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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a324973-编号：a324971
显示找到的8个结果中的1-8个。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A324974型 第n个特殊多边形数的秩A324973型（n） ●●●●。 +20
3
3, 3, 3, 5, 3, 3, 6, 3, 6, 3, 11, 5, 3, 3, 8, 10, 5, 6, 12, 3, 15, 9, 3, 5, 3, 8, 3, 8, 19, 14, 5, 7, 3, 6, 6, 36, 21, 66, 22, 3, 10, 5, 6, 3, 3, 50, 10, 20, 5, 14, 11, 51, 3, 10, 21, 6, 13, 5, 16, 25, 3, 3, 6, 6, 12, 14, 10, 68, 5, 28, 3, 11, 29, 3, 56, 6, 19 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
虽然不同秩的两个多边形数可以相等（例如，P（6，n）=P（3,2n-1）），但这对于特殊多边形数来说是不可能的，因为对于固定的P，P（r，P）的值严格地随r增加。因此，特殊多边形数的秩是明确定义的。
卡迈克尔数字A002997号和主Carmichael数A324316型是特殊的多边形数（见Kellner和Sondow 2019）。他们的等级构成了子序列A324975型和A324976型.
链接
n=1..77时的n，a（n）表。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，整数22（2022），#A38，39 pp。；arXiv:1902.11283[math.NT]，2019年。
维基百科，多边形数
公式
a（n）=2+2*（（m/p）-1）/（p-1），其中m=A324973型（n） p是其最大的素因子。（证明：求解m=P（r，P）=（P^2*（r-2）-P*（r-4））/2 for r）
例子
如果m=A324973型（4） =70=2*5*7，那么p=7，那么a（4）=2+2*（（70/7）-1）/（7-1）=5。
数学
GPF[n_]：=最后一个[Select[Divisors[n]，PrimeQ]]；
T=选择[Flatten[Table[｛p，（p^2*（r-2）-p*（r-4））/2}，｛p，3150}，｛r，3100｝]，1]，SquareFreeQ[Last[#]]&&First[#]=GPF[Last[#]]&&]；
TT=取[Union[Table[Last[T[i]]]，{i，Length[T]}]]，47]；
表[2+2*（t/GPF[t]-1）/（GPF[t]-1），{t，TT}]
交叉参考
A324975型和A324976型是子序列。
参见。A002997号,A324316型,A324972型,A324973型,A324977型.
关键字
非n
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月24日
扩展
插入了几个缺少的术语，还有来自的更多术语王金源2021年2月18日
状态
经核准的
A002997号 Carmichael数：复合数k，使得a ^（k-1）==1（mod k）对于k的每个a互素。
（原名M5462） 		+10
337
561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461, 530881, 552721 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
V.Šimerka在Carmichael之前25年发现了这个序列的前7项（参见链接和K.Conrad的评论）-彼得·卢什尼2019年4月1日
k是复合的和无平方的，对于p素，pk=>p-1k-1。
奇数复合数k是一个伪素数，以a为基iff a^（k-1）==1（mod k）。Carmichael数是一个奇数复合数k，它是一个伪素数，以A为基数，对每个数从素数到k。
复合奇数k是Carmichael数当且仅当k是无平方的，并且p-1对每个素数p除以k除以k-1（Korselt，1899）
Ghatage和Scott利用费马的小定理证明了（a+b）^k==a^k+b^k（modk）（新生的梦想）恰好是当k是素数时(A000040型)或者卡迈克尔号码-乔纳森·沃斯邮报2005年8月31日
