日
（PARI）A000961号（n，l=-1，k=0）=直到（n--<1，直到（l<lcm（l，k++），）；l=lcm（l，k））；k个
打印_A000961号（lim=999，l=-1）=对于（k=1，lim，l==lcm（l，k）&&next；l=lcm（l，k）；打印1（k，“，”）\\M.F.哈斯勒，2007年1月18日
（PARI）是A000961（n）=（ω（n）==1||n==1）\\迈克尔·波特2009年9月23日
（PARI）nextA000961（n）=我的（m，r，p）；m=2*n；对于（e=1，cel（log（n+0.01）/log（2）），r=（n+0.01）^（1/e）；p=素数（素数pi（r）+1）；m=最小值（m，p^e））；米\\迈克尔·波特2009年11月2日
（PARI）列表（lim）=my（v=素数（lim（primepi）），u=列表（[1]））；对于素数（p=2，平方（lim\1），对于（e=2，log（lim+.5）\log（p），listput（u，p^e））；向量排序（concat（v，Vec（u）））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
（哈斯克尔）
导入数据。集合（singleton、deleteFindMin、insert）
a000961 n=a000961_list！！（n-1）
a000961_list=1:g（singleton 2）（尾部a000040_list），其中
g s（p:ps）=m:g（插入（m*a020639 m）$插入p s’）ps
其中（m，s'）=删除查找最小值
（鼠尾草）
R=[1]
对于（2..n）中的i：
如果i.is_prime_power（）：R.append（i）
返回R
（Python）
从sympy导入primerange
定义A000961号_list（limit）：#遵循Python风格，列出术语<limit
L=[1]
对于素数范围（1，极限）中的p：
pe=p
当pe<极限时：
L.附录（pe）
pe*=p
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交叉参考
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序列的补码（以正整数表示）A024619号. - _杰森 金伯利_2015年11月10日
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002808号
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| 复合数：x>1和y>1的形式为x*y的数字n。
（原名M3272 N1322）
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+20
932
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4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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n是复合iff-sigma（n）+phi（n）>2n。这是众所周知的定理的一个好结果：对于所有正整数n，n=Sum_{d|n}phi（d）。有关证据，请参阅我对卡洛斯·里维拉（Carlos Rivera）的初级拼图中的第76个拼图的贡献-法里德·菲鲁兹巴赫特2005年1月27日，2015年1月18日
此语句自k+（k+2）++k+2（n-1）=n*（n+k-1）=a*b具有任意a，b（如果b>=a，则取n=a和k=b-a+1）-M.F.哈斯勒2014年10月4日
设f（x）=和{i=1..x}和{j=2..i-1}cos（（2*Pi*x*j）/i）。众所周知，f（x）的零点是素数。所以这些是数字n，使得f（n）>0-米歇尔·拉格诺，2015年10月13日
可以写成丢番图方程n=（x+2）（y+2）解的数字n，其中，n^2中的{x，y}，包括零的自然数对（参见Mathematica代码和Davis）-罗恩·斯宾塞和布拉德利·克莱2016年8月15日
用一个分区（至少包含两个和）对n进行编号，使其和也乘以n。如果n是素数，则无法找到这两个（或更多）和。如果n是复合的，只需取一个或几个因子，写下这些除数，并用足够的1填充，使它们加起来等于n。例如：4=2*2=2+2，6=1*2*3=1+2+3，8=1*1*2*4=1+1+2+4，9=1*1*1*3=3=1+1+3+3-朱哈尼·海诺2017年8月2日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第2页。
A.E.Bojarincev，第n个复合数的渐近表达式，Univ.Mat.Zap。6:21-43 (1967). - 俄语。
Martin Davis，《算法、方程和逻辑》，S.Barry Cooper和Andrew Hodges编辑，第4-15页，《曾经和未来的图灵：计算世界》，剑桥，2016年。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第2页。
D.R.Hofstadter，Goedel，Escher，《巴赫：永恒的金辫子》，兰登书屋，1980年，第66页。
Clifford A.Pickover，《数学的激情》，威利出版社，2005年；见第51页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld，一些素数函数的近似公式伊利诺伊州J.数学。6 1962 64-94
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配方奶粉
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a（n）=pi（a（n））+1+n，其中pi是素数计数函数。
和{n>=1}1/a（n）^s=Zeta（s）-1-P（s），其中P是质数Zeta-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2012年8月8日
n+n/log n+n/log ^2 n<a（n）<n+n/log n+3n/log^2 n，n>=4，请参阅Panaitopol。Bojarinsev给出了一个渐进的版本-查尔斯·格里特豪斯四世2012年10月23日
