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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a324316-编号：a3243160
显示找到的24个结果中的1-10个。 第页12 三
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A324317型 主Carmichael数(A324316型)小于10^n。 +20个
10
0, 0, 0, 2, 4, 9, 19, 51, 107, 219, 417, 757, 1470, 2666, 5040, 9280, 17210, 32039, 59762 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,4
评论
卡迈克尔数(A002997号)小于10^n为0、0、1、7、16、43、105、255、646、1547、3605、8241、19279、44706、105212、246683、5855355、1401644。。。（请参见A055553号).
Kellner和Sondow 2019表1给出了a（10）以下的术语。Kellner 2019的表1.5给出了a（18）以下的术语和相关结果。
所有计算都取决于Pinch的数据库。
链接
n=1..19时的n，a（n）表。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，#A52整数21（2021），21页。；arXiv:1902.10672【math.NT】，2019年。
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，#A38整数22（2022），39页。；arXiv:1902.11283[math.NT]，2019年。
R.G.E.Pinch，卡迈克尔家族的数字高达10^18, 2008.
例子
有两个初级卡迈克尔数小于10^4，即1729和2821，因此a（4）=2。
交叉参考
囊性纤维变性。A002997号,A055553号,A324315型,A324316型,A324318型,A324319型,A324320型,A324369,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型.
关键词
非n,基础,更多,坚硬的
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年2月22日
扩展
a（11）-a（18）来自阿米拉姆·埃尔达尔2019年3月1日
a（19）来自阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月5日
状态
已批准
A306657型 最小初级卡迈克尔数(A324316)有n个素因子。 +20个
1
1729, 10606681, 4872420815346001 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
3,1
评论
2019年，Kellner和Sondow引入了主要的Carmichael数字。有关该序列，请参见Kellner 2019。
推测：序列是无限的。
链接
n，a（n）的表，对于n=3..5。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，整数22（2022），#A38，39 pp。；arXiv:1902.11283[math.NT]，2019年。
与Carmichael数相关的序列的索引项。
例子
1729=7*13*19，
10606681 = 31 * 43 * 73 * 109,
4872420815346001 = 211 * 239 * 379 * 10711 * 23801.
交叉参考
具有n个素因子的最小Carmichael数为A006931号.
另请参阅A002997号,A324316型.
关键词
非n,坚硬的,更多
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年3月3日
状态
已批准
A002997号 Carmichael数：复合数k，使得a ^（k-1）==1（mod k）对于k的每个a互素。
（原名M5462） 		+10
337
561、1105、1729、2465、2821、6601、8911、10585、15841、29341、41041、46657、52633、62745、63973、75361、101101、115921、126217、162401、172081、188461、252601、278545、294409、314821、334153、340561、399001、410041、449065、488881、512461 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1，1
评论
V.Šimerka在Carmichael之前25年发现了这个序列的前7项（参见链接和K.Conrad的评论）-彼得·卢什尼2019年4月1日
k是复合的和无平方的，对于p素，pk=>p-1k-1。
奇数复合数k是一个伪素数，以a为基iff a^（k-1）==1（mod k）。Carmichael数是一个奇数复合数k，它是一个伪素数，以A为基数，对每个数从素数到k。
复合奇数k是Carmichael数当且仅当k是无平方的，并且p-1对每个素数p除以k除以k-1（Korselt，1899）
Ghatage和Scott利用Fermat的小定理证明了（a+b）^k==a^k+b^k（mod k）（新生的梦想）恰好当k是素数时(A000040型)或者卡迈克尔号码-乔纳森·沃斯邮报2005年8月31日