Alford等人用10333229505个素因子构造了一个Carmichael数，并用m个素因子构建了3到19565220之间的Carmichale数-乔纳森·沃斯邮报2012年4月1日
托马斯·赖特证明了对于gcd（b，M）=1的N中的任何数字b和M，都有无穷多个Carmichael数k，使得k==b（mod M）-乔纳森·沃斯邮报2012年12月27日
复合数k相对素数到1^（k-1）+2^（k-1）+…+（k-1）^（k-1）-托马斯·奥多夫斯基，2013年10月9日
组合数k，使得A063994号（k）=A000010号（k） ●●●●-托马斯·奥多夫斯基2013年12月17日
奇数复合数k除以kA002445号（k-1）/2）-罗伯特·伊斯雷尔2015年10月2日
如果k是Carmichael数并且gcd（b-1，k）=1，那么根据Steuerwald定理，（b^k-1）/（b-1）是基b的伪素数；请参阅中的参考A005935号. -托马斯·奥多夫斯基2016年4月17日
复合数k，使得每个素数p的p^k==p（mod k）<=A285512型（k） ●●●●-马克斯·阿列克塞耶夫和托马斯·奥多夫斯基2017年4月20日
如果复合m<285549加元（n） 对于每个素数p<=素数（n），p^m==p（modm），那么m是一个Carmichael数-托马斯·奥多夫斯基2017年4月23日
所有Carmichael数的序列可以定义为：a（1）=561，a（n+1）=最小组合k>a（n），这样对于每个素数p<=n+2，p^k==p（modk）-托马斯·奥多夫斯基2017年4月24日
整数m>1是一个Carmichael数，当且仅当m是无平方的，并且它的每一个素数p都满足s_p（m）>=p和s_p。对于每个素因子p，锐界p<=a*sqrt（m）保持不变，a=sqrt（17/33）=0.7177……参见Kellner和Sondow 2019-伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月3日
卡迈克尔数是特殊的多边形数A324973型.第n个Carmichael数的秩为A324975型（n） ●●●●。见Kellner和Sondow 2019-乔纳森·桑多2019年3月26日
奇复合数m是一个Carmichael数，当m除以分母（Bernoulli（m-1））时。商是A324977型参见Pomerance、Selfridge和Wagstaff，第1006页，以及Kellner和Sondow，关于伯努利数的章节-乔纳森·桑多2019年3月28日
这是集合差异A324050型\A008578号。许多相同的身份也适用于A324050型. -安蒂·卡图恩2019年4月22日
如果k是一个Carmichael数，那么A309132型（k）=A326690型（k） ●●●●。该证明推广了中定理的证明A309132型. -乔纳森·桑多2019年7月19日
复合数k，这样A111076号（k） ^（k-1）==1（mod k）。证明：的乘法顺序A111076号（k） mod k等于λ（k），其中λ（k）=A002322号（k） ，所以lambda（k）除以k-1，qed-托马斯·奥多夫斯基2019年11月14日
对于所有正整数m，m^k-m可以被k整除，对于所有k>1，如果k是Carmichael数或素数，正如费马小定理的归纳证明中所使用的那样。相关的还有2016年1月28日和A121707号. -理查德·福伯格2020年7月18日
发件人阿米拉姆·埃尔达尔，2020年12月4日，2024年4月21日：（开始）
Ore（1948）将这些数字称为“具有费马特性的数字”，或者简称为“F数字”。
也称为“绝对伪素数”。根据埃尔德（Erdős）（1949）的说法，这个词是由D.H.Lehmer创造的。
比格（1950）以美国数学家罗伯特·丹尼尔·卡迈克尔（1879-1967）的名字命名。（结束）
对于前10000项的末尾数字1、3、5、7、9，我们分别看到80.3、4.1、7.4、3.8和4.3%的分配。为什么偏爱结束数字“1”-比尔·麦克阿欣2021年7月16日
似乎对于任意m>1，模m的Carmichael数的余数都偏向1。模4，6，8，…，等于1的项数。。。，前10000个术语中有24个：9827、9854、8652、8034、9682、5685、6798、7820、7880、3378和8518-宋嘉宁2021年11月8日
