搜索： a324318-编号：a3243180
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A324370型
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| 所有素数p的乘积，不除以n，使得n的p进制数字之和至少为p，或者如果不存在这样的素数，则为1。 |
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27
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1, 1, 2, 1, 6, 1, 6, 3, 10, 1, 6, 1, 210, 15, 2, 3, 30, 5, 210, 21, 110, 15, 30, 5, 546, 21, 14, 1, 30, 1, 462, 231, 1190, 105, 6, 1, 51870, 1365, 70, 21, 2310, 55, 2310, 105, 322, 105, 210, 35, 6630, 663, 286, 33, 330, 55, 798, 57, 290, 15, 30, 1, 930930, 15015, 1430, 2145, 1122, 85, 82110, 2415, 70, 3, 330, 55, 21111090, 285285
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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乘积是有限的，因为如果p>n，n的p位数字的和是n。
a（198）=2465是10^6以下唯一一个Carmichael数(A002997号).
结果表明，a（n）等于伯努利多项式B（n，x）一阶导数的分母。所以a（n）=1当且仅当n在A094960号也就是说n+1是质数。A324370型也参与了有关高阶导数的此类公式。见Kellner 2023-伯恩德·凯尔纳2023年10月12日
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[数学.NT]，2017年。
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配方奶粉
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a（n）=分母（伯努利n（x）’）。
k阶导数：设（n）m为下降阶乘。
对于n>k，a（n-k+1）/gcd（a（n-k+1），（n）{k-1}）=分母（伯努利n（x）^（k））。否则，分母等于1。（结束）
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例子
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对于p=2、3和5，7的p位数之和分别为1+1+1=3>=2、2+1=3>=3和1+2=3<5，因此a（7）=2*3=6。
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MAPLE公司
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N： =100:#对于（1）。。a（否）
五： =矢量（N，1）：
p： =1：
对于1 do的iter
p： =下一素数（p）；
如果p>=N，则打破fi；
对于从p+1到n do的n
如果n模p<>0且转换（convert（n，base，p），`+`）>=p，则
V[n]：=V[n]*p
fi（菲涅耳）
日期：
#或者，请注意，此公式建议偏移量为0且a（0）=1：
seq（denom（diff（bernoulli（n，x），x）），n=1..51）#彼得·卢什尼2023年10月13日
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数学
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SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
DD2[n_]：=次数@@Select[Prime[Range[PrimePi[（n+1）/（2+Mod[n+1，2]）]]！可分[n，#]&SD[n，#]>=#&]；
表[DD2[n]，{n，1，100}]
（*BP一阶导数分母*）
k=1；表[分母[加在一起[D[伯努利B[n，x]，{x，k}]]，{n，1100}]
（*结束*）
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黄体脂酮素
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（Python）
来自数学导入产品
从sympy.theory导入数字
从sympy导入素数，素数范围
定义a（n）：
nonpf=集合（素数范围（1，n+1））-集合（素数因子（n））
return prod（如果和（数字（n，p）[1:]）>=p，则p代表nonf中的p
打印（[a（n）代表范围（1，75）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002997号,A094960号,A144845号,A195441号,A324315型,A324316型,A324317型,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324371型,A324404型,A324405型,A366168型,A366169飞机,A366186型,A366187型,366188美元.
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关键字
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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1729, 2821, 29341, 46657, 252601, 294409, 399001, 488881, 512461, 1152271, 1193221, 1857241, 3828001, 4335241, 5968873, 6189121, 6733693, 6868261, 7519441, 10024561, 10267951, 10606681, 14469841, 14676481, 15247621, 15829633, 17098369, 17236801, 17316001, 19384289, 23382529, 29111881, 31405501, 34657141, 35703361, 37964809
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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无平方整数m>1，因此如果素数p除以m，则m的底-p位数之和等于p。因此，m就是一个Carmichael数(A002997号).