Alford等人用10333229505个素因子构造了一个Carmichael数，并用m个素因子构建了3到19565220之间的Carmichale数-乔纳森·沃斯邮报2012年4月1日
托马斯·赖特证明了对于gcd（b，M）=1的N中的任何数字b和M，都有无穷多个Carmichael数k，使得k==b（mod M）-乔纳森·沃斯邮报2012年12月27日
复合数k相对素数到1^（k-1）+2^（k-1）+…+（k-1）^（k-1）-托马斯·奥多夫斯基2013年10月9日
复合数k，这样A063994号（k）=A000010号（k） ●●●●-托马斯·奥多夫斯基2013年12月17日
奇数复合数k除以kA002445号（k-1）/2）-罗伯特·伊斯雷尔，2015年10月2日
如果k是Carmichael数，并且gcd（b-1，k）=1，则根据Steuerwald定理，（b^k-1）/（b-1）是基底b的伪素数；请参阅中的参考A005935号. -托马斯·奥多夫斯基2016年4月17日
复合数k，使得每个素数p的p^k==p（mod k）<=A285512型（k） ●●●●-马克斯·阿列克塞耶夫和托马斯·奥多夫斯基2017年4月20日
如果复合m<A285549型（n） 对于每个素数p<=素数（n），p^m==p（modm），那么m是一个Carmichael数-托马斯·奥多夫斯基2017年4月23日
所有Carmichael数的序列可以定义为：a（1）=561，a（n+1）=最小组合k>a（n），这样对于每个素数p<=n+2，p^k==p（modk）-托马斯·奥多夫斯基2017年4月24日
整数m>1是一个Carmichael数，当且仅当m是无平方的，并且它的每一个素数p都满足s_p（m）>=p和s_p。对于每个素因子p，锐界p<=a*sqrt（m）保持不变，a=sqrt（17/33）=0.7177……参见Kellner和Sondow 2019-伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多，2019年3月3日
卡迈克尔数是特殊的多边形数A324973型.第n个Carmichael数的秩为324975英镑（n） ●●●●。见Kellner和Sondow 2019-乔纳森·桑多2019年3月26日
奇复合数m是一个Carmichael数，当m除以分母（Bernoulli（m-1））时。商为A324977型参见Pomerance、Selfridge和Wagstaff，第1006页，以及Kellner和Sondow，关于伯努利数的章节-乔纳森·桑多2019年3月28日
这是集合差异A324050型\A008578号。许多相同的身份也适用于A324050型. -安蒂·卡图恩2019年4月22日
如果k是一个Carmichael数，那么A309132型（k）=A326690型（k） ●●●●。该证明推广了A309132型. -乔纳森·桑多2019年7月19日
复合数k，这样A111076号（k） ^（k-1）==1（mod k）。证明：的乘法顺序A111076号（k） mod k等于λ（k），其中λ（k）=A002322号（k） ，所以lambda（k）除以k-1，qed-托马斯·奥多夫斯基，2019年11月14日
对于所有正整数m，m^k-m可以被k整除，对于所有k>1，如果k是Carmichael数或素数，正如费马小定理的归纳证明中所使用的那样。相关的还有A182816号和A121707号. -理查德·福伯格2020年7月18日
由Beeger（1950）以美国数学家Robert Daniel Carmichael（1879-1967）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
对于前10000项的末尾数字1、3、5、7、9，我们分别看到80.3、4.1、7.4、3.8和4.3%的分配。为什么偏爱结束数字“1”-比尔·麦克阿欣2021年7月16日
似乎对于任意m>1，模m的Carmichael数的余数都偏向1。模4，6，8，…，等于1的项数。。。，前10000个术语中有24个：9827、9854、8652、8034、9682、5685、6798、7820、7880、3378和8518-宋嘉宁2021年11月8日
Alford、Granville和Pomerance在1994年的论文中推测，类似于Bertrand假设的陈述可以应用于Carmichael数。丹尼尔·拉森（Daniel Larsen）已经证明了这一点，请参阅下面的链接-大卫·詹姆斯·桑莫尔2023年1月17日
参考文献
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R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，A13。
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链接
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Carl Pomerance、J.L.Selfridge和Samuel S.Wagstaff，Jr。，伪素数为25*10^9，数学。公司。，第35卷，第151期（1980年），第1003-1026页。
Carl Pomerance和N.J.A.Sloane，通信，1991年.
弗雷德·里奇曼，用费马小定理进行素性检验.
弗拉基米尔·舍维列夫，具有指定上下结构的排列数作为两个变量的函数，《整数》，12（2012），#A1.-发件人N.J.A.斯隆，2013年2月7日
VáclavŠimerka，Zbytky z算术符号e posloupnosti（关于算术级数的余数），乔阿索皮斯·普罗普·斯托芬·马蒂马蒂基·菲西基。14 (1885), 221-225.