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MAPLE公司
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t:=[]：对于从2到20000的n，do如果是素数（n），则t：=[op（t），n]；fi；od：t；移除（isprime，[$3..89]）#零入侵拉霍斯2007年3月19日
A002808号：=proc（n）选项记忆；局部a；如果n=1，则为4；否则，对于from procname（n-1）+1 do，如果不是isprime（a），则返回a；结束条件：；结束do；结束条件：；终末程序#R.J.马塔尔2009年10月27日
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数学
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选择[范围[2]，100]！PrimeQ[#]&](*扎克·塞多夫2011年3月5日*）
带[{nn=100}，补码[Range[nn]，素数[Range[PrimePi[nn]]]](*哈维·P·戴尔2012年5月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A002808号（n） =我的（k=-1）；而（-n+n+=-k+k=primepi（n），）；n \\当n=10^4时。3*10^4，这大约是100个。比前者快500倍；M.F.哈斯勒，2009年11月11日
（PARI）对于（n=1，1e3，如果（bigomega（n）>1，打印1（n，“，”））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月14日
（哈斯克尔）
a002808 n=a002808_列表！！（n-1）
a002808_list=过滤器（==1）。a066247）[2]
（Python）
从sympy导入primepi
m、 k=n，素数（n）+1+n
而m！=克：
m、 k=k，素数（k）+1+n
返回m#柴华武，2015年7月15日，2016年4月14日更新
（Python）
从sympy导入isprime
def-ok（n）：返回n>1且不为素数（n）
打印（[k代表范围（89）中的k，如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基2021年11月7日
（Magma）[n:n在[2.250]|不是IsPrime（n）]//G.C.格鲁贝尔2024年2月24日
（SageMath）[n表示（2..250）中的n，如果不是is_prime（n）]#G.C.格鲁贝尔2024年2月24日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A007814号
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| 2除以n的最高幂指数，也称为二进制进位序列、标尺序列或n的2-adic赋值。 |
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+20
850
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0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 6, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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要构造序列：从0,1开始，连接以获得0,1,0,1。将+1加到最后一项上，得到0,1,0,2。将这4个项串联起来，得到0,1,0,2,0,1,2,2。将+1加到上学期等-Benoit Cloitre公司2003年3月6日
序列在以下两种变换下是不变的：每个元素增加一个（1、2、1、3、1、2，1、4…），在前面和相邻元素之间放置一个零（0、1、0、2、0、1，0、3、0，1、0，2，0，1，0，4…）。中间结果是A001511号.-拉尔夫·海因泽（Ralf（AT）informatik.uni bonn.de），2003年8月26日
同构0->01，1->02，2->03，3->04，…，的不动点。。。，n->0（n+1）。。。，从a（1）=0开始-菲利普·德尔汉姆2004年3月15日
态射的不动点0->010，1->2，2->3。。。，n->（n+1）-乔格·阿恩特2014年4月29日
a（n）也是Collatz猜想中引用的冰雹序列中对偶数重复一步的次数Alex T.Flood（whiteangelsgrace（AT）gmail.com），2006年9月22日
设F（n）为第n个费马数(A000215号). 然后F（a（r-1））除以F（n）+2^k，得到r＝k mod 2^n和r！＝1. -T.D.诺伊2007年7月12日
a（n）是以2为基数写入n时，n末尾的0的数目。
a（n+1）是以2为基数写入n时，n末尾的1的数目-M.F.哈斯勒2012年8月25日
序列是无平方的（在不包含任何形式XX的子序列的意义上）[Allouche和Shallit]。当然，它包含单个的平方项（例如4）注释展开者N.J.A.斯隆2019年1月28日
引理：对于具有r=a（n）=a（m）的n<m，存在具有a（k）>r的n<k<m。证明：我们有n=b2^r和m=c2^r，其中b<c都是奇数；在他们中间选择一个偶数；现在a（i2^r）>r和n<i2^r<m.QED。推论：连续整数的每个有限次运行都有一个唯一的最大2-进位值_杰森 金伯利_2011年9月9日
a（n）=具有Heinz数n的分区中1的个数。我们将分区p=[p_1，p_2，…，p_r]的Heinz号定义为Product_{j=1..r}p_j-th素数（阿洛伊斯·海因茨在里面A215366型作为分区的“编码”）。例如，对于分区[1，1，2，4，10]，我们得到2*2*3*7*29=2436。示例：a（24）=3；实际上，海因氏数为24=2*2*2*3的分区是[1,1,1,2]-Emeric Deutsch公司2015年6月4日
a（n+1）是高架桥编号为n的整数分区中两个最大部分之间的差值（假设0是一个部分）。示例：a（20）=2。事实上，我们有19=10011_2，这导致了分区[3,1,1]的费雷尔斯板。有关高架桥编号的定义，请参阅A290253型. -Emeric Deutsch公司2017年8月24日