Alford、Granville和Pomerance在1994年的论文中推测，类似于Bertrand假设的陈述可以应用于Carmichael数。丹尼尔·拉森（Daniel Larsen）已经证明了这一点，请参阅下面的链接-大卫·詹姆斯·西卡莫尔2023年1月17日
参考文献
N.G.W.H.Beeger，《关于每一个素数对N的a^N==1（mod N）的复合数N》，《数学脚本》，第16卷（1950年），第133-135页。
Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，多佛出版公司，纽约，1966年，表18，第44页。
David M.Burton，《初等数论》，第五版，McGraw-Hill，2002年。
CRC标准数学表和公式，第30版，1996年，第87页。
理查德·盖伊，《数论中未解决的问题》，A13。
Ø伊斯坦矿石，《数论及其历史》，麦格劳-希尔出版社，1948年，多佛出版社，1988年再版，第14章。
Paul Poulet，《Fermat pour le module 2 jusqu'á100.000.000，Sphinx（布鲁塞尔），第8卷（1938年），第42-45页。
Wacław Sierpiński，《数论中的问题选择》。纽约州麦克米伦，1964年，第51页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
N.J.A.斯隆，n=1..10000时的n，a（n）表（摘自下文提到的Pinch网站）
W.R.Alford、Jon Grantham、Steven Hayman和Andrew Shallue，通过改进的子乘积算法构造Carmichael数《计算数学》，第83卷，第286期（2014年），第899-915页，arXiv预印本，arXiv:1203.6664v1[math.NT]，2012年3月29日。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance，有无限多的卡迈克尔数数学安。（2） 139（1994），第3期，703-722。
W.R.Alford、A.Granville和C.Pomerance（1994年）。"关于寻找可靠证人的困难“计算机科学课堂讲稿8771994，第1-16页。
弗朗索瓦·阿尔诺，论文
弗朗索瓦·阿尔诺，构造几个基的强伪素数Carmichael数《符号计算杂志》，第20卷，第2期，1995年8月，第151-161页。
弗朗索瓦·阿尔诺，拉宾-米勒素性测试：通过测试的合成数《计算数学》，第64卷，第209号，1995年，第355-361页。
弗朗索瓦·阿尔诺，Lucas伪素数的Rabin-Monier定理《计算数学》，第66卷，第218号，1997年4月，第869-881页。
Joerg Arndt，计算事项（Fxtbook）第786页。
埃里克·巴赫和雷克斯·费尔南多，修正Miller-Rabin素数检验的无穷多Carmichael数，ISSAC’16:ACM符号和代数计算国际研讨会论文集，2016年7月，第47-54页，arXiv预印本，arXiv:1512.00444[math.NT]，2015年。
Sunghan Bae、Su Hu和Min Sha，关于卡迈克尔环、卡迈克尔理想和卡迈克尔多项式，arXiv:1809.05432[math.NT]，2018年。
Jonathan Bayless和Paul Kinlaw，伪素数和Carmichael数倒数之和的显式界《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.6.4条。
延斯·伯恩海登，Carmichael数字（德语文本）.
John D.Brillhart、N.J.A.Sloane和J.D.Swift，通信，1972年.
罗纳德·约瑟夫·伯特。最小见证和生成集的上限《阿里斯学报》。80（1997），编号4311-326。
C.K.Caldwell，主要词汇，卡迈克尔数.
R.D.Carmichael，关于一个新数论函数的注记，公牛。阿默尔。数学。《判例汇编》第16卷（1910年），第232-238页。
基思·康拉德，Carmichael数与Korselt准则，解释性论文（2016），1-3。
K.A.Draziotis、V.Martidis和S.Tiganourias，乘积子集问题：在数论和密码学中的应用，arXiv:2002.07095[math.NT]，2020年。另请参见第5章《分析、密码学和信息科学》，《世界科学》（2023年），第108页。
哈维·杜布纳，形式的卡迈克尔数（6m+1）（12m+1）（18m+1）《整数序列杂志》，第5卷（2002）第02.2.1条。
詹姆斯·埃默里，数论, 2013.