Dickson猜想暗示序列是无限的，见Kellner 2019。
如果m是一个项，p是m的素因子，则p<=a*sqrt（m），其中a=sqrt（66337/132673）=0.7071…，其中界限是尖锐的。
参见Kellner and Sondow 2019和Kellner 2019。
第一项是Hardy-Ramanujan数-奥马尔·波尔2020年1月9日
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[数学.NT]，2017年。
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配方奶粉
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a_1+a_2+…+如果p是素数且m=a_1*p+a_2*p^2+…+，则a_k=pa_k*p^k，i=1，2。。。，k（注意a0=0）。
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例子
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1729=7*13*19是平方自由的，1729在7进制中是5020_7=5*7^3+0*7^2+2*7+0，其中5+0+2+0=7；1729在13进制中是a30_13，其中a+3+0=10+3+0=13，而1729在19进制中是4f0_19，其中4+f+0=4+15+0=19，因此1729是一个成员。
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数学
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SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
测试CP[n_]：=（n>1）&&平方自由Q[n]&&矢量Q[LP[n]，SD[n，#]==#&]；
选择[范围[1，10^7，2]，测试CP[#]&]
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黄体脂酮素
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（Perl）使用theory“：all”；我的$m；forsquarefree｛$m＝$_；假设@_>2&&is_carmichael（$m）&&vecall｛$_==vecsum（todigits（$m，$_））｝@_；｝1e7#达娜·雅各布森2019年3月28日
（Python）
来自症状输入因子
从sympy.theory导入数字
定义正常（n）：
pf=因子（n）
如果n<2或max（pf.values（））>1：返回False
返回所有（总和（数字（n，p）[1:]）==pf中p的p）
打印（[k代表范围内的k（10**6），如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月3日
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交叉参考
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另请参阅A005117号,A195441号,A324317型,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型,A324973型,A324976型,A001235号.
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关键字
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A324315型
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| 无平方整数m>1，这样如果素数p除以m，则m的p位数之和至少为p。 |
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231, 561, 1001, 1045, 1105, 1122, 1155, 1729, 2002, 2093, 2145, 2465, 2821, 3003, 3315, 3458, 3553, 3570, 3655, 3927, 4186, 4199, 4522, 4774, 4845, 4862, 5005, 5187, 5565, 5642, 5681, 6006, 6118, 6270, 6279, 6545, 6601, 6670, 6734, 7337, 7395, 7735, 8177, 8211, 8265, 8294, 8323, 8463, 8645, 8789, 8855, 8911, 9282, 9361, 9435, 9690, 9867
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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如果m是一个项，p是m的素因子，那么p<=a*sqrt（m），其中a=sqrt（11/21）=0.7237…，其中界限是尖锐的。
如果m是奇数，则项m必须至少有3个素因子；如果m是偶数，则必须至少有4个素因子。
m是一个项，当且仅当m>1除以分母（Bernoulli_m（x）-Bernoulli_m）=A195441号（m-1）。
当素数p除以m时，m是一个Carmichael数iff s_p（m）==1（mod p-1），其中s_p。
见Kellner和Sondow 2019。
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[数学.NT]，2017年。
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配方奶粉
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a_1+a_2+…+m=a_1*p+a_2*p^2+…+时a_k>=pa_k*p^k，i=1，2。。。，k（注意a0=0）。
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例子
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231=3*7*11是平方自由的，以3为底的231是22120_3=2*3^4+2*3^3+1*3^2+2*3+0=7>=3，231=450_7是4+5+0=9>=7，231=1a0_11是1+a+0=1+10+0=11>=11，因此231是一个成员。
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数学
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SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
测试S[n_]：=（n>1）&&SquareFreeQ[n]&&VectorQ[LP[n]，SD[n，#]>=#&]；
选择[Range[10^4]，TestS[#]&]
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黄体脂酮素
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（Python）
来自症状输入因子
从sympy.theory导入数字
定义正常（n）：
pf=因子（n）
如果n<2或max（pf.values（））>1：返回False
返回所有（总和（数字（n，p）[1:]）>=pf中p的p）
打印（[k代表范围内的k（10**4），如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002997号,A005117号,A195441号,A324316型,A324317型,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324370型,A324371型,324404美元,A324405型.
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关键字
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A324369型
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| 所有素数p除以n的乘积，使得n的p位数之和至少为p，如果没有这样的素数，则为1。 |
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15
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1、1、1、1、2、1、1、1、2、1、2、1、2、2、3、2、1、6、1、1、、是，2，1，6，1，2，1，2，1，2，5，2，3，2，1，10，7，2，3，2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,6
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评论
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a（n）=n如果n除以分母（Bernoulli_n（x）-Bernoulli _n）（参见A195441号).
