搜索： a317855-编号：a3178五十五
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A122399号
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| a（n）=和{k=0..n}k^n*k！*箍筋2（n，k）。 |
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34
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1, 1, 9, 211, 9285, 658171, 68504709, 9837380491, 1863598406805, 450247033371451, 135111441590583909, 49300373690091496171, 21495577955682021043125, 11037123350952586270549531, 6591700149366720366704735109
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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猜想：设p为素数。当n>=1时，通过减少a（n）模p得到的序列是纯周期的，周期为p-1。例如，模7序列变为[1，2，1，3，3，0，1，2，1,3，0…]，表观周期为6。囊性纤维变性。A338040型. -彼得·巴拉2022年5月31日
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链接
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配方奶粉
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例如：Sum_｛n>=0｝exp（n^2*x）/（1+exp（n*x））^（n+1）-保罗·D·汉纳，2014年10月26日
例如：求和{n>=0}exp（-n*x）/（1+exp（-n*x））^（n+1）-保罗·D·汉纳2014年10月30日
O.g.f.：求和{n>=0}n^n*n！*x^n/产品{k=1..n}（1-n*k*x）-保罗·D·汉纳2013年1月5日
极限n->无穷大（a（n）/n！）^（1/n）/n=（（1+exp（1/r））*r^2）/exp（1）=A317855型/exp（1）=1.162899527477400400818845…，其中r=0.87370243323966833…是方程式1/（1+exp（-1/r））=-r*LambertW（-exp（-1/r）/r）的根-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月21日
a（n）~c*A317855型^n*（n！）^2/sqrt（n），其中c=0.32762828556986914422864924105070102530542608-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年8月9日
设A（x）=1+x+9*x^2/2！+211*x^3/3！+。。。表示序列的e.g.f。设F（x）表示A（x）-1=x-9*x^2/2+16*x^3/3-205*x^4/4-2714*x^5/5-……的级数反转。。。。那么dF/dx=1-9*x+16*x^2-205*x^3-2714*x^4-。。。和exp（F（x））=1+x-4*x^2+x^3-38*x^4-606*x^5-。。。具有整数系数。注意，1+系列反转（exp（F（x））-1）是A122400个. -彼得·巴拉2022年8月9日
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例子
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例如：A（x）=1+x+9*x^2/2！+211*x^3/3！+9285*x^4/4！+658171*x^5/5！+。。。
这样的话
A（x）=1+（exp（x）-1）+（exp（2*x）-1。。。
e.g.f.也由以下系列给出：
A（x）=1/2+exp（x）/（1+exp。。。
或者，同等地，
A（x）=1/2+exp（-x）/（1+exp。。。
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MAPLE公司
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a:=n->add（k^n*k！*combin][stirling2]（n，k），k=0..n）#马克斯·阿列克塞耶夫2007年2月1日
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数学
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压扁[{1，表[Sum[k^n*k！*StirlingS2[n，k]，{k，0，n}]，{n，1，20}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年6月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=polcoeff（总和（m=0，n，m^m*m！*x^m/prod（k=1，m，1-m*k*x+x*O（x^n）），n）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）\\保罗·D·汉纳2013年1月5日
（PARI）{a（n）=n！*polceoff（和（k=0，n，（exp（k*x+x*O（x^n））-1）^k），n）}
对于（n=0，25，打印1（a（n），“，”）\\保罗·D·汉纳，2014年10月26日
（PARI）/*从例如f.无限级数：*/
\p100\\设置精度
{A=Vec（serlaplace（总和（n=0，500，1.*exp（n^2*x+O（x^26））/（1+exp（n*x+0（x^26]））^（n+1））}
对于（n=0，#A-1，打印1（圆形（A[n+1]），“，”）\\保罗·D·汉纳2014年10月30日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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经核准的
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A122400个
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| 正方形（0,1）的数量-没有零行且n个条目正好等于1的矩阵。 |
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25
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1, 1, 4, 31, 338, 4769, 82467, 1687989, 39905269, 1069863695, 32071995198, 1062991989013, 38596477083550, 1523554760656205, 64961391010251904, 2975343608212835855, 145687881987604377815, 7594435556630244257213
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1/n！）*和{k=0..n}斯特林1（n，k）*A122399号（k） ●●●●。
通用公式：和{n>=0}（1+x）^（n^2）/（1+（1+x）^n）^-保罗·D·汉纳2018年3月23日
a（n）~c*d^n*n！/sqrt（n），其中d=A317855型=（1+exp（1/r））*r^2=3.161088653865428813830172202588132491726382774188556341627278…，r=0.87370243966868330468720719298213992267202539595099…是exp（1/r）/r+（1+exp（1/r））*LambertW（-exp（-1/r）/r）=0，c=0.279668489586733500739737080739303725411427162653658-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月7日
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MAPLE公司
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数学
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A303056型
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| G.f.A（x）满足：1=Sum_{n>=0}（（1+x）^n-A（x））^n。 |