保罗·埃尔德斯，关于费马定理的逆《美国数学月刊》，第56卷，第9期（1949年），第623-624页；备用链路.
简·费茨马和威廉·戈尔韦，伪素数表及相关数据.
Pratibha Ghatage和Brian Scott，确切时间（a+b）^n==a^n+b^n（modn）？《大学数学杂志》，第36卷，第4期（2005年9月），第322页。
安德鲁·格兰维尔，关于卡迈克尔数的论文.
安德鲁·格兰维尔，素性检验与Carmichael数，通知Amer。数学。Soc.，39（1992年第7期），696-700。
Andrew Granville和Carl Pomerance，关于Carmichael数的两个相互矛盾的猜想，数学。公司。71（2002），第238、883-908号。
Gerhard Jaeschke，卡迈克尔数到10^12，数学。公司。，第55卷，第191号（1990年），第383-389页。
尤金·卡罗林斯基和德米特罗·塞利乌丁，GL的Carmichael数（m），arXiv:20011.10315[math.NT]，2020年。
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，整数22（2022），#A38，39 pp。；arXiv:1902.11283[math.NT]，2019年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
保罗·金洛，伪素数与Carmichael数的倒数和《计算数学》（2023）。
A.Korselt、G.Tarry、I.Franel和G.Vacca，中国问题《数学国际》第6卷（1899年），第142-144页。
丹尼尔·拉森，Bertrand对Carmichael数的假设，arXiv:2111.06963[math.NT]，2021。
D.H.Lehmer，Poulet表勘误表，数学。公司。，25 (1971), 944-945. 25 944 1971.
Max Lewis和Victor Scharaschkin，k-Lehmer和k-Carmichael数，整数，16（2016），#A80。
雷诺德·利夫奇茨，Korselt准则的推广——嵌套Carmichael数
罗密奥·梅什特罗维奇，Carmichael数的推广I，arXiv:1305.1867v1[math.NT]，2013年5月4日。
罗密奥·梅什特罗维奇，关于包含两个连续幂和的同余模n^3《整数序列杂志》，第17卷（2014年），14.8.4。
三村义雄，最大10^12的Carmichael数.[断开的链接，WayBack机器]
数学参考项目，卡迈克尔数.
R.G.E.Pinch，卡迈克尔家族的数字高达10^18, 2008.
R.G.E.Pinch，Carmichael数字高达10^15,10^16,10^16至10^17,10^17至10^18,10^19、和10^21.
Carl Pomerance、J.L.Selfridge和Samuel S.Wagstaff，Jr。，伪素数为25*10^9，数学。公司。，第35卷，第151期（1980年），第1003-1026页。
Carl Pomerance和N.J.A.Sloane，通信，1991年.
弗雷德·里奇曼，用费马小定理进行素性检验.
弗拉基米尔·舍维列夫，具有指定上下结构的排列数作为两个变量的函数，《整数》，12（2012），#A1.-发件人N.J.A.斯隆2013年2月7日
VáclavŠimerka，Zbytky z算法（关于算术级数的余数），乔阿索皮斯·普罗普·斯托芬·马蒂马蒂基·菲西基。14 (1885), 221-225.
埃里克·魏斯坦的数学世界，卡迈克尔数,Knoedel数、和伪素数.
维基百科，卡迈克尔数.