如上所述，序列除了平方自由外，还具有每个连续子序列至少包含一个奇数次的数的性质-乔恩·里奇菲尔德2018年12月20日
a（n+1）是4k+1形式的任意u的和{e=0..n}u^e=（1+u+u^2+…+u^n）的2元估值(A016813号)-安蒂·卡图恩2020年8月15日
{a（n）}代表可数无限多帽子游戏的“第一黑帽子”策略，成功概率为1/3；请参阅下面的数字链接-弗雷德里克·鲁格2021年6月14日
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参考文献
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J.-P.Allouche和J.Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第27页。
K.Atanassov，《关于第37和38个Smarandache问题，数论和离散数学笔记》，索菲亚，保加利亚，第5卷（1999年），第2期，第83-85页。
米歇尔·里戈（Michel Rigo），《形式语言、自动机和数字系统》，第2卷。，威利，2014年。提及此序列-请参阅第2卷中的“序列列表”。
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链接
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阿兰·康奈斯（Alain Connes）、卡特琳娜·康萨尼（Caterina Consani）和亨利·莫斯科维奇（Henri Moscovici），Zeta零点和长波算子，arXiv:2310.18423[math.NT]，2023。
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，（2009）离散数学。，309（2009），6245-6254。
马修·盖·帕奎特和杰弗里·沙利特，避免自然数的平方和重叠，arXiv:0901.1397[math.CO]，2009年。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。参见第61页。图书网站
尼古拉斯·马莱特，锡拉丘兹猜想的证明试验，arXiv预印本arXiv:1507.05039[math.GM]，2015。
乔瓦尼·皮奇奇尼，有限自动机：特性、复杂性和变体《形式系统描述复杂性国际会议》（DCFS 2019），《形式系统的描述复杂性》，《计算机科学讲义》（LNCS，第11612卷），查姆斯普林格，57-73。
Lara Pudwell和Eric Rowland，避免自然数的分数幂，arXiv:1510.02807[math.CO]（2015）。《组合数学电子杂志》，第25卷（2）（2018年），#P2.27。见第2节。
保罗·塔劳，一类同构数据变换《Calculemus 2009》，第八届国际会议，MKM 2009，第170-185页，斯普林格，LNAI 5625。
P.M.B.Vitanyi先生，计数器的优化仿真《SIAM J.计算》，14:1（1985），1-33。
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配方奶粉
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如果n是奇数，则a（n）=0，否则为1+a（n/2）-莱因哈德·祖姆凯勒2001年8月11日
通用公式：A（x）=和{k>=1}x^（2^k）/（1-x^-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月10日
如果p=2，则为a（p）=1的全加性，否则为0。
Dirichlet g.f.：zeta（s）/（2^s-1）-拉尔夫·斯蒂芬2007年6月17日
定义0<=k<=2^n-1；二进制：k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1；其中b（x）为0或1，表示0≤x≤n-1；定义0≤x≤n-1的c（x）=1-b（x）；那么：a（k）=c（0）+c（0c（0）*c（1）。。。c（n-1）；a（k+1）=b（0）+b（0b（0）*b（1）。。。b（n-1）-Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年5月10日
v{2}（n）=和{r>=1}（r/2^（r+1））和{k=0..2^-A.内维斯，2010年9月28日，2010年10月4日更正
a（（2*n-1）*2^p）=p，p>=0，n>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年2月4日
a（n）=log_2（n-（n和n-1））-加里·德特利夫斯2014年6月13日
对于正n、x和y，a（（2*x-1）*2^n）=a（（（2xy-1）*2 ^n）-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2016年8月4日
a（n）*（n模块4）=2*楼层（（n+1）模块4）/3）-加里·德特利夫斯2019年2月16日
渐近平均值：lim_{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=1-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月11日
a（n）=2*总和{j=1..层（log_2（n））}压裂（二项式（n，2^j）*2^（j-1）/n）-达里奥·德卡斯特罗2022年7月8日
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例子
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2^3除以24，因此a（24）=3。
三角形开始：
0;
1,0;
2,0,1,0;
3,0,1,0,2,0,1,0;
4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
5,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0;
6,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,4,0,1,0,2,0,1,0,3,0,1,0,2,0,1,0,5,0,1,0,2,...