参见Kellner和Sondow 2019中关于伯努利多项式的章节。
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[数学.NT]，2017年。
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配方奶粉
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例子
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基2中6=2*3，6=110_2，1+1+0>=2，而基3中6=20_3，2+0=2<3，因此a（6）=2。
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MAPLE公司
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g： =proc（n，p）convert（convert（n，base，p），`+`）>=p结束proc：
f： =proc（n）局部p；
转换（选择（p->g（n，p），数量：-系数集（n）），`*`）
结束进程：
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数学
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SD[n_，p_]：=如果[n<2，0，加@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
DD1[n_]：=次数@@Select[LP[n]，SD[n，#]>=#&]；
表[DD1[n]，{n，1，100}]
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黄体脂酮素
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（Python）
来自数学导入产品
从sympy.theory导入数字
从sympy导入原因子到pf
定义a（n）：如果总和（数字（n，p）[1:]）>=p，则返回prod（pf（n）中p的p）
打印（[a（n）代表范围（1，98）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007947号,A144845号,A195441号,A324315型,A324316型,A324317型,A324318型,A324319型,A324320型,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型.
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A324371型
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| 所有素数p除以n的乘积，使得n的p位数之和小于p，如果没有这样的素数，则为1。 |
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+10
14
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1, 2, 3, 2, 5, 3, 7, 2, 3, 5, 11, 3, 13, 7, 5, 2, 17, 3, 19, 5, 7, 11, 23, 1, 5, 13, 3, 7, 29, 15, 31, 2, 11, 17, 35, 3, 37, 19, 13, 5, 41, 7, 43, 11, 1, 23, 47, 1, 7, 5, 17, 13, 53, 3, 55, 7, 19, 29, 59, 5, 61, 31, 7, 2, 13, 11, 67, 17, 23, 7, 71, 1, 73, 37, 5, 19, 77, 13, 79, 5, 3, 41, 83, 21
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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参见Kellner和Sondow 2019中关于伯努利多项式的章节。
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[数学.NT]，2017年。
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配方奶粉
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例子
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对于p=2和3，6的p位数之和分别为1+1+0=2>=2和2+0=2<3，因此a（6）=3。
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MAPLE公司
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f： =n->转换（选择（p->convert（转换（n，base，p），`+`）<p，
numtheory:-factorset（n）），`*`）：映射（f，[$1..100]）#罗伯特·伊斯雷尔2020年4月26日
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数学
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SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
DD3[n_]：=次数@@Select[LP[n]，SD[n，#]<#&]；
表[DD3[n]，{n，1，100}]
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黄体脂酮素
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（Python）
来自数学导入产品
从sympy.theory导入数字
从sympy导入原因子到pf
定义a（n）：返回prod（p代表pf（n）中的p，如果总和（数字（n，p）[1:]）<p）
打印（[a（n）代表范围（1，85）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002997号,A007947号,A144845号,A195441号,A324315型,A324316型,324317美元,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324370型,A324404型,A324405型.
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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231, 561, 3655, 5565, 8911, 10585, 13695, 23653, 32131, 45451, 59685, 74305, 108345, 115921, 157641, 243253, 248865, 302253, 314821, 334153, 371091, 392055, 417241, 458403, 505515, 546535, 688551, 702705, 795691, 821121, 915981, 932295, 1004653, 1145341, 1181953
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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参见Kellner和Sondow 2019中关于多边形数的章节。
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[数学.NT]，2017年。
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例子
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数学
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SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，加@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
HN[n]：=n（2n-1）；
测试S[n_]：=（n>1）&&SquareFreeQ[n]&&VectorQ[LP[n]，SD[n，#]>=#&]；
选择[HN@Prime[Range[100]]、TestS[#]&]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000384号,A002997号,A195441号,A324315型,A324316型,A324317型,A324318型,A324320型,A324369型,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型,A324973型.