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18
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1, 1, 1, 8, 89, 1326, 24247, 521764, 12867985, 357229785, 11017306489, 373675921093, 13825260663882, 554216064798423, 23934356706763264, 1108017262467214486, 54747529760516714323, 2876096694574711401525, 160092696678371426933342, 9413031424290635395882462, 583000844360279565483710624
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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一般来说，以下总和相等：
（1） 和{n>=0}二项式（n+k-1，n）*r^n*（p+q^n）^n，
（2） 和{n>=0}二项式（n+k-1，n）*r^n*q^（n^2）/（1-r*p*q^n）^（n+k），
对于任何固定整数k；这里，k=1，其中r=1，p=-A（x），q=（1+x）-保罗·D·汉纳2019年6月22日
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链接
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配方奶粉
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G.f.A（x）满足：
（1） 1=和{n>=0}（（1+x）^n-A（x））^n。
（2） 1=和{n>=0}（1+x）^（n^2）/（1+（1+x）^n*A（x））^。
a（n）~c*d^n*n！/sqrt（n），其中d=A317855型=3.1610886538654…和c=0.11739505492506-瓦茨拉夫·科特索维奇，2020年9月26日
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例子
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通用公式：A（x）=1+x+x^2+8*x^3+89*x^4+1326*x^5+24247*x^6+521764*x^7+12867985*x^8+357229785*x^9+11017306489*x^10+。。。
这样的话
1=1+（（1+x）-A（x））+（1+x）^2-A（x）。。。
也，
1=1/（1+A（x））+（1+x）/（1+（1+x）*A（x ^36/（1+（1+x）^6*A（x））^7+。。。
相关系列。
对数（A（x））=x+x^2/2+22*x^3/3+325*x^4/4+6186*x^5/5+137380*x^6/6+3478651*x^7/7+98674253*x^8/8+3096911434*x^9/9+。。。
特殊价值。
尽管幂级数A（x）在x=-1/2处发散，但它可以被正式评估。
设t=A（-1/2）=0.545218973635359494312349502450344106957612798888179456724264。。。
那么t满足
（1） 1=和{n>=0}（1/2 ^n-t）^n。
（2） 1=Sum_{n>=0}2^n/（2^n+t）^（n+1）。
也，
A（r）=1/2，r=-0.54683649902292492196620520872286547799291909992048564578。。。
哪里
（1） 1=和{n>=0}（（1+r）^n-1/2）^n。
（2） 1=和{n>=0}（1+r）^（-n）/（1/（1＋r）^n+1/2）^。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a=[1]）；对于（i=0，n，a=concat（a，0）；a[#a]=Vec（总和（m=0，#a，（（1+x）^m-Ser（a））^m））[#a]）；a[n+1]}
对于（n=0，30，print1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A304639型
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| G.f.A（x）满足：1=Sum_{n>=0}（1/（1-x）^n-A（x））^n。 |
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+10
8
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1, 1, 2, 11, 117, 1735, 31853, 689043, 17079221, 476238926, 14742680162, 501584454703, 18605089712174, 747393133162471, 32332767332220442, 1498961537925543920, 74153115616699819304, 3899494667155151052688, 217246028175467702590241, 12783023090792392539557926, 792236994094236725330142276, 51585659784100723438219893047,3520987513029712770759434038820
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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链接
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配方奶粉
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G.f.A（x）满足：
（1） 1=和{n>=0}（1/（1-x）^n-A（x））^n。
（2） 1=Sum_{n>=0}（1-（1-x）^n*A（x））^n/（1-x）^（n^2）。
（3） 1=Sum_{n>=0}（1-x）^n/（1-x）^n+A（x））^（n+1）。
a（n）~c*d^n*n！/sqrt（n），其中d=A317855型=3.16108865386542881383…和c=0.16107844724485-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年10月14日
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例子
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通用公式：A（x）=1+x+2*x^2+11*x^3+117*x^4+1735*x^5+31853*x^6+689043*x*^7+17079221*x*8+476238926*x^9+14742680162*x^10+501584454703*x^11+。。。
是这样的
1=1+（1/（1-x）-A（x））+（1/x）^2-A（x）^2+（1/。。。
也，
1=1/（1+A（x））+（1-x）/（1-x。。。
特殊价值。
虽然幂级数A（x）在x=-1时发散，但可以对其进行正式评估。
设t=A（-1）=0.5452189736359494312349502450349441069576127988881794567242641。。。
那么t满足
（1） 1=和{n>=0}（1/2 ^n-t）^n。
（2） 1=和{n>=0}（1-2^n*t）^n/2^（n^2）。
（3） 1=Sum_{n>=0}2^n/（2^n+t）^（n+1）。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a=[1]）；对于（i=0，n，a=concat（a，0）；a[#a]=Vec（总和（m=0，#a，（1/（1-x+x^2*O（x^n））^m-Ser（a））^m））[#a]）；a[n+1]}
对于（n=0，30，print1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A122418号
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| a（n）=和{k=0..n}（k-1）^n*k*斯特林2（n，k）。 |
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+10
6
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1, 0, 2, 54, 2534, 186030, 19794662, 2885980734, 552803552534, 134687987183790, 40686498089484422, 14925683377452413214, 6536580413039406774134, 3368723388994026165415950, 2018248855531992511720945382, 1390953089533285777007059354494, 1092714503596231472933813958469334
