搜索: a324977-编号:a324971
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A002997号
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| Carmichael数:复合数k,使得a ^(k-1)==1(mod k)对于k的每个a互素。 (原名M5462)
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561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461
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评论
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V.Šimerka在Carmichael之前25年发现了这个序列的前7项(参见链接和K.Conrad的评论)-彼得·卢什尼2019年4月1日
k是复合的和无平方的,对于p素,pk=>p-1k-1。
奇数复合数k是一个伪素数,以a为基iff a^(k-1)==1(mod k)。Carmichael数是一个奇数复合数k,对于每个数A到k的素数,它是A的伪素数。
复合奇数k是Carmichael数当且仅当k是无平方的,并且p-1对每个素数p除以k除以k-1(Korselt,1899)
Ghatage和Scott利用费马的小定理证明了(a+b)^k==a^k+b^k(modk)(新生的梦想)恰好是当k是素数时(A000040型)或者卡迈克尔号码-乔纳森·沃斯邮报2005年8月31日
Alford等人用10333229505个素因子构造了一个Carmichael数,并用m个素因子构建了3到19565220之间的Carmichale数-乔纳森·沃斯邮报2012年4月1日
托马斯·赖特证明了对于gcd(b,M)=1的N中的任何数字b和M,都有无穷多个Carmichael数k,使得k==b(mod M)-乔纳森·沃斯邮报2012年12月27日
复合数k相对素数到1^(k-1)+2^(k-1)+…+(k-1)^(k-1)-托马斯·奥多夫斯基2013年10月9日
如果k是Carmichael数并且gcd(b-1,k)=1,那么根据Steuerwald定理,(b^k-1)/(b-1)是基b的伪素数;请参阅中的参考A005935号. -托马斯·奥多夫斯基,2016年4月17日
所有Carmichael数的序列可以定义为:a(1)=561,a(n+1)=最小组合k>a(n),这样对于每个素数p<=n+2,p^k==p(modk)-托马斯·奥多夫斯基2017年4月24日
整数m>1是一个Carmichael数,当且仅当m是无平方的,并且它的每一个素数p都满足s_p(m)>=p和s_p。对于每个素因子p,锐界p<=a*sqrt(m)保持不变,a=sqrt(17/33)=0.7177……参见Kellner和Sondow 2019-伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月3日
奇复合数m是一个Carmichael数,当m除以分母(Bernoulli(m-1))时。商是A324977型参见Pomerance、Selfridge和Wagstaff,第1006页,以及Kellner和Sondow关于伯努利数的章节-乔纳森·桑多2019年3月28日
比格(1950)以美国数学家罗伯特·丹尼尔·卡迈克尔(1879-1967)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
对于前10000项的末尾数字1、3、5、7、9,我们分别看到80.3、4.1、7.4、3.8和4.3%的分配。为什么偏爱结束数字“1”-比尔·麦克阿欣2021年7月16日
似乎对于任意m>1,模m的Carmichael数的余数都偏向1。模4,6,8,…,等于1的项数。。。,前10000个术语中有24个:9827、9854、8652、8034、9682、5685、6798、7820、7880、3378和8518-宋嘉宁2021年11月8日
Alford、Granville和Pomerance在1994年的论文中推测,类似于Bertrand假设的陈述可以应用于Carmichael数。丹尼尔·拉森已经证明了这一点,见下面的链接-大卫·詹姆斯·西卡莫尔2023年1月17日
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参考文献
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N.G.W.H.Beeger,《关于每一个素数对N的a^N==1(mod N)的复合数N》,《数学脚本》,第16卷(1950年),第133-135页。
A.H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,多佛出版公司,纽约,1966年,表18,第44页。
D.M.Burton,《初等数论》,第五版,McGraw-Hill,2002年。
CRC标准数学表和公式,第30版,1996年,第87页。
R.K.Guy,《数论中未解决的问题》,A13。
O.Ore,《数论及其历史》,McGraw-Hill,1948年,多佛出版社,1988年再版,第14章。
P.Poulet,《Fermat pour le module 2 jusqu'á100.000.000》,斯芬克斯(布鲁塞尔),第8卷(1938年),第42-45页。
西尔宾斯基,《数论问题选集》。纽约麦克米伦出版社,1964年,第51页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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W.R.Alford、Jon Grantham、Steven Hayman和Andrew Shallue,通过改进的子乘积算法构造Carmichael数《计算数学》,第83卷,第286期(2014年),第899-915页,arXiv预印本,arXiv:1203.6664v1[math.NT],2012年3月29日。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance,有无限多的卡迈克尔数,数学系安。(2) 139(1994),第3期,703-722。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance(1994年)。"关于寻找可靠证人的困难《计算机科学讲义》8771994年,第1-16页。
John D.Brillhart、N.J.A.Sloane和J.D.Swift,通信,1972年.