埃里克·魏斯坦的数学世界，卡迈克尔数,Knoedel数、和伪素数.
维基百科，卡迈克尔数.
托马斯·赖特，算术级数中的无穷多Carmichael数《伦敦数学学会公报》，45（2013）943-952，arXiv预印本，arXiv:12122.5850[math.NT]，2012年12月。
与Carmichael数相关的序列的索引项。
配方奶粉
总和{n>=1}1/a（n）位于区间（0.004706,27.8724）（Bayless和Kinlaw，2017）。Kinlaw（2023年）将上限降至0.0058-阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月26日，2024年2月24日
MAPLE公司
过滤器：=进程（n）
局部q；
如果isprime（n），则返回false fi；
如果2&^（n-1）mod n<>1，则返回false fi；
如果不是numtheory:-issqrfree（n），则返回false fi；
对于numtheory:-factorset（n）do中的q
如果（n-1）mod（q-1）<>0，则返回假fi
日期：
真；
结束进程：
选择（过滤器，[seq（2*k+1，k=1..10^6）]）#罗伯特·伊斯雷尔2014年12月29日
isA002997:=n->0=modp（n-1，数字理论：-lambda（n）），而不是isprime（n）和n<>1：
选择（isA002997，[1..10000]）#彼得·卢什尼2019年7月21日
数学
案例[范围[1，100000，2]，n_/；Mod[n，CarmichaelLambda[n]]==1&&！PrimeQ[n]](*阿图尔·贾辛斯基2008年4月5日；次要编辑来自扎克·塞多夫2011年2月16日*）
选择[Range[1，600001，2]，CompositeQ[#]&&Mod[#，CarmichaelLambda[#]]==1&](*哈维·P·戴尔2023年7月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）Korselt（n）=我的（f=系数（n））；对于（i=1，#f[，1]，如果（f[i，2]>1||（n-1）%（f[i，1]-1），返回（0））；1
isA0002997（n）=n%2&&！isprime（n）&&Korselt（n）&&n>1\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年6月10日
（PARI）是_A002997号（n，F=factor（n）~）={#F>2&&！foreach（F，F，（n%（F[1]-1）==1&&F[2]==1）||return）}\\不需要检查奇偶校验：如果需要效率，只扫描奇数-M.F.哈斯勒，2012年8月24日，编辑于2022年3月24日
（哈斯克尔）
a002997 n=a002997_列表！！（n-1）
a002997_list=[x|x<-a024556_list，
all（==0）$map（（mod（x-1））。（减1）$a027748_当前x]
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月12日
（岩浆）[n:n in[3..53*10^4 by 2]|非IsPrime（n）和n mod CarmichaelLambda（n）eq 1]//布鲁诺·贝塞利2012年4月23日
（鼠尾草）
定义为Carmichael（n）：
如果n==1或is_even（n）或is_prime（n）：
返回False
因子=因子（n）
对于因子中的f：
如果f[1]>1：返回False
如果（n-1）%（f[0]-1）！=0:
返回False
return True
打印（如果是Carmichael（n），则[n代表（1..20000）中的n]）#彼得·卢什尼2019年4月2日
（Python）
从itertools导入islice
从sympy导入nextprime，factorint
定义A002997号_gen（）：#术语生成器
p、 q=3,5
为True时：
对于范围（p+2，q，2）内的n：
f=因子int（n）
如果max（f.values（））==1，而不是任何（（n-1）%（p-1），对于f中的p）：
产量n
p、 q=q，下一素数（q）
A002997号_list=列表（岛屿(A002997号_发电机（），20））#柴华武2022年5月11日
交叉参考
囊性纤维变性。A001567号,A002445号,A002322号,A006931号,A024556号,A027748号,A055553号,A064238号-A064262号,A083737号,A087441号,A087442号,A135717号,A141711号,A153581号,A225498型,A285512型,A285549型,A309132型,A324290型,A324315型,A324316型,A324973型,324975英镑,A324977型,A326690型.