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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链接
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配方奶粉
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例如：总和（（exp（（n-1）*x）-1）^n，n=0..无穷大）。
a（n）~c*d^n*（n！）^2/sqrt（n），其中d=A317855型=（1+exp（1/r））*r^2=3.161088653865428813830172202588132491726382774188556341627278…，r=0.87370243396683304965683047207192982139922672025395099…是exp（1/1）/r+（1+exp（1/r））*LambertW（-exp（-1/r）/r）=0，c=0.1043052782003896909096822391804442153125547162600等式的根916636313858475号... . -瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月7日
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）用于（n=0，50，打印1（总和（k=0，n，（k-1）^n*k*斯特林（n，k，2），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年11月15日
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A301584型
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| G.f.：和{n>=0}（（1+x）^（2*n）-1）^n。 |
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+10
5
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1, 2, 17, 264, 5784, 163610, 5667551, 232280480, 10991951114, 589780778314, 35379149504709, 2346218124687516, 170439977706143335, 13459938431949414118, 1148107512505151099653, 105194122765096703619248, 10303686044959088279454117, 1074408525677705370497704526, 118828297870115694372235974855, 13893778686151373846512389392672, 1712370237144948501135060958863978
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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通用公式：和{n>=0}（1+x）^（2*n^2）/（1+（1+x）^。
a（n）~c*d^n*n！/sqrt（n），其中d=2*A317855型=6.3221773077308576276603444051762649834527655483771126832545564150753941184386…和c=0.302715376391132275494451399946850989516917-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年8月9日
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例子
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通用公式：A（x）=1+2*x+17*x^2+264*x^3+5784*x^4+163610*x^5+5667551*x^6+232280480*x^7+10991951114*x^8+589780778314*x^9+。。。
这样的话
A（x）=1+（（1+x）^2-1）+（（1+x）^4-1）^2+（（1+x）^6-1）^3+（（1+x）^8-1）^4+（（1+x）^10-1）^5+（（1+x）^12-1）^6+（（1+x）^14-1）^7+。。。
也，
A（x）=1/2+（1+x）^2/。。。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a，o=x*o（x^n））；a=总和（m=0，n，（1+x+o）^（2*m）-1）^m）；波尔科夫（a，n）}
对于（n=0，30，print1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 8, 93, 1354, 23900, 496244, 11855700, 320428318, 9667220397, 322072882348, 11744421711587, 465270864839688, 19899234175413257, 913836170567749048, 44849438199960187278, 2342666125012348876152
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1/n！）*和{k=0..n}斯特林1（n，k）*A122418号（k） ●●●●。
G.f.：和{n>=0}（（1+x）^（n-1）-1）^n。
a（n）~c*d^n*n！/sqrt（n），其中d=A317855型=（1+exp（1/r））*r^2=3.161088653865428813830172202588132491726382774188556341627278…，r=0.8737024339668330496568304720719298213992267202539595099…是exp（1/1）/r+（1+exp（1/r））*LambertW（-exp（-1/r）/r）=0，c=0.08904589343813510956914504938-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月7日
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MAPLE公司
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A122418号：=proc（n）选项记忆；加法（组合[stirling2]（n，k）*（k-1）^n*k！，k=0..n）；结束时间：A122419号：=proc（n）选项记忆；加法（组合[stirling1]（n，k）*A122418号（k） ，k=0..n）/n；end：对于0到30之间的n，执行printf（“%d，”，A122419号（n） ）；od#R.J.马塔尔2007年5月18日
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数学
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nmax=20；系数列表[级数[和[（（1+x）^（n-1）-1）^n，{n，0，nmax}]，{x，0，nm最大}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月6日*）
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A122420号
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| 带有n个弧且没有不确定顶点0的标记有向多重图的数量。 |
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+10
4
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1、0、1、10、120、1778、31685、661940、15882128、430607370、13022755068、434697574538、15875944361864、629756003982336、26963278837704185、1239382820431888898、60875147436141987437、3181961834442383306068
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1/n！）*和{k=0..n}|Stirling1（n，k）|*A122418号（k） ●●●●。G.f.:A（x/（1-x）），其中A（x）是指A122419号.