托马斯·赖特，算术级数中的无穷多Carmichael数《伦敦数学学会公报》，45（2013）943-952，arXiv预印本，arXiv:12122.5850[math.NT]，2012年12月。
与Carmichael数相关的序列的索引项。
公式
总和{n>=1}1/a（n）位于区间（0.004706,27.8724）（Bayless和Kinlaw，2017）。Kinlaw（2023年）将上限降至0.0058-阿米拉姆·埃尔达尔，2020年10月26日，2024年2月24日
MAPLE公司
过滤器：=进程（n）
局部q；
如果isprime（n），则返回false fi；
如果2&^（n-1）mod n<>1，则返回false fi；
如果不是numtheory:-issqrfree（n），则返回false fi；
对于numtheory:-factorset（n）do中的q
如果（n-1）mod（q-1）<>0，则返回假fi
日期：
真；
结束进程：
选择（过滤器，[seq（2*k+1，k=1..10^6）]）#罗伯特·伊斯雷尔2014年12月29日
isA002997:=n->0=modp（n-1，数字理论：-lambda（n）），而不是isprime（n）和n<>1：
选择（isA002997，[1..10000]）#彼得·卢什尼2019年7月21日
数学
案例[范围[1，100000，2]，n_/；Mod[n，CarmichaelLambda[n]]==1&&！PrimeQ[n]](*阿图尔·贾辛斯基2008年4月5日；次要编辑来自扎克·塞多夫2011年2月16日*）
选择[Range[1，600001，2]，CompositeQ[#]&&Mod[#，CarmichaelLambda[#]]==1&](*哈维·P·戴尔2023年7月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）Korselt（n）=我的（f=系数（n））；对于（i=1，#f[，1]，如果（f[i，2]>1||（n-1）%（f[i，1]-1），返回（0））；1
isA002997（n）=n%2&&！isprime（n）&&Korselt（n）&&n>1\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日
（PARI）是_A002997号（n，F=factor（n）~）={#F>2&&！foreach（F，F，（n%（F[1]-1）==1&&F[2]==1）||return）}\\不需要检查奇偶校验：如果需要效率，只扫描奇数-M.F.哈斯勒，2012年8月24日，编辑：2022年3月24日
（哈斯克尔）
a002997 n=a002997_list！！（n-1）
a002997_list=[x|x<-a024556_list，
所有（==0）$map（（mod（x-1））。（减1）$a027748_当前x]
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月12日
（岩浆）[n:n in[3..53*10^4 by 2]|非IsPrime（n）和n mod CarmichaelLambda（n）eq 1]//布鲁诺·贝塞利2012年4月23日
（鼠尾草）
定义为Carmichael（n）：
如果n==1或is_even（n）或is_prime（n）：
返回False
因子=因子（n）
对于因子中的f：
如果f[1]>1：返回False
如果（n-1）%（f[0]-1）！=0:
return错误
return True
打印（如果是Carmichael（n），则[n代表（1..20000）中的n]）#彼得·卢什尼2019年4月2日
（Python）
从itertools导入islice
从sympy导入nextprime，factorint
定义A002997号_gen（）：#术语生成器
p、 q=3,5
为True时：
对于范围（p+2，q，2）内的n：
f=因子（n）
如果max（f.values（））==1，而不是任何（（n-1）%（p-1），对于f中的p）：
产量n
p、 q=q，下一素数（q）
A002997号_list=列表（岛屿(A002997号_发电机（），20））#柴华武2022年5月11日
交叉参考
参见。A001567号,A002445号,A002322号,A006931号,A024556号,A027748号,A055553号,A064238号-A064262号,A083737号,A087441号,A087442号,A135717美元,A141711号,A153581号,A225498型,A285512型,A285549型,A309132型,324290美元,A324315型,A324316型,A324973型,A324975型,A324977型,A326690型.
的后续A324050型.
关键字
非n,美好的,改变
作者
N.J.A.斯隆
扩展
更新Carmichael号码列表的链接扬·克里斯蒂安·豪格兰，2009年3月25日和丹尼·罗拉博2017年5月5日
状态
经核准的
A324316型 主Carmichael数。 +10
25
1729, 2821, 29341, 46657, 252601, 294409, 399001, 488881, 512461, 1152271, 1193221, 1857241, 3828001, 4335241, 5968873, 6189121, 6733693, 6868261, 7519441, 10024561, 10267951, 10606681, 14469841, 14676481, 15247621, 15829633, 17098369, 17236801, 17316001, 19384289, 23382529, 29111881, 31405501, 34657141, 35703361, 37964809 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
无平方整数m>1，因此如果素数p除以m，则m的底-p位数之和等于p。因此，m就是一个Carmichael数(A002997号).