的后续A324050型.
关键词
非n,美好的
作者
N.J.A.斯隆
扩展
更新Carmichael号码列表的链接扬·克里斯蒂安·豪格兰，2009年3月25日和丹尼·罗拉博2017年5月5日
状态
已批准
A087788号 3-卡迈克尔数：卡迈克尔数等于3个素数的乘积：k=p*q*r，其中p<q<r是素数，使得a^（k-1）==1（mod k），如果a是k的素数。 +10
70
561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 46657, 52633, 115921, 162401, 252601, 294409, 314821, 334153, 399001, 410041, 488881, 512461, 530881, 1024651, 1152271, 1193221, 1461241, 1615681, 1857241, 1909001, 2508013 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1，1
评论
有趣的是，大多数数字都有最后一个数字1。例如530881、3581761、7207201等。
Granville&Pomerance猜想，这个序列在x之前有~cx^（1/3）/（logx）^3项。Heath-Brown证明，对于任何e>0的序列，在x之前都有O（x^，7/20+e）项-查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月19日
所有三项Carmichael数都可以用某些Chernick多项式表示，其值遵循严格的s分解(324460美元)除了某些例外。根据迪克森的猜想，“几乎所有”三项卡迈克尔数都是主卡迈克尔数(A324316型)在C'3（x）/C_3（x）->1为x->infinity的意义上，其中C_3，所有三项Carmichael数m都至少具有（*）对m的最大素数p所具有的性质，参见Kellner 2019-伯恩德·凯尔纳2022年8月3日
参考文献
O.Ore，《数论及其历史》，McGraw-Hill，1948年，多佛出版社，1988年再版，第14章。
链接
R.J.Mathar和Charles R Greathouse IV，n=1..10000时的n，a（n）表（Mathar的前3284个术语）
F.阿尔诺，构造几个基的强伪素数Carmichael数《符号计算杂志》，第20卷，第2期，1995年8月，第151-161页。
杰克·切尔尼克，关于费马简单定理，公牛。阿默尔。数学。Soc.，第45卷，第4期（1939年），第269-274页。
哈维·杜布纳，形式的卡迈克尔数（6m+1）（12m+1）（18m+1），《整数序列杂志》，第5卷（2002）第02.2.1条，
A.Granville和C.Pomerance，关于Carmichael数的两个相互矛盾的猜想，数学。公司。71（2002），第883-90页。
D.R.Heath-Brown，具有三个素因子的Carmichael数Hardy-Ramanujan Journal 30（2007），第6-12页。
G.Jaeschke，卡迈克尔数到10^12，数学。公司。，55 (1990), 383-389.
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，整数22（2022），#A38，39 pp。；arXiv:1902.11283【math.NT】，2019年。
数学参考项目，卡迈克尔数
R.G.E.Pinch，卡迈克尔家族的数字高达10^18, 2008.
罗塞塔密码，查找3-Carmichael数的程序
配方奶粉
k是复合的和无平方的，对于p素，pk=>p-1k-1。复合奇数k是Carmichael数当且仅当k是无平方的，并且p-1对每个素数p除以k（Korselt，1899）k=p*q*r，p-1|k-1，q-1|k-1、r-1|k-1。
例子
a（6）=6601=7*23*41:7-1|6601-1，23-1|6601-1,41-1|6601-1，即6|6600，22|6600,40|6600。
黄体脂酮素
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（））；对于素数（p=3，（lim）^（1/3），对于素数来说（q=p+1，sqrt（lim\p），对于质数来说（r=q+1，lim\（p*q），如果（q*r-1）%（p-1）||（p*r-1；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月19日
交叉参考
囊性纤维变性。A002997号,A162290型.