（结束）
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MAPLE公司
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ord:=进程（n）局部i，j；如果n=0，则返回0；fi；i： =0；j： =n；而jmod2<>1做i:=i+1；j： =j/2；od：i；结束进程：seq（ord（n），n=1..111）；
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数学
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表[IntegerExponent[n，2]，{n，64}](*埃里克·韦斯特因*)
p＝2；数组[If[Mod[#，p]==0，Select[FactorInteger[#]，Function[q，q[[1]]==p]，1][1，2]，0]&，96]
数字计数[BitX或[x，x-1]，2，1]-1；基于相同概念的不同版本：Floor[Log[2，BitXor[x，x-1]]]（*Jaume Simon Gispert（Jaume（AT）nuem.com），2004年8月29日*）
嵌套[Join[#，ReplacePart[#，Length[#]->Last[#]+1]]&，{0，1}，5]（*N.J.Gunther，2009年5月23日*）
嵌套[Flatten[#/.auInteger->｛0，a+1｝]&，｛0｝，7](*罗伯特·威尔逊v，2011年1月17日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a007814 n=如果m==0，则1+a007814n'否则为0
其中（n'，m）=divMod n 2
（哈斯克尔）
a007814 n |奇数n=0 |否则=1+a007819（n `div`2）
（R） sapply（1:100，函数（x）和（gmp:：因式分解（x）==2））#克里斯蒂安·安德森2013年6月20日
（岩浆）[估值（n，2）:n in[1..120]]//布鲁诺·贝塞利2013年8月5日
（Python）
导入数学
定义a（n）：返回int（math.log（n-（n&n-1），2））#因德拉尼尔·戈什2017年4月18日
（Python）
定义A007814号（n） ：return（~n&n-1）.bit_length（）#_柴华武2022年7月1日
（方案）（定义(A007814号n） （让回路（（n n）（e 0））（如果（奇数？n）e（回路（/n 2）（+1 e）））；；安蒂·卡图恩2017年10月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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-2, -4, -6, -8, -10, -12, -14, ... 是黎曼-泽塔函数的平凡零点Vivek Suri（vsuri（AT）jhu.edu），2008年1月24日
如果2集Y和（n-2）集Z是n集X的不相交子集，则a（n-2-米兰Janjic，2007年9月19日
直链烷烃（C（n）H（2n+2））、支链烷烃（C-保罗·穆尔贾迪2010年2月18日
a（k）是（k，4）-笼的（Moore下界和）阶：周长为4的最小k-正则图：每个部分有k个顶点的完全二部图_杰森 金伯利_2011年10月30日
设n是必须在n+1个孩子之间平均分配的煎饼数。a（n）是完成任务所需的最小径向切割数-伊万·伊纳基耶夫2013年9月18日
对于n>0，a（n）是最大的数字k，因此（k！-n）/（k-n）是一个整数-德里克·奥尔2014年7月2日
当n＞2时，a（n）也是在经典意义上同时避免213、231和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见2004年2月有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
4n的分区数正好分为2个部分-科林·巴克2015年3月23日
互补方程a（n）=a（n-1）^2-a（n-2）*b（n-1）的唯一解b（），其中a（0）=1，a（1）=3，a（）和b（）是递增的互补序列-克拉克·金伯利2017年11月21日
整数k是偶数正的，当phi（2k）>phi（k）时，其中phi是Euler的总和(A000010美元)[参见参考De Koninck&Mercier]-伯纳德·肖特2020年12月10日
避免模式132、213、312的n个元素的3个重复突变的数量，以及避免模式213、231、321的3个错误突变的数量。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月20日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第2页。
J.-M.De Konink和A.Mercier，1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres，Probléme 529a第71和257页，Ellipses，2004年，巴黎。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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尼古拉斯·博尼肯（Nicolas Bonichon）和皮埃尔·让·莫雷尔（Pierre-Jean Morel），Baxter d置换和其他模式回避类，arXiv:22022.12677[math.CO]，2022。
Charles Cratty、Samuel Erickson、Frehiwet Negass和Lara Pudwell，双重列表中的模式避免，预印本，2015年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（1-x）^2。
带插值零点的G.f:2x^2/（（1-x）^2*（1+x）^2）；例如，带插值零点的f:x*sinh（x）-杰弗里·克雷策2012年8月25日
a（0）=0，a（1）=2，a（n）=2a（n-1）-a（n-2）-杰姆·奥利弗·拉丰2008年5月7日
以n-1.-为基数读取的数字序列22_杰森 金伯利_，2011年10月30日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-文森佐·利班迪2011年12月23日
a（n）=2*n=Product_{k=1..2*n-1}2*sin（Pi*k/（2*n）），n>=0（未定义乘积：=1）。请参阅2013年10月9日的配方奶粉A000027号带有参考-沃尔夫迪特·朗2013年10月10日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）^2=Pi^2/48=A245058型.（结束）
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例子
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G.f.=2*x+4*x^2+6*x^3+8*x^4+10*x^5+12*x^6+14*x^7+16*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..100]]中的[2*n:n；
（R） 序列（0，200，2）
（哈斯克尔）
a005843=（*2）
（Python）def a（n）：返回2*n#马丁·戈戈夫2022年10月20日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000027号,A002061号,A005408号,A001358号,A077553号,A077554号,A077555号,A002024号,A087112美元,A157888号,A157889号,A140811号,A157872号,157909英镑,A157910型,A165900个.
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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