a（n）~c*d^n*n！/sqrt（n），其中d=A317855型=（1+exp（1/r））*r^2=3.161088653865428813830172202588132491726382774188556341627278…，r=0.8737024396686833047207192982139922672025395099…是exp（1/1/r）/r+（1+exp（1/r））*LambertW（-exp（-1/r）/r）=0，c=0.1218039559584690645272120983425-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月7日
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MAPLE公司
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A122418号：=proc（n）选项记忆；加法（组合[stirling2]（n，k）*（k-1）^n*k！，k=0..n）；结束时间：A122420号：=proc（n）选项记忆；加法（abs（组合[stirling1]（n，k））*A122418号（k） ，k=0..n）/n；结束：对于从0到30的n，执行printf（“%d，”，A122420号（n） ）；od#R.J.马塔尔2007年5月18日
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数学
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表[1/n！*总和[Abs[StirlingS1[n，k]]*总和[（m-1）^k*m！*斯特林S2[k，m]，{m，0，k}]，{k，0，n}]，}n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月7日*）
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A243802型
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| 例如：exp（总和{n>=1}（exp（n*x）-1）^n/n）。 |
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+10
4
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1, 1, 6, 95, 3043, 167342, 14175447, 1715544861, 280986929888, 59828264507385, 16056622678756319, 5300955907062294008, 2110872493413444115109, 997542435957462115205773, 551887323312314977683048334, 353334615697796170374209624907, 259179558930246734075836153918127
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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比较：exp（Sum_{n>=1}（exp（x）-1）^n/n）=1/（2-exp（x）），Fubini数的例子f(A000670美元).
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链接
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配方奶粉
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a（n）~c*d^n*（n！）^2/n^（3/2），其中d=A317855型=（1+exp（1/r））*r^2=3.161088653865428813830172202588132491…，r=0.87370243323966833049658304720719298…是exp（l/r）/r+（1+exp（1/r））*LambertW（-exp（-1/r）/r）=0，c=0.37498840921734807101035131780130551-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年8月21日
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例子
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例如：A（x）=1+x+6*x^2/2！+95*x^3/3！+3043*x^4/4！+167342*x^5/5！+。。。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n！*polceoff（exp（总和（m=1，n+1，（exp）（m*x+x*O（x^n））-1）^m/m）），n）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A301585型
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| G.f.：和{n>=0}（（1+x）^（3*n）-1）^n。 |
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+10
4
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1, 3, 39, 910, 29949, 1271751, 66116065, 4066082856, 288701376912, 23240635243591, 2091554595246705, 208085119389952134, 22676957610808295192, 2686515300821612112411, 343760257348413122290260, 47248346582443326267328400, 6942339982115290619799947901, 1085919469129099832397573088863, 180160797497273341662653292624309, 31598815412054398239059538582525618
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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G.f.：Sum_｛n>=0｝（1+x）^（3*n^2）/（1+（1+x）^（3*n））^（n+1）。
a（n）~c*d^n*n！/sqrt（n），其中d=3*A317855型=9.4832659615962864414905166077643974751791483225656690248818346226130911776579…和c=0.3108465952599520867585813879173750641359609-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年8月9日
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例子
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通用公式：A（x）=1+3*x+39*x^2+910*x^3+29949*x^4+1271751*x^5+66116065*x^6+406082856*x^7+288701376912*x^8+。。。
这样的话
A（x）=1+（（1+x）^3-1）+（1+x）^6-1）^2+（（1+x）^9-1）^3+（（1++x）^12-1）^4+（1++x）^15-1）^5+（1+x）^18-1）^6+（1+/x）^21-1）^7+。。。
也，
A（x）=1/2+（1+x）^3/（1+（1+x）^3）^2+（1+x）^12/（1+。。。
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a，o=x*o（x^n））；a=总和（m=0，n，（1+x+o）^（3*m）-1）^m）；波尔科夫（a，n）}
对于（n=0，30，print1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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