关键词
容易的,非n
作者
米克洛斯·克里斯托夫2003年10月7日
扩展
对定义进行次要编辑N.J.A.斯隆2009年9月14日
状态
已批准
A324370型 所有素数p不除以n的乘积，使得n的p进制数之和至少为p，如果不存在这样的素数，则为1。 +10
27
1, 1, 2, 1, 6, 1, 6, 3, 10, 1, 6, 1, 210, 15, 2, 3, 30, 5, 210, 21, 110, 15, 30, 5, 546, 21, 14, 1, 30, 1, 462, 231, 1190, 105, 6, 1, 51870, 1365, 70, 21, 2310, 55, 2310, 105, 322, 105, 210, 35, 6630, 663, 286, 33, 330, 55, 798, 57, 290, 15, 30, 1, 930930, 15015, 1430, 2145, 1122, 85, 82110, 2415, 70, 3, 330, 55, 21111090, 285285 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,3
评论
乘积是有限的，因为如果p>n，n的p位数字的和是n。
a（198）=2465是10^6以下唯一一个Carmichael数(A002997号).
当且仅当n在A094960号. -罗伯特·伊斯雷尔2020年3月30日
结果表明，a（n）等于伯努利多项式B（n，x）一阶导数的分母。所以a（n）=1当且仅当n在A094960号也就是说n+1是质数。324370美元也参与了有关高阶导数的此类公式。见Kellner 2023-伯恩德·凯尔纳2023年10月12日
链接
罗伯特·伊斯雷尔，n=1..5000时的n，a（n）表
伯恩德·凯尔纳，关于某些素数的乘积，J.数论，179（2017），126-141；arXiv:1705.04303[math.NT]，2017年。
伯恩德·凯尔纳，关于导数只有整系数的Bernoulli多项式的有限性第9页。；arXiv:2310.01325[math.NT]，2023年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
配方奶粉
a（n）*A324369型（n）=A195441号（n-1）=分母（Bernoulli_n（x）-Bernoulli _n）。
a（n）*A324369型（n）*A324371型（n）=144845英镑（n-1）=分母（伯努利{n-1}（x））。
a（n+1）=A195441号（n）/A324369型（n+1）=144845英镑（n）/A007947号（n+1）=A318256型（n） ●●●●。基本上与A318256型. -彼得·卢什尼2019年3月5日
发件人伯恩德·凯尔纳，2023年10月12日：（开始）
a（n）=分母（伯努利n（x）’）。
k阶导数：设（n）m为下降阶乘。
对于n>k，a（n-k+1）/gcd（a（n-k+1），（n）{k-1}）=分母（伯努利n（x）^（k））。否则，分母等于1。（结束）
例子
对于p=2、3和5，7的p位数之和分别为1+1+1=3>=2、2+1=3>=3和1+2=3<5，因此a（7）=2*3=6。
MAPLE公司
N： =100:#对于（1）。。a（否）
五： =矢量（N，1）：
p： =1：
对于1 do的iter
p： =下一素数（p）；
如果p>=N，则打破fi；
对于从p+1到n do的n
如果n模p<>0且转换（convert（n，base，p），`+`）>=p，则
V[n]：=V[n]*p
菲
操作日期：
转换（V，列表）#罗伯特·伊斯雷尔2020年3月30日
#或者，请注意，此公式建议偏移量为0且a（0）=1：
seq（denom（diff（bernoulli（n，x），x）），n=1..51）#彼得·卢什尼2023年10月13日
数学
SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
DD2[n_]：=次数@@Select[Prime[Range[PrimePi[（n+1）/（2+Mod[n+1，2]）]]！可分[n，#]&SD[n，#]>=#&]；
表[DD2[n]，｛n，1100｝]
（*来自伯恩德·凯尔纳，2023年10月12日（开始）*）
（*BP一阶导数分母*）
k=1；表[分母[Together[D[BernoulliB[n，x]，{x，k}]]，{n，1，100}]
（*结束*）
黄体脂酮素
（Python）
从数学导入prod
从sympy.theory导入数字
从症状输入素数，素数范围
定义a（n）：
nonf=集合（素数范围（1，n+1））-集合（素因子（n））
return prod（如果和（数字（n，p）[1:]）>=p，则p代表nonf中的p
打印（[a（n）代表范围（1，75）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A002997号,A094960号,A144845号,A195441号,A324315型,A324316型,A324317型,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324371型,324404美元,A324405型,A366168型,A366169飞机,366186美元,A366187型,A366188型.