迪克森的猜想暗示序列是无限的，参见凯尔纳2019。
如果m是一个项，p是m的素因子，则p<=a*sqrt（m），其中a=sqrt（66337/132673）=0.7071…，其中界限是尖锐的。
初级Carmichael数的分布是A324317型.
参见Kellner and Sondow 2019和Kellner 2019。
初级Carmichael数是特殊的多边形数A324973型.第n个初等Carmichael数的秩为A324976型（n） ●●●●。见Kellner和Sondow 2019-乔纳森·桑多2019年3月26日
第一项是Hardy-Ramanujan数-奥马尔·波尔2020年1月9日
链接
伯恩德·凯尔纳，n=1..10000时的n，a（n）表（使用Pinch的数据库计算，请参阅下面的链接）
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，#A38整数22（2022），第39页。；arXiv:1902.11283[math.NT]，2019年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，#A52整数21（2021），21页。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
R.G.E.Pinch，卡迈克尔家族的数字高达10^18, 2008.
与Carmichael数相关的序列的索引项。
公式
a_1+a_2+…+如果p是素数且m=a_1*p+a_2*p^2+…+，则a_k=pa_k*p^k，i=1，2。。。，k（注意a0=0）。
例子
1729=7*13*19是平方自由的，1729在7进制中是5020_7=5*7^3+0*7^2+2*7+0，其中5+0+2+0=7；1729在13进制中是a30_13，其中a+3+0=10+3+0=13，而1729在19进制中是4f0_19，其中4+f+0=4+15+0=19，因此1729是一个成员。
数学
SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
测试CP[n_]：=（n>1）&&平方自由Q[n]&&矢量Q[LP[n]，SD[n，#]==#&]；
选择[范围[1，10^7，2]，测试CP[#]&]
黄体脂酮素
（Perl）使用理论“：all”；我的$m；forsquarefree｛$m＝$_；假设@_>2&&is_carmichael（$m）&&vecall｛$_==vecsum（todigits（$m，$_））｝@_；｝1e7#达纳·雅各布森2019年3月28日
（Python）
来自sympy导入因子
从sympy.theory导入数字
定义正常（n）：
pf=因子（n）
如果n<2或max（pf.values（））>1：返回False
返回所有（总和（数字（n，p）[1:]）==pf中p的p）
打印（[k代表范围内的k（10**6），如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基，2022年7月3日
交叉参考
的后续A002997号,A324315型.
具有n个素因子的最小初等Carmichael数为A306657型.
另请参阅A005117号,A195441号,A324317型,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324370型,A324371型,324404美元,A324405型,A324973型,A324976型,A001235号.
关键字
非n,基础
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年2月21日
状态
经核准的
A324319型 的条款A324315型（无平方整数m>1，如果素数p除以m，则m的p位数之和至少为p）也是六角数(A000384号)指数等于其最大素因子。 +10
12
231, 561, 3655, 5565, 8911, 10585, 13695, 23653, 32131, 45451, 59685, 74305, 108345, 115921, 157641, 243253, 248865, 302253, 314821, 334153, 371091, 392055, 417241, 458403, 505515, 546535, 688551, 702705, 795691, 821121, 915981, 932295, 1004653, 1145341, 1181953 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
561、8911和10585也是卡迈克尔数(A002997号).
最小初等Carmichael数(A324316型)顺序是8801128801=181*733*66337=A000384号(66337).