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关键字
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1045, 2465, 2821, 15841, 20501, 34133, 51221, 68101, 89441, 116033, 118405, 162401, 170885, 216545, 300833, 364705, 439301, 472033, 530881, 642181, 687365, 746005, 970145, 976981, 997633, 1104133, 1148245, 1193221, 1231361, 1239061, 1398101, 1654661, 1971541
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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请参阅Kellner和Sondow 2019中关于多边形数的部分。
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[数学.NT]，2017年。
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例子
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A324315型(4) = 1045 = 5 * 11 * 19 = 19 * (3 * 19 - 2) =A000567号（19） ，所以1045是一名成员。
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数学
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SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
开[n]：=n（3n-2）；
测试S[n_]：=（n>1）&&SquareFreeQ[n]&&VectorQ[LP[n]，SD[n，#]>=#&]；
选择[ON@Prime[100]]，测试[#]&]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000567号,A002997号,A324315型,A324316型,A324317型,A324318型,A324319型,A324369型,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型,A324973型.
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关键字
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A324404型
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| 无平方整数m>1，如果素数p除以m，则s_p（m）>=p，s_p。 |
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+10
11
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1122, 3458, 5642, 6734, 11102, 13202, 17390, 17822, 21170, 22610, 27962, 31682, 46002, 58682, 61778, 79730, 82082, 93314, 105266, 106262, 125490, 127946, 136202, 150722, 153254, 177122, 182002, 202202, 203870, 214370, 231842, 252434, 274298, 278462, 305102, 315282
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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2-Knödel数的子序列(A050990型). 一般来说，对于d>1，大于d的S_d项构成d-Knödel数的子序列。
见Kellner和Sondow 2019。
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[数学.NT]，2017年。
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例子
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1122=2*3*11*17是平方自由的，在p=2、3、11和17的基数中等于10001100010_2、1112120_3、930_11和3f0_17。则s_2（1122）=1+1+1=4>=2，s_3（1122。此外，s_2（1122）=4==2（mod 1），s_3（1122。
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数学
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SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
测试SD[n，d_]：=（n>1）&&（d>0）&&平方自由Q[n]&&矢量Q[LP[n]，SD[n，#]>=#&Mod[SD[n、#]-d，#-1]==0&]；
选择[Range[200000]，TestSd[#，2]&]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002997号,A050990型,A324315型,A324316型,324317美元,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324370型,A324371型,A324405型.
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关键字
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A324405型
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| 无平方整数m>1，如果素数p除以m，则s_p（m）>=p，s_p。 |
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+10
11
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3003, 3315, 5187, 7395, 8463, 14763, 19803, 26733, 31755, 47523, 50963, 58035, 62403, 88023, 105339, 106113, 123123, 139971, 152643, 157899, 166611, 178923, 183183, 191919
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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3-Knödel数的子序列(A033553号). 通常，对于d>1，S_d中大于d的项形成d-Knödel数的子序列。
见Kellner和Sondow 2019。
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv版本，arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
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例子
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3003=3*7*11*13是平方三，在p=3、7、11和13的基数中等于11010020_3、11520_7、2290_11和14a0_13。则s_3（3003）=1+1+1+2=5>=3，s_7（3003。此外，s_3（3003）=5==3（mod 2），s_7（3003。
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数学
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SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
测试SD[n，d_]：=（n>1）&&（d>0）&&平方自由Q[n]&&矢量Q[LP[n]，SD[n，#]>=#&Mod[SD[n、#]-d，#-1]==0&]；
选择[Range[200000]，TestSd[#，3]&]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002997号,A033553号,A324315型,A324316型,A324317型,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324370型,A324371型,A324404型.
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关键字
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 2, 4, 9, 19, 51, 107, 219, 417, 757, 1470, 2666, 5040, 9280, 17210, 32039, 59762, 111811, 210627, 397968
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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卡迈克尔数(A002997号)小于10^n是0、0、1、7、16、43、105、255、646、1547、3605、8241、19279、44706、105212、246683、5855355、1401644。。。（请参见A055553号).
Kellner和Sondow 2019的表1中给出了a（10）以下的术语。Kellner 2019的表1.5给出了a（18）以下的术语和相关结果。
所有计算都取决于Pinch的数据库。
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链接
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Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv预印本，arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
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例子
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有两个初级卡迈克尔数小于10^4，即1729和2821，因此a（4）=2。
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002997号,A055553号,A324315型,A324316型,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型.
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关键字
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非n,基础,更多,坚硬的,已更改
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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