关键词
非n,基础
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年2月24日
状态
已批准
A033502号 形式为（6*k+1）*（12*k+1”）*（18*k+1“）的Carmichael数，其中6*k+1,12*k+1和18*k+10都是素数。 +10
17
1729, 294409, 56052361, 118901521, 172947529, 216821881, 228842209, 1299963601, 2301745249, 9624742921, 11346205609, 13079177569, 21515221081, 27278026129, 65700513721, 71171308081, 100264053529, 168003672409, 172018713961, 173032371289, 464052305161 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1，1
评论
也称为Chernick的Carmichael数。多项式（6*k+1）*（12*k+1。[以美国物理学家和数学家杰克·切尔尼克（1911-1971）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月15日]
第一项，1729，是哈代-拉马努扬数和最小的初等卡迈克尔数(A324316型).
正如切尔尼克所指出的那样，迪克森猜想暗示着这个序列是无限的。
这个序列的所有项都是主Carmichael数(A324316型)具有以下显著特性。让我成为A033502号对于m的每个素除数p，m的底-p位数之和等于p。这个性质也适用于“几乎所有”三项Carmichael数(A087788号)，因为它们可以由某些Chernick多项式表示，其值遵循严格的s分解(324460美元)除某些例外情况外，请参阅Kellner 2019-伯恩德·凯尔纳2022年8月3日
参考文献
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，斯普林格出版社，2004年，第A13节，第50-53页。
链接
多诺万·约翰逊，n=1..10000时的n，a（n）表
杰克·切尔尼克，关于费马简单定理，公牛。阿默尔。数学。Soc.，第45卷，第4期（1939年），第269-274页。
道格拉斯·伊恩努奇，当自然数的小除数是算术级数时，INTEGERS，《组合数论电子杂志》，第18卷（2018年），第77期。见第9页。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
伯恩德·凯尔纳，关于初等Carmichael数，整数22（2022），#A38，39 pp。；arXiv:1902.11283[math.NT]，2019年。
G.Tarry、I.Franel、A.Korselt和G.Vacca。中国问题《数学国际》，第6卷（1899年），第142-144页。
埃里克·魏斯坦的数学世界，卡迈克尔数.
与Carmichael数相关的序列的索引项.
数学
CarmichaelNbrQ[n_]：=！PrimeQ@n&&Mod[n，CarmichaelLambda@n]==1；(6# + 1)(12# + 1)(18# + 1) & /@
选择[Range@1000，PrimeQ[6#+1]&&PrimeQ[12#+1]&&PrimeQ[18#+1]&&CarmichaelNbrQ[（6#+1）（12#+1）[18#+1）]&]
黄体脂酮素
（岩浆）[1..710]中的n：k | IsPrime（a）和IsPrime//阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2013年10月29日
交叉参考
k的值由下式给出A046025型.后续A002997号,A087788美元、和A324316型.
囊性纤维变性。A242980型,A242981型.
关键词
非n
作者
马克·勒布伦
扩展
定义修正（得益于Umberto Cerruti）布鲁诺·贝塞利，2013年1月18日
状态
已批准
A324315型 无平方整数m>1，这样如果素数p除以m，则m的p位数之和至少为p。 +10
15
231, 561, 1001, 1045, 1105, 1122, 1155, 1729, 2002, 2093, 2145, 2465, 2821, 3003, 3315, 3458, 3553, 3570, 3655, 3927, 4186, 4199, 4522, 4774, 4845, 4862, 5005, 5187, 5565, 5642, 5681, 6006, 6118, 6270, 6279, 6545, 6601, 6670, 6734, 7337, 7395, 7735, 8177, 8211, 8265, 8294, 8323, 8463, 8645, 8789, 8855, 8911, 9282, 9361, 9435, 9690, 9867 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1，1
评论
序列是无限的，因为它包含所有的Carmichael数(A002997号).