K.A.Draziotis、V.Martidis和S.Tiganourias,乘积子集问题:在数论和密码学中的应用,arXiv:2002.07095[math.NT],2020年。另请参见第5章《分析、密码学和信息科学》,《世界科学》(2023年),第108页。
Gerhard Jaeschke,卡迈克尔数到10^12,数学。公司。,第55卷,第191号(1990年),第383-389页。
D.H.Lehmer,Poulet表勘误表,数学。公司。,25 (1971), 944-945. 25 944 1971.
Carl Pomerance、J.L.Selfridge和Samuel S.Wagstaff,Jr。,伪素数为25*10^9,数学。公司。,第35卷,第151期(1980年),第1003-1026页。
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配方奶粉
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总和{n>=1}1/a(n)位于区间(0.004706,27.8724)(Bayless和Kinlaw,2017)。Kinlaw(2023年)将上限降至0.0058-阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月26日,2024年2月24日
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MAPLE公司
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过滤器:=进程(n)
局部q;
如果isprime(n),则返回false fi;
如果2&^(n-1)mod n<>1,则返回false fi;
如果不是numtheory:-issqrfree(n),则返回false fi;
对于numtheory:-factorset(n)do中的q
如果(n-1)mod(q-1)<>0,则返回false fi
日期:
真;
结束过程:
选择(过滤器,[seq(2*k+1,k=1..10^6)])#罗伯特·伊斯雷尔2014年12月29日
isA002997:=n->0=modp(n-1,数字理论:-lambda(n)),而不是isprime(n)和n<>1:
选择(isA002997,[1..10000])#彼得·卢什尼,2019年7月21日
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数学
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案例[范围[1,100000,2],n_/;Mod[n,CarmichaelLambda[n]]==1&&!PrimeQ[n]](*阿图尔·贾辛斯基2008年4月5日;次要编辑来自扎克·塞多夫,2011年2月16日*)
选择[Range[1,600001,2],CompositeQ[#]&&Mod[#,CarmichaelLambda[#]]==1&](*哈维·P·戴尔2023年7月8日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)Korselt(n)=我的(f=系数(n));对于(i=1,#f[,1],如果(f[i,2]>1||(n-1)%(f[i,1]-1),返回(0));1
isA002997(n)=n%2&&!isprime(n)&&Korselt(n)&&n>1\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(PARI)是_A002997号(n,F=factor(n)~)={#F>2&&!foreach(F,F,(n%(F[1]-1)==1&&F[2]==1)||return)}\\不需要检查奇偶校验:如果需要效率,只扫描奇数-M.F.哈斯勒,2012年8月24日,编辑于2022年3月24日
(哈斯克尔)
a002997 n=a002997_list!!(n-1)
a002997_list=[x|x<-a024556_list,
所有(==0)$map((mod(x-1))。(减1)$a027748_当前x]
(岩浆)[n:n in[3..53*10^4 by 2]|非IsPrime(n)和n mod CarmichaelLambda(n)eq 1]//布鲁诺·贝塞利2012年4月23日
(鼠尾草)
定义为Carmichael(n):
如果n==1或is_even(n)或is_prime(n):
返回False
因子=因子(n)
对于因子中的f:
如果f[1]>1:return False
如果(n-1)%(f[0]-1)!=0:
返回False
return True
打印(如果是Carmichael(n),则[n代表(1..20000)中的n])#彼得·卢什尼2019年4月2日
(Python)
从itertools导入islice
从sympy导入nextprime,factorint
p、 q=3,5
为True时:
对于范围(p+2,q,2)内的n:
f=因子(n)
如果max(f.values())==1,而不是任何((n-1)%(p-1),对于f中的p):
产量n
p、 q=q,下一个素数(q)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001567号,A002445号,A002322号,A006931号,A024556号,A027748号,A055553号,A064238号-A064262号,A083737号,A087441号,A087442号,A135717美元,A141711号,A153581号,A225498型,A285512型,A285549型,A309132型,A324290型,A324315型,A324316型,A324973型,A324975型,A324977型,A326690型.