参见Kellner和Sondow 2019中关于多边形数的章节。
特殊多边形数的子序列A324973型. -乔纳森·桑多2019年3月27日
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，#A52整数21（2021），21页。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
例子
A324315型(1) = 231 = 3 * 7 * 11 = 11 * (2 * 11 - 1) =A000384号（11） ，所以231是成员。
数学
SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
HN[n]：=n（2n-1）；
测试S[n_]：=（n>1）&&SquareFreeQ[n]&&VectorQ[LP[n]，SD[n，#]>=#&]；
选择[HN@Prime[Range[100]]、TestS[#]&]
交叉参考
参见。A000384号,A002997号,A195441号,A324315型,A324316型,A324317型,A324318型,A324320型,A324369型,A324370型,324371美元,A324404型,A324405型,A324973型.
关键字
非n,基础
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年2月23日
扩展
更多术语来自阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月5日
状态
经核准的
A324320型 的条款A324315型（无平方整数m>1，如果素数p除以m，则m的p位数之和至少为p）也是八角数(A000567号)指数等于其最大素因子。 +10
12
1045, 2465, 2821, 15841, 20501, 34133, 51221, 68101, 89441, 116033, 118405, 162401, 170885, 216545, 300833, 364705, 439301, 472033, 530881, 642181, 687365, 746005, 970145, 976981, 997633, 1104133, 1148245, 1193221, 1231361, 1239061, 1398101, 1654661, 1971541 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
2465也是卡迈克尔号码(A002997号).
2821也是一个主要的Carmichael数字(A324316型).
参见Kellner和Sondow 2019中关于多边形数的章节。
特殊多边形数的子序列A324973型. -乔纳森·桑多2019年3月27日
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，#A52整数21（2021），21页。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
例子
A324315型(4) = 1045 = 5 * 11 * 19 = 19 * (3 * 19 - 2) =A000567号（19） ，所以1045是一名成员。
数学
SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
开[n]：=n（3n-2）；
测试S[n_]：=（n>1）&&SquareFreeQ[n]&&VectorQ[LP[n]，SD[n，#]>=#&]；
选择[ON@Prime[100]]，测试[#]&]
交叉参考
参见。A000567号,A002997号,A324315型,A324316型,A324317型,A324318型,A324319型,A324369型,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型,A324973型.
关键字
非n,基础
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年2月23日
扩展
更多术语来自阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月5日
状态
经核准的
A324975型 第n个Carmichael数的秩。 +10
5
6, 10, 12, 8, 8, 10, 6, 6, 8, 18, 52, 12, 12, 18, 98, 164, 22, 6, 50, 8, 96, 34, 52, 46, 52, 6, 6, 156, 20, 46, 36, 32, 16, 8, 304, 36, 20, 36, 10, 316, 76, 468, 8, 30, 24, 1580, 84, 54, 8, 12, 250, 28, 92, 36, 20, 418, 456, 928, 188, 16, 8, 276, 284, 56, 144 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
请参见A324974型用于定义和解释特殊多边形数的秩，从而定义和解释Carmichael数列的秩A002997号由Kellner和Sondow于2019年完成。
主Carmichael数的秩A324316型形成子序列A324976型.
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，整数22（2022），#A38，39 pp。；arXiv:1902.11283[math.NT]，2019年。
维基百科，多边形数
公式
a（n）=2+2*（（m/p）-1）/（p-1），其中m=A002997号（n） p是其最大的素因子。（参见中的公式A324974型因此，根据卡迈克尔定理，p-1除以（m/p）-1，对于卡迈克尔数m的任何素因子p，a（n）是偶数。
例子
如果m=A002997号（1） =561=3*11*17，那么p=17，那么a（1）=2+2*（（561/17）-1）/（17-1）=6。
数学
T=案例[范围[110000000，2]，n_/；Mod[n，CarmichaelLambda[n]]==1&&！PrimeQ[n]]；
GPF[n_]：=最后一个[Select[Divisors[n]，PrimeQ]]；
表[2+2*（T[[i]]/GPF[T[[i]]]-1）/（GPF[T[i]]-1），{i，长度[T]}]
交叉参考
的后续A324974型.