如果m是一个项，p是m的素因子，那么p<=a*sqrt（m），其中a=sqrt（11/21）=0.7237…，其中界限是尖锐的。
如果m是奇数，则项m必须至少有3个素因子；如果m是偶数，则必须至少有4个素因子。
m是一个项，当且仅当m>1除以分母（Bernoulli_m（x）-Bernoulli_m）=A195441号（m-1）。
当素数p除以m时，m是一个Carmichael数iff s_p（m）==1（mod p-1），其中s_p。
见Kellner和Sondow 2019。
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，#A52整数21（2021），21页。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
配方奶粉
a_1+a_2+…+m=a_1*p+a_2*p^2+…+时a_k>=pa_k*p^k，i=1，2。。。，k（注意a0=0）。
例子
231=3*7*11是平方自由的，以3为底的231是22120_3=2*3^4+2*3^3+1*3^2+2*3+0=7>=3，231=450_7是4+5+0=9>=7，231=1a0_11是1+a+0=1+10+0=11>=11，因此231是一个成员。
数学
SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转座[因子整数[n]][[1]；
测试S[n_]：=（n>1）&&SquareFreeQ[n]&&VectorQ[LP[n]，SD[n，#]>=#&]；
选择[Range[10^4]，TestS[#]&]
黄体脂酮素
（Python）
来自sympy导入因子
从sympy.theory导入数字
定义正常（n）：
pf=因子（n）
如果n<2或max（pf.values（））>1：返回False
返回所有（总和（数字（n，p）[1:]）>=pf中p的p）
打印（[k代表范围内的k（10**4），如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基，2022年7月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A002997号,A005117号,A195441号,A324316型,A324317型,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型.
关键词
非n,基础
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年2月21日
状态
已批准
A324369型 所有素数p除以n的乘积，使得n的p位数之和至少为p，如果没有这样的素数，则为1。 +10
15
1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 6, 1, 2, 15, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 1, 5, 6, 1, 2, 3, 10, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 5, 2, 3, 2, 1, 10, 7, 2, 3, 2, 5, 6, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,6
评论
a（n）=n如果n除以分母（Bernoulli_n（x）-Bernoulli _n）（参见A195441号).
a（n）=n当n=1或n为in时A324315型.
a（n）=n，如果n是Carmichael数(A002997号).
参见Kellner和Sondow 2019中关于伯努利多项式的章节。
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
伯恩德·凯尔纳，关于某些素数的乘积，J.数论，179（2017），126-141；arXiv:1705.04303[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
配方奶粉
a（n）*A324371型（n）=A007947号（n） =根（n）。
a（n）*A324370型（n）=A195441号（n-1）=分母（Bernoulli_n（x）-Bernoulli _n）。
a（n）*A324370型（n）*A324371型（n）=A144845号（n-1）=分母（伯努利{n-1}（x））。
例子
基2中6=2*3，6=110_2，1+1+0>=2，而基3中6=20_3，2+0=2<3，因此a（6）=2。
MAPLE公司
g： =进程（n，p）转换（转换（n，base，p），`+`）>=进程结束：
f： =proc（n）局部p；
转换（选择（p->g（n，p），数量：-系数集（n）），`*`）
结束进程：
地图（f，[1..100]美元）#罗伯特·伊斯雷尔2019年2月28日
数学
SD[n_，p_]：=如果[n<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
DD1[n_]：=次数@@Select[LP[n]，SD[n，#]>=#&]；
表[DD1[n]，{n，1，100}]
黄体脂酮素
（Python）
从数学导入prod
从sympy.theory导入数字
从症状输入素作为pf
定义a（n）：如果总和（数字（n，p）[1:]）>=p，则返回prod（pf（n）中p的p）
打印（[a（n）代表范围（1，98）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A007947号,A144845号,A195441号,A324315型,A324316型,A324317型,324318美元,A324319型,A324320型,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型.
关键词
非n,基础,看
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多，2019年2月24日
状态
已批准
A324371型 所有素数p除以n的乘积，使得n的p位数之和小于p，如果没有这样的素数，则为1。 +10
14
1, 2, 3, 2, 5, 3, 7, 2, 3, 5, 11, 3, 13, 7, 5, 2, 17, 3, 19, 5, 7, 11, 23, 1, 5, 13, 3, 7, 29, 15, 31, 2, 11, 17, 35, 3, 37, 19, 13, 5, 41, 7, 43, 11, 1, 23, 47, 1, 7, 5, 17, 13, 53, 3, 55, 7, 19, 29, 59, 5, 61, 31, 7, 2, 13, 11, 67, 17, 23, 7, 71, 1, 73, 37, 5, 19, 77, 13, 79, 5, 3, 41, 83, 21 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
不包含的任何元素A324315型因此没有Carmichael数字A002997号.