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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6, 10, 12, 8, 8, 10, 6, 6, 8, 18, 52, 12, 12, 18, 98, 164, 22, 6, 50, 8, 96, 34, 52, 46, 52, 6, 6, 156, 20, 46, 36, 32, 16, 8, 304, 36, 20, 36, 10, 316, 76, 468, 8, 30, 24, 1580, 84, 54, 8, 12, 250, 28, 92, 36, 20, 418, 456, 928, 188, 16, 8, 276, 284, 56, 144
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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配方奶粉
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a(n)=2+2*((m/p)-1)/(p-1),其中m=A002997号(n) p是其最大的素因子。(参见中的公式324974美元因此,根据卡迈克尔定理,p-1除以(m/p)-1,对于卡迈克尔数m的任何素因子p,a(n)是偶数。
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例子
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如果m=A002997号(1) =561=3*11*17,那么p=17,那么a(1)=2+2*((561/17)-1)/(17-1)=6。
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数学
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T=案例[范围[110000000,2],n_/;Mod[n,CarmichaelLambda[n]]==1&&!PrimeQ[n]];
GPF[n_]:=最后一个[Select[Divisors[n],PrimeQ]];
表[2+2*(T[[i]]/GPF[T[[i]]]-1)/(GPF[T[i]]-1),{i,长度[T]}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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已批准
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3, 3, 3, 5, 3, 3, 6, 3, 6, 3, 11, 5, 3, 3, 8, 10, 5, 6, 12, 3, 15, 9, 3, 5, 3, 8, 3, 8, 19, 14, 5, 7, 3, 6, 6, 36, 21, 66, 22, 3, 10, 5, 6, 3, 3, 50, 10, 20, 5, 14, 11, 51, 3, 10, 21, 6, 13, 5, 16, 25, 3, 3, 6, 6, 12, 14, 10, 68, 5, 28, 3, 11, 29, 3, 56, 6, 19
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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虽然不同秩的两个多边形数可以相等(例如,P(6,n)=P(3,2n-1)),但这对于特殊多边形数来说是不可能的,因为对于固定的P,P(r,P)的值严格地随r增加。因此,特殊多边形数的秩是明确定义的。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=2+2*((m/p)-1)/(p-1),其中m=A324973型(n) p是其最大的素因子。(证明:求解m=P(r,P)=(P^2*(r-2)-P*(r-4))/2 for r)
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例子
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如果m=A324973型(4) =70=2*5*7,那么p=7,那么a(4)=2+2*((70/7)-1)/(7-1)=5。
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数学
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GPF[n_]:=最后一个[Select[Divisors[n],PrimeQ]];
T=选择[Flatten[Table[{p,(p^2*(r-2)-p*(r-4)))/2},{p,3,150},}r,3,100}],1],SquareFreeQ[Last[#]]&First[#]==GPF[Last#]]&];
TT=取[Union[Table[Last[T[i]]],{i,Length[T]}]],47];
表[2+2*(t/GPF[t]-1)/(GPF[t]-1),{t,TT}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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插入了几个缺少的术语,还有来自的更多术语王金源2021年2月18日
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10, 546, 2, 46, 6630, 76670, 211659630, 6, 261870, 111418, 46, 13589784390, 524588442, 114, 1138240087314330, 2, 276742830, 26805565070, 1909802752494, 3210, 15370, 177430547680928732190, 358, 5760551069383110, 76004922, 1126, 4347631610092420338, 81366
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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让P(m)表示m的素因子,C(m)=克劳森(m-1,1)(参见。A160014型)那么p(C(m))集合减去p(m)}中的Product{p就是这个序列,前提是p(m。
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链接
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例子
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设n=561,则P(561)={3,11,17}和P(克劳森(560,1))={2,3,5,11,17,29,41,71,113,281}。由于P(561)是P(克劳森(560,1))的子集,a(18)=2*5*29*41*71*113*281=26805565070。
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MAPLE公司
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因子集(Clausen(n-1,1))中的mul(m,m)减去因子集(n)),否则为NULL fi结束:
seq(a(n),n=2..1350);
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数学
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pf[n_]:=系数整数[n][[All,1]];
克劳森[0,_]=1;Clausen[n_,k_]:=次数@@(选择[Divisions[n],PrimeQ[#+k]&]+k);
weakCarmQ[n_]:=如果[EvenQ[n]||PrimeQ[n],返回[False],pf[n]==(pf[n]~交集~pf[Clausen[n-1,1]])];
f[n_]:=倍数@@Complement[pf[子句[n-1,1]],pf[n]];
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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