A324976型是一个子序列。
另请参阅A002997号,A324316型,A324972型,A324973型,A324977型.
关键字
非n
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月24日
状态
经核准的
A324976型 第n个初等Carmichael数的秩。 +10
5
12, 8, 18, 12, 52, 52, 20, 32, 16, 54, 8, 36, 124, 34, 12, 72, 96, 26, 28, 76, 98, 1804, 108, 124, 18, 72, 172, 120, 10, 104, 32, 244, 130, 376, 18, 92, 780, 36, 172, 92, 284, 24, 198, 12, 244, 64, 234, 340, 100, 284, 24, 124, 44, 518, 364, 16, 82, 148, 8, 206 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
请参见A324974型定义和解释一个特殊多边形数的秩，从而得到一个初等Carmichael数秩A324316型由Kellner和Sondow于2019年完成。
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，整数22（2022），#A38，39 pp。；arXiv:1902.11283[math.NT]，2019年。
维基百科，多边形数
公式
a（n）=2+2*（（m/p）-1）/（p-1），其中m=A324316型（n） p是其最大的素因子。因此a（n）是偶数；请参阅中的公式A324975型.
例子
如果m=A324316型（1） =1729=7*13*19，那么p=19，那么a（1）=2+2*（（1729/19）-1）/（19-1）=12。
数学
SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
测试CP[n_]：=（n>1）&&平方自由Q[n]&&矢量Q[LP[n]，SD[n，#]==#&]；
T=选择[范围[1，10^7，2]，测试CP[#]&]；
GPF[n_]：=最后一个[Select[Divisors[n]，PrimeQ]]；
表[2+2*（T[[i]]/GPF[T[[i]]]-1）/（GPF[T[i]]-1），{i，长度[T]}]
交叉参考
的后续A324975型（第n个Carmichael数的秩A002997号)和，共A324974型（第n个特殊多边形数的秩A324973型).
另请参阅A324316型,A324972型.
关键字
非n,基础
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月24日
扩展
更多术语来自阿米拉姆·埃尔达尔2019年3月27日
状态
经核准的
A324972型 s>=3且n>=3的无平方多边形数P（s，n）。 +10
4
6、10、15、21、22、30、33、34、35、39、42、46、51、55、57、58、65、66、69、70、78、82、85、87、91、93、94、95、102、105、106、111、114、115、118、123、129、130、133、138、141、142、145、154、155、159、165、166、174、177、178、183、185、186、190、195、201、202 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
此序列的主要条目是A090466号=阶数（或秩）大于2的多边形数。
特殊多边形数A324973型形成包含所有Carmichael数的子序列A002997号见Kellner和Sondow 2019。
链接
n=1..58时的n，a（n）表。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，整数22（2022），#A38，39 pp。；arXiv:1902.11283[math.NT]，2019年。
维基百科，多边形数
公式
无平方P（s，n）=（n^2*（s-2）-n*（s-4））/2，其中s>=3且n>=3。
例子
P（3,3）=6是平方自由的，因此a（1）=6。
数学
mx=250；n=s=3；lst={}；
当[s<楼层[mx/3]+2时，a=（n^2（s-2）-n（s-4））/2；
如果[a<mx+1，追加到[lst，a]，（s++；n=2）]；n++]；lst=联盟@lst;
选择[lst，SquareFreeQ]
黄体脂酮素
（PARI）isok（n）=如果（！issquarefree（n），return（0））；对于（s=3，n\3+1，ispolygonal（n，s）&&return（s））\\米歇尔·马库斯2019年3月24日
交叉参考
的交点A005117号和A090466号.
包括A324973型其中包含A002997号.
关键字
非n
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月21日
状态
经核准的
第页1

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