参见Kellner和Sondow 2019中关于伯努利多项式的章节。
链接
罗伯特·伊斯雷尔，n=1..10000时的n，a（n）表
伯恩德·凯尔纳，关于某些素数的乘积，J.数论，179（2017），126-141；arXiv:1705.04303[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，整数21（2021），#A52，21 pp。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
配方奶粉
a（n）*A324369型（n）=A007947号（n） =根（n）。
a（n）*A195441号（n） =a（n）*A324369型（n）*A324370型（n）=A144845号（n-1）=分母（伯努利{n-1}（x））。
例子
对于p=2和3，6的p位数之和分别为1+1+0=2>=2和2+0=2<3，因此a（6）=3。
MAPLE公司
f： =n->转换（选择（p->convert（转换（n，base，p），`+`）<p，
numtheory：-因子集（n）），`*`）：映射（f，[$1.100]）#罗伯特·伊斯雷尔2020年4月26日
数学
SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
DD3[n_]：=次数@@Select[LP[n]，SD[n，#]<#&]；
表[DD3[n]，{n，1，100}]
黄体脂酮素
（Python）
从数学导入prod
从sympy.theory导入数字
从症状输入素作为pf
定义a（n）：返回prod（p代表pf（n）中的p，如果总和（数字（n，p）[1:]）<p）
打印（[a（n）代表范围（1，85）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A002997号,A007947号,A144845号,A195441号,A324315型,A324316型,324317美元,A324318型,A324319型,A324320型,A324369型,A324370型,A324404型,A324405型.
关键词
非n,基础,看
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年2月25日
状态
已批准
A324319型 的条款A324315型（无平方整数m>1，如果素数p除以m，则m的p位数之和至少为p）也是六角数(A000384号)指数等于其最大素因子。 +10
12
231, 561, 3655, 5565, 8911, 10585, 13695, 23653, 32131, 45451, 59685, 74305, 108345, 115921, 157641, 243253, 248865, 302253, 314821, 334153, 371091, 392055, 417241, 458403, 505515, 546535, 688551, 702705, 795691, 821121, 915981, 932295, 1004653, 1145341, 1181953 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1，1
评论
561、8911和10585也是卡迈克尔数(A002997号).
最小初等Carmichael数(A324316型)顺序是8801128801=181*733*66337=A000384号(66337).
参见Kellner和Sondow 2019中关于多边形数的章节。
特殊多边形数的子序列A324973型. -乔纳森·桑多2019年3月27日
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，幂和分母阿默尔。数学。月刊，124（2017），695-709；arXiv:1705.03857[math.NT]，2017年。
Bernd C.Kellner和Jonathan Sondow，关于Carmichael和多边形数、Bernoulli多项式和p进制数字和，#A52整数21（2021），21页。；arXiv:1902.10672[math.NT]，2019年。
例子
A324315型(1) = 231 = 3 * 7 * 11 = 11 * (2 * 11 - 1) =A000384号（11） ，所以231是成员。
数学
SD[n_，p_]：=如果[n<1||p<2，0，Plus@@IntegerDigits[n，p]]；
LP[n_]：=转置[FactorInteger[n]][[1]；
HN[n]：=n（2n-1）；
测试S[n_]：=（n>1）&&SquareFreeQ[n]&&VectorQ[LP[n]，SD[n，#]>=#&]；
选择[HN@Prime[范围[100]]，测试S[#]和]
交叉参考
囊性纤维变性。A000384号,A002997号,A195441号,A324315型,A324316,A324317型,A324318型,A324320型,A324369型,A324370型,A324371型,A324404型,A324405型,A324973型.
关键词
非n,基础
作者
伯恩德·凯尔纳和乔纳森·桑多2019年2月23日
扩展
来自的更多条款阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月5日
状态
已批准
第页